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02/11/2023, 20:14 Avaliação II - Individual about:blank 1/5 Prova Impressa GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:883781) Peso da Avaliação 1,50 Prova 72250816 Qtd. de Questões 10 Acertos/Erros 8/2 Nota 8,00 Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x) = 2x³ - 4x +2 no ponto (-1, 4): A y = 2x - 6. B y = 2x + 6. C y = -10x - 6. D y = -10x - 6. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Seja a derivada do produto entre f(x) = 2x² - 3 e g(x) = 2x - 1, analise as possibilidades: I) 12x² - 4x - 6. II) 12x² - 4x + 6. III) 12x² + 4x + 6. IV) 12x² + 4x - 6. Assinale a alternativa CORRETA: A Somente a opção I está correta. B Somente a opção IV está correta. C Somente a opção III está correta. D Somente a opção II está correta. A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global. VOLTAR A+ Alterar modo de visualização 1 2 3 02/11/2023, 20:14 Avaliação II - Individual about:blank 2/5 Assim sendo, seja a função f(t) = t3 + 3t2 - t, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada: A f'(t) = 6t + 6. B f'(t) = 3t2 + 6t - t. C f'(t) = 3t2 + 6. D f'(t) = 3t2 + 6t - 1. A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial. Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente. Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente. Analise cada uma das sentenças a seguir, classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função. ( ) A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um. ( ) A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função. ( ) A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A V - F - V - V B F - F - V - V C F - V - F - F D V - V - F - F Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - PauloClique para baixar o anexo da questão A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. 4 5 02/11/2023, 20:14 Avaliação II - Individual about:blank 3/5 Desta forma, sendo a função g(x) = 3x4 - 2x-2 + 4x, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função. A g''(x) = 36x2 - 12x-4 B g''(x) = 12x3 + 4x-3 + 4 C g''(x) = 12x3 - 4x-3 + 4 D g''(x) = 36x2 + 12x-4 O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada. Então, para a equação diferencial y' - 2y = 4 (ou seja, a derivada primeira subtraída com o dobro da própria função é igual a 4), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: A F - V - V - F. B V - V - F - F. C F - F - F - V. D V - F - V - F. A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3) e assinale a alternativa CORRETA: A g'(4) = 1/4. B g'(4) = 1/3. C g'(4) = 1/2. 6 7 02/11/2023, 20:14 Avaliação II - Individual about:blank 4/5 D g'(4) = 1/5. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. A partir disso, determine a derivada da função a seguir: f(x) = 2x² - x - 1. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A f '(x) = 4x - 1. B f '(x) = 4x³ - x² - 1. C f '(x) = 2x - 1. D f '(x) = 4x³ - 1. Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) y = cos(3x), implica em y' = -3·sin(3x). ( ) y = ln(2x²), implica em y' = 2/x. ( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²). ( ) y = (2 - x)³, implica em y' = 3·(2 - x)². Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A V - V - F - F B V - F - V - V. C F - F - V - V. D F - V - F - F. Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à função f(x) = 5x3 - 3x2 - 1, acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x = -1: I. -2 II. 9 III. 15 IV. 21Assinale a alternativa CORRETA: A Somente a opção I está correta. 8 9 10 02/11/2023, 20:14 Avaliação II - Individual about:blank 5/5 B Somente a opção IV está correta. C Somente a opção II está correta. D Somente a opção III está correta. Imprimir
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