30 - NOÇÕES BÁSICAS FINANCEIRAS, CONTÁBEIS E DE CUSTOS

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m.a.perissinotto – NCQ - 1	
30	-	NOÇÕES	BÁSICAS		FINANÇEIRAS,	CONTÁBEIS	E	DE	CUSTOS	
	
	
Toda	e	qualquer	empresa,	independente	do	seu	porte,	deve	conhecer	os	custos	de	suas	atividades,	visto	que	somente	assim	
poderá	tomar	decisões	a	fim	de	fazer	frente	à	concorrência,	pois	o	lucro	é	a	diferença	POSITIVA,	entre	o	preço	de	venda	e	os	
custos	de	produção	e,	o	mesmo	está	diretamente	ligado	ao	preço	de	venda	e	inversamente	aos	custos.	
	 Tipos de empresas e suas principais fontes de custos. 
 
Na Indústria: No Comércio: Em Serviços: 
-materiais,	 insumos,	 mão	 de	 obra	
direta;	
	
-valor	 de	 aquisição	 das	 mercadorias,	
mão	de	obra	direta.	
-mão	 de	 obra	 direta,	 material	
aplicado.	
	
 
 
PRODUÇÃO:	São	todos	os	departamentos	(seções)	diretos	à	produção	
Ex.:	Setores	de:	Usinagem,	Tratamento	Térmico,	Pintura,	Almoxarifado,	etc.	
	
ADMINISTRAÇÃO:	São	todos	os	departamentos	administrativos	de	apoio	à	produção.	
Ex.:	RH,	Contabilidade,	Financeiro,	TI,	CQ,	Vendas,	etc.	
	
GASTOS	
	
	
	
	
	
	
	
CUSTO	 	 DESPESA	 	 INVESTIMENTO	
FÁ
BR
IC
A	
CUSTOS VARIÁVEIS 	
	A
DM
IN
IS
TR
AÇ
ÃO
	
UNIDADES	
ADMINISTRATIVAS	
-	Diretoria;	
-RH;		
-Compras;		
-TI	
-Contabilidade;	
	 -Matéria	Prima;	
-Máquinas	e	
Equipamentos;	
-Ações	 adquiridas	 de	
outras	empresas	
CUSTOS	DIRETOS	
UNIDADES	DE	PRODUÇÃO	
-Centros	de	custos	
-Departamentos	
	 	
	 	 	 	 	
CUSTOS FIXOS 	 	 	
CUSTOS	INDIRETOS	
UNIDADES	DE	APOIO	À	PRODUÇÃO	
-Engenharia,		
-CQ,	
-Almoxarifado;	
-	Manutenção;	
	 UNIDADES	
COMERCIAIS	
-MKT,		
-Vendas;	
-Pós	Vendas.	
	
	 	
	
	
	
	
	
	
	
PERDA	
Desembolso	em	produto	/	
serviço		que	foi	consumido	
de	forma	anormal	ou	
involuntária	
DESEMBOLSO	
Pagamento	da	
compra/aquisição	de	
um	bem	ou	serviço	
Compra	de	produto	ou	serviço	que	
gera	desembolso	(sacrifício	para	a	
empresa)	
m.a.perissinotto – NCQ - 2	
DEFINIÇÕES	E	CONCEITOS	DE	ALGUNS	TERMOS	FINANCEIROS	
	
ATIVO	FIXO	–		
São todos bens que para virar dinheiro em espécie demoram mais tempo para essa transformação (menor 
liquidez), diferente de Capital de Giro, exemplo aquisição de um automóvel, que com certeza com o passar dos 
anos vai perdendo o valore, ou seja pode sofre depreciação, nos casos de empresas as máquinas industriais 
podem ser depreciadas por regulamentação de lei. 
 
Exemplos: Tangíveis : máquinas, veículos ; Intangíveis: patentes, etc). 
 
PASSIVO	-	 
São todas e quaisquer obrigações contraídas pela empresa. 
 
Exemplos: 
Empréstimos, Contas a Pagar, o montante recebido por serviços ainda não prestados. Os passivos são 
classificados em: 
 
CUSTO	:	(C)	
É todo gasto na atividade de produção. 
 
Exemplos: 
Salário + Encargos do pessoal da produção, Matéria-prima, cafezinho, salários, energia elétrica, Aluguel, Material 
de Limpeza, etc. 
	
CLASSIFICAÇÃO	DOS	CUSTOS	
Todos os custos efetuados em uma linha de produção devem ser classificados em relação aos produtos fabricados 
e em relação aos níveis de produção. A correta classificação dos custos facilita a administração da empresa na 
tomada de decisão quanto ao uso de material e a departamentalização dos custos por produtos 
	
1	-	Classificação	em	relação	aos	produtos	fabricados	
	
1.1	-	CUSTOS	DIRETOS:	(CD)	
São os custos apropriados diretamente ao produto como: 
Exemplos: 
Matéria prima, Qtde. de tinta, Qtde. Parafusos, etc., utilizada diretamente no produto, Salário de Torneiro, Prensista, 
Pintor, etc. 
	
CUSTOS	DIRETOS						
SÃO	SEMPRE	 CUSTOS	VARIÁVEIS	 Ex.	Matéria	Prima	
	
	
1.2	-	CUSTOS	INDIRETOS:	(CI)	
São os custos que não conseguimos quantificá-los em cada unidade produzida. 
Exemplos : 
Energia Elétrica, Aluguel, Salário de Gerentes, Vigias, Tecnólogos, Engenheiros, Chefes, Pró Labore dos Diretores, 
etc. 
	
CUSTOS	INDIRETOS	 PODEM	
SER	
CUSTOS	FIXOS	 Ex.	Depreciação	das	Máquinas,	Salário	da	chefia,		Material	de	Limpeza	
CUSTOS	VARIÁVEIS	 Ex.	Consumo	de	Energia,		Lixas.	
	
2	-	Classificação	dos	custos	em	relação	aos	níveis	de	produção	
	
2.1	-	CUSTO	FIXO:	(CF)		
É a parcela do custo que se mantém fixa, quando a produção varia ou não exista. 
Ex. : Aluguel, Salários, Material de Limpeza, etc. 
	
2.2	-	CUSTO	VARIÁVEL:	(CV)		
São aqueles custos cujos valores se alteram em função do volume de produção. Exemplo: matéria-prima consumida. 
Se não houver quantidade produzida, o custo variável será nulo. 
Os custos variáveis aumentam à medida que aumenta a produção. 
	
	
m.a.perissinotto – NCQ - 3	
3	-	CUSTO	TOTAL:	(CT)		
É o gasto total da empresa com fatores de produção. Compõe-se de custos variáveis e custos fixos. 
	
	
	
	
Exemplo	de	distribuição	dos	gastos	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
FÁBRICA	DE	CARRINHO	DE	CRIANÇA	
GASTOS	 C.	DIRETO		(variáveis)	
C.	INDIRETO	-		 DESP.	 INVEST.	
(fixos)	 (Variáveis)	
1	 Salário	do	Presidente	 	 	 	 X	 	
2	 Salário	do		setor	de	Montagem	 X	 	 	 	 	
3	 Salário	do	setor	de	estamparia	 X	 	 	 	 	
4	 Viagens	do		pessoal	de	venda	 	 	 	 X	 	
5	 Projeto	de	novo	produto	 	 	 	 	 X	
6	 Salário	de	gerente	de	fábrica	 	 X	 	 	 	
7	 Imposto	predial	-	Fabrica	 	 X	 	 	 	
8	 Embarque	de	produtos	 X	 	 	 	 	
9	 Compra	de	rodízios	(Rodas)	 X	 	 	 	 	
10	 Matéria	Prima	 X	 	 	 	 	
11	 Energia	Elétrica	-	Fabrica	 	 	 X	 	 	
12	 Salário	com	pessoal	de	MKT	 	 	 	 X	 	
13	 Manutenção	de	máquinas	 	 X	 	 	 	
14	 Propaganda	 	 	 	 X	 	
15	 Novo	equipamento	de	pintura	 	 	 	 	 X	
16	 Honorários		do	consultor	(KAISEN)	 	 	 	 X	 	
17	 Certificação	do	SGQ	 	 	 	 X	 	
18	 Calibrações	de	instrumentos	 	 X	 	 	 	
19	 Produtos	rejeitados	 X	 	 	 	 	
20	 Construção	de	ferramental			 	 	 	 	 X	
21	 Convênios	 	 	 	 X	 	
22	 Segurança	do	trabalho	 	 X	 	 	 	
23	 Brocas,	lixas,	rebolos	 X	 	 	 	 	
24	 Embalagens	 X	 	 	 	 	
25	 Impostos	sobre	o	produto	 	 	 	 X	 	
26	 Ações	trabalhistas	-	Adm	 	 	 	 X	 	
27	 Jornais,	revistas	 	 	 	 X	 	
28	 Horas	Extras	 X	 	 	 	 	
29	 Cursos	externos	 	 	 	 X	 	
30	 Cursos	internos	 	 	 	 X	 	
31	 Construção	de	novo	galpão	 	 	 	 	 X	
32	 Ensaios	de	rotina	do	produto	 X	 	 	 	 	
33	 Elaboração	e	impressão	de	Manuais	 X	 	 	 	 	
34	 Honorários	de	Advogados	 	 	 	 X	 	
35	 Manutenção	predial	-	Fabrica	 	 X	 	 	 	
36	 Leasing		de	computadores	-	Adm	 	 	 	 	 X	
37	 Decoração	da	sala	de	reuniões	 	 	 	 X	 	
38	 Comissão	de	vendedores	 	 	 	 X	 	
39	 Depreciação	de	uma	prensa	nova	 	 X	 	 	 	
40	 Óleo	de	lubrificação	das	máquinas	 X	 	 	 	 	
41	 Bônus	de	fim	de	ano	para	executivos	 	 	 	 X	 	
42	 13º		salário	(fáb.)	 X	 	 	 	 	
43	 13º	Salário	(	adm.)	 	 	 	 X	 	
	
𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪	
	
Onde:	
CF	=	Custo	Fixo	
CV	=	Custo	Variável	
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GASTOS	
Tipo	
	
1	 Salário	do	Presidente	 D	 São gastos de administração, vendas, financiamento etc. São gastos consumidos 
direta ou indiretamente para a obtenção de receita. 
( não diretamente relacionados à atividade produtiva. )	
2	 Salário	do		setor	de	Montagem	 CDv	 São os custos apropriados diretamente a cada produto fabricado, sem a necessidade 
de rateios. Estes custos podem ser identificados na composição do produto, e variam de acordo 
com a quantidade produzida 
3	 Salário	do	setor	de	estamparia	 CDv	 Idem 2	
4	 Viagens	do		pessoal	de	venda	 D	 Idem 1	
5	 Projeto	de	novo	produto	 I	 Gasto ativado em função de sua vida útil ou do benefício atribuíveis a período futuro. 
São todos os sacrifícios havidos pela aquisição de bens ou serviços (gasto) que são 
estocados no ativo da empresa para baixa ou amortização, quando de sua venda ou 
consumo, desaparecimento ou desvalorização. 
( É uma possibilidade de novos negócios. ) 
6	 Salário	de	gerente	de	fábrica	 CIf	 São os custos apropriados aos produtos fabricados mediante rateio, não está 
vinculado diretamente na produção, mas sim ao processo produtivo como um todo 
( Produzindo ou não esse gasto existe.) 
7	 Imposto	predial	-	Fabrica	 CIf	 Idem 6 
8	 Embarque	de	produtos	 CDv	 Qto	mais	produto	vendido	maioro	gasto	
9	 Compra	de	rodízios	(Rodas)	 CDv	 Qto	maior	a	produção	maior	o	número	de	rodas	
10	 Matéria	Prima	 CDv	 Qto	maior	a	produção	mais	gasto	com	MP	
11	 Energia	Elétrica	-	Fabrica	 CIv	 São os custos apropriados aos produtos fabricados mediante rateio, é lógico que 
quanto maior a produção maior será o custo da energia elétrica. 
12	 Salário	com	pessoal	de	MKT	 D	 Idem 1 
13	 Manutenção	de	máquinas	 CIf	 Idem 6 
14	 Propaganda	 D	 Idem 1 
15	 Novo	equipamento	de	pintura	 I	 Idem 5 
16	 Honorários		do	consultor	(KAISEN)	 D	 Na prática a contabilização é feita para custo ou despesa. Se for aplicado para o 
pessoal da produção é custo. Se for aplicado para o pessoal administrativo é despesa. 
17	 Certificação	do	SGQ	 D	 Idem 1 
18	 Calibrações	de	instrumentos	 CIf	 Idem 6 
19	 Produtos	rejeitados	 CDv	 Qto	maior	o	nº	de	rejeitados,	maior	o	gasto	
20	 Construção	de	ferramental			 I	 Idem 5 
21	 Convênios	 D	 Idem 1	
22	 Segurança	do	trabalho	 CIf	 Idem 6 
23	 Brocas,	lixas,	rebolos	 CDv	 Idem 2	
24	 Embalagens	 CDv	 Idem 2	
25	 Impostos	sobre	o	produto	 D	 Gasto que não esta diretamente relacionados à atividade produtiva. É um gasto 
tributário para obtenção de receita.	
26	 Ações	trabalhistas	-	Adm	 D	 Idem 1	
27	 Jornais,	revistas	 D	 Idem 1	
28	 Horas	Extras	 CDv	 Idem 2	
29	 Cursos	externos	 D	 Idem 1	
30	 Cursos	internos	 D	 Idem 1	
31	 Construção	de	novo	galpão	 I	 Idem	5	
32	 Ensaios	de	rotina	do	produto	 CDv	 Idem 2	
33	 Elaboração	 e	 impressão	 de	
Manuais	
CDv	 Idem 2	
34	 Honorários	de	Advogados	 D	 Idem 1	
35	 Manutenção	predial	-	Fabrica	 CIf	 Idem 6 
36	 Leasing		de	computadores	-	Adm	 I	 Idem	5	
37	 Decoração	da	sala	de	reuniões	 D	 Idem 1	
38	 Comissão	de	vendedores	 D	 Idem 1	
39	 Depreciação	de	uma	prensa	nova	 CIf	 Idem 6 
40	 Óleo	de	lubrificação	das	máquinas	 CDv	 Porque	está	diretamente	ligado	na	produção	quanto	maior	a	produção	mais	o	consumo	de	óleo	
41	 Bônus	 de	 fim	 de	 ano	 para	
executivos	
D	 Idem 1	
42	 13º		salário	(fáb.)	 CDv	 Idem 2	
43	 13º	Salário	(	adm.)	 D	 Idem 1	
	
m.a.perissinotto – NCQ - 5	
4	-	DEPRECIAÇÃO:			
Existem	vários	métodos	para	o	cálculo	da	depreciação	
	
4.1	-	MÉTODO	VALOR	RESIDUAL:	(MVR)				ou				MÉTODOS	DAS	QUOTAS	CONSTANTES:	(MQC)	
É	o	custo	decorrente	do	desgaste	ou	da	obsolescência	dos	ativos	imobilizados	da	empresa.		
(	Exemplos:	máquinas,	veículos,	móveis,	imóveis	e	instalações)	da	empresa.	
	
	
	
	
	
	
Exemplo:	1	
	Se	um	bem	custou	$	132.000,00,	e	estima-se	que	o	prazo	de	vida	útil	do	bem	é	de	10	anos	(120	meses)	e,	o	seu	valor	residual	
é	de	$	12.000,00.	O	cálculo	se	dá	da	seguinte	forma:	
	
	
	
	
	
Esse	é	o	método	mais	simples	e	o	mais	utilizado,	o	bem	será	consumido	no	equivalente	a	$1.000	por	mês,	até	que	chegue	ao	
valor	total	de	$120.000.	
	
4.2	-	MÉTODO	DO	TEMPO	DE	VIDA	ÚTIL:	(MTVU)	ou	MÉTODO	DA	SOMA	DOS	DÍGITOS	DOS	ANOS:	
(MSDA)	
Por	este	método	a	depreciação	é	calculada	dividindo-se	o	valor	a	ser	depreciado	pelo	tempo	de	vida	útil	do	bem,	é	baseado	
na	passagem	do	tempo,	diferenciando-se	do	anterior	por	distribuir	a	depreciação	do	bem	de	forma	decrescente	(ou	
crescente)	durante	a	vida	útil	estimada	do	bem.	
	
Exemplo	1:	Um	equipamento	no	valor	de	R$	20.000,00,	com	vida	útil	estimada	de	5	anos.		
Qual	o	valor	da	depreciação	ao	final	do	3º	ano?	
	
1+2+3+4+5=15%					(		Soma	dos	dígitos		-			1+2	=	3		/		3+3	=	6		/		6+4	=	10		/		10	+	5	=	15,	em	porcentagem	)	
	
	Exemplo:	2	-		supondo	que	a	depreciação	fosse	em	3	anos,	então	1+2+3	=	6%	
	
Valor	do	bem	adquirido	=		$	20.000,00	
Ano	 Proporção	
Depreciação	do	Ano	
%	 Depreciação	do	Ano	$	 Depreciação	Acumulada	
1º	 5/15	 33,33%	 (20.000,00	x	5/15)	=					$	6.666,67		 6.666,67	
2º	 4/15	 26,67%	 (20.000,00	x	4/15)	=					$		5.333,33		 12.000,00	
3º	 3/15	 20,00%	 (20.000,00	x	3/15)	=					$		4.000,00		 16.000,00	
4º	 2/15	 13,33%	 																												2.666,67		 18.666,67	
5º	 1/15	 6,67%	 																												1.333,33		 20.000,00	
	 15/15	 100%	 20.000,00	 	
R:	Ao	final	do	terceiro	ano,	o	valor	da	Depreciação	Acumulada	é	de	$	16.000,00	
5	-	DESPESA:	(D)	
É	todo	o	gasto	na	atividade	de	manutenção	da	empresa.	
Ex.:	Materiais	de	escritório,	Salários	da	administração.	
Como	diferenciar?	
Faz-se	a	pergunta:		Se	eliminarmos	esse	gasto	a	produção	seria	afetada?	
	
5.1	-	DESPESAS	VARIÁVEIS:	(DV)	
São	as	que	variam	com	o	volume	produzido.		
Exemplos:	Comissão	sobre	as	vendas,	impostos,	etc.	
Onde:	
D	=	Depreciação	
Va	=	Valor	Atual	do	Ativo	
Vr	=	Valor	Residual	
Te	=	Tempo	de	vida	útil	do	ativo	
𝐷𝐷 =	
132.000 − 12.000
120 = 	
120.000
120 = 1.000	
𝑫𝑫 =	
𝑪𝑪𝑽𝑽 − 𝑪𝑪𝑽𝑽
𝑪𝑪𝑻𝑻 	
Atenção:	O	valor	residual	deve		ser	estimado.	
Quando	 chegar	 na	 data,	 qual	 o	 valor	 de	 mercado	 desse	
bem?	
	
Se	a	resposta	for	“sim”	é	um	custo	,	se		resposta	
for	“não”	é	despesa	
Ex.:		
Salário	do	Presidente	=	despesa	
Propaganda	=	despesa	
Salário	do	Ger.	Da	Fábrica	=	custo	
	
m.a.perissinotto – NCQ - 6	
5.2	-	DESPESAS	FIXAS:	(DF)	
São	as	que	não	variam	conforme	a	produção,	devem	ser	pagas	independente	do	volume	produzido	(	ou	vendido).	
Exemplos:	Aluguel,	Seguro,	Honorários	de	terceiros,	etc.	
	
6	-	DUMPING:		
Prática	comercial	que	consiste	em	vender	produtos	a	preços	inferiores	ao	seu	custo	com	a	finalidade	de	eliminar	concorrentes	
e/ou	ganhar	mais	participação	de	mercado.		
	
7	-	FLUXO	DE	CAIXA:		
O	fluxo	de	caixa	tem	por	objetivo	principal,	a	projeção	das	entradas	e	das	saídas	dos	recursos	financeiros	da	empresa	em	um	
determinado	período	de	tempo.	
	
8	-	INVESTIMENTO:	(I)	
Economicamente	investimento	é	o	capital	aplicado	na	esperança	de	obtenção	de	rendimentos	num	determinado	prazo.	
No	investimento	temos	três	variáveis:		
1- Qual	o	rendimento	esperado?	
2- Qual	a	probabilidade	de		se	alcançar	esse	rendimento?	
3- Qual	o	prazo	para	se	obter	esse	rendimento?	
	
9	-	LUCRO	BRUTO:	(LB)		
Diferença	 entre	 a	 receita	 e	 o	 custo	 de	 produção,	 Incluindo-se	 os	 gastos	 com	 insumos,	 energia	 e	 outras	 despesas	 como		
remuneração	dos	empregados.	
	
	
	
	
10	-	LUCRO	LÍQUIDO:	(LL)		
Equivale	ao	LUCRO	BRUTO-LB,	menos	as	deduções	de	imposto	de	renda	e	de	outras	taxas	que	a	empresa	tenha	que	pagar.	
	
	
	
11	-	LUCRO	OPERACIONAL:	(LO)			ou			MARGEM	LÍQUIDA:	(ML)						
	
Os	investidores	se	baseiam	no	resultado	desse	cálculo,	para	decidirem	se	investem	ou	não	na	empresa.	
Calculado	durante	um	período	definido	(normalmente	um	ano)	
Do	LUCRO	BRUTO	–LB,	tira-se	todas	as	demais	despesas	(administrativa,	comerciais,	operacionais),	logo	é	possível	se	obter	o	
resultado	operacional	da	empresa,	visto	que	todos	os	custos	e	não	só	os	de	produção	são	considerados	no	cálculo.	
É	 igual	a	RECEITA	TOTAL-RT	menos	os	CUSTOS	VARIÁVEIS-CV	+	CUSTOS	FIXOS-CF,	sendo	um	indicativo	de	 lucratividade:	se	
compararmos	duas	empresas	de	mesma	atividade,	aquela	que	tem	maior	LUCRO	OPERACONAL		é	a	que	apresenta	melhor	
rentabilidade	no	negócio.	
	
	
	
12	-	LUCRATIVIDADE:		
É	a	relação	do	valor	do	LUCRO	LÍQUIDO-LL,	com	o	montante	de	vendas,	ou	seja,	divide-se	o	valor	do	lucro	pelo	volume	de	
vendas.	O	resultado	pode	ser	mensal,	anual,	etc.	
	
	
	
13	-	MARGEM	BRUTA	-	MB:		
Mede	 a	 rentabilidade	 do	 negócio,	 ou	 seja	 o	 lucro	 que	 a	 empresa	 ganha	 no	 negócio.	 Alguns	 produtos	 permitem	 uma	
rentabilidade	maior	que	outros,	neste	cálculo	teremos	a	média	obtendo	um	resultado	final	da	empresa.	
É	calculada	pela	subtração	de	todas	as	despesas	(	custos,	despesas,	gastos,	impostos,	etc.),	da	RECEITA	TOTAL-RT,	sendo	um	
dos	melhores	indicadores	de	produtividade,	ou	seja,	é	quanto	a	empresa	tem	de	lucro.	
	
	
	
𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝑪𝑪𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻	𝒅𝒅𝑻𝑻	𝒗𝒗𝑻𝑻𝒗𝒗𝒅𝒅𝑽𝑽𝒗𝒗	(𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝑽𝑽) −	Custos	(despesas)	
𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 − (𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑻𝑻𝒗𝒗𝑻𝑻𝑻𝑻𝒗𝒗	𝑻𝑻	𝑪𝑪𝑽𝑽𝑻𝑻𝑽𝑽𝒗𝒗)	
𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑰𝑰𝑪𝑪𝑰𝑰𝑫𝑫𝑳𝑳𝑫𝑫𝑳𝑳 = 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋	𝐋𝐋Í𝐐𝐐𝐋𝐋𝐐𝐐𝐐𝐐𝐋𝐋
𝐕𝐕𝐕𝐕𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋	𝐓𝐓𝐋𝐋𝐓𝐓𝐕𝐕𝐋𝐋	𝐐𝐐𝐕𝐕𝐃𝐃	𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐐𝐐𝐕𝐕𝐃𝐃
×𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏						
𝑴𝑴𝑳𝑳 = 𝑳𝑳𝑪𝑪 − (	𝑪𝑪𝑻𝑻𝒅𝒅𝑽𝑽	𝑻𝑻	𝒒𝒒𝒒𝒒𝑽𝑽𝑻𝑻𝒒𝒒𝒒𝒒𝑻𝑻𝑽𝑽𝒗𝒗𝑽𝑽í𝒅𝒅𝑽𝑽	𝒅𝒅𝑻𝑻	𝒅𝒅𝒓𝒓𝒗𝒗𝒅𝒅𝑻𝑻𝒓𝒓𝑽𝑽𝑻𝑻, 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑰𝑰𝑻𝑻:	𝒓𝒓𝒒𝒒𝒗𝒗𝑻𝑻𝑻𝑻𝒗𝒗, 𝒅𝒅𝑻𝑻𝒗𝒗𝑰𝑰𝑻𝑻𝒗𝒗𝑽𝑽𝒗𝒗,𝒈𝒈𝑽𝑽𝒗𝒗𝑻𝑻𝑻𝑻𝒗𝒗, 𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓.)	
𝑳𝑳𝑳𝑳 = (𝑴𝑴𝑳𝑳) = 𝑳𝑳𝑪𝑪 −	(𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪)	
m.a.perissinotto – NCQ - 7	
14	-	MARGEM	DE	CONTRIBUIÇÃO:	(MC)		
Esse	 cálculo	 demonstra	 quanto	 da	 receita	 sobra	 para	 pagar	 os	 custos	 fixos	 e,	 obter	 lucro	 após	 o	 desconto	 dos	 CUSTOS	
VARIÁVEIS-CV,	é	quanto	sobra	de	receita,	após	as	vendas.		
É	 calculada	 pela	 subtração	 dos	 CUSTOS	 VARIÁVEIS-CV,	 do	 PREÇO	 DE	 VENDA.	 Representa	 quanto	 cada	 produto/serviço,	
contribui	para	cobrir	os	custos	fixos	e	formar	o	lucro	da	empresa.	
	
	
	
Exemplo	
Uma	empresa,	com	um	CF	(Custos	Fixos)	$	304.500,00,		fabrica	os	produtos	X,	Y,	Z.		
Em	um	determinado	período	o	resultado	foi:	
	
(1)	
Prod.	
(2)	
Qtde	
vendida	
(3)	
$	de	Venda	
unit.	
(5)	
CV	–	unit.	
(6)	
MC	-	unit.	
(7)	=	(2)	X	(3)	
MC	total	
X	 500	 $	510,00	 $85.000,00	 $	150,00	 $	75.000,00	
Y	 1000	 $	335,00	 $95.000,00	 $	100,00	 $	100.000,00	
Z	 2000	 $	430,00	 $124.000,00	 $	130,00	 $	260.000,00	
	 	 	 $304.000,00	 	 $435.000,00	
Cálculo:	
	
	
	
	
	
15	-	MARGEM	OPERACIONAL:	(MO)		
É	 calculada	 pela	 divisão	 do	 LUCRO	 OPERACIONAL-LO	 pela	 RECEITA	 LÍQUIDA-RL,	 sendo	 um	 bom	 indicador	 de	 eficiência	
operacional:	 se	 compararmos	 duas	 empresas	 de	 mesma	 atividade,	 aquela	 que	 tem	 maior	 margem	 operacional	 é	 a	 que	
apresenta	melhores	resultados	para	cada	real	vendido,	tendo	assim,	custos	operacionais	mais	reduzidos.	
	
	
	
	
16	-	MARK-UP:		
É	a	margem	da	receita	de	vendas	(faturamento)	sobre	os	custos	diretos	de	produção.	Essa	margem	deve	ser	tal	que	permita	à	
empresa	cobrir	os	custos	diretos	(ou	variáveis),	os	custos	fixos	e	a	parcela	desejada	de	lucro	da	empresa.		
É	um	coeficiente	que	aplicado	sobre	os	custos	determina	o	preço	de	venda.	
	
	
	
	
	
		
Elementos	constantes	MARK-UP:	
												
DESPESAS	E	MARGEM	DE	LUCRO	 	 IMPOSTOS	
SOBRE	VENDAS	
 Despesas	Administrativas	 ü ICMS	
 Despesas	Comerciais		 ü PIS	
 Outras	Despesas	Operacionais		
 (assist.	técnica,	engenharia)	
ü COFINS	
 Custo	Financeiro	de	produção	
e	vendas	
	
 Margem	de	lucro	desejada	 	
				
	
MC	total	 $	435.000,00	
(-)	CV	(Custo	Variáveis)	 $	304.000,00	
(=)	LO	(Lucro	Operacional)	ou	ML	(Margem	Líquida)		 $	130.500,00	
Onde:	
STP	=	Soma	Total	dos	Percentuais	sobre	preço	de	venda	
%	Custo	variável	
%	Custo	Fixo	
%	Lucro	
	
𝑴𝑴𝑳𝑳 =	
𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑳𝑳𝑳𝑳	𝑳𝑳𝑶𝑶𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑰𝑰𝑳𝑳𝑶𝑶𝑳𝑳𝑳𝑳
𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑳𝑳𝑰𝑰𝑪𝑪𝑳𝑳	𝑳𝑳Í𝑸𝑸𝑳𝑳𝑰𝑰𝑫𝑫𝑳𝑳
×𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏	
	
𝑴𝑴𝑳𝑳𝑳𝑳𝑴𝑴	𝑳𝑳𝑶𝑶 =
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑺𝑺𝑪𝑪𝑶𝑶	
𝑴𝑴𝑪𝑪 = 𝑶𝑶𝑳𝑳𝑳𝑳Ç𝑳𝑳	𝑫𝑫𝑳𝑳	𝑪𝑪𝑳𝑳𝑶𝑶𝑫𝑫𝑳𝑳− 𝑪𝑪𝑪𝑪	
PREÇO	DE	VENDA	 100%	
(-)	Impostos	s/	Vendas	 21%	
(-)	Comissões	 1%	
(-)	Despesas	Fixas	 25%	
(-)	Lucro	 13%	
(=)	CUSTO	DA	
MERCADORIA	 40%	
Tab.	1	
m.a.perissinotto – NCQ - 8	
ATENÇÃO:	
Em	geral,	o	IPI	não	é	computado	dentro	do	MARK-UP,	porque,	em	nosso	país,	a	legislação	fiscal	atual	exige	que	o	preço	de	
venda	já	contenha	dentro	de	si	o	ICMS,	mas	trata	o	IPI	como	se	fosse	um	imposto	que	não	faz	parte	do	preço	de	venda,	sendo	
exclusivamente	de	competência	do	contribuinte	final,	onde	cessa	o	processo	de	industrialização	do	produto.	
Exemplo:	
																																						Conforme	Tab.	1	
	
	
	
	
	
	
	
17	-	PONTO	DE	EQUILÍBRIO:	(PE)		
Significa	a	quantidade	que	equilibra	a	receita	total	com	a	soma	dos	custos	e	despesas	relativos	aos	produtos	vendidos.	
	
	
																																																																																															
	
																						OU		
	
	
	
	
Exemplo:			
	
	
	
	
	
	 	 	 	 	 	 	 	
18	-	RECEITA	TOTAL:	(RT)				ou					RECEITA	BRUTA:	(RB)		
É	o	preço	unitário	multiplicado	pela	quantidade	vendida	do	bem.	
	
	
	
	
	
19	-	RECEITA	LÍQUIDA:	(RL)		
É	a	receita	bruta	menos	as	devoluções	de	produtos	e	os	impostos	pagos	pela	empresa.	
	
	
	
	
20	-	RENTABILIDADE:		
É	uma	medida	do	retorno	de	um	investimento.	Calcula-se	dividindo	o	LUCRO	LÍQUIDO	–LL,	obtido	pelo	valor	do	investimento	
inicial.	Pode-se	dizer	que	a	rentabilidade	é	a	quantidade	de	dinheiro	que	o	investidor	ganha	para	cada	quantia	investida.		
	
	
	
	
	
	
	
𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝑳𝑳𝑳𝑳− (𝑫𝑫𝑻𝑻𝒗𝒗𝑻𝑻𝑻𝑻𝒒𝒒çõ𝑻𝑻𝒗𝒗 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑻𝑻𝒗𝒗𝑻𝑻𝑻𝑻𝒗𝒗)	
𝑳𝑳𝑳𝑳𝑶𝑶𝑪𝑪𝑳𝑳𝑳𝑳𝑰𝑰𝑳𝑳𝑰𝑰𝑫𝑫𝑳𝑳𝑫𝑫𝑳𝑳 =	 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑪𝑪𝑳𝑳𝑳𝑳	𝑳𝑳Í𝑸𝑸𝑳𝑳𝑰𝑰𝑫𝑫𝑳𝑳
𝑰𝑰𝑶𝑶𝑪𝑪𝑳𝑳𝑺𝑺𝑪𝑪𝑰𝑰𝑴𝑴𝑳𝑳𝑶𝑶𝑪𝑪𝑳𝑳	𝑰𝑰𝑶𝑶𝑰𝑰𝑪𝑪𝑰𝑰𝑳𝑳𝑳𝑳
×𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏		
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐶𝐶
𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝐶𝐶𝐶𝐶
≫
198,00 + 50,00
335,00 − 105,00
≫
248,00
230,00
= 1,0783	
𝑶𝑶𝑳𝑳 =	
𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑫𝑫𝑪𝑪
𝑳𝑳𝑪𝑪 − 𝑪𝑪𝑪𝑪	
𝑶𝑶𝑳𝑳 =	
𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑫𝑫𝑪𝑪
𝑴𝑴𝑪𝑪𝒒𝒒
	
Onde:	
CF	=	Custos	Fixos	
CV	=	Custos	Variáveis	
RT	=	Receita	Total	
DF	=	Despesas	Fixas	
MCU	=	Margem	de	Contribuição	Unitário	
	
Preço	de	venda	 $	335,00	
CV	 	 $	105,00	
CF	 	 $	198,00	
DF	 $	50,00	
MCu	 $	230,00	
	
Cálculo	do	preço	de	venda	
Custo	Base	 $	120,00	 ou	 Custo	Base	 $	120,00	
(x)	Mark-up	 2,5	 (÷)	Mark-up		 0,40	
(=)	Preço	de	Venda	 $	300,00	 (=)	Preço	de	Venda	 $	300,00	
	
MARK-UP=		100	/	40	=	2,5				 ou				 Preço	de	venda	/	0,40	
	
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐶𝐶
𝑀𝑀𝐶𝐶����.
≫
198,00 + 50,00
230
= 1,0783	
𝑳𝑳𝑪𝑪	𝑻𝑻𝒒𝒒	𝑳𝑳𝑳𝑳 = �(𝑶𝑶𝑽𝑽𝑻𝑻ç𝑻𝑻	𝒒𝒒𝒗𝒗𝒓𝒓𝑻𝑻. 𝒅𝒅𝑻𝑻	𝒓𝒓𝑽𝑽𝒅𝒅𝑽𝑽	𝑰𝑰𝑽𝑽𝑻𝑻𝒅𝒅.×𝑸𝑸𝑻𝑻𝒅𝒅𝑻𝑻	𝒗𝒗𝑻𝑻𝒗𝒗𝒅𝒅𝒓𝒓𝒅𝒅𝑽𝑽	𝒅𝒅𝑻𝑻	𝒓𝒓𝑽𝑽𝒅𝒅𝑽𝑽	𝑰𝑰𝑽𝑽𝑻𝑻𝒅𝒅𝒒𝒒𝑻𝑻𝑻𝑻)	
m.a.perissinotto – NCQ - 9	
NOÇÕES	BÁSICAS	DE	MATEMÁTICA	FINANCEIRA	
	
MATEMÁTICA FINANCEIRA: 
Estuda	as	diversas	 formas	de	evolução	do	valor	do	dinheiro	no	 tempo,	bem	como	as	 formas	de	análise	e	 comparação	de	
alternativas	para	aplicação	/	obtenção	de	recursos	financeiros.	
________________________________________________________________________________________________ 
1 - Capital: (C) 
É	qualquer	valor	expresso	em	moeda	(dinheiro	ou	bens	comercializáveis)	disponível	em	determinada	época.	Referido	montante	
de	dinheiro	também	é	denominado	de	capital	inicial	ou	principal.	
________________________________________________________________________________________________ 
2 - Juros: (J) 
É	o	aluguel	que	deve	ser	pago	ou	recebido	pela	utilização	de	um	valor	em	dinheiro	durante	um	certo	tempo;	é	o	rendimento	
em	dinheiro,	proporcionado	pela	utilização	de	uma	quantia	monetária,	por	um	certo	período	de	tempo.	
________________________________________________________________________________________________ 
3 - Taxa de Juros: 
É	um	coeficiente	que	corresponde	à	razão	entre	os	juros	pagos,	no	final	de	um	tempo	determinado	e	o	capital	empregado.			
Exemplo:	Capital	Inicial	:	$	100	
							Juros	:	$	50	
							Taxa	de	Juros:	$	50	/	$	100	=	0,5	ou	50	%	ao	período	
________________________________________________________________________________________________ 
4 - Montante: (M) 
Denominamos	Montante	(Capital	Final)	de	um	financiamento	a	soma	do	Capital		aplicado	com	os	juros	ou	recebidos.	
Exemplo:	Capital	Inicial	=	$	1000	
+	Juros	=	$	50	
=	Montante	=	$	1500	
_____________________________________________________________________________________________________	
5 - Fluxo de Caixa: 
É	a	análise	entre	o	total	de	entrada	e	o	total	de	saída	de	dinheiro	do	seu	caixa,	num	determinado	período.	
_____________________________________________________________________________________________________	
6 - Regimes de Capitalização: 
quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o 
montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: 
________________________________________________________________________________________________ 
7 - Capitalização Simples: 
Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal 
ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros 
 
Ex.:	1	-	Qual	o	valor	dos	juros	correspondentesa	um	empréstimo	de	$	10.000,00,	pelo	prazo	de	15	meses,	sabendo-se	que	a	
taxa	cobrada	é	de	3%	a	m.?	
Dados:	C		=	5.000,00	
													n	=	t		=	12	meses	
													i			=	4%	a	m.	=	0,04%	
________________________________________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	2	-	Capital	de	$	30.000,00,	aplicado	durante	10	meses,	rende	juros	de	$	5.000,00.	Determinar	a	taxa	correspondente?	
Dados:	C		=	30.000,00		
														j			=			5.000,00	
													n		=	t	=	10	meses 
__________________________________________________________________________________________________________________ 
JUROS	SIMPLES	
Aplicado	quando	o	percentual	de	juros	incidir	apenas	sobre	o	valor	inicial	(	valor	antes	de	somarmos	os	juros),	ou	seja	sobre	os	
juros	gerados	não	devem	incidir	novos	juros.	
	
	
	
 
 
 
A	soma,	CAPITAL+JUROS,	resulta	no	MONTANTE.	Então	temos	que:	
 
	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡		 ≫ 5.000,00×0,04×12		 ≫ 	2.400,00	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡			 ≫ 	𝑖𝑖 =
𝐽𝐽
𝐶𝐶×𝑡𝑡
			≫ 	𝑖𝑖 =
5000
30000×10
= 0,016	
𝐉𝐉 = 	 (𝑪𝑪×𝒓𝒓×𝑻𝑻) 
Onde:	
J	=	Juros	
C	=	Capital		=	P	=	Principal	
i	=	Taxa	de	Juros		
t	=	tempo		=		n	
	
𝐌𝐌 = 𝐋𝐋 + 𝐉𝐉	
ATENÇÃO:	
A	taxa	(	i	)	e	o	tempo	(	t	),	
devem	estar	na	mesma	
unidade	de	tempo	
m.a.perissinotto – NCQ - 10	
Ex.:	1		
Temos	uma	dívida	de	R$	5	000,00	que	deve	ser	paga	com	juros	de	5%	a.m.	(	ao	mês),	pelo	regime	de	juros	simples	e	devemos	
pagá-la	em	5	meses.	Quanto	pagaremos	de	juros,	e	qual	será	o	montante	(total)?	
	
	
 
______________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	2	
Calcule	o	montante	na	aplicação	de	$	50	000,00	à	taxa	de	14,5%	a.a.	durante	150	dias.	
1º	-	igualar	a	unidade	de	tempo	para	a	taxa:				
	
	
______________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	3	
Uma	pessoa	aplicou	o	capital	de	R$	1.200,00	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês	durante	14	meses.	Determine	os	juros	e	o	montante	
dessa	aplicação.	
C=	1.200,00	
t=	14	meses	
i=	2%	ao	mês	=	0,02	
 
O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 1.536,00. 
 
Ex.:	4	
Determine	o	montante	de	uma	aplicação	de	R$	5.000,00,	à	taxa	de	2,5%	ao	mês,	durante	10	meses.	
	
C=	5.000,00	
I=	2,5%	=	0,025	
t=	10	meses	
	
	
	
Ex.:	5	
Um	investidor	aplica	R$	1.000,00	a	juros	simples	de	3%	ao	mês.	Determine	o	valor	recebido	após	um	ano.	
C=	1.000,00	
I=	0,03	ao	mês	
t=	01	ano	(12	meses)	
 
 
 
Ex.:	6	
Um	capital	aplicado	a	juros	simples	durante	2	anos,	sob	taxa	de	juros	de	5%	ao	mês,	gerou	um	montante	de	R$	26.950,00.	
Determine	o	valor	do	capital	aplicado.		
M=	26.950,00	
i=	0,05	
t=	02	anos	=	24	meses	
	
 
	
	
	
	
	
	
	
	
𝐽𝐽 = (𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑛𝑛) = 5.000×0,05×5 = 373,51	
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑛𝑛𝑡𝑡𝑀𝑀𝑛𝑛𝑡𝑡𝑀𝑀	 → 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽		 ≫ 5000,00 + 373,51		 ≫ 𝑀𝑀 = 5.373,51	
1	𝑀𝑀𝑛𝑛𝑀𝑀		 → 360	𝑑𝑑𝑖𝑖𝑀𝑀𝑑𝑑
						𝑥𝑥						 → 		150	𝑑𝑑𝑖𝑖𝑀𝑀𝑑𝑑
= 𝑥𝑥×360 = 1×150 = 		𝑥𝑥 = 	
150
360
= 0,417	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 = 50.000 + 302,32 = 50.302,32	𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡 = 50000×14,5×0,417 = 302,32	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡	 ≫ 1200×0,02×14 = 336,00	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 = 𝐽𝐽	 ≫ 1200 + 336 ≫ 𝑀𝑀 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡 ≫ 5000×0,025×10 = 1.250	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 ≫ 5.000 + 1250 = 6.250	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡 ≫ 1000×0,03×12 = 360,00	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 ≫ 1000 + 360 = 1.360,00	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 ≫ 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 = 𝐽𝐽 ≫ 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡	
26950 − 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶×0,05×24 ≫ 26950 − 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶×1,2	
26950 = 1,2𝐶𝐶 + 𝐶𝐶 ≫ 𝐶𝐶 =
26950
2,2
= 12.250,00	
m.a.perissinotto – NCQ - 11	
Ex.:	7	
Uma	quantia	foi	aplicada	a	juros	simples	de	6%	ao	mês,	durante	5	meses	e,	em	seguida,	o	montante	foi	aplicado	durante	mais	
5	meses,	a	juros	simples	de	4%	ao	mês.	No	final	dos	10	meses,	o	novo	montante	foi	de	R$	234,00.	Qual	o	valor	da	quantia	
aplicada	inicialmente?		
1ª	aplicação	
i=		6%	ao	mês	=	0,06	
t=	5	meses	
2º	aplicação	
O	capital	da	2º	aplicação	será	o	montante	da	1º.	Observe:	
C=	1,3C	
i	=	4%	ao	mês	=	0,04	
t	=	5	meses	
 
Ex.:	8	
Um	capital	é	aplicado	a	juros	simples	de	5%	ao	semestre	(5	%	a.s.),	durante	45	dias.	Após	este	prazo,	foi	gerado	um	montante	
de	R$	886.265,55.	Qual	foi	o	capital	aplicado?	
 
Lembrando	que	a	taxa	i	e	o	período	n	têm	de	ser	expressos	relativo	à	mesma	unidade	de	tempo,	vem:	
	
	
	
	
	
M=886.265,55	
I=	0,05	a.s	
t=	45	dias	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡 ≫ 𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×0,06×5 ≫ 𝐽𝐽 = 0,3×𝐶𝐶	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 ≫ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 0,3𝐶𝐶 ≫ 𝑀𝑀 = 1,3𝐶𝐶	
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶×𝑖𝑖×𝑡𝑡 ≫ 𝐽𝐽 = 1,3𝐶𝐶×0,04×5 ≫ 𝐽𝐽 = 0,26𝐶𝐶 	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 ≫ 234 = 1,3𝐶𝐶 + 0,26𝐶𝐶 ≫ 234 = 1,56𝐶𝐶 ≫	≫ 𝐶𝐶 =
234
1,56
= 150,00	
1𝑑𝑑𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑑𝑑𝑡𝑡𝑠𝑠𝑀𝑀	 → 180	𝑑𝑑𝑖𝑖𝑀𝑀𝑑𝑑	
"x"𝑑𝑑𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑑𝑑𝑡𝑡𝑠𝑠𝑀𝑀	 → 45	𝑑𝑑𝑖𝑖𝑀𝑀𝑑𝑑
≫ 𝑥𝑥 =
45
180
≫ 𝑥𝑥 = 0,25𝑑𝑑𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑑𝑑𝑡𝑡𝑠𝑠𝑀𝑀	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×�1 + (𝑖𝑖×𝑛𝑛)� ≫ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + �0,05× �
45
180
�� ≫ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(0,05×0,250) ≫	
886.265,55 = 𝐶𝐶×(1 + 0,0125) ≫ 𝐶𝐶 = 	
886.265,55
1,0125
≫ 𝐶𝐶 = 875.324,00	
	
m.a.perissinotto – NCQ - 12	
JUROS	COMPOSTOS	
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de 
problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do 
período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
 
Após	três	meses	de	capitalização,	temos:	
				1º	mês:	M	=C	x	(1	+	i)	
				2º	mês:	o	principal	é	igual	ao	montante	do	mês	anterior:	M	=	[C	x	(1	+	i)]	x	(1	+	i)		
				3º	mês:	o	principal	é	igual	ao	montante	do	mês	anterior:	M	=	{[C	x	(1	+	i)]	x	(1	+	i)}	x	(1	+	i)}	
Ou	seja:	M=	C	x	(1+i)	x	(1+i)	x	(1+i)	
				Simplificando,	obtemos	a	fórmula:	
 
IImmppoorrttaannttee:: 
a	taxa		“	i	”		tem	que	ser	expressa	na	mesma	medida	de	tempo	de	“n”,	ou	seja:	
taxa	de	juros	“i	a.m.”	para	“n”	meses,		
taxa	de	juros	“i	a.a.”,	(	ao	ano),	para	“n”	anos,		
taxa	de	juros	“i	a.d.”	(	ao	dia),	para	“n”	dias.	
 
Ex.:	1	
Calcule	o	montante	de	um	capital	de	$10.000,00,	aplicado	a	juros	compostos,	durante	1	ano,	à	taxa	de	3,5%	ao	mês.	
Dados: C = 10.000 
 i = 3,5% a.m. = 0,035 
 n = 1 ano = 12 meses 
 
Para aqueles que não gostam de calculadora: Considerar: x = 1,03512 e aplicar logaritmos, logo: 
 
 
 
 
 
Dessa forma encontramos a taxa de juros (1,511), então: M=P x i ðM=10000x1,511 ðM=$15.110 
______________________________________________________________________________________________ 
Ex.:2	
Querendo	antecipar	o	pagamento	de	uma	dívida	para	hoje,	determinar	o	valor	a	ser	pago,	sabendo-se	que	a	dívida	vencerá	
daqui	a	12	meses	e,	que	naquela	data	teria	de	padar	R$	15.000,00	à	taxa	de	3%	a.m.	
 
	
	
	
	
Ex.:	3	
Aplicando-se	R$	15.000,00	a	uma	taxa	de	juro	composto	de	1,7%	a.m.,	quanto	receberei	de	volta	após	um	ano	de	aplicação?	
Qual	o	juro	obtido	neste	período?	
 
Como	a	taxa	de	juros	está	em	meses,	também	iremos	trabalhar	com	o	período	de	tempo	em	meses	e	não	em	anos	como	está	
no	enunciado	do	problema.	
Pelo	enunciado	identificamos	que	foram	solicitados	o	montante	e	o	juro,	utilizaremos,	portanto	a	fórmula	abaixo	que	nos	dá	
o	montante:	
C=	15.000,00	
I=	1,7%a.m.	=	0,017	
	
	
 
Sabemos	que	a	diferença	entre	o	montante	e	o	capital	aplicado	nos	dará	os	juros	do	período.	Temos	então:	
	
	
	
	
 
 
𝑴𝑴 = 𝑪𝑪×(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗	
𝐉𝐉 = 𝐌𝐌 − 𝐋𝐋	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� → 𝑀𝑀 = 10000×(1 + 0,035)�� → 𝑀𝑀 = 10000×1,035��	
log 𝑥𝑥 = log1,035�� 			èè 	log 𝑥𝑥 = 12× log1,035			èè	 log 𝑥𝑥 = 12×0,01494			èè	𝑙𝑙𝑀𝑀𝑙𝑙𝑥𝑥 = 0,1793	
𝑙𝑙𝑀𝑀𝑙𝑙𝑥𝑥 = 0,1793, 𝑙𝑙𝑀𝑀𝑙𝑙𝑀𝑀				èè		10�,���� = 1,511	
Se	quisermos	saber	o	valor	dos	juros,	cobrados,	no	final	
do	período,	basta	diminuir	o	CAPITAL	do	MONTANTE.	
	
M = C×(1 + i)�		è	𝐶𝐶 =
𝑀𝑀
(1 + 𝑖𝑖)� 	è	
15.000
(1 + 0,03)�� 		è	
15.000
1,03�� 		è	
15.000
1,425761 = 10.521.00	
		
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� ≫ 15000×(1 + 0,017)��≫ 15000×1,017�� ≫	
𝑀𝑀 = 15000×1,224197 ≫ 𝑀𝑀 = 18362,96	
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 ≫ 18362,96 − 15000 = 3.362,96	
m.a.perissinotto – NCQ - 13	
 
Ex.:	4	
Aplicando	hoje	na	caderneta	de	poupança	a	quantia	de	R$	20.000,00,	qual	será	o	montante	gerado	ao	final	de	4	anos,	
sabendo	que	a	rentabilidade	mensal	é	de	0,5%?	
C=	20.000	
I=	0,5%a.m.	=	0,005	
t=	4	anos	=	48	meses	
	
	
	
Ex.:	5	
Encontre	o	montante	produzido	por	um	capital	de	R$5.000,00,	empregado	a	juros	compostos	de	3%	ao	mês	durante	12	meses.	
C=5.000,00	
i=	3%	a.m.	
t=	12	meses	
 
 
 
Ex.:	6	
Quanto	terei	de	aplicar	hoje	num	fundo	de	renda	fixa	para	que,	ao	final	de	10	anos	a	uma	taxa	de	1,3%a.m.,	haja	um	
montante	de	R$	100.000,00?		
C=	?	
M=100.000,00	
i=	1,3%	a.m.	
t=	10	anos	=	120	meses	
	
	
	
Ex.:	7	
Determinado	capital	gerou,	após	24	meses,	um	montante	de	R$	15.000,00.	Sabendo	que	a	taxa	de	juros	é	de	2%	ao	mês,	
determine	o	valor	desse	capital.	
C=	?	
M=	15.000,00	
i=	2%a.m.	=	0,02	
t=	24	meses	
 
 
Ex.:	8	
Determine	o	capital	aplicado	a	juros	compostos	de	3,5%	a.m.,	sabendo	que	após	8	meses	rendeu	um	montante	de	R$	19752.	
C=	?	
M=	19.752,00	
i=	3,5%	a.m.	
t=	8	meses	
	
	
	
	
Ex.:	9	
Querendo antecipar o pagamento de uma dívida para hoje, determine o valor a ser pago sabendo-se que a dívida 
venceria daqui a 12 meses. Que naquela data teria de pagar R$ 15.000,00, a uma taxa de juros de 3%a.m. 
M= 15.000,00 
i= 3%a.m. = 0,03 
t= 1 2meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� ≫ 𝑀𝑀 = 20000×(1 + 0,005)�� ≫ 𝑀𝑀 = 20000×1,005�� 	
𝑀𝑀 = 20000×1,270489 = 25.409,78	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� ≫ 𝑀𝑀 = 5000×(1 + 𝑖𝑖)�� ≫ 5000×1,03�� ≫ 5000×1,425 ≫	
𝑀𝑀 = 5000×1,425 = 7.128,80	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 +)� ≫ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 0,013)��� ≫ 𝐶𝐶×1,013��� ≫ 𝐶𝐶×4,711221 ≫		
100000 = 𝐶𝐶×4,711221 ≫ 𝐶𝐶 =
100000
4,711221
≫ 𝐶𝐶 = 21.225,92	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)�� ≫ 15000 = 𝐶𝐶×(1 + 0,02)�� ≫ 𝐶𝐶×1,02�� 	≫ 𝐶𝐶×1,6084	
15000 = 𝐶𝐶×1,6084 ≫ 𝐶𝐶 =
15000
1,6084
= 9.325,82	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� ≫ 𝐶𝐶×(1 + 0,035)� ≫ 𝐶𝐶×1,035� 	≫ 𝐶𝐶×1,31681	
19752 = 𝐶𝐶×1,31681	 ≫ 𝐶𝐶 =
19752
1,31681
= 26.009,61	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)� ≫ 15000 = 𝐶𝐶×1,03�� ≫ 𝐶𝐶 =
15000
1,42576
= 𝐶𝐶 = 10.520,00	
m.a.perissinotto – NCQ - 14	
 
Regimes de Capitalização: 
Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante 
pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: 
 
 
Capitalização Simples: 
Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal 
ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros 
 
Ex.:	1	
Qual	o	valor	dos	juros	correspondentes	a	um	empréstimo	de	$	10.000,00,	pelo	prazo	de	15	meses,	sabendo-se	que	a	taxa	
cobrada	é	de	3%	a	m.?	
Dados:	C		=	5.000,00	
														n	=	t		=	12	meses	
														i			=	4%	a	m.	=	0,04%	
___________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	2	
Um	capital	de	$	30.000,00,	aplicado	durante	10	meses,	rende	juros	de	$	5.000,00.	Determinar	a	taxa	correspondente?	
Dados:	C		=	30.000,00		
														j			=			5.000,00	
													n		=	t	=	10	meses 
______________________________________________________________________________________________ 
Capitalização Composta: 
Os juros contabilizados no fim de um período são somados ao capital inicial para o período seguinte e essa soma 
passa a render juros no período seguinte e, assim sucessivamente. No regime de capitalização simples, o montante 
evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o 
montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente. 
 
Ex.:	1	
Um	empréstimo	de	$	20.000,00	por	24	meses,	deve	ser	pago	por	$	38.000,00.	Qual	a	taxa	de	juros	mensal?	
C	=	20.000	
M	=	38.000	
t	=	n	=	24meses	
	
	
	
	
	
	
	
	
____________________________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	2	
Em	quanto	tempo	um	investimento	triplica	se	aplicado	a	taxa	de	3%	a.m.?	
M	=	3C	
I	=	3%	=	0,03	
t=n=?	
	
	
	
	
	
ATENÇÃO:	
	
	
𝑱𝑱 = 𝑪𝑪×𝒓𝒓×𝑻𝑻				èè	5.000,00×0,04×12				èè	2.400,00	
𝑱𝑱 = 𝑪𝑪×𝒓𝒓×𝑻𝑻			èè	𝑖𝑖 =
𝐽𝐽
𝐶𝐶×𝑡𝑡
				èè	𝑖𝑖 =
5000
30000×10
= 0,016	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)��			èè	38.000 = 20.000(1 + 𝑖𝑖)��			èè	
38.000
20.000 =
(1 + 𝑖𝑖)��			èè	𝟏𝟏, 𝟗𝟗 = (𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝟐𝟐𝟐𝟐	
log1,9 = 24× log(1 + 𝑖𝑖) 			èè	
0,278
24 = log
(1 + 𝑖𝑖) 			èè	 log(1 + 𝑖𝑖) = 0,0116	
𝑙𝑙𝑀𝑀𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠𝑀𝑀𝑛𝑛𝑑𝑑𝑀𝑀: log� 𝑥𝑥 = 𝑧𝑧				èè		𝑛𝑛� = 𝑥𝑥 		𝑀𝑀𝑛𝑛𝑡𝑡ã𝑀𝑀:	(1 + 𝑖𝑖) = 1,027	è	1 = 0,027	è	𝑖𝑖 = 2,7%					
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝐼𝐼)�				èè	3𝐶𝐶 = 𝐶𝐶(1 + 0,03)�				èè	3 = (1,03)�	
log3 = 𝑛𝑛 log1,03 			èè	𝑛𝑛 =
log3
log1,03 			èè	𝑛𝑛 =
0,477
0,0128 			èè	𝑛𝑛 ≅ 37	𝑠𝑠𝑀𝑀𝑑𝑑𝑀𝑀𝑑𝑑	
𝟏𝟏%	𝐚𝐚𝐚𝐚	𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦, 𝐦𝐦𝐦𝐦	𝟏𝟏𝟐𝟐	𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦	 ≠ 𝟏𝟏𝟐𝟐%	𝐚𝐚𝐚𝐚	𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚	
m.a.perissinotto – NCQ - 15	
Ex.:	3	
Calcular	a	taxa	de	juros	anual	equivalente	a	taxa	de	1%	ao	ano	
	
	
	
____________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	4	
Disponho	de	R$	200.000,00	e,	devo	escolher	entre	2	alternativas	de	aplicação:	
a)	Comprar	um	terreno	que	poderei	vender	daqui	a	03	anos	por	R$	560.000,00;	
b)	Comprar	Letras	de	Câmbio	que	pagam	2,9%	a.m.	
Qual	a	melhor	opção?	
	
	
	
	
	
	
	
	
BB))		-	Letras	de	câmbio	a	2,9%	a.m.	
	
	
____________________________________________________________________________________________	
REFRESCANDO	A	MEMÓRIA!!!!!		
	
PROGRESSÃO	GEOMÉTRICA	(P.G.),	é	uma	sequência	de	números	reais,	formada	por	termos	iguais	ao	produto	do	anterior	pela	
constante	“q”	chamada	de	razão	da	P.G,	
	
	
	
	
Soma	dos	termo	de	uma	P.G.	finita.	
	
	
	
	
	
	
 
 
 
 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)�� = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)� 	≫ (1 + 0,01)�� = (1 + 𝑖𝑖)� 	≫ 	1,01�� = 1 + 𝑖𝑖			 ≫ 	𝑖𝑖 = 1,01�� − 1	
≫ 𝑖𝑖 = 1,1268 − 1 ≫ 	𝑖𝑖 = 0,1268	 ≫ 	𝑖𝑖 = 12,68%𝑀𝑀. 𝑀𝑀	
𝑽𝑽𝒗𝒗 = 𝑽𝑽𝒗𝒗�𝟏𝟏×𝒒𝒒	 ≫
𝑀𝑀�
𝑀𝑀�
= 𝑞𝑞	 ≫ 𝑀𝑀� = 𝑀𝑀�×𝑞𝑞	
𝑺𝑺𝒗𝒗 = (𝑽𝑽𝟏𝟏 + 𝑽𝑽𝟐𝟐 + ⋯ .+𝑽𝑽𝒗𝒗)×𝒒𝒒	
𝑺𝑺𝒗𝒗 =
𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒒𝒒𝒗𝒗 − 𝟏𝟏)
𝒒𝒒 − 𝟏𝟏 	
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶×(1 + 𝑖𝑖)�	
	
𝑳𝑳) − 560.000 = 200.000×(1 + 𝑖𝑖)�� ≫
560.000
200.000 =
(1 + 𝑖𝑖)�� ≫ �
560.000
200.000
��
= �(1 + 𝑖𝑖)���� 	
�1,029 =�� 1 + 𝑖𝑖 ≫ 1,029 − 1 = 𝑖𝑖 ≫ 𝑖𝑖 = 0,029	
EM	TERMOS	DE	RENTABILIDADE	AMBAS	
AS	APLICAÇÕES	SÃO	IGUAIS	
m.a.perissinotto – NCQ - 16	
CÁLCULO	DO		VALOR	FUTURO	(VF)			E			VALOR	PRESENTE	(VP)	
	
Entendemos	 também	como	uma	série	de	pagamentos,	uma	sucessão	de	 recebimentos,	ou	prestações,	ou	pagamentos	de	
mesmo,	ou	não,	valores	divididos	regularmente	num	período	de	tempo.	
O	somatório	do	valor	acumulado	de	vários	pagamentos,	chamado	de	MONTANTE	(VF),	é	calculado	conforme	fórmula	abaixo,	
demonstrado	pela	figura	que	pode	ser	denominada	de	fluxo	de	caixa.	
	
VF	=	VALOR	FUTURO	
R	=	p	=	parcela	
	
	
	
	
	
	
Para	as	negociações	com	uma	parcela	de	entrada,	devemos	acrescentar	uma	taxa	na	fórmula:	
	
	
	
	
	
	
Comparando	com	a	P.G.,	cuja	razão	é	q	=	(1+i)	
	
	
	
	
	
____________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	1	
Depositamos	mensalmente	R$	500,00	numa	conta	especial	que	paga	uma	remuneração	de	0,7%	a.m.	
Qual	será	o	saldo	após	2	anos??	
Primeiro	calculamos	no	ano:	
Dados:	
P=	500,00	
I	=	0,07%	a.m	
n	=	24	meses	
	
	
	
Segundo	calculamos	para	os	02	anos:	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
𝑪𝑪𝑪𝑪 =
𝑳𝑳[(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗 − 𝟏𝟏]
𝒓𝒓 	→
{𝟏𝟏}	
Neste	exemplo,	o	fluxo	de	caixa,	apresenta:	
1- No	momento	“1”,		é	efetuado	o	
primeiro	pagamento;	
2- O	último	pagamento	coincide	com	o	
valor	futuro	(Montante)	
𝑺𝑺𝒗𝒗 =
𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒒𝒒𝒗𝒗 − 𝟏𝟏)
𝒒𝒒 − 𝟏𝟏 	≫
𝑽𝑽𝟏𝟏(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗 − 𝟏𝟏
(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓) − 𝟏𝟏 ≫ 𝒓𝒓𝑀𝑀𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑛𝑛𝑑𝑑𝑀𝑀	𝑀𝑀� = 𝑅𝑅, 𝑀𝑀𝑜𝑜	𝑝𝑝 ≫
𝑝𝑝[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
𝑖𝑖 	
	
	
𝑪𝑪𝑪𝑪 =
𝑶𝑶[(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗]
𝒓𝒓 ×
(𝟏𝟏+ 𝒓𝒓)	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑝𝑝[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
𝑖𝑖
	
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
500[(1 + 0,007)�� − 1]
0,007
≫
500[(1,007)�� − 1]
0,007
=
500×(1,0873 − 1)
0,007
= 6.235,00	
	
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
6235[(1 + 0,0873)� − 1]
0,0873
≫
6235[(1,0873)� − 1]
0,0873
≫
6235(0,182)
0,0873
≫
1.134,77
0,0873
≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 12.998,51	
É	preciso	calcular	o	juros	anuais:	
(1 + 0,007)�� = (1 + 𝑖𝑖)� ≫ 1,007�� = 1 + 𝑖𝑖 ≫ 1,0873 = 1 + 𝑖𝑖 ≫ 𝑖𝑖 = 0,0873	
m.a.perissinotto – NCQ - 17	
Somente	para	comparação,	vamos	calcular	nos	24	meses	direto	
	
	
	
	
																		___________________________________________	
No	mesmo	exercício,	somente	com	a	entrada	de	R$500,00.	
	
	
	
	
	
	
Ex.:	2	
Para	obtermos	R$	50.000,00,	após	05	anos,	numa	conta	que	rende	2,5%	a.t.,	qual	deve	ser	a	parcela	trimestral?	
Dados:	
p	=	?	
i	=	3,5%a.t,	ou	seja	0,035	a.t.	(	em	5	anos	=	20	trimestres)	
VF	=	50.000,00	
	
____________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	3	
Certo	empréstimos,	com	carência	de	01	mês,		está	sendo	pago	da	seguinte	forma:	
a) 	Entrada	de	R$	1.000,	e	demais	parcelas	mensais	sucessivas	de	R$	2.000,00,	com	uma	taxa	de	1%a.m.,	vencendo-se	a	
primeira	parcela	somente	após	o	primeiro	mês	depois	do	empréstimo.	Qual	o	valor	(Montante,	VF),	após	8	meses?	
Dados:	
Entrada	=	R$	1.000,00	
Parcelas	=	R$	2.000,00	
Taxa:		i=	1%	a.m.	
	
Neste	exemplo	temos	o	valor	de	entrada	que	deve	ser		deixar	de	considerar	nos	cálculos.	
	
	
	
	 	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
500[(1 + 0,007)�� − 1]
0,007
≫
500[(1,007)�� − 1]
0,007
≫
500×0,182
0,007
= 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 13.000	
𝑝𝑝 =
𝐶𝐶𝐶𝐶×𝑖𝑖
[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
≫
50.000×0,035
(1 + 0,035)�� − 1
≫
1.750
1,9898 − 1
= 𝑅𝑅$1.768,00	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
500[(1 + 0,007)�� − 1]
0,007
×(1 + 0,0873) ≫
500[(1,007)�� − 1]
0,007
×1,0873 =
500×(1,1822 − 1)
0,007
= 6.235,00	
	
	
≫
500×0,1822
0,007
×1,0873 ≫
91100
0,007
×1,0873 ≫ 13014,29×1,1822 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 15.385,49	
	
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑃𝑃×([(1 + 𝑖𝑖)� − 1]) + 𝑝𝑝[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
𝑖𝑖
≫
1000×[(1 + 0,1)� − 1] + 2000[(1 + 0,1)� − 1]
0,1
≫	
≫
1000×1,358 + 2000×1,358
0,1
≫
1.358 + 2716
0,1
≫
4073,89
0,1
≫ 𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟐𝟐𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟕𝟕, 𝟗𝟗𝟓𝟓	
≫
1000×(1,1� − 1) + 2000(1,1� − 1)
0,1
≫
1000×(2,358 − 1) + 2000(2,358 − 1)
0,1
≫	
m.a.perissinotto – NCQ - 18	
VP	=	VALOR	PRESENTE	
	
Chamamos	de	VP	=	Valor	Presente,	quando	de	um	empréstimo,	ou	financiamento	a	serem	pagos	em	parcelas	uniformes	e	
periódicas,	necessitamos	saber	qual	o	valor	a	ser	pago	antecipadamente	em	uma	única	parcela.	
	
	
	
	
	
		Ex,:	1	
João	entra	numa	loja	de	eletrodomésticos	a	procura	de	uma	geladeira,	o	vendedor	lhe	oferece	uma	proposta:	
	6	prestações	mensais	de	R$	500,00	a		juros	de	5%	a.m.,	João	então	se	põem	a	fazer	conta	para:	
a) Qual	o	valor	à	vista	dessa	geladeira?	
b) No	final	dos	6	meses	por	quanto	terá	pago	pela	geladeira?	
a	
	
	
b	
	
____________________________________________________________________________________________________	
Ex.:	2	
Deposita-se	mensalmente	R$	100,00,	na	poupança	que	paga	2,5%	a.m.	de	juros.	Calcular	a	retirada	que	posso	fazer	depois	de	
ter	efetuado	depósitos	durante	5	anos.	
	
	
	
	
	
Ex.:	3	
Qual	o	melhor	investimento?	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
					______________________________________	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑝𝑝[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
𝑖𝑖
	
𝐶𝐶𝐶𝐶 = 100 �
(1 + 0,025)�� − 1
0,025
� ≫ 100 �
4,3998 − 1
0,025
� ≫ 100
3,3998
0,025
≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 100×135,992 ≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 13.599,20	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = 150000 + 35000 �
(1 + 𝑖𝑖)� − 1
𝑖𝑖×(1 + 𝑖𝑖)�
� ≫ 150000 + 35000 �
1,1� − 1
0,1×1,1�
� ≫	
	
≫ 150000 + 35000 �
1,6105 − 1
0,1×1,6105
� ≫ 150000 + 35000 �
0,6105
0,1610
� ≫	
	
≫ 150.000 + 35000×3,792 ≫ 150000 + 35000×33,792 ≫ 150000 + 132.720 ≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶� = 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
Tipo	 A	 B	
Custo	Inicial	 120.000	 150.000	
Custo	Anual	de	Operação	+	Manutenção	 40.000	 35.000	
Vida	útil	 5	anos	
Taxa	de	Juros	a.a.	 10%	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃 =
𝐶𝐶𝐶𝐶
(1 + 𝑖𝑖)�
	≫ 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑙𝑙𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑜𝑜𝑖𝑖𝑛𝑛𝑑𝑑𝑀𝑀	𝐶𝐶𝐶𝐶	𝑑𝑑𝑀𝑀	𝑀𝑀𝑞𝑞𝑜𝑜𝑀𝑀çã𝑀𝑀	{1}	
𝐶𝐶𝑃𝑃 =
500[(1 + 0,05)� − 1]
0,05(1 + 0,05)�
≫
500(1,340 − 1)
0,05×1,340
≫
500×0,340
0,067
≫
170
0,067
≫ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 2.537,31	
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑝𝑝[(1 + 𝑖𝑖)� − 1]
𝑖𝑖
≫
500[(1 + 0,05)� − 1]
0,05
≫
500(1,340 − 1)
0,05
≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3.400,00	
𝑪𝑪𝑶𝑶 =
𝑰𝑰×[(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗 − 𝟏𝟏]
𝒓𝒓×(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗 	
𝑪𝑪𝑪𝑪
𝑪𝑪𝑶𝑶 =
(𝟏𝟏 + 𝒓𝒓)𝒗𝒗	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = 120000 + 40000 �
(1 + 0,1)� − 1
0,1×(1 + 0,1)�
� ≫ 12000 + 40000 �
1,1� − 1
0,1×1,1�
� ≫	
≫ 120000 + 40000 �
1,6105 − 1
0,1×1,6105
� ≫ 120000 + 40000 �
0,6105
0,1610
�	
≫ 120000 + 40000×3,792 ≫ 120000 + 40000×3,792 ≫ 120000 + 151.677 ≫ 𝐶𝐶𝐶𝐶� = 163.677,00	
m.a.perissinotto – NCQ - 19	
Ex.:	4	
Qual	das	aplicações	ficará	mais	barata	trazendo	ao	valor	presente?	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
																																	_____________________________________________	
	
	
	
	
	
	
	
	
___________________________________________________________________________________	
Ex.:	5	
Qual	das	máquinas	abaixo	é	o		melhor	investimento,com	taxa	anual	de	1%	e,		as	3	com	vida	útil	de	5	anos?	
Tipo	 A	 B	 C	
Custo	Inicial	 420.000	 470.000	 530.000	
Custo	Anual	de	Oper.	+	Manutenção	 50.000	 45.000	 40.000	
Custo	Adicional	por	Reformas	2º	e	4º	anos	 10.000	 0	 0	
Custo	Adicional	por	Reformas	3º	anos	 0	 30.000	 0	
Receita	Adicional	pela	Melhor	Qualidade	 0	 2.000	 5.000	
Valor	Residual	 42.000	 47.000	 53.000	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
																											
Tipo	 A	 B	
Custo	de	Aquisição	(R$)	 350.000	 420.000	
Custos	de	Instalação	(R$)	 20.000	 40.000	
Custos	Anual	de	Operação	(R$)	 50.000	 35.000	
Custos	Anual	de	Manutenção	(R$)	 40.000	 15.000	
Taxa	de	juro		 10%a.a	
Vida	Útil	(	anos)	 6	
𝐶𝐶𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 + 𝑝𝑝 �
(1 + 𝑖𝑖)� − 1
𝑖𝑖×(1 + 𝑖𝑖)�
�	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = (350.000 + 20000) + (50000 + 40000) �
1,1� − 1
0,1×1,1�
� ≫ 370.000 + 90.000 �
0,772
0,1772
�
	
≫ 370.000 + 90.000×4,357 ≫ 370.000 + 392.099,32 ≫ 𝐶𝐶𝑃𝑃� = 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝟗, 𝟓𝟓𝟐𝟐	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = (420.000 + 40000) + (35000 + 15000) �
1,1� − 1
0,1×1,1�
� ≫ 460.000 + 50.000 �
0,772
0,1772
� ≫	
	
≫ 46000 + 50000×4,357 ≫ 460.000 + 217.850 ≫ 𝐶𝐶𝑃𝑃� = 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟕𝟕. 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = 420.000 + 50.000 �
(1 + 𝑖𝑖)� − 1
0,1×(1 + 𝑖𝑖)�
� +
10.000
1,1�
+
10.000
1,1�
−
42.000
1,1�
≫	
≫ 420.000 + 50.000 �
0,6105
0,01610
� + 9.091 + 7.513 − 26.079 ≫	
≫ 420.000 + 189.500 + 9.091 + 7.513 − 26.079	 ≫ 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
≫ 420.000 + 50.000×3,79 + 9,091 + 7.513 − 26.079 ≫	
m.a.perissinotto – NCQ - 20	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
																														___________________________________________________________	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
_____________________________________________________________________________________	
Ex.:	6	
Qual	o	valor	presente	desse	investimento?	
Custo	Inicial	 420.000,00	
Custo	Anual	de	Operção	+	Manutenção	 45.000,00	
Valor	Residual	no	final	de	5	anos	 42.000,00	
Taxa	de	juros	anual	 0,01	a.a.	
Vida	útil	(triênios)	 5	
	
a) Primeiramene	calcular	o	valor	presente	considerando	o	triênio	(	3	anos):	
	
	
	
	
	
	
b) Após	sabermos	o	valor	presente	do	triênio,	calcula-se	o	valor	presente	para	os	5	triênios:	
	
	
	
	
ATENÇÃO:	precisamos	calcular	a	taxa	de	juros	por	triênio:	(	n=	4	triênios)	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = 470.000 + (45.000 − 2.000) �
(1 + 0,1)
0,1×1,1�
�
� +
30.000
1,1�
−
47.000
1,1�
≫	
≫ 470.000 + 43000×3,79 + 24793 − 29183 ≫ 470000 + 162970 + 24793 − 29183 = 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
𝐶𝐶𝑃𝑃� = 530.000 + (40.000 − 5.000) �
(1 + 0,1)�
0,1×1,1�
� −
53.000
1,1�
≫ 530000 + 35000×3,79 − 32908 = 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟗𝟗. 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
	
𝐶𝐶𝑃𝑃���ê��� = 420.000 + 45.000 �
1,1� − 1
0,1×1,1�
� ≫ 420.000 + 45.000×2,487 ≫ 𝐶𝐶𝑃𝑃���ê��� = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟏𝟏𝟏	
	
𝑖𝑖 = 1,1� − 1	 ≫ 1,331 − 1 ≫ 𝑖𝑖 = 0,331	
𝐶𝐶𝑃𝑃�����ê���� = 531.908 + 531.908 �
1,331� − 1
0,331×1,331�
� −
42.000	
1,331�
≫ 531.908 + 531.908× �
2,13841,0388
� − 13.382	
𝐶𝐶𝑃𝑃�����ê���� = 531,908 + 1.094.948 − 13.382 ≫ 531.908 + 1.081.566 ≫ 𝐶𝐶𝑃𝑃�����ê���� = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟕𝟕