Conjuntos Discretos - teoria e exercicios

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APOSTILA DE 
 
 MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
CONJUNTOS 
CONJUNTOS DISCRETOS 
EXERCÍCIOS COM 
GABARITO 
 
 
 
Prof : Rogério Malheiros dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS 
 
 Definições 
 
Elemento : É algo individualizado, como uma letra, um animal, uma pessoa ou 
um objeto 
 
Conjunto : É um agrupamento de elementos. Estes possuem uma determinada 
característica em comum se for dado um nome ao conjunto. 
 
Exemplos : 
 
1 - Conjunto das vogais {a,e,i,o,u} → A característica comum aos elementos é o 
de serem vogais 
 
2 - Conjunto dos números não-negativos pares {0,2,4,6,...} A característica 
comum aos elementos é o de serem divisíveis por 2 
→
 
3 - A = {1,a,3} → Não há característica em comum entre os elementos, pois não 
foi dado um nome ao conjunto. Foi designado para ele a letra A que não tem 
significado. 
 
Conjunto finito : É aquele cuja quantidade de elementos relativos a ele é dada 
por um número. Por exemplo, no conjunto das vogais há 5 elementos, logo este é 
finito. 
 
Conjunto infinito : É aquele que não é finito. Por exemplo, a quantidade de 
elementos do conjunto dos números pares não-negativos não pode ser 
representada por um número, logo este é infinito. 
 
Descrição e Representação dos Conjuntos 
 
i - Por Enumeração ou Tabular 
 
Ex 1 : A = {a,b,c,d} (conjunto A é dado pelas letras a,b,c e d) 
 
ii - Por Propriedade ou Condição 
 
Ex 2: A = {x / x é ímpar 1<x<5} 
 
 
 
 II
 
 
iii - Por diagrama de Venn 
 
 
5 2 
4 51
1 
 A 
 
 
 
 
Conjunto Unitário : É aquele que possui um único elemento 
 
Ex 3 : A = {5} 
 
Conjunto Vazio : É aquele que não possui nenhum elemento. Este pode ser 
denotado por { } ou φ
 
Relações de Pertinência e Inclusão 
 
Relações de Pertinência : São aquelas dadas de elemento para conjunto. Um 
elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) a determinado conjunto 
 
Ex 4 : A = {4,22,13}, logo 14 ∉ A, mas 4∈ A 
 
Relações de Inclusão : São aquelas dadas de conjunto para conjunto . Um 
conjunto está contido (⊂ ) ou não está contido (⊄ ) ou contém ( ) ou não 
contém ( ) outro conjunto. 
⊃
⊃
 
Ex 5 : A = {4,22,13} , {4} A, mas {14} ⊂ ⊄ A 
 
Observação : Todo conjunto contém o conjunto vazio. 
 
Subconjunto : Sejam dois conjuntos A e B. Se todos os elementos de A 
pertencerem a B, podemos dizer que A é um subconjunto de B. 
 
Ex 6 : A={1,2}, B={1,2,7,9,3}, os elementos 1 e 2 pertencem a B logo A é 
subconjunto de B. 
 
Conjunto das partes de um conjunto : É aquele cujos elementos são dados 
pelos subconjuntos de um determinado conjunto. 
 
Ex 7 : A = {3,6} - Conjunto das partes de A : { φ , {3},{6},{3,6}} 
 III
Número de todos os subconjuntos de um conjunto determinado : Para um 
conjunto de n elementos, o número total de subconjuntos deste é dado por 2n 
 Ex 8 : A = {a,l,k}. Este conjunto possui 3 elementos, logo há 23 = 8 subconjuntos 
deste no total. 
 
Operações com Conjuntos 
 
i) Igualdade : Dois conjuntos são iguais, quando possuem os mesmos elementos. 
 
Ex 9 : A = {1,2,3} , B = {1,2,2,3,1,1,3}, os elementos tanto de A quanto de B são 
1,2 e 3 logo A=B 
 
ii) União : A união de dois conjuntos A e B, denotada por A∪B, é o conjunto 
formado pelos elementos pertencentes a A ou a B. 
 
Ex 10: A={4,7,8}, B={9,4,l,r}, A∪B = {4,7,8,9,l,r} 
 
iii) Interseção : A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A B, é o 
conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B. 
∩
 
Ex 11: A={4,7,8},B={9,4,l,r}, A∩B = {4} 
 
 
iv) Diferença : A diferença entre dois conjuntos A e B, denotada por A - B, é o 
conjunto formado pelos elementos que pertençam à A e não pertençam a B. 
 
Ex 12: A={3,4,5} e B={3,8,9,10}, A-B = {4,5} 
 
 
Conjunto Complementar : Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, 
denomina-se complementar de B em relação a A, denotado por C ao conjunto 
A-B . 
⊂
A
B
 
Ex 13 : A={1,2,4} , B=(4}, C ={1,2} A
B
 
Número de elementos da união de dois conjuntos A e B : Dados A e B, o 
número de elementos de A∪B, denotado por n(A∪B) é dado pela seguinte 
igualdade : 
 
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A∪ ∩B) 
 
Número de elementos da união de três conjuntos A, B e C : Dados A e B e C, 
o número de elementos de A∪B∪C, denotado por n(A∪B C) é dado pela 
seguinte igualdade : 
∪
 IV
 
n(A∪B∪C) = n(A)+n(B) +n( C )-n(A∩B) - n(A∩C) - n(B C) + 
n(A
∩
∩B∩C) 
 
 
Conjuntos numéricos 
 
Os principais conjuntos numéricos são : Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, 
Reais e Complexos 
 
Números Naturais : N = {0,1,2,3,4,...} 
 
Números Naturais Positivos : N* = {1,2,3,4,...} 
 
Números Inteiros : Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
 
Números Inteiros não -negativos : Z+ = {0,1,2,3,...} 
 
Números Inteiros não - positivos : Z- = {...,-3,-2,-1,0} 
 
Números Inteiros positivos : Z * ={1,2,3,4,...} +
 
Números Inteiros negativos: Z ={...,-3,-2,-1} −
*
 
Os conjuntos acima são discretos ou enumeráveis, ou seja, geometricamente são 
representados por pontos distintos e numericamente cada elemento do conjunto 
pode ser associado a um número natural. Os conjuntos abaixo não são discretos, 
mas contínuos. São representados geometricamente por linhas. 
 
Números Racionais (Q) : todos os números que podem ser escritos como uma 
fração, ou seja, que podem ser representados na forma 
m
n
 com m e n sendo 
números inteiros. 
 
Ex 14 : 4 = 
4
1
 , logo é número racional 
 
0,333333333... = 
1
3
, logo é número racional 
 
3
2
 é um número racional 
 
 V
 
Números Irracionais (I) : são aqueles que não são racionais, ou seja não 
podem ser representados na forma 
m
n
 com m e n sendo números inteiros 
 
 
Ex 15: 2 é um número irracional 
π é um número irracional 
 
e é um número irracional 
 
Obs: N Z ⊂Q e Q ⊂ ∩ I = { } 
 
Números Reais ( ) : São os números pertencentes a Q ∪ I ℜ
 
Números Complexos ( C ) : São aqueles escritos na forma a + bi, onde a e b 
são números reais. 
 
Ex 16 : 2 +3i é um número complexo 
 
Obs : C ⊃ ℜ
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Em uma escola de 415 alunos, 221 estudam Física, 163 Matemática e 52 
estudam ambas as matérias. 
 
a) Quantos alunos estudam Física ou Matemática? 
b) Quantos alunos estudam Matemática, mas não estudam Física? 
c) Quantos alunos não estudam nenhuma das matérias? 
 
2) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A 
ou B. O produto B é usado por 600 pessoas e 320 pessoas usam os dois 
produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 
 
3) Feito um exame de sangue em um grupo de 200 pessoas constatou-se o 
seguinte : 80 delas têm sangue com fator Rh negativo 65 têm sangue do tipo O 
e 25 têm sangue do tipo O com fator Rh negativo.Calcule o número de pessoas 
com sangue sem ser do tipo O, com fator Rh positivo.. 
 
 
 VI
4) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os 
jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Ache 
o valor de n. 
5) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 
jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O 
número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam 
tênis. Calcule: 
 
a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei 
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei 
 
6) Uma editora analisando suas publicações, consultou 1000 pessoas, quanto a 
preferência das obras Helena, Senhora e A Janela e o Morro. Verificou-se que 
600 leram A Janela e o Morro, 400 leram Helena, 300 leram Senhora, 200 
leram A Janela e o Morro e Helena, 150 leram a Janela e o Morro e Senhora, 
100 leram Senhora e Helena e 20 leram as três obras. Calcule : 
 
a) O número de pessoas que leu apenasuma das obras 
b) O número de pessoas que leu duas ou mais obras 
c) O número de pessoas que leu Helena ou Senhora 
d) O número de pessoas que leu Senhora ou A Janela e o Morro, mas não leram 
Helena 
 
7) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três 
embalagens: A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado foi 
o seguinte : 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B;90 
indicaram a embalagem C;30 indicaram as embalagens A e B;40 indicaram as 
embalagens A e C;12 indicaram as embalagens B e C e 10 indicaram as 3 
embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não deram preferência a 
nenhuma das embalagens? 
 
8) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente 
assistem, obteve-se o seguinte: 280 pessoas assistem o canal A, 250 assistem 
ao canal B e 70 assistem aos outros canais, distintos de A e B. Calcule o 
número de pessoas que assistem a A e não assistem a B 
 
9) Se M = {1,2,3,4,5} e N são conjuntos tais que M N = {1,2,3,4,5,6,7} e 
M ∩N = {1,2,3}, Defina o conjunto N 
∪
 
 
10) Sejam os conjuntos : 
 
 A = { x Ν∈ / x 3} ≤
B = { x∈ /x 3} Ζ ≤
C = { x∈ /-2 xΖ ≤ ≤3} 
 VII
 
Defina o conjunto (B-A) C ∩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS 
 
1) a) 332 alunos b) 111 alunos c) 83 alunos 2) 1720 pessoas 3) 80 pessoas 
 
4) 158 alunos 5) a) 36 esportistas b) 59 esportistas 6) a) 460 b) 410 c) 600 
 
6) d) 470 7) 2 funcionários 8) 180 9) {1,2,3,6,7} 10) {-2,-1} 
 
 VIII
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