Atividade 2 - UAM - Calculo aplicado a variavel

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Atividade 2 - UAM - Cálculo aplicado à variável.
1) Para derivar a função , é necessário conhecer a
derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto,
inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da
potência: soma, produto e quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que
indica qual o valor de
R: 13/24
2) Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada,
respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição
para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a
direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais.
Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no
entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é
contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s)
e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função é derivável em .
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em .
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
R: F, F, V, F
3) Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:
funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª
derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial
racional é uma função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as
ordens.
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e
assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para .
R:
4) Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique
que a função é uma composição da função seno com a função
polinomial elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se
inicialmente a derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a
função polinomial.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de
R: -⅛
5) Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que
são tabeladas, e também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para
derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função
exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a
alternativa que determine o valor de
R:
6) Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade
média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por
. A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser
vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função
velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo
, enquanto que a aceleração é a derivada da função
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações,
considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma
partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento
, em que t é medido em segundos.
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e
é igual a 40,0 m/s.
II. A velocidade instantânea quando é igual a .
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a .
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
R: II e IV, apenas.
7) Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável
dependente y não se apresenta explicitamente como A forma implícita
pode ser representada como , como, por exemplo, a função
Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a variável
dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente.
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a .
A seguir, assinale a alternativa correta.
R: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta
da I.
8) O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um
código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º
dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º
dígito: , em que , 4º dígito: , em que
Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
R: 2,1,1,4
9) Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras
operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou
mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para
derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas
fórmulas:
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
( )
( )
( )
( )
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a
sequência correta.
R: 2,3,1,4
10) Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial,
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso
de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da
regra prática de Ruffini para facilitar os cálculos.
Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que indique
qual é o resultado obtido para o limite.
R: 21/19