lista_1 cálculo 2

Prévia do material em texto

Lista 1 de Cálculo 2 - CC
1. Calcule as seguintes somas de Riemann (utilize uma calculadora se necessário).
a) S(f,Q∗), f(x) = x2 − 1, 0 ≤ x ≤ 2. Q =
{
0,
1
2
, 1,
3
2
, 2
}
, {ci} =
{
1
4
, 1,
5
4
, 2
}
b) S(h,Q∗), h(x) =
1
1 + x2
, 0 ≤ x ≤ 1. Q = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1},
{ci} = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.
2. Encontre funções primitivas e calcule as integrais:
a)
∫
3
2
x5 dx b)
∫
2
1
dx
x2
c)
∫
3
1/2
dx
3
√
x2
d)
∫
1
−1
(x− 2)5 dx e)
∫ π/4
π/6
sen(x) dx f)
∫
21
10
cos(3x+ 1) dx
3. Calcule as integrais definidas.
a)
∫
4
0
1
2
dx b)
∫
1
−2
(x2 − 1) dx c)
∫
3
1
1
x3
dx d)
∫
2
0
(x2 + 3x− 3) dx
e)
∫
1
0
(
5u3 − 1
2
)
du f)
∫
4
0
√
u du g)
∫
4
1
1
3
√
x
dx h)
∫
1
0
(x+ 4
√
x) dx
i)
∫
2
1
1 + x
x3
dx j)
∫
2
1
1 + t2
t4
dt k)
∫ π
2
−
π
3
cos(2x) dx l)
∫
1
−1
e2v dv
m)
∫
1
0
1
1 + t2
dt n)
∫ 1
2
0
1√
1− x2
dx o)
∫
1
0
1
1 + x
dx p)
∫ π
4
0
sec2(x) dx
4. Na figura abaixo representamos o gráfico de uma função f : [a, b] → R cont́ınua.
a b
x
x1 x2
y=f(x)
f(x1)
y
f(x2)
Se w é um número entre a e b definimos A(w) como a área da região delimitada pelas curvas y = f(x),
x = a, x = w e y = 0. Sejam agora x1, x2 ∈ [a, b] com x1 < x2.
a) Identifique na figura a região Ω cuja área é igual a |Ω| = A(x2)− A(x1).
b) Assumindo que f é crescente entre x1 e x2 (como na figura): mostre que |Ω| satisfaz (x2 −
x1)f(x1) ≤ |Ω| ≤ (x2 − x1)f(x2).
c) Mostre que
f(x1) ≤
|Ω|
x2 − x1
≤ f(x2) .
d) Agora fixe x1 e faça x2 se “mover” na direção de x1. Ou seja, calcule o limite da fração acima
quando x2 → x1. Lembre-se da continuidade de f(x) (hipótese).
e) Então, quanto vale a derivada A′(x1) ? E qual é uma primitiva de f(x) ?
5. Usando a idéia do exerćıcio anterior, calcule a área sob o gráfico da curva y = x2, acima de y = 0
e entre as verticais x = 0 e x = 3.
6. No exerćıcio acima, quanto obtemos para área se tomarmos entre as verticais x = 1 e x = 5 ?
7. Encontre a área da região A = {(x, y)/x, y ∈ R} delimitada pelas curvas abaixo e faça um esboço
de A:
a) y = x3 , x = 1 , x = 3 e y = 0 b) y =
√
x , x = 1 , x = 4 e y = 0
c) y = x3 − 4x , y = 0 e x ≥ 0 d) y = x2 e x = y3
e) y = x , xy = 1 e y = 2 f) y = x2 , y = x+ 2 e acima da reta y = 2x
Respostas:
1. a)S(f,Q∗
4
) = 5
8
b)S(g,Q∗
3
) = 0, 713.
2. a)P (x) = x6/6, int=665/6 b)P (x) = −1/x, int=1/2 c)P (x) = 3 3√x, int=3( 3
√
6 − 1)/ 3
√
2 d)P (x) = (x − 2)6/6,
int=-364/3 e)P (x) = − cos(x), int=(
√
3−
√
2)/2 f)P (x) = sen(3x+ 1)/3, int=(sen(64)− sen(31))/3.
3. a)2 b)0 c)4/9 d)8/3 e)3/4 f)16/3 g)3 3
√
2 − 3/2 h)13/10 i)7/8 j)19/24 k)
√
3/4 l)(e4 − 1)/2e2 m)π/4 n)π/6 o)ln(2)
p)1.
5. 9.
6. 41 1
3
.
7. a)20 b)14/3 c)4 d)5/12 e)3
2
− ln(2) f)19/6.