Colaborar - Aap3 - Análise Matemática

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30/03/2020 Colaborar - Aap3 - Análise Matemática
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Aap3 - Análise Matemática
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Informações Adicionais
Período: 30/03/2020 00:00 à 13/06/2020 23:59
Situação: Cadastrado
Protocolo: 485364592
a)
b)
c)
d)
e)
1)
2)
Seja um conjunto . Dizemos que um ponto  é aderente a se for limite de alguma
sequência cujos termos pertencem todos a  . Assim, vemos que todo ponto de  é aderente a .
Considerando a definição de pontos aderentes apresentada, avalie as seguintes asserções e a relação
proposta entre elas:
 
(I) A sequência  não possui pontos aderentes
PORQUE
(II) A sequência não é limitada.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
da primeira.
 Alternativa assinalada
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Se uma sequência converge para um certo limite, qualquer subsequência sua converge para esse
mesmo limite. Quando a sequência não converge, nem tende para   ou  , diz-se que ela é
oscilante. Nesse caso, ela sempre terá várias subsequências, cada uma tendendo para um limite diferente.
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a)
b)
c)
d)
e)
3)
Esses números são chamados valores de aderência da sequência sob consideração.
 
(ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.)
 
Define-se também o fecho de um conjunto   como o conjunto    formado pelos pontos aderentes a 
. Seja a sequência   definida por  . 
O conjunto  formado pelos pontos aderentes a  está corretamente expresso em
Alternativas:
  .
  .
  .  Alternativa assinalada
  .
  .
A topologia estuda noções de vizinhança e proximidade, abstraindo-as das operações aritméticas dos
números reais. A topologia na reta é um bom exemplo do que Polya chamava de “paradoxo da invenção”:
um problema mais geral às vezes torna-se mais fácil de resolver do que um problema particular. Quando
usamos a linguagem da topologia para resolvermos problemas relacionados a convergência de sequências
e continuidade de funções, pagamos o preço de usar uma linguagem abstrata demais, que em um primeiro
momento pode comprometer a intuição, mas as demonstrações tornam-se muitas vezes mais simples e
elegantes. E ainda têm a vantagem de, futuramente, as mesmas demonstrações serem aplicadas em
problemas muito mais gerais (sobre espaços de dimensões maiores ou outros espaços topológicos).
 
(FA JARDO, Rogério Augusto dos Santos. Introdução à Análise Real. São Paulo: IME-USP, 2017. 128 p.
Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~fajardo/Analise.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2019.)
 
Considerando os conceitos de vizinhança, conjuntos abertos, conjuntos fechados e pontos de acumulação
estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.
 
(   ) Todo intervalo aberto (a,b) é um conjunto aberto.
(   ) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
(   ) é aberto se, e somente se, seu complementar for aberto.
(   ) A união finita de conjuntos fechados não resulta em um conjunto fechado.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
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a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
4)
Alternativas:
F - F - V - V.
F - V - F - V.
V - F - V - F.
V - V - F - F.  Alternativa assinalada
V - F - F - V.
Em um curso de análise matemática foram apresentadas as seguintes definições de vizinhança
perfurada e limite de uma função:
 
Dado , o intervalo é uma vizinhança de , chamada naturalmente de
vizinhança simétrica de , ou vizinhança de . Às vezes interessa considerar uma vizinhança de ,
excluído o próprio ponto , a chamada vizinhança perfurada, que será denotada por :
.
 
Dada uma função com domínio , seja um ponto de acumulação de , (que pode ou não pertencer a 
). Diz-se que um número é o limite de com tendendo a se, dado qualquer , existe um 
 tal que:
.
 
Utilizando a notação de vizinhança perfurada, foram sugeridas outras três maneiras de se escrever a
definição de limite:
 
I. .
II. .
III. .
Pode-se afirmar que a definição de limite está corretamente enunciada em
Alternativas:
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
II e III, apenas.  Alternativa assinalada
I, II e III.
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