[RESUMO] Aula 03 - Lei de Gauss

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Atividade da Aula 03
Lei de Gauss
Discente: Bruno Antunes Ribeiro Cruz
Docente: Antonio Moreira de Cerqueira Sobrinho
Disciplina: FISD37 - Física Geral Teórica III
1. Introdução
2. Fluxo do Campo Elétrico
O fluxo ( ) é uma propriedade relativa a qualquer campo vetorial. É definidoΦ
como sendo o produto do campo pela área perpendicular ao campo. Assim,
podemos encontrá-lo a partir da seguinte relação abaixo e da imagem
representativa:
𝑑Φ = 𝐸 • 𝑛𝑑𝑆 = 𝐸 • 𝑑𝑆
Φ =
𝑠
∫ 𝐸 • 𝑑𝑆
(Superfície Fechada)Φ =
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆
mailto:bruno.antunes@ufba.br
mailto:moreira@ufba.br
Φ =
𝑠
∮ 𝐸𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠θ
Sendo o ângulo entre o campo e a área da superfície, podemos𝑐𝑜𝑠θ
observar três casos sobre o comportamento do fluxo:
● Elemento de área paralelo e de mesmo sentido do campo
Φ = ∫ 𝐸𝑑𝑆
● Elemento de área perpendicular ao sentido do campo
Φ = 0
● Elemento de área paralelo e oposto sentido do campo
Φ = − ∫ 𝐸𝑑𝑆
● Carga Positiva
𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (Φ > 0)
● Carga Negativa
𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (Φ < 0)
3. Lei de Gauss para o Campo Elétrico
Abaixo serão mostrados alguns casos onde podemos calcular o fluxo do
campo elétrico através de superfícies fechadas envolvendo uma carga puntiforme.
3.1. Para uma Superfície Esférica Concêntrica a Carga
Φ =
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸 = 𝑞
4 π ε
0
 𝑟2
𝑟
Φ =
𝑠
∮ 𝑞𝑑𝑆
4 π ε
0
 𝑟2
𝑐𝑜𝑠0º = 𝑞
4 π ε
0
 𝑟2 𝑠
∮ 𝑑𝑆 = 𝑞
4 π ε
0
 𝑟2
4π𝑟2
Sendo assim, podemos encontrar:
eΦ = 𝑞ε
𝑒
 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) Φ = −𝑞ε
𝑒
 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
3.2. Para uma Superfície Fechada Qualquer
Φ =
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑠
∮ 𝑞
4 π ε
0
 𝑟2
𝑟 • 𝑑𝑆 (𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 𝑒 θ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚)
Φ =
𝑠
∮ 𝑞𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠θ
4 π ε
0
 𝑟2
= 𝑞4 π ε
0 𝑠
∮ 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠θ
𝑟2
 (𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠θ = 4π)
Assim, podemos encontrar o fluxo através da relação:
Φ = 𝑞4 π ε
0
4π = 𝑞ε
0
3.3. Para N Cargas Puntiformes no Interior da Superfície Fechada
Φ =
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑠
∮(𝐸
1
+ 𝐸
2
+... 𝐸
𝑁
) • 𝑑𝑆
Φ =
𝑠
∮ 𝐸
1
• 𝑑𝑆 +
𝑠
∮ 𝐸
2
• 𝑑𝑆 +...
𝑠
∮ 𝐸
𝑁
• 𝑑𝑆
Φ =
𝑞
1
ε
0
+
𝑞
2
ε
0
+...
𝑞
𝑁
ε
0
Φ =
𝑖 = 1
𝑁
∑
𝑞
𝑖
ε
0
 (𝑆𝑜𝑚𝑎 𝐴𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎)
3.4. Para Cargas que não estão no Interior da Superfície
Nesse tipo de caso o fluxo é nulo. As cargas fora da superfície não
contribuem para o fluxo total, pois o fluxo que entra na superfície é igual ao fluxo
que sai. Assim, tem-se a Lei de Gauss para o campo elétrico:
Φ =
𝑖 = 1
𝑁
∑
𝑞
𝑖
ε
0
→
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
Onde:
é a soma algébrica de todas as cargas dentro da superfície𝑞
𝑖
é o campo resultante, produzido por todas as cargas, em um ponto da superfície𝐸
Se no lugar das N cargas discretas, tivermos um corpo carregado, teremos:
( )
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 = 1ε
0 𝑣𝑜𝑙
∫ ρ𝑑𝑉 𝑞
𝑖
= ∫ ρ𝑑𝑉
No caso de corpo carregado, utiliza-se a definição de densidade.
4. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
A partir dos conhecimentos até então obtidos, podemos pontuar algumas
coisas sobre a relação da Lei de Gauss e a Lei de Coulomb:
● A Lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico que atravessa uma
superfície fechada qualquer só depende da carga total dentro da
superfície e do meio envolvido;
● A Lei de Gauss diz que o campo varia com que é divergente se a
1
𝑟2
carga for positiva e convergente se a carga for negativa;
● A Lei de Gauss é uma consequência da Lei de Coulomb;
● A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb, na eletrostática, são ambas
válidas, e a sua aplicação está em saber qual delas permite o cálculo
mais simples para cada caso;
● A Lei de Gauss é obedecida por um conjunto maior de campos do que
os representados pelo campo eletrostático;
● Se o campo depende do tempo, a Lei de Gauss continua sendo válida,
enquanto a Lei de Coulomb não;
● A Lei de Gauss é uma das equações fundamentais da teoria, e não a
Lei de Coulomb, pois é mais geral e a Lei de Gauss contém a Lei de
Coulomb.
4.1. Exemplo da Relação
Abaixo será mostrado um exemplo de como, através da Lei de Gauss,
podemos chegar à Lei de Coulomb.
Dada uma carga puntiforme , podemos escolher uma superfície gaussiana𝑞
esférica de raio tal que:𝑟
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
𝑠
∮ 𝐸𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠0º = 𝑞ε
0
𝐸
𝑠
∮ 𝑑𝑆 = 𝑞ε
0
→ 𝐸4π𝑟2 = 𝑞ε
0
→ 𝐸 = 𝑞
4 π ε
0
 𝑟2
Se for colocada uma carga de prova em um ponto da superfície será possível𝑞
0
obter a força elétrica
𝐹 = 𝑞
𝑜
𝐸
5. Condutor Isolado
A Lei de Gauss pode ser utilizada para mostrar duas situações no equilíbrio
eletrostático:
● Qualquer excesso de carga no condutor está na superfície externa,
pois o campo elétrico no seu interior é nulo
● O campo próximo à superfície externa é perpendicular à superfície e é
igual a , onde é a densidade superficial local de carga𝐸 = σε
0
σ
Assim, podemos ver que o condutor de forma arbitrária carregado
positivamente, no equilíbrio eletrostático, terá toda a carga concentrada na
superfície e dentro do condutor.𝐸 = 0
A direção de fora do condutor é perpendicular à superfície e observa-se𝐸
que a partir do espaçamento dos sinais de mais que a densidade de carga da
superfície não é uniforme.
5.1. Qualquer excesso de carga no condutor está na superfície
externa, pois o campo elétrico no seu interior é nulo
Observando um condutor metálico isolado com carga tem-se que qualquer𝑞
carga introduzida no condutor dará origem a campos no interior. Os campos
gerados atuam sobre as cargas, movimentando-se até a condição de equilíbrio
eletrostático, que ocorre quando o campo se anula no seu interior. Caso o campo
seja nulo, o fluxo que atravessa a superfície gaussiana interna do condutor também
será nulo como podemos ver na equação abaixo:
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
 (𝑞
𝑖
= 0) → 𝐸 = 0
Sendo assim, não pode existir excesso de cargas dentro do condutor, as
cargas deverão estar, caso existam, na superfície do condutor.
5.2. O campo próximo à superfície externa é perpendicular à
superfície e é igual a , onde é a densidade superficial𝐸 = σε
0
σ
local de carga
Observando uma parte de uma superfície, pequena o suficiente para ser
aproximadamente plana, com densidade aproximadamente constante, constrói-seσ
sobre esta área uma superfície gaussiana cilíndrica, com bases paralelas à área.
Para o condutor em equilíbrio, na superfície o campo deve ser perpendicular, pois
caso contrário existiria uma componente paralela à superfície e as cargas se
deslocariam, como podemos observar na figura e expressões abaixo:
𝑠
∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
→
𝐵
1
∫ 𝐸 • 𝑑𝑆 +
𝐵
2
∫ 𝐸 • 𝑑𝑆 +
𝐿
∫ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
Como em o campo e em o campo , temos:𝐵
1
𝐸 = 0 𝐿 𝐸 ⊥ 𝑑𝑆
𝐵
2
∫ 𝐸 • 𝑑𝑆 =
𝑞
𝑖
ε
0
→ 𝐸𝐴 = σ𝐴ε
0
⇒ 𝐸 = σε
0
5.2.1. Gaiola de Faraday
Este foi um experimento realizado por Michael Faraday onde ele demonstrou
que uma superfície condutora eletrizada possui campo elétrico nulo em seu interior,
dado que as cargas se distribuem de forma homogênea na parte mais externa da
superfície condutora. Os fatos que foram estudados continuam válidos mesmo se o
condutor for oco.
Em 1836, Michael Faraday observou que a carga excedente em um condutor
carregado residia somente em seu exterior e não teve nenhuma influência em
qualquer coisa em seu interior. Para demonstrar esse fato, ele construiu uma sala
revestida com folha metálica e permitiu altas descargas de alta tensão de um
gerador eletrostático para atingir o exterior da sala. Ele usou um eletroscópio para
mostrar que não havia carga elétrica presente no interior das paredes da sala.
6. Aplicações da Lei de Gauss
Por definição, se aplica no cálculo do fluxo do campo elétrico. Aplicada
também na determinação do campo elétrico.
● Problemas onde a distribuição de cargas tenham uma certa simetria tal
que seja possível saber previamente a direção do campo em todos os
pontos do espaço e possa ser definida uma superfície fechada
(gaussiana) onde o módulo do campo elétrico na superfície seja
constante, a área da superfície fechadaseja determinada e o ângulo
entre e seja determinado.𝐸 𝑑𝑆