Exercícios Resolvidos da Disciplina Estruturas Em Concreto III

Prévia do material em texto

Universidade Estadual de Maringá 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Exercícios Resolvidos da Disciplina 
Estruturas Em Concreto III: Fundações” 
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maringá, Outubro de 2016. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 1) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata rígida abaixo. Desprezar a 
influência do peso próprio das abas da sapata, bem como, o peso próprio do solo sobre 
as abas. 
 
 
2,70
0,70
2,40 0,40
 
 
Dados: 
 
Nk = 3500 kN (Já incluso o peso próprio da sapata); 
Barras de arranque do pilar com barras de φ16 mm; 
Concreto C20 e Aço CA50; 
Comprimento básico de ancoragem = 44φ; 
Cobrimento = 4,0 cm; 
Bitola disponível = 16 mm; 
h = 70 cm; 
τ2d ≤ 0,15.fcd ; γf = 1,4 ; Adotar γn = 1,1 
 
Resolução 
 
• Determinação dos Dados Iniciais 
 
2
solo kN/cm0,054MPa0,54kPa5402,40.2,70
3500
σ ==== 
 



=−=
=−=
≤
m1,00,40)/22,40(c
m1,00,70)/22,70(c
c
b
a
i 
 





→==
==
≥
m0,25
(Adotado)m0,70m0,67.100
3
2
c
3
2
m0,56160,8.44.0,00,8.l
h i
b
 
 




==≥ m0,25
3
0,70
3
h
m0,20
ho 
 
m0,650,016/2 - 0,040,70/2 - chd ≅−=−= φ 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Verificação ao Cisalhamento na Seção S2a 
 
m1,501,5.1,001,5.cm65,00,016/2 - 50,070,0/2-chd a1a ==<=−=−= φ 
m1,501,5.1,001,5.cm63,00,016/2 -0,016 - 50,070,0/2--chd b1b ==<=−=−= φφ 
m675,0
2
0,65
-1,00
2
d
cc 1aa2a ==−= 
m55,0
1,00
0,675
25).,0(0,7025,0
c
c
).h(hhh
a
2a
oo2a =−+=−+=
m1,011,5.0,6751,5.cm50,050,055,0chd 2a2a2a ==<=−=−= 
m 1,050,63 40,0dbb 1bp2a =+=+= 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
22
2a
2a
2a 11600m1,16.0,6752
2,401,05
.c
2
bb
A cm==+=+= 
 
kN626411600.0,05.σAV solo2a2a === 
 
2
cdud
2
2a2a
2anf
2d kN/cm0,2141,4
2,0
0,15.0,15.fτkN/cm200,
105.50
61,4.1,1.62
.db
V.
===<===
γγτ 
 
* Observar que a verificação à força cortante foi apenas feita na seção mais crítica. A outra 
seção é menos crítica porque b2b é maior do que b2a, o que levaria a uma tensão mais reduzida. 
 
• Dimensionamento à Flexão na Seção S1a 
 
 
 
 
kN.m791,2
2
1,105
2,40.540.
2
)0,15.a(c
.b.σM
22
pa
solo1a ==
+
= 
 
/mcm7,0700,001.100..h0,001.bA 211mins, === 
 
2
yd1
d,1anf
sa cm58,683,480,8.0,65.4
1,2.1,1.1,4.79
.f0,8.d
.M.
A ===
γγ
 
 
cmc/8mm16/mcm22,45
40,2
68,58
b
A
a 2sasa φ→=== 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
kN.m819
2
1,06
2,70.540.
2
0,15.b)(c
.a.σM
22
b
solo1b ==
+
= 
/mcm7,0700,001.100..h0,001.bA 211mins, === 
 
2
yd1
d,1bnf
sb cm56,573,480,8.0,63.4
91,4.1,1.81
.f0,8.d
.M.
A ===
γγ
 
 
cmc/9mm16/mcm 21,32
70,2
56,57
a
A
a 2sbsb φ→=== 
 
 
 
 
 
Observação: De acordo com o item 22.1 da NBR6118, tendo em vista a responsabilidade de 
elementos especiais, tais como sapatas, blocos de fundação, consolos, dentes gerber e vigas-
parede, deve-se majorar as solicitações de cálculo por um coeficiente adicional γn = 1,1. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 2) Dimensionar um bloco de fundação (fundação rasa) para suportar uma 
carga característica centrada de 1700 kN aplicada por um pilar de 35 x 60 cm. 
Desprezar o peso próprio do bloco, utilizar concreto C20 e tensão admissível do solo 
(σadm) igual a 0,4 MPa. 
 
Resolução 
 
• Dimensionamento da Base 
 
De acordo com a NBR6118, item 24.6.2, a área da base de blocos de fundação deve ser 
determinada a partir da tensão admissível do solo para cargas não majoradas e a espessura 
média do bloco não deve ser menor do que 20 cm. Conforme o item 6.4.1 da NBR6122, a 
base do bloco não deve ter dimensão em planta inferior a 60 cm. Adicionalmente, o item 
6.3.1.1 da NBR6122 recomenda que a área de fundação solicitada por cargas centradas deve 
ser tal que que a pressão distribuída ao terreno, admitida uniformemente distribuída, seja 
menor ou igual a pressão admissível. Dessa maneira, tem-se que: 
 
mx 10,210,2m4,25
400
1700
σ
P
A 2
s
k →=== 
 
• Dimensionamento do Bloco 
 
Para o dimensionamento do bloco deve-se utilizar o item 6.3.2.2 da NBR6122, conforme a 
seguir: 
 
6.3.2.2)MPa(Item0,8MPa0,760,7)200,4.(0,06.0,4.fσ tkct ≤=+== 
MPa)18f(p/a0,70,06.ff ckcktk >+= 






+= 1
σ
σ
β)(arctg
ct
adm 
o76,56526,11
0,76
0,40
)( arctg =→=+= ββ 
m2,10b
m2,10a
=
=
 
m0,35b
m0,60a
o
o
=
=
 
m1,14)tg(56,76
2
0,60-2,10
tgβ
2
aa
h oo ==
−
= 
m1,33)tg(56,76
2
0,35-2,10
tgβ
2
bb
h oo ==
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Dimensão Final do Bloco 
 
Logo o bloco deverá apresentar dimensões em planta de 2,10 x 2,10 m e altura de 1,35 m. 
Além disso, o bloco poderá ser escalonado, de maneira a economizar concreto, conforme 
ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 3) Calcular e detalhar as armaduras de um bloco sobre uma estaca sendo 
conhecidos os seguintes dados: 
 
Pk = 60 kN 
φestaca = 25 cm 
Concreto C20 
Aço CA50 
Embutimento = 5,0 cm 
Pilar de 15 x 25 
Arranque do pilar com φ = 10 mm 
Cobrimento = 3,0 cm 
 
Resolução 
 
• Largura e comprimento do bloco: 
 
cm55B
cm452.15152.15b
55cm2.15252.15
B
pilar
estaca =→



=+=+
=+=+
≥
φ
 
 
cm55L
cm552.15252.15h
55cm2.15252.15
L
pilar
estaca =→



=+=+
=+=+
≥
φ
 
 
• Determinação da altura do bloco 
 
 
cm55H
cm260,6.430,6.l
cm30
cm301,2.251,2.
H
b
estaca
=→





≈≈
==
≥
φ
φ
 
 
• Distância do centro da estaca à face do bloco: 
 
cm27,515
2
u estaca =+≥
φ
 
 
• Determinação das armaduras do bloco: 
 
yd
okf.n
sa f
1
a
aa
3,3
P.γγ
A 




 −= 
2
sa cm0,3843,48
1
55
2555
3,3
1,2.1,4.60
A =




 −= (Armadura total na direção paralela à direção a) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
yd
okf.n
sb f
1
b
bb
3,3
P.γγ
A 




 −= 
2
sa cm0,5143,48
1
55
1555
3,3
1,2.1,4.60
A =




 −= (Armadura total na direção paralela à direção b) 
 
Adotando-se Asa = Asb = 0,51 cm2 como sendo a armadura total nas duas direções pode-se 
otimizar a armação do bloco. Distribuindo-se a armadura por face que é igual a 0,51/2 = 0,25 
cm2 ao longo da altura do bloco, tem-se: 
 
As,face = 0,25 cm2/0,30 cm = 0,85 cm2/m < As,min = 1,5 cm2/m 
 
Dessa maneira, o bloco será armado com armadura mínima de 1,5 cm2/m, tanto na direção 
horizontal quanto na direção vertical, o que leva à seguinte armação: 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 4) Calcular e detalhar as armaduras de um bloco sobre duas estacas sendo 
conhecidos os seguintes dados: 
 
Pk = 400 kN 
φestaca = 25 cm 
Concreto C20 
Aço CA50 
Embutimento = 5,0 cm 
Pilar de 20 x 40 
Arranque do pilar com φ = 10 mm 
Cobrimento = 3,5 cm 
e = 3,0.φestaca 
 
Resolução 
 
• Largura e comprimento do bloco: 
 
cm55B
cm452.15152.15b
55cm2.15252.15
B
pilar
estaca =→



=+=+
=+=+
≥
φ
 
 
cm130L
cm1302.152525.32.15e
cm552.15252.15
L
estaca
estaca =→



=++=++
=+=+
≥
φ
φ
 
 
• Determinação da altura útil do bloco 
 
 





≈≈
==
≥
cm260,6.430,6.l
cm30
cm301,2.251,2.H
b
estaca
φ
φ
 
 
cm39d5,27
2
40
750,71.d
2
40
750,5.
2
a
e0,71.d
2
a
e0,5.
≤≤





 −≤≤




 −





 −≤≤




 −
cm
 
 
Será adotado d = 30 cm, logo H = 35 cm 
 
• Distância do centro da estaca à face do bloco: 
 
cm27,515
2
u estaca =+≥
φ
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Ângulo de inclinação das escoras: 
 
o
ae
d
tg 48,4709,1
4
40
2
75
30
42
=→=
−
=
−
= θθ 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto ao pilar: 
 
ok!kN/cm2,01,0.2,0σkN/cm1,53
47,4820.40.sen
01,2.1,4.40
σ
1,0.fσ
θ.senA
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
2pilarcd,
ckmaxcd,2
pilar
kfn
pilarcd,
→==≤==
=≤=
 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto às estacas: 
 
ok!kN/cm2,01,0.2,0σkN/cm1,26
47,48.sen52.3,14.12,
01,2.1,4.40
σ
1,0.fσ
θ.sen2.A
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
22estacacd,
ckmaxcd,2
estaca
kfn
estacacd,
→==≤==
=≤=
 
 
• Determinação da armadura principal do bloco: 
 
kN183,33
8.30
40)400.(2.75
8d
a)(2.eP
Z kk =
−=
−
= 
16mm)(4cm7,08
43,48
3,331,2.1,4.18
f
.Z.γγ
A 2
yd
kfn
s φ=== 
 
• Armaduras complementares do bloco: 
 



==
≥
/mcm1,270,550,10.7,08/)/B(0,10.A
/mcm1,5
A
2
s
2
topos, 
5mm5cm 0,8251,5.0,55./mcm1,5A 22topos, φ==== B 
 
 



==
≥
/mcm2,52/0,350,125.7,08)/H(0,125.A
/mcm1,5
(face)A
2
s
2
laterals, 
6,3mm4cm 0,882,52.0,35/m.Hcm2,52(face)A 22laterals, φ==== 
 
 
/mcm1,5(face)A 2verticals, ≥ 
mmcm 51195,11,5.1,30 /m.Lcm1,5(face)A 22verticals, φ==== 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 5) Calcular e detalhar as armaduras de um bloco sobre três estacas sendo 
conhecidos os seguintes dados: 
 
Pk = 900 kN 
φestaca = 32 cm 
Concreto C20 
Aço CA50 
Embutimento = 5,0 cm 
Pilar de 20 x 60 
Arranque do pilar com φ = 10 mm 
Cobrimento = 3,5 cm 
e = 3,0.φestaca = 100 cm 
 
Resolução 
 
• Dimensão equivalente do pilar: 
 
cm30a
cm901,5.601,5.a
cm301,5.201,5.a
cm63,246020aa
a
y
x
222
y
2
x
=→






==
==
=+=+
≤ 
 
• Largura e comprimento do bloco: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
• Determinação da altura útil do bloco 
 
 





≈≈
==
≥
cm260,6.430,6.l
cm30
cm 38,41,2.321,2.
H
b
estaca
φ
φ
 
 
cm70,12d30,49
2
30
1000,825.d
2
30
1000,58.
2
a
e0,825.d
2
a
e0,58.
≤≤





 −≤≤




 −





 −≤≤




 −
cm
 
 
Será adotado d = 65 cm, logo H = 70 cm 
 
 
• Distância do centro da estaca à face do bloco: 
 
cm1315
2
u estaca =+≥
φ
 
 
• Ângulo de inclinação das escoras: 
 
otg 13,5333,1
0,3.30
3
3100.
65
0,3a
3
3e
d =→=
−
=
−
= θθ 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto ao pilar: 
 
ok!kN/cm2,51,25.2,0σkN/cm1,96
53,1320.40.sen
01,2.1,4.90
σ
1,25.fσ
θ.senA
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
2pilarcd,
ckmaxcd,2
pilar
kfn
pilarcd,
→==≤==
=≤=
 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto às estacas: 
 
ok!kN/cm2,01,0.2,0σkN/cm0,97
53,13.sen2.3,14.16
01,2.1,4.90
σ
1,25.fσ
θ.sen2.A
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
22estacacd,
ckmaxcd,2
estaca
kfn
estacacd,
→==≤==
=≤=
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
• Determinação da armadura principal do bloco: 
 
kN130,76
2
30
100
9.65
900
29d
P
Z kk =




 −=




 −= ae 
16mm)(3cm5,05
43,48
0,761,2.1,4.13
f
.Z.γγ
A 2
yd
kfn
s φ=== 
 
• Armaduras complementares do bloco: 
 





==≥ 2.n
2
bases, cm02,2
48,43
76,130.2.4,1.2,10,20..2.0,20.
/mcm1,5
A
yd
kf
f
Zγγ 
c/20mm6,3cm2,43m/m.1,62cm1,5A 22bases, φ=== cm 
 
Observação: Para controlar a fissuração, deve ser prevista armadura positiva adicional, 
independente da armadura principal de flexão, em malha uniformemente distribuída em 
duas direções para 20% dos esforços totais. 
 
 



==
≥
/mcm0,311,620,10.5,05/)/B(0,10.A
/mcm1,5
A
2
s
2
topos, 
c/20mm6,3cm2,43m/m.1,62cm1,5A 22topos, φ=== cm 
 
 



==
≥
/mcm44,0/0,700,125.5,05)/H(0,125.A
/mcm1,5
(face)A
2
s
2
laterals, 
c/20mm6,3cm 1,05.0,7050,1/m.Hcm5,1(face)A 22laterals, φ==== cm 
 
 
c/20mm6,3/mcm1,5(face)A 2verticals, φ=≥ cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 6) Calcular e detalhar as armaduras de um bloco sobre quatro estacas sendo 
conhecidos os seguintes dados: 
 
Pk = 1480 kN 
φestaca = 38 cm 
Concreto C20 
Aço CA50 
Embutimento = 5,0 cm 
Pilar de 20 x 80 
Arranque do pilar com φ = 10 mm 
Cobrimento = 3,5 cm 
e = 120 cm 
 
Resolução 
 
• Dimensão equivalente do pilar: 
 
cm30a
cm1201,5.801,5.a
cm301,5.201,5.a
cm82,468020aa
a
y
x
222
y
2
x
=→






==
==
=+=+
≤ 
 
• Largura e comprimento do bloco: 
 
cm190Bcm1882.15381202.15eB estaca =→=++=++≥ φ 
cm190Lcm1882.15381202.15eL estaca =→=++=++≥ φ 
 
• Determinação da altura útil do bloco 
 





≈≈
==
≥
cm260,6.430,6.l
cm30
cm 45,61,2.381,2.
H
b
estaca
φ
φ
 
 
cm105d55,74
2
30
120d
2
30
1200,71.
2
a
ed
2
a
e0,71.
≤≤





 −≤≤




 −





 −≤≤




 −
cm
 
 
Será adotado d = 95 cm, logo H = 100 cm 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Distância do centro da estaca à face do bloco: 
 
cm4315
2
u estaca =+≥
φ
 
 
• Ângulo de inclinação das escoras: 
 
otg 99,5127,1
4
230
2
2120
95
4
2a
2
2e
d =→=
−
=
−
= θθ 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto ao pilar: 
 
ok!kN/cm3,01,5.2,0σkN/cm2,50
51,9920.60.sen
801,2.1,4.14
σ
1,50.fσ
θ.senA
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
2pilarcd,
ckmaxcd,2
pilar
kfn
pilarcd,
→==≤==
=≤=
 
 
• Verificação das tensões nas escoras junto às estacas: 
 
ok!kN/cm3,01,5.2,0σkN/cm0,88
51,99.sen2.3,14.19
8001,2.1,4.14
σ
1,25.fσ
θ.sen2.A
.P.γγ
σ
2
maxcd,
2
22estacacd,
ckmaxcd,2
estaca
kfn
estacacd,
→==≤==
=≤=
 
 
 
• Determinação da armadura principal do bloco: 
 
kN47,042
2
30
120
8.95
1480
28d
P
Z kk =




 −=




 −= ae 
16mm)(4cm7,90
43,48
4,471,2.1,4.20
f
.Z.γγ
A 2
yd
kfn
s φ=== 
 
• Armaduras complementares do bloco: 
 





=≥ 2
yd
kfn
2
bases, cm16,3
f
.2.Z.γγ
.20,0
/mcm1,5
A 
c/15mm6,3/cm1,66m/1,90cm16,3A 22bases, φ=== m cm 
 
Observação: Para controlar a fissuração, deve ser prevista armadura positiva adicional, 
independente da armadura principal de flexão, em malha uniformemente distribuída em 
duas direções para 20% dos esforços totais. 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 



==
≥
/mcm0,411,900,10.7,90/)/B(0,10.A
/mcm1,5
A
2
s
2
topos, 
cmc/20mm6,3cm2,85m/m.1,90cm1,5A 22topos, φ=== 
 
 



==
≥
/mcm98,0/1,000,125.7,90)/H(0,125.A
/mcm1,5
(face)A
2
s
2
laterals, 
c/20mm6,3cm 1,50.1,0050,1/m.Hcm5,1(face)A 22laterals, φ==== 
 
 
c/20mm6,3/mcm1,5(face)A 2verticals, φ=≥ cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 7) Dimensionar um tubulão de base circular para um pilar de 30 x 30 cm, 
sujeito a uma carga característica de 1200 kN. Adotar concreto C20 e tensão admissível 
(σadm) no solo igual a 0,6 MPa. 
 
Resolução 
 
• Diâmetroda Base 
 
m1,90m1,89
3,14.600
4.1,4.1200
σ π.
4.P
D
s
d →=== 
 
• Diâmetro do Fuste 
 
Deve-se observar que o diâmetro do fuste não deve ser inferior a 80 cm, objetivando a 
facilidade de operação de escavação do tubulão. O dimensionamento é feito conforme o item 
7.8.18 da NBR6122: 
 
2
ck
k
f cm15782,0
2,63.1200
f
2,63.P
A === 
π
4.A
4
π.
A ffuste
fuste
f =→= φ
φ
 
)cm(Adotado80cm44,83
14,3
1578.4
π
4.A f
fuste →===φ 
 
• Altura da Base 
 
Conforme o item 7.8.17.1 da NBR6122, não deve ser adotada altura da base superior a 2,0 m. 
Dessa maneira, tendo-se em vista a utilização de tubulão sobre base circular, tem-se: 
 
m2,0m1,0Hm0,9530,80)00,866.(1,9)0,866.(DH fuste <=→=−=−= φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 8) Dimensionar um tubulão em falsa elipse para um pilar de 30 x 30 cm, 
sujeito a uma carga característica de 1200 kN. O pilar encontra-se próximo à divisa, 
com afastamento de 63 cm em relação ao seu centro geométrico. Adotar concreto C20 e 
tensão admissível (σadm) no solo igual a 0,6 MPa. 
 
Resolução 
 
• Diâmetro do Fuste 
 
Deve-se observar que o diâmetro do fuste não deve ser inferior a 80 cm, objetivando a 
facilidade de operação de escavação do tubulão. O dimensionamento é feito conforme o item 
7.8.18 da NBR6122: 
 
2
ck
k
f cm15782,0
2,63.1200
f
2,63.P
A === 
π
4.A
4
π.
A ffuste
fuste
f =→= φ
φ
 
)cm(Adotado80cm44,83
14,3
1578.4
π
4.A f
fuste →===φ 
 
• Base do Tubulão 
 
Tendo-se em vista que a base do tubulão é em falsa elipse e considerando que o pilar tem a 
sua face afastada da divisa de 47,5 cm, a base terá suas dimensões limitadas pelas condições 
de divisa. Como não é necessário colocação de fôrmas, visto que a base do tubulão é 
concretada contra o próprio solo, não é necessário deixar folga de 2,5 cm para a base. Dessa 
maneira, a dimensão b pode ser tomada como sendo igual a 63 x 2 = 126 cm (Adotado 130 
cm) e a dimensão x será igual a: 
 
s
k
2
σ 
P
b.x
4
π.b =+ 
m0,55xm0,51x
600 
1200
1,30.x
4
π.1,302 =→=→=+ 
m1,851,300,55bxa =+=+= 
Ok!2,51,421,85/1,30a/b →<== 
 
 
 
 
b = 1,30 m 
x = 0,55 m 
a = 1,85 m 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Altura da Base do Tubulão 
 
Conforme o item 7.8.17.1 da NBR6122, não deve ser adotada altura da base superior a 2,0 m. 
Dessa maneira, tendo-se em vista a utilização de tubulão sobre base circular, tem-se: 
 
m2,0m0,90Hm0,900,80)50,866.(1,8)0,866.(aH fuste <=→=−=−= φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 9) Para os pilares abaixo, projetar a fundação em blocos sobre estacas do tipo 
Strauss com diâmetro de 32 cm (e = 120 cm, capacidade de 300 kN), bem como, 
dimensionar a viga-alavanca de maneira solucionar o problema. 
 
 
 
Resolução 
 
• Esquema Estrutural 
 
No projeto de fundações por estacas, quando se tem pilar situado junto à divisa do terreno, a 
excentricidade resultante exige o emprego de viga-alavanca ou de equilíbrio. Na divisa, até 
um número de quatro, as estacas são colocadas alinhadas, para que se tenha a menor 
excentricidade possível. É importante lembrar que o centro de gravidade das estacas deve 
estar sobre o eixo da viga-alavanca. A viga-alavanca é normalmente feita com seção variável 
e o dimensionamento é feito a partir dos diagramas de esforços. Para o caso em estudo, tem-se 
o seguinte esquema estrutural, tendo-se em vista que o afastamento uma estaca Strauss de 32 
cm em relação à divisa é igual a 20 cm: 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Cálculo das Reações nas Estacas 
 
kN1300RR
900 400RR
PPRR
0F
21
21
2121
y
=+
+=+
+=+
=∑
 
 
kN898,387401,6131300R kN401,613R
400.5,622620.R
P.5,622620.R
horário) sentido ,( 0M
21
1
11
R2
=−=∴=
=
=
+=∑
 
 
• Número de Estacas por Pilar 
 
estacas21,33
300
401,613
P
P
neP1Pilar
adm
k →===→ 
estacas32,99
300
898,387
P
P
neP2Pilar
adm
k →===→ 
 
Observar que o número de estacas é sempre calculado em função das cargas características. 
 
• Diagrama de Esforços da Viga-Alavanca 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
Com base nos esforços apresentados acima, pode-se dimensionar as armaduras longitudinais e 
tranversais da viga-alavanca: 
 
cm360,9.hd == 
cm9,3240,259.dx 23 == 
cm25,120,628.dx 34 == 








−−=
cd
2
w
d
.f.d0,425.b
M
111,25.d.x 
2Dominioxcm1,355
1,4
2,0
.60,425.30.3
1,4.100.10
111,25.36.x 23
2
→<=












−−= 
2
yd
d
s cm0,9080,4.1,355)43,48.(36
1,4.100.10
0,4.x)(df
M
A =
−
=
−
= 
mm103cm1,80.h0,15%.bA 2wmins, φ→== 
 
Observação: Como sugestão, sugere-se o cálculo da armadura transversal da viga-alavanca 
utilizando os modelos disponíveis na NBR6118. 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 10) Dimensionar e detalhar as armaduras do muro de arrimo à flexão em 
concreto armado apresentado abaixo, sendo conhecidos os seguintes dados: 
 
Dados: 
γsolo = 18 kN/m3; 
σadm = 100 kN/m2 ; 
φ = 30o; 
c = 25 kN/m2 (coesão); 
Concreto C20; 
Aço CA50A; 
Cobrimento = 2,5 cm. 
 
Resolução 
 
• Carregamentos Atuantes 
 
222
soloa kN/m1830/2)(4518.3.tg/2)(45.h.tgP =−=−= φγ 
kN/m10,690,15),025.0,15.(3)h.(h25.hG bpp =−=−= 
kN/m5,625025.0,15.1,.B25.hG bb === 
kN/m43,600,15).18-).(3,015,05,05,1().h).(hhb-(BG solobp1s =−−=−−= γ 
kN/m27,00
2
3
.18
2
h
.PE as === 
kN/m59,9169,1062,56,43GGGN pbsk =++=++= 
kN/m14,7325,0.6,430,1.27175,0.69,10325,0.G0,1.E175,0.GM sspk =−+=++= 
m52,0
6
B
m0,245
91,59
7,14
N
M
 e
k
k =<=== 
(Pequena excentricidade, toda base será comprimida) 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
• Tensões Normais Atuantes na Base do Muro 
 
Quando e ≤ B/6 tem-se: 
 
2k
a kN/m79,081,5
6.0,245
1
1,5
59,91
B
6.e
1
B
N
 σ =




 +=


 += 
2k
b kN/m0,801,5
6.0,245
1
1,5
59,91
B
6.e
1
B
N
 σ =




 −=


 −= 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
E, deve-se verificar: 
 
adm
k
c B
3.e
1
B
N
 σ σ≤


 += 
2
adm
2k
c kN/m100σkN/m59,511,5
3.0,245
1
1,5
59,91
B
3.e
1
B
N
 σ =≤=




 +=


 += 
 
• Verificação da Estabilidade Global (Tombamento) 
 
M t = Momento de tombamento (calculado em relação ao ponto A) 
M t = Es.1,0 = 27,0⋅1,0 = 27 kN.m/m 
 
Mest = Momento estabilizante (calculado em relação ao ponto A) 
Mest = Gp (b1 + hp/2) + Gs [B - (B - b1 - hp)/2] + Gb.B/2 
Mest = 10,69⋅(0,5 + 0,15/2) + 43,6⋅[1,5 - (1,5 - 0,5 - 0,15)/2] + 5,62⋅1,5/2 
Mest = 57,23 kN.m/m 
 
FS = Fator de segurança = Mest / Mt = 57,23 / 27,0 = 2,12 ≥ 1,5 (Atendido). 
 
• Verificação da Estabilidade Global (Escorregamento) 
 
 
 
Hest = Força horizontal estabilizante 
Hest = Nk⋅tg(2/3.φ) + (2/3).B⋅c (Válido para solos coesivos ou argilosos) 
Hest = Nk⋅tg(2/3.φ) (Válido para solos granulares ou arenosos) 
 
Hest = Nk⋅tg(2/3.φ) + (2/3).B⋅c 
Hest = 59,91⋅tg(2/3. 30o) + (2/3).1,5⋅25 = 46,8 kN/m 
 
FS = Fator de segurança = Hest / Es = 46,8 / 27,0 = 1,73 > 1,5 (Atendido). 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Dimensionamento da Armadura de Flexão 
 
 
 
• Dimensionamento da Seção 1-2 
 
kN.m/m23,15
3
2,85
.
2
17,1.2,85m == 
o)(Compressã kN/m10,69Gn p == 
 
m16,2
69,10
15,23
n
m
e === 
 
Trata-se de um caso de flexo-compressão com grande excentricidade, uma vez que a força 
normal encontra-se fora da seção, cuja largura é de 15 cm. Nestes casos pode-se, em geral, 
deprezar a força normal no dimensionamento da seção. No entanto, no presente 
dimensionamento, esse caminho não será escolhido, adotando-se o cálculo correto das 
armaduras, conforme a seguir: 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
cm 121,0/2-2,5-15/2-c-hd === φ 
cm3,100,259.120,259.dx 23 === 
cm7,530,628.120,628.dx 34 === 
kN.m/m23,630,01/2)0,0255/210,69.(0,123,15/2)cn.(h/2mms =−−+=−−+= φ 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,0/1,4121000,425
23,63.1001,4
1112.1,25
f0,425bd
m
111,25dx
2
cd
2
sd = 3,17 cm 
=⋅−
⋅−
⋅=−
−
=
43,48
10,691,4
3,17)0,443,48(12
23,63.1001,4
f
n
0,4x)(df
m
A
yd
d
yd
sd
s 6,74 cm
2/m (φ10c/10 cm) 
 
• Dimensionamento da Seção 2-4 
 
kN.m/m14,26
3
85,0
.
2
85,0).8,016,45(
2
85,0
).8,075,33,51(m
2
=−−−+= 
(Tração) kN/m12,67
2
15,0
).181,17(85,0.81n =+−= 
 
m125,1
67,12
26,14
n
m
e === 
 
Trata-se de um caso de flexo-tração com grande excentricidade, uma vez que a força normal 
encontra-se fora da seção, cuja largura é de apenas 15 cm. Nestes casos pode-se, em geral, 
deprezar a força normal no dimensionamento da seção. No entanto, no presente 
dimensionamento, esse caminho não será escolhido, adotando-se o cálculo correto das 
armaduras, conforme a seguir: 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
cm 121,0/2-2,5-15/2-c-hd === φ 
cm3,100,259.120,259.dx 23 === 
cm7,530,628.120,628.dx 34 === 
kN.m/m13,680,01/2)0,0255/212,67.(0,114,26/2)cn.(h/2mms =−−−=−−−= φ 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,0/1,4121000,425
13,68.1001,4
1112.1,25
f0,425bd
m
111,25dx
2
cd
2
sd = 1,74 cm 
=⋅+
⋅−
⋅=+
−
=
43,48
12,671,4
1,74)0,443,48(12
13,68.1001,4
f
n
0,4x)(df
m
A
yd
d
yd
sd
s 4,30 cm
2/m (φ8 c/10 cm) 
 
• Dimensionamento da Seção 1-3 
 
kN.m/m8,3350,0.
3
2
.
2
50,0).99,5280,79(
2
5,0).75,399,52(
m
2
=−+−= 
 
o)(Compressã kN/m9,050,0.81n == 
 
m926,0
0,9
33,8
n
m
e === 
 
Trata-se de um caso de flexo-compressão com grande excentricidade, uma vez que a força 
normal encontra-se fora da seção, cuja largura é de 15 cm. Nestes casos pode-se, em geral, 
deprezar a força normal no dimensionamento da seção. No entanto, no presente 
dimensionamento, esse caminho não será escolhido, adotando-se o cálculo correto das 
armaduras, conforme a seguir: 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
cm 121,0/2-2,5-15/2-c-hd === φ 
cm3,100,259.120,259.dx 23 === 
cm7,530,628.120,628.dx 34 === 
kN.m/m8,730,01/2)0,025/29,00.(0,158,33/2)cn.(h/2mms =−−+=−−+= φ 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,0/1,4121000,425
8,73.1001,4
1112.1,25
f0,425bd
m
111,25dx
2
cd
2
sd = 1,08 cm 
=⋅−
⋅−
⋅=−
−
=
43,48
9,01,4
1,08)0,443,48(12
8,73.1001,4
f
n
0,4x)(df
m
A
yd
d
yd
sd
s 2,14 cm
2/m (φ8c/20 cm) 
 
 
• Malha de Armadura Superficial Mínima 
 
As,malha = 0,10%.b.h = 0,0010⋅100⋅15 = 1,5 cm2/m (φ6,3 c/20 cm) 
 
 
• Verificação ao Cisalhamento (Seção 2-4) 
 
kN24,36kN/m.1,0m24,36
2
17,1.2,85
Vk === 
 
kN10,341,4.24,36.VV kd === fγ 
 
.d.b.f0,27.αV wcdv2Rd2 = 
 
92,0
250
20
1
250
f
-1α ckv2 =




 −=




= 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
kN426,2521,43.100.10,27.0,92.VRd2 == 
 
(Atendido) kN34,10VkN426,25V dRd2 =>= 
 
.d.b0,6.fVV wctdcoc == 
 
MPa1,10
1,4
0,7.0,3.f0,7.f
f
2/3
ck
c
ctm
ctd === γ
 
 
kN10,34VkN79,9200.120,6.0,11.1V dc =>== 
 
Logo, não são necessários estribos no muro de arrimo, uma vez que o concreto por si só é 
capaz de absorver as tensões de cisalhamento. 
 
• Detalhamento das Armaduras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 11) Dimensionar as armaduras da viga-parede apresentada abaixo, sabendo-se 
que será utilizado concreto C30 e aço CA50. Adotar cobrimento das armaduras igual a 
2,5 cm e considerar que no carregamento apresentado já está embutido o peso próprio 
da estrutura. 
 
Resolução 
 
No presente problema será utilizada uma formulação simplificada, tendo-se em vista as 
pequenas dimensões da estrutura. Primeiramente, procede-se ao cálculo do vão teórico e da 
altura efetiva, visando determinar se efetivamente se trata de um caso de viga-parede. 
 
• Vão Teórico 
 
cm405lcm448,51,15.3901,15.lcm405l o =→==≤= 
 
• Relação Vão/Altura 
 
→<== 00,250,1
270
405
h
l
 Viga-Parede, de acordo com o item 22.2.1 da NBR6118 
 
• Altura Efetiva 
 
cm270h
cm270h
cm405l
h ee =→



=
=
≤ 
 
• Cálculo do Momento Máximo 
 
kN.m155
8
35).4,05(10
1,2.1,4.
8
p.l
..γγM
22
fnd =
+== 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Cálculo da Resultante de Tração na Armadura e Armadura Longitudinal Principal 
 
z
M
.fAR dydssd == 
→+= )2.h0,2.(lz e Para vigas-parede sobre dois apoios 
 
m1,892.2,70)4,05(0,2.z =+= 
 
kN10,82
89,1
155
z
M
R dsd === 
ydssd .fAR = 
10mm3cm88,1
48,43
01,82
f
R
A 2
yd
sd
s φ→=== 
 
• Ancoragem da Armadura Longitudinal Junto aos Apoios 
 
Conforme o item 22.2.4.2 da NBR6118 a armadura de flexão deve ser prolongada até os 
apoios e aí ser bem ancorada. Não devem ser usados ganchos no plano vertical, dando-se 
preferência a laços ou grampos no plano horizontal, bem como dispositivos especiais. No 
modelo simplificado a ancoragem da armadura junto à face dos apoios deve garantir a 
resultante de tração igual a 0,8.Rsd. 
 
Força a ser ancorada: 
kN608,6501,82.8,00,8.RR sdapoiosd, === 
 
Largura disponivel para ancoragem: 
adisp = 15 – 2,5 = 12,5 cm 
 
Tensão de Aderência: 
 ctdbd ff ... 111 ηηη= 
MPa448,130.15,0.15,0 3/23/2 === ckctd ff 
MPa26,3kN/cm326,01448,0.0,1.0,1.25,2 2 ===bdf 
 
Número de barras que devem chegar aos apoios: 
 
bdbarrasdispapoiosd fnaR )....(, φπ= 
φπ...
,
bddisp
apoiosd
barras fa
R
n = 
 
7409,6 →=barrasn barras para φ = 8 mm; 
6127,5 →=barrasn barras para φ = 10 mm (Alternativa Adotada); 
5102,4 →=barrasn barras para φ = 12,5 mm; 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Arranjo da Armadura Longitudinal Principal 
 
Conforme pode ser observado, será adotado 6 barras de 10 mm, ou 3 camadas com 2 barras de 
10 mm que serão distribuídas conforme a seguir: 
 
→<−= 0,15.h5.l0,00,25.ha es Altura medida a partir da face inferior da viga que a 
armadura principal deve ser distribuida para vigas-parede sobre dois apoios, de acordo com o 
item 22.2.4.1 da NBR6118 
 
m40,0am0,4050,15.2,70m473,005,5.40,00,25.2,70a ss =→=<=−= 
 
• Cálculo das Armaduras de Alma 
 
Deve-se dispor armaduras em malha, posicionada na alma, de maneira a absorver pequenas 
tensões de tração inclinadas e manter pequenas aberturas de fissuras. 
 
→== 0,075%.b.hAA ssv Armadura horizontal e vertical por face conforme item 
22.2.4.3 da NBR6118 
 
2
shsv cm083,3270.15%.075,00,075%.b.hAA ==== 
 
→=== /mcm0,779
90,3
083,3
l
A
a 2
o
sv
sv Face 
→== /mcm1,558/mcm0,779.2a 22sv Total (φ5 c/25 cm na forma de estribos verticais) 
 
A quantidade mínima de armadura vertical ainda precisa ser comparada com a armadura de 
suspensão, conforme recomenda o item 22.2.4.3 da NBR6118. 
 
→=== /mcm1,142
70,2
083,3
h
A
a 2shsh Face 
→== /mcm2,284/mcm1,142.2a 22sh Total (φ5 c/14cm na forma de estribos horizontais) 
 
• Cálculo das Armaduras de Suspensão 
 
kN/m35Zsusp = 
kN/m58,81,4.1,2.35.Z.Z suspd === nf γγ 
/mcm1,334
43,48
58
f
Z
A 2
ywd
d
susp === 
 
Como Asusp < asv , adota-se armadura vertical na alma igual a 1,558 cm2/m (φ5 c/25 cm na 
forma de estribos fechados) visando atender o item 22.2.4.3 da NBR6118. 
 
• Armaduras de Apoio 
 
Nas vizinhanças dos apoios, recomenda-se introduzir armadura complementar de mesmo 
diâmetro da armadura da alma, conforme apresentado na figura abaixo: 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
m0,540,2.2,700,2.hba e11 ==== 
m0,8100,3.2,70.h3,0a e2 === 
m1,350,5.2,70.h5,0b e2 === 
 
• Verificação ao Cisalhamento 
 
No caso simplificado, a verificação do cisalhamento junto aos apoios pode ser feita conforme 
a seguir: 
 
kN147,42
2
35).3,9001,4.1,2.(1
V maxd, =
+= 
2
cd
2
e
maxd,
wd kN/cm0,300,10.fkN/cm0,03615.270
147,42
b.h
V
=<===τ 
 
• Verificação das Zonas de Apoio 
 
No caso simplificado, a reação de apoios extremos deve ser limitada conforme a seguir: 
 
maxd,cdolimited, V).fh0,8.b.(cR <+= 
 
Onde b = espessura da viga-parede, c = largura do apoio e ho = altura de um eventual 
enrigecimento junto à parte inferior da viga (laje de fundo, por exemplo). 
 
Ok!kN147,42VkN385,714
1,4
3,0
0).0,8.15.(15R maxd,limited, →=<=+= 
 
� Atividade Sugerida: Detalhar as armaduras dimensionadas anteriormente com o 
auxílio do programa AutoCAD e apresentá-las ao docente responsável para certificação 
do dimensionamento efetuado! 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 12) Para o canal de concreto indicado abaixo, calcular e esquematizar (bitola, 
espaçamento e posição da armadura na seção) a armadura da seção 1 na laje de fundo 
do canal. 
 
Nível D´Água
40
210
15
(unidades: )cm
15 285 15
1
300
½ vão
 
Dados: 
 
fck = 20 MPa 
Aço CA50 
γágua = 10kN/m3 
γconcreto = 25 kN/m3 
c = 2,5 cm 
φl,disponivel = 10 mm 
 
Resolução 
 
Conforme pode-se observar, a seção central estará submetida a uma situação de flexo-tração, 
caso a estrutura seja pensada como uma viga biapoiada com as ações de força normal e 
momento fletor reduzidos aos extremos da viga, conforme a seguir: 
 
• Determinação das Ações na Viga Central (Seção 1) 
g = 3,75 kN/m²
g = 21 kN/m²
N1 S1
M1
N1
M1
 
 
 
 
plaje = γconcreto.hlaje = 25.0,15 = 3,75kN/m2 
pa = γágua.h = 10.2,10 = 21 kN/m2 
Ea = pa.h/2 = 21.2,1/2 = 22,05 kN/m 
Braço em relação ao centro da seção em análise = (1/3).h + (1/2).hlaje 
Braço em relação ao centro da seção em análise = (1/3).2,10 + (1/2).0,15=0,775 m 
0,70
2,1
0,075
21
22,05 kN/m
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
N1 = 22,05 kN/m (Tração) 
M1 = 22,05.0,775 = -17,09 kN.m/m 
 
A seção S1 estará submetida a uma flexo-tração com grande excentricidade, conforme a 
seguir: 
 
N = 22,05 kN/m e 
M = [(21 + 3,75).(3)2/8 ] – 17,09 = 10,75 kN.m/m 
e = M / N = 10,75 / 22,05 = 0,488 m > h / 6 = 0,15/6 = 0,025 m 
 
 
N=22,05 kN/m
M=(24,75.9)/8 - 17,09 = 10,75 kN/m
 
O problema de flexo-tração com grande excentricidade pode ser facilmente resolvido através 
do seguinte procedimento: 
 
 
cm 121,0/2-2,5-15/2-c-hd === φ 
cm3,100,259.120,259.dx 23 === 
cm7,530,628.120,628.dx 34 === 
kN.m/m9,7580,01/2)0,0255/222,05.(0,110,75/2)cn.(h/2mms =−−−=−−−= φ 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,0/1,4121000,425
9,758.1001,4
1112.1,25
f0,425bd
m
111,25dx
2
cd
2
sd = 1,22 cm 
=⋅+
⋅−
⋅=+
−
=
43,48
22,051,4
1,22)0,443,48(12
9,758.1001,4
f
n
0,4x)(df
m
A
yd
d
yd
sd
s 3,44 cm
2/m (φ10 c/20 cm) 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 13) Para o reservatório de concreto armado indicado abaixo, calcular as 
armaduras resistentes. Utilizar concreto C25, aço CA50-A, cobrimento de armaduras de 
3,0 cm, sobrecarga na tampa de 3,0 kN/m2 e revestimento (impermeabilização e 
acabamento) igual a 1,0 kN/m2. Adicionalmente, considerar que o reservatório será 
enterrado sobre um solo constituído de areia grossa e seca (γsolo = 16 kN/m3, k = 0,43 e φ 
= 35o) sem possibilidade de remoção do material nas laterais da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
Conforme pode-se observar, trata-se de um reservatório a ser armado verticalmente, cujos 
esforços podem ser obtidos através da análise de um anel de comprimento unitário. 
Inicialmente são determinadas as ações atuantes sobre a estrutura, de maneira a preparar o 
modelo estrutural para obtenção dos esforços: 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Carga Atuante na Tampa 
 
Sobrecarga = 3,0 kN/m2 
Revestimento = 1,0 kN/m2 
Peso Próprio = 0,12.25 = 3,0 kN/m2 
Carga Total = 7,0 kN/m2 
 
• Carga Atuante no Fundo 
 
Para o cálculo da carga no fundo, será considerado que a laje de fundo sirva de fundação para 
o reservatório. Nesse caso, a reação da laje de fundo será igual à carga da tampa acrescida do 
peso das paredes dividida pela área da base. 
 
Peso das paredes = 2,0.(3,24.0,12 + 8.0,12).2,0.25 = 134,88 kN 
 
Carga no Fundo = Carga das Paredes + Carga da Tampa 
 
Carga no Fundo = [134,88 / (8,24.3,24)] + 7,0 = 12,05 kN/m2 
 
Tensão no Terreno = Carga no Fundo + Carga da Coluna d’Água + Laje de Fundo 
 
Tensão no Terreno = 12,05 + 10.1,70 + 25.0,12 = 32,05 kN/m2 
 
• Carga Atuante nas Paredes 
 
Empuxo de água: Ea = γágua.h = 10.1,70 = 17 kN/m2 
 
Empuxo de solo: Es = k. γsolo.h = 0,43.16.2,12 = 14,58 kN/m2 
 
Diferença entre o empuxo de solo e água = 17 – 14,58 = 2,42 kN/m2 
 
• Modelo Estrutural para Cálculo dos Esforços 
 
Para o cálculo dos esforços atuantes na estrutura será considerado um anel de largura unitária 
sujeito as condições de reservatório cheio e vazio. Para tanto, os esforços são obtidos através 
da adequada descrição das propriedades da seção transversal, conforme a seguir: 
 
A = b.h = 1.0,12 = 0,12 m2 
I = b.h3/12 = 1.0,123/12 = 0,00014 m4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
a) Ações e Esforços para Reservatório Vazio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
b) Ações e Esforços para Reservatório Cheio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Cálculo das Armaduras do Anel 
 
De maneira a otimizar a armação do reservatório será considerado o momento máximo de 8,6 
kN.m para o cálculo de todas as armaduras principais, sendo desprezados os esforços normais 
(pequenos em relação aos momentos). Como não há diferenças significativas entre os 
momentos encontrados, o procedimento sugerido ajuda a otimizar o cálculo das armaduras, 
conforme a seguir: 
 
cm 8,680,63/2-3,0-12/2-c-hd === φ 
cm2,240,259.8,680,259.dx 23 === 
cm5,450,628.8,680,628.dx 34 === 
/mcm1,80120,15%.100.0,15%.b.hA 2mins, === 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,5/1,48,681000,425
8,60.1001,4
118,68.1,25
f0,425bd
M
111,25dx
2
cd
2
d = 1,20 cm 
1,20)0,443,48(8,68
8,60.1001,4
0,4x)(df
M
A
yd
d
s ⋅−
⋅=
−
= = 3,37 cm2/m (φ6,3 c/9 cm) 
 
/mcm0,90A
/mcm0,900,5.1,800,5.A
/mcm0,9
/mcm0,670,20.3,3720%A
A 2ãodistribuiçs,
2
mins,
2
2
s
ãodistribuiçs, =





→
==
==
≥ (φ6,3 c/33 cm) 
 
• Cálculo das Lajes de Cabeceira 
 
Tanto para a caixa cheia quanto para a caixa vazia observa-se a deformada apresentada 
abaixo. Conforme pode-se observar, o fundoe a tampa da laje de cabeceira serão 
considerados rotulados com as paredes. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Para determinação da condição de vinculação das paredes convém analisar a deformada do 
reservatório em planta, especialmente das lajes de cabeceira, confome a figura abaixo: 
Planta
(Cheio)
Planta
(Vazio)
 
 
Assumindo que momentos atuantes com o mesmo sentido conduzem a um nó rotulado e que 
momentos atuantes em sentidos opostos conduzem a nós engastados, as condições de 
contorno apresentadas abaixo serão assumidas para as lajes. Além disso, serão utilizadas as 
Tabelas de Bares para o cálculo dos esforços, uma vez que as mesmas apresentam a 
possibilidade de introdução de carregamentos triangulares. Observar que nas Tabelas de Bares 
os momentos são dados na direção do eixo e que no caso das tabelas para cargas triangulares 
o eixo x está na vertical e o eixo y está na horizontal. 
 
 
 
Esforços para Reservatório Vazio: 
 



=
=
→→≅==
92,1
21,4
2.4.aBaresdeTabela65,067,0
12,3
12,2
y
x
b
a
l
l
µ
µ
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
→=
100
2pl
m µ l = menor valor entre la e lb e p = carga uniforme triangular 
 
kN.m/m2,75
100
.2,124,21.14,58
m
2
x == (armadura vertical) 
 
kN.m/m1,25
100
.2,121,92.14,58
m
2
y == (armadura horizontal) 
 
Esforços para Reservatório Cheio: 
 





=
=
=
→→≅==
42,5
96,1
15,3
2.4.bBaresdeTabela65,067,0
12,3
12,2
'
y
y
x
b
a
l
l
µ
µ
µ
 
→=
100
2pl
m µ l = menor valor entre la e lb e p = carga uniforme triangular 
 
kN.m/m0,343
100
2,123,15.2,42.
m
2
x == (armadura vertical) 
 
kN.m/m0,213
100
2,121,96.2,42.
m
2
y == (armadura horizontal) 
 
kN.m/m0,590
100
2,125,42.2,42.
m
2
'
y == (armadura horizontal) 
 
De maneira a otimizar os cálculos, pode-se calcular a armadura positiva e negativa através do 
maior momento obtido anteriormente, isto é, 2,75 kN.m/m. A armadura é então posicionada 
na forma de estribos verticais, de maneira a facilitar o processo construtivo. 
 
cm 8,680,63/2-3,0-12/2-c-hd === φ 
cm2,240,259.8,680,259.dx 23 === 
cm5,450,628.8,680,628.dx 34 === 
/mcm1,80120,15%.100.0,15%.b.hA 2mins, === (φ6,3 c/16 cm) 
 






⋅⋅⋅
⋅−−⋅=








−−=
2,5/1,48,681000,425
2,75.1001,4
118,68.1,25
f0,425bd
M
111,25dx
2
cd
2
d = 0,37 cm 
0,37)0,443,48(8,68
2,75.1001,4
0,4x)(df
M
A
yd
d
s ⋅−
⋅=
−
= = 1,01 cm2/m < As,min = 1,80 cm2/m 
 
Portanto, para as lajes de cabeceira serão utilizados estribos verticais constituídos por barras 
de φ 6,3 mm espaçadas a cada 16 cm. Para as barras horizontais, serão utilizados estribos 
constituídos por barras de φ 6,3 mm espaçadas a cada 33 cm, conforme a seguir. 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
/mcm0,90A
/mcm0,900,5.1,800,5.A
/mcm0,9
/mcm0,360,20.1,8020%A
A 2ãodistribuiçs,
2
mins,
2
2
s
ãodistribuiçs, =





→
==
==
≥ (φ6,3 c/33 cm) 
 
 
� Atividade Sugerida: Detalhar as armaduras dimensionadas anteriormente com o 
auxílio do programa AutoCAD e apresentá-las ao docente responsável para certificação 
do dimensionamento efetuado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
Exercício 14) Para o reservatório de concreto armado indicado abaixo, calcular as 
armaduras resistentes. Utilizar concreto C25, aço CA50-A, cobrimento de armaduras de 
3,0 cm, sobrecarga na tampa de 1,0 kN/m2 e revestimento (impermeabilização e 
acabamento) igual a 1,0 kN/m2. Adicionalmente, considerar que o reservatório será 
enterrado em um solo argiloso (γsolo = 17 kN/m3, φ = 30o) sem possibilidade de remoção 
do material nas laterais da estrutura. 
 
 
CORTE VERTICALPLANTA 
 
 
Resolução 
 
Conforme pode-se constatar, tendo-se em vista as dimensões do reservatório, trata-se de uma 
estrutura cujas lajes devem ser armadas nas duas direções ortogonais. Inicialmente são 
determinadas as condições de vinculação das lajes, conforme a seguir: 
 
• Condições de Vinculação para o Reservatório Vazio 
 
Conforme pode-se observar pelas figuras abaixo, para o reservatório vazio o fundo e a tampa 
estarão engastados com as paredes. As paredes também estarão totalmente engastadas entre si. 
 
a) Planta do Reservatório Vazio
P
A
R
E
D
E
PAREDE
PAREDE
P
A
R
E
D
E
b) Corte do Reservatório Vazio
P
A
R
E
D
E
FUNDO
TAMPA
P
A
R
E
D
E
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Condições de Vinculação para o Reservatório Cheio 
 
Conforme pode-se observar pelas figuras abaixo, para o reservatório cheio o fundo e a tampa 
estarão rotulados com as paredes. Porém, as paredes estarão totalmente engastadas entre si. 
 
a) Planta do Reservatório Cheio
PAREDE
PAREDE
P
A
R
E
D
E
P
A
R
E
D
E
b) Corte do Reservatório Cheio
FUNDO
TAMPA
P
A
R
E
D
E
P
A
R
E
D
E
 
 
• Cálculo dos Empuxos Atuantes (Reservatório Vazio) 
 
Para o caso do reservatório vazio, tem-se apenas o empuxo do solo, conforme a seguir: 
 
( ) ( ) 333,02/30452/45 22 =−=−= tgtgk φ 
Esolo = k.h.γ = 0,333.6,675.17 = 37,83 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trasnformando o carregamento triangular para um carregamento retangular (pode-se provar 
que qretangular ≅ 0,67.qtriangular = 25,35 kN/m2), pode-se utilizar as Tabelas de Marcus para 
cálculo dos esforços nas lajes do reservatório. 
 
• Cálculo dos Empuxos Atuantes (Reservatório Cheio) 
 
Para o caso do reservatório cheio, tem-se a atuação simultânea do empuxo do solo e de água, 
conforme a seguir: 
 
Esolo = k.h.γ = 0,333.6,675.17 = 37,83 kN/m² (Conforme apresentado anteriormente) 
Eágua = γ.h = 10.6,40 = 64,00 kN/m2 
37,83 kN/m²
6
,6
75
 m
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
6,
40
 m
6,
67
5 
m
26,17 kN/m²
1,56 kN/m²
0,
35
9 
m
0,
27
5 
m
EáguaEsolo
6,
04
1 
m
 
 
∑ =−⇒= 00 2OHET qqR � 0,333.17.x – 10.(x - 0,275) = 0 � x = 0,634 m 
 
Trasnformando o carregamento triangular para um carregamento retangular (pode-se provar 
que qretangular ≅ 0,67.qtriangular = 17,53 kN/m2), pode-se utilizar as Tabelas de Marcus para 
cálculo dos esforços nas lajes do reservatório. 
 
• Cálculo dos Esforços Atuantes nas Paredes (Reservatório Vazio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio o fundo e a tampa estarão 
engastados com as paredes e as paredes também estarão totalmente engastadas entre si. Dessa 
maneira, tem-se uma laje do Tipo 6 na Tabela de Marcus, conforme a seguir: 
 
03,1
50,6
675,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






==
==
24;56
22;52
yy
xx
nm
nm
 
 
52
50,6.35,25. 22 ==
x
x
x m
lp
M � Mx = 20,60 kN.m/m 
56
50,6.35,25. 22 ==
y
x
y m
lp
M � My = 19,13 kN.m/m 
22
50,6.35,25. 22 ==
x
x
x n
lp
X � Xx = 48,68 kN.m/m 
24
50,6.35,25. 22 ==
y
x
y n
lp
X � Xy = 44,63 kN.m/m 
 
• Cálculo dos Esforços Atuantes nas Paredes (Reservatório Cheio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio o fundo e a tampa estarão 
rotulados com as paredes e as paredes estarão totalmente engastadas entre si. Dessa maneira, 
tem-se uma laje do Tipo 4 na Tabela de Marcus, conforme a seguir: 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
03,1
50,6
675,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






==
==
0;57
14;36
yy
xx
nm
nm
 
 
36
50,6.35,25. 22 ==
x
x
x m
lp
M � Mx = 29,75 kN.m/m 
57
50,6.35,25. 22 ==
y
x
y m
lp
M � My = 18,79 kN.m/m 
14
50,6.35,25. 22 ==
x
x
x n
lp
X� Xx = 76,50 kN.m/m 
 
• Cálculo dos Esforços Atuantes na Tampa (Reservatório Vazio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio a tampa estará engastada com 
as paredes. Dessa maneira, tem-se uma laje do Tipo 6 na Tabela de Marcus, conforme a 
seguir: 
 
Peso Próprio da Laje = 0,15m x 25 kN/m³ = 3,75 kN/m² 
Revestimento = 1,0 kN/m² 
Sobrecarga = 1,0 kN/m² 
Total = 5,75 kN/m2 
 
00,1
50,6
50,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






==
==
24;56
24;56
yy
xx
nm
nm
 
56
50,6.75,5. 22 ===
x
x
yx m
lp
MM � Mx = My = 4,34 kN.m/m 
24
50,6.75,5. 22 ===
x
x
yx n
lp
XX � Xx = Xy = 10,12 kN.m/m 
 
• Cálculo dos Esforços Atuantes na Tampa (Reservatório Cheio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio a tampa estará rotulada com 
as paredes. Dessa maneira, tem-se uma laje do Tipo 1 na Tabela de Marcus, conforme a 
seguir: 
 
 
00,1
50,6
50,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






=
=
27
27
y
x
m
m
 
27
50,6.75,5. 22 ===
x
x
yx m
lp
MM � Mx = My = 9,00 kN.m/m 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Cálculo dos Esforços Atuantes no Fundo (Reservatório Vazio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio o fundo estará engastado com 
as paredes. Dessa maneira, tem-se uma laje do Tipo 6 na Tabela de Marcus, conforme a 
seguir: 
 
Peso da Tampa = 5,75 kN/m² 
 
Revestimentos das Paredes: 
Externo: 0,3 kN/m² 
 
2
, /30,150,6.50,6
85,6.70,6.3,0.4.
mkN
A
Aq
p
FUNDO
PAR
externotorevestimen === 
 
Interno: 0,6 kN/m² 
 
2
int, /33,250,6.50,6
50,6.30,6.6,0.4.
mkN
A
Aq
p
FUNDO
PAR
ernotorevestimen === 
 
Peso Próprio das Paredes: 
 
2/54,20
50,6.50,6
50,6.675,6.20,0.25.4
mkN
FundodeÁrea
ParedesdasPeso
pparedes === 
 
Carga Total Atuante no Fundo = 5,75 + 1,30 + 2,33 + 20,54 = 29,92 kN/m2 
 
00,1
50,6
50,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






==
==
24;56
24;56
yy
xx
nm
nm
 
 
56
50,6.92,29. 22 ===
x
x
yx m
lp
MM � Mx = My = 22,57 kN.m/m 
24
50,6.92,29. 22 ===
x
x
yx n
lp
XX � Xx = Xy = 52,67 kN.m/m 
 
• Cálculo dos Esforços Atuantes no Fundo (Reservatório Cheio) 
 
Conforme mencionado anteriormente, para o reservatório vazio o fundo estará rotulado com 
as paredes. Dessa maneira, tem-se uma laje do Tipo 1 na Tabela de Marcus, conforme a 
seguir: 
 
00,1
50,6
50,6 =⇒== λλ
x
y
l
l
 � 






=
=
27
27
y
x
m
m
 
27
50,6.92,29. 22 ===
x
x
yx m
lp
MM � Mx = My = 46,82 kN.m/m 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
• Envoltória dos Momentos Fletores Atuantes nas Lajes 
 
Antes de se estabelecer a envoltória dos momentos fletores atuantes nas lajes é necessário 
fazer a compensação dos momentos negativos, conforme a seguir: 
 
21
1
21
,
*8,0
2 XXonde
X
XX
XCOMP >







 +
> 
 
Para o engastamento entre as paredes e a laje da tampa, tem-se: 
 
mmkN
X
XX
XCOMP /.70,35
70,3563,44.8,0*8,0
38,27
2
12,1063,44
2
1
21
=








==
=+=
+
> 
 
Para o engastamento entre as paredes e a laje do fundo, tem-se: 
 
mmkN
X
XX
XCOMP /.65,48
14,4267,52.8,0*8,0
65,48
2
63,4467,52
2
1
21
=








==
=+=
+
> 
 
Dessa maneira, os momentos finais e as armaduras a serem utilizadas no reservatório são 
dadas conforme a seguir: 
 
 
 M φ d 
(cm) 
x 
(cm) 
x23 x34 As,calc As,min 
As,adot 
Posição (kN.m/m) (mm) (cm) (cm) (cm²/m) (cm²/m) 
TAMPA 9,00 6,3 11,69 0,92 3,03 2,56 2,25 φ6,3mm c/ 
11,0cm 
TAMPA/PAREDE 35,70 12,5 11,38 4,26 2,95 11,88 3,00 φ12,5mm c/ 
10,0cm 
PAREDE 
(maior direção) 
19,13 10 16,50 1,38 4,27 3,86 3,00 φ10mm c/ 
20,0cm 
PAREDE 
(menor direção) 
29,75 10 16,50 2,20 4,27 6,13 3,00 φ10mm c/ 
12,5cm 
PAREDE/PAREDE 76,50 16 16,20 6,48 4,20 18,10 3,00 φ16mm c/ 
11,0cm 
PAREDE/FUNDO 48,65 12,5 16,38 3,77 4,24 10,54 3,00 φ12,5mm c/ 
11,0cm 
FUNDO 46,82 12,5 16,38 3,62 4,24 10,10 3,00 φ12,5mm c/ 
11,0cm 
 
Exercícios Resolvidos de Estruturas em Concreto Armado 
Estruturas em Concreto Armado III – Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
46,82
46
,8
2
52,67
44,63
48,65
48,6552,67
44,63
44
,6
3
52
,6
7
48
,6
5
44
,6
3
52
,6
7
48
,6
5
35,7044,63
10,12
10,12
44,63 35,70
44
,6
3
10
,1
2
35
,7
0
35
,7
0
44
,6
3
10
,1
2
19,13
29
,7
5
29,75
19
,1
3
19,13
29
,7
5
19
,1
3
29,75
76,50 76,50
76,5076,50
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0
76
,5
0