colaborar - Aap3 - ANALISE MATEMATICA

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1)
Seja um conjunto . Dizemos que um ponto  é aderente a  se  for limite de alguma sequência cujos termos pertencem todos a . Assim, vemos que todo ponto de  é aderente a .
Considerando a definição de pontos aderentes apresentada, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
 
(I) A sequência  não possui pontos aderentes
PORQUE
(II) A sequência  não é limitada.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
· a)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.
Alternativa assinalada
· b)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
· c)
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
· d)
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
· e)
Ambas as asserções são proposições falsas.
2)
Se uma sequência converge para um certo limite, qualquer subsequência sua converge para esse mesmo limite. Quando a sequência não converge, nem tende para  ou  , diz-se que ela é oscilante. Nesse caso, ela sempre terá várias subsequências, cada uma tendendo para um limite diferente. Esses números são chamados valores de aderência da sequência sob consideração.
 
(ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.)
 
Define-se também o fecho de um conjunto  como o conjunto   formado pelos pontos aderentes a . Seja a sequência  definida por . 
O conjunto  formado pelos pontos aderentes a  está corretamente expresso em
Alternativas:
· a)
 .
· b)
 .
· c)
 .
Alternativa assinalada
· d)
 .
· e)
 .
3)
A topologia estuda noções de vizinhança e proximidade, abstraindo-as das operações aritméticas dos números reais. A topologia na reta é um bom exemplo do que Polya chamava de “paradoxo da invenção”: um problema mais geral às vezes torna-se mais fácil de resolver do que um problema particular. Quando usamos a linguagem da topologia para resolvermos problemas relacionados a convergência de sequências e continuidade de funções, pagamos o preço de usar uma linguagem abstrata demais, que em um primeiro momento pode comprometer a intuição, mas as demonstrações tornam-se muitas vezes mais simples e elegantes. E ainda têm a vantagem de, futuramente, as mesmas demonstrações serem aplicadas em problemas muito mais gerais (sobre espaços de dimensões maiores ou outros espaços topológicos).
 
(FAJARDO, Rogério Augusto dos Santos. Introdução à Análise Real. São Paulo: IME-USP, 2017. 128 p. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~fajardo/Analise.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2019.)
 
Considerando os conceitos de vizinhança, conjuntos abertos, conjuntos fechados e pontos de acumulação estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.
 
(   ) Todo intervalo aberto (a,b) é um conjunto aberto.
(   ) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
(   )  é aberto se, e somente se, seu complementar  for aberto.
(   ) A união finita de conjuntos fechados não resulta em um conjunto fechado.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Alternativas:
· a)
F - F - V - V.
· b)
F - V - F - V.
· c)
V - F - V - F.
· d)
V - V - F - F.
Alternativa assinalada
· e)
V - F - F - V.
4)
Em um curso de análise matemática foram apresentadas as seguintes definições de vizinhança perfurada e limite de uma função:
 
Dado , o intervalo  é uma vizinhança de , chamada naturalmente de vizinhança simétrica de , ou vizinhança  de . Às vezes interessa considerar uma vizinhança  de , excluído o próprio ponto , a chamada vizinhança perfurada, que será denotada por :
.
 
Dada uma função  com domínio , seja  um ponto de acumulação de , (que pode ou não pertencer a ). Diz-se que um número  é o limite de  com  tendendo a  se, dado qualquer , existe um  tal que:
.
 
Utilizando a notação de vizinhança perfurada, foram sugeridas outras três maneiras de se escrever a definição de limite:
 
I. .
II. .
III. .
Pode-se afirmar que a definição de limite está corretamente enunciada em
Alternativas:
· a)
I, apenas.
· b)
I e II, apenas.
· c)
I e III, apenas.
· d)
II e III, apenas.
Alternativa assinalada
· e)
I, II e III.
Respostas 
1- A
2- C
3- D
4- D