Cálculo II

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Cálculo II
Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira
prof.ricardooliveira@uninga.edu.br 
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Sobre o professor
Graduação em Engenharia Química – UEM – 2005
Licenciatura plena em Matemática – UNICESUMAR – 2020
Mestrado em Engenharia Química – UEM – 2008
Doutorado em Engenharia Química – UEM – 2012
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Sobre a disciplina
Objetivo: Proporcionar ao estudante a oportunidade apropriar-se dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar seus conceitos em sua área de atuação. Conceituar e aplicar os conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral, referentes a funções de duas ou mais variáveis, a situações correlatas. Proporcionar ao estudante a aplicação do estudo de equações diferenciais e sua solução.
Ementa: limites e continuidade de função de duas ou mais variáveis reais, derivadas parciais e aplicações, integral múltipla e aplicações, cálculo vetorial, equações diferencias e transformada de Laplace.
Carga horária: 120 h
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Sobre a disciplina
Referências bibliográficas:
STEWART, J. Cálculo, vol.2, 8ºed.  São Paulo, Cengage Learning, 2016.
ANTON, H.  Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, Porto Alegre, Bookman, 2000.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol. 2, 3.ed.,São Paulo, Harbra, 1994.
Zill, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem.Cengage Learning.
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Sobre a disciplina
Critério de avaliação:
1º bimestre: 1 avaliação escrita (9,0 pontos) + trabalho (1,0 ponto)
2º bimestre: 1 avaliação escrita (9,0 pontos) + trabalho (1,0 ponto)
3º bimestre: 1 avaliação escrita (9,0 pontos) + trabalho (1,0 ponto)
4º bimestre: 1 avaliação escrita (9,0 pontos) + trabalho (1,0 ponto)
Para ser aprovado a média final deve ser maior ou igual a 6,0 pontos
Final do primeiro semestre: 1 avaliação substitutiva – todo conteúdo do 1º semestre
Final do segundo semestre: 1 avaliação substitutiva – todo conteúdo do 2º semestre
Avaliação final – todo conteúdo anual
Recuperação do exame final (REF) – todo conteúdo anual
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Funções de várias variáveis reais
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Funções de várias variáveis reais
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Funções de várias variáveis reais
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Exemplo 1
	Determine o valor de f(3,2) para as funções a seguir:
A) 			B) 		C) 
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Exemplo 2
	Determine o domínio das funções a seguir:
A) 
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Exemplo 2
	Determine o domínio das funções a seguir:
B) 
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Exemplo 2
	Determine o domínio das funções a seguir:
C) 
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Exemplo 2
	Determine o domínio das funções a seguir:
D) 
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Exemplo 2
	Determine o domínio das funções a seguir:
E) 
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Exemplo 3
	Seja . Determine e o domínio natural de f. 
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Exemplo 4
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Funções de várias variáveis reais
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Funções de várias variáveis reais
Funções de várias variáveis reais
Figura – Resumo das superfícies quádricas. 
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Exemplo 5
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 6
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 6
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 7
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 7
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 8
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 8
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 9
	Esboce o gráfico da função 
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Exemplo 9
	Esboce o gráfico da função 
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Exemplo 10
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Exemplo 10
	Esboce o gráfico da função e determine sua imagem.
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Funções de várias variáveis reais
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Funções de várias variáveis reais
Figura – Cortes para construção das curvas de nível e curvas de nível
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Funções de várias variáveis reais
Figura –Curvas de nível e mapa de contorno
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Exemplo 11
A figura mostra um mapa de contorno de uma função h. Use-a para estimar o valor de h(1,3) e h(4,5).
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Exemplo 12
Esboce as curvas de nível da função para os valores de k = -6, 0, 6 e 12.
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Exemplo 12
Esboce as curvas de nível da função para os valores de k = -6, 0, 6 e 12.
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Exemplo 13
Esboce as curvas de nível da função para os valores de k = 0, 1, 2 e 3.
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Exemplo 13
Esboce as curvas de nível da função para os valores de k = 0, 1, 2 e 3.
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Exemplo 14
	Esboce as curvas de nível da função .
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Exemplo 14
	Esboce as curvas de nível da função .
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Exemplo 15
	Determine as superfícies de nível da função 
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Lista de exercícios
Resolver os exercícios da referência: STEWART, James. Cálculo: volume 2. 7ª ed. SÃO PAULO: Cengage Learning, 2013.
14.1 (página 800) – 1, 3, 5, 7 ao 33, 35 a 54, 59 ao 64.
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LIMITE E CONTINUIDADE DE Funções DE VÁRIAS variáveis reais
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Limite de funções de várias variáveis reais
	Vamos comparar o que acontece com as funções e quando (x,y) se aproxima de (0,0).
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Limite de funções de várias variáveis reais
 e 
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Limite de funções de várias variáveis reais
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Limite de funções de várias variáveis reais
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Limite de funções de várias variáveis reais
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Limite de funções de várias variáveis reais
Figura – Interpretação geométrica de limite de funções de duas variáveis.
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Limite de funções de várias variáveis reais
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Limite de funções de várias variáveis reais
Figura –Limite de funções de duas variáveis por diversos caminhos.
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Limite de funções de várias variáveis reais
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Exemplo 1
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 2
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 3
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 4
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 5
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 6
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 7
Caso exista, calcule o valor de
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Exemplo 8
Mostre que o limite abaixo não existe.
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Exemplo 9
Mostre que o limite abaixo não existe.
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Exemplo 10
Mostre que o limite abaixo não existe.
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Exemplo 11
Calcule o limite abaixo, caso não exista.
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Exemplo 12
Calcule o limite abaixo, caso não exista.
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Continuidade de funções de várias variáveis reais
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Continuidade de funções de várias variáveis reais
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Continuidade de funções de várias variáveis reais
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Exemplo 13
Onde a função é contínua?
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Exemplo 14
Onde a função é contínua?
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Exemplo 15
Onde a função é contínua?
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Lista de exercícios
Resolver os exercícios da referência: STEWART, James. Cálculo: volume 2. 7ª ed. SÃO PAULO: Cengage Learning, 2013.
14.2 (página 810) – 1, 3, 4 ao 41.
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Revisão de derivadas
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Definição de derivada de uma variável real
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Regras de diferenciação
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Regras de diferenciação
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Exemplo 1
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 2
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 3
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 4
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 5
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 6
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 7
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 8
Determine a derivada primeira da função abaixo:
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Exemplo 9
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Exemplo 10
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Exemplo 11
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Revisão de derivadas
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Regras de diferenciação
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Regras de diferenciação
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Exemplo 1
Encontre a derivada primeira da função 
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Exemplo 2
Encontre a derivada primeira da função96
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Exemplo 2
Encontre a derivada primeira da função 
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Exemplo 3
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Exemplo 4
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Exemplo 5
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Exemplo 6
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Exemplo 7
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Exemplo 8
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