Colaborar - Aap3 - Análise Matemática

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Aap3 - Análise Matemática
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Informações Adicionais
Período: 21/03/2022 00:00 à 04/06/2022 23:59
Situação: Cadastrado
Protocolo: 712409107
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a)
b)
c)
d)
e)
1)
2)
Seja um conjunto . Dizemos que um ponto  é aderente a se for limite de alguma sequência cujos
termos pertencem todos a  . Assim, vemos que todo ponto de  é aderente a .
Considerando a definição de pontos aderentes apresentada, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
 
(I) A sequência  não possui pontos aderentes
PORQUE
(II) A sequência não é limitada.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.  Alternativa assinalada
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Se uma sequência converge para um certo limite, qualquer subsequência sua converge para esse mesmo limite. Quando
a sequência não converge, nem tende para  ou  , diz-se que ela é oscilante. Nesse caso, ela sempre terá várias
subsequências, cada uma tendendo para um limite diferente. Esses números são chamados valores de aderência da
sequência sob consideração.
 
(ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.)
 
Define-se também o fecho de um conjunto   como o conjunto    formado pelos pontos aderentes a  . Seja a sequência 
 definida por  . 
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a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
3)
4)
O conjunto  formado pelos pontos aderentes a  está corretamente expresso em
Alternativas:
  .
  .
  .  Alternativa assinalada
  .
  .
A topologia estuda noções de vizinhança e proximidade, abstraindo-as das operações aritméticas dos números reais. A
topologia na reta é um bom exemplo do que Polya chamava de “paradoxo da invenção”: um problema mais geral às vezes
torna-se mais fácil de resolver do que um problema particular. Quando usamos a linguagem da topologia para resolvermos
problemas relacionados a convergência de sequências e continuidade de funções, pagamos o preço de usar uma linguagem
abstrata demais, que em um primeiro momento pode comprometer a intuição, mas as demonstrações tornam-se muitas
vezes mais simples e elegantes. E ainda têm a vantagem de, futuramente, as mesmas demonstrações serem aplicadas em
problemas muito mais gerais (sobre espaços de dimensões maiores ou outros espaços topológicos).
 
(FA JARDO, Rogério Augusto dos Santos. Introdução à Análise Real. São Paulo: IME-USP, 2017. 128 p. Disponível em:
<https://www.ime.usp.br/~fajardo/Analise.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2019.)
 
Considerando os conceitos de vizinhança, conjuntos abertos, conjuntos fechados e pontos de acumulação estudados,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.
 
(   ) Todo intervalo aberto (a,b) é um conjunto aberto.
(   ) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
(   ) é aberto se, e somente se, seu complementar for aberto.
(   ) A união finita de conjuntos fechados não resulta em um conjunto fechado.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Alternativas:
F - F - V - V.
F - V - F - V.
V - F - V - F.
V - V - F - F.  Alternativa assinalada
V - F - F - V.
Em um curso de análise matemática foram apresentadas as seguintes definições de vizinhança perfurada e limite de
uma função:
 
a)
b)
c)
d)
e)
Dado , o intervalo é uma vizinhança de , chamada naturalmente de vizinhança simétrica de 
, ou vizinhança de . Às vezes interessa considerar uma vizinhança de , excluído o próprio ponto , a chamada
vizinhança perfurada, que será denotada por :
.
 
Dada uma função com domínio , seja um ponto de acumulação de , (que pode ou não pertencer a ). Diz-se que
um número é o limite de com tendendo a se, dado qualquer , existe um tal que:
.
 
Utilizando a notação de vizinhança perfurada, foram sugeridas outras três maneiras de se escrever a definição de limite:
 
I. .
II. .
III. .
Pode-se afirmar que a definição de limite está corretamente enunciada em
Alternativas:
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
II e III, apenas.  Alternativa assinalada
I, II e III.