GRA0536 Geometria Analítica e Álgebra Linear

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No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense 
terminaram exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é 
computada da seguinte forma: se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; 
e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de desempate utilizado é o número 
de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No total, cada time 
disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte 
informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de 
empates mais dois. Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor 
colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga para disputar o importante 
campeonato Libertadores da América. 
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima 
cuja solução será o número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. 
Mostre, utilizando o determinante da matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e 
determinado.
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na 
letra b). 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?
a) Sejam x, y e z os números de vitórias, empates e derrotas, respectivamente, do time 
Atlético Mineiro.
O total de jogos é igual a 38, logo:
x + y + z = 38
o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates 
mais dois, ou seja
x + z = 2y + 2 => x -2y +z = 2
Total de pontos é igual a 54, ou seja
3x + y = 54
Portanto, o sistema que descreve a situação do Atlético Mineiro é dado por 
{x+ y+z=38 x−2 y+z=23 x+ y=54
A matriz dos coeficientes é 
D = 1 11 1−2 13 1 0
Cujo determinante é
1x(-2)x0 + 1x1x3 +1x1x1 – (3x(-2)x1 +1x1x0 + 1x1x0) = 9, que é diferente de zero, portanto, o 
sistema é possível e determinado.
b) Resolução do sistema por escalonamento.
{x+ y+z=38 x−2 y+z=23 x+ y=54
Trocando a segunda com a terceira equações, obtemos:
{x+ y+z=38 3 x+ y=54 x−2 y+z=2
Multiplicando a primeira linha por -1 e somando com a terceira linha, obtemos o seguinte 
sistema equivalente
{x+ y+z=38 3 x+ y=54−3 y=−36
De onde obtemos
y=36
3
=12
Substituindo y=12 na equação 3 x+ y=54, obtemos
3 x+12=54 = > 3 x=54−12 => 
3 x=42=¿ x=14
Substituindo x=14e y=12 na equação x+ y+z=38, obtemos
14+12+z=38=¿ z=38−26=12,
Portanto, o time Atlético Mineiro teve 14 vitórias, 12 empates e 12 derrotas.
c) Resolução do sistema pela Regra de Cramer.
{x+ y+z=38 x−2 y+z=23 x+ y=54
Temos que a matriz dos coeficientes é
D = 1 11 1−2 13 1 0
Cujo determinante é
1x(-2)x0 + 1x1x3 +1x1x1 – (3x(-2)x1 +1x1x0 + 1x1x0) = 9.
Dx = 38 11 2−2 154 10
Dx = 126
Dy = 1 381 1 21 3 54 0
Dy = 108
Dz = 1 138 1−2 2 31 54
Dz = 108
X = Dx / D = 126 / 9 = 14
y = Dy / D = 108 / 9 = 12
y = Dz / D = 108 / 9 = 12
d) O time da Chapecoense ficou melhor colocado no campeonato, pois, obteve 15
vitórias, enquanto o Atlético teve 14 vitórias e como primeiro critério de desempate é o
número de vitórias, então, a Chapecoense teve uma colocação melhor que o Atlético.
Atividade 01 - GAAL
No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense 
terminaram exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é 
computada da seguinte forma: se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; 
e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de desempate utilizado é o número 
de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No total, cada time 
disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte 
informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de 
empates mais dois. Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor 
colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga para disputar o importante 
campeonato Libertadores da América. 
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima 
cuja solução será o número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. 
Mostre, utilizando o determinante da matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e 
determinado.
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na 
letra b). 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?
a) Sejam x, y e z os números de vitórias, empates e derrotas, respectivamente, do time 
Atlético Mineiro.
O total de jogos é igual a 38, logo:
x + y + z = 38
o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates 
mais dois, ou seja
x + z = 2y + 2 => x -2y +z = 2
Total de pontos é igual a 54, ou seja
3x + y = 54
Portanto, o sistema que descreve a situação do Atlético Mineiro é dado por 
{x+ y+z=38x−2 y+z=23 x+ y=54
A matriz dos coeficientes é 
D = 
1 1 1
1 −2 1
3 1 0
Cujo determinante é
1x(-2)x0 + 1x1x3 +1x1x1 – (3x(-2)x1 +1x1x0 + 1x1x1) = 9, que é diferente de zero, portanto, o 
sistema é possível e determinado.
b) Resolução do sistema por escalonamento.
{x+ y+z=38x−2 y+z=23 x+ y=54
Trocando a segunda com a terceira equações, obtemos:
{x+ y+z=383 x+ y=54x−2 y+z=2
Multiplicando a primeira linha por -1 e somando com a terceira linha, obtemos o seguinte 
sistema equivalente
{x+ y+z=383x+ y=54−3 y=−36
De onde obtemos
y=36
3
=12
Substituindo y=12 na equação 3 x+ y=54, obtemos
3 x+12=54 = > 3 x=54−12 => 
3 x=42=¿ x=14
Substituindo x=14e y=12 na equação x+ y+z=38, obtemos
14+12+z=38=¿ z=38−26=12,
Portanto, o time Atlético Mineiro teve 14 vitórias, 12 empates e 12 derrotas.
c) Resolução do sistema pela Regra de Cramer.
{x+ y+z=38x−2 y+z=23 x+ y=54
Temos que a matriz dos coeficientes é
D = 
1 1 1
1 −2 1
3 1 0
Cujo determinante é
1x(-2)x0 + 1x1x3 +1x1x1 – (3x(-2)x1 +1x1x0 + 1x1x0) = 9.
Dx = 
38 1 1
2 −2 1
54 1 0
Dx = 126
Dy = 
1 38 1
1 2 1
3 54 0
Dy = 108
Dz = 
1 1 38
1 −2 2
3 1 54
Dz = 108
X = Dx / D = 126 / 9 = 14
y = Dy / D = 108 / 9 = 12
y = Dz / D = 108 / 9 = 12
d) O time da Chapecoense ficou melhor colocado no campeonato, pois, obteve 15
vitórias, enquanto o Atlético teve 14 vitórias e como primeiro critério de desempate é o
número de vitórias, então, a Chapecoense teve uma colocação melhor que o Atlético.
PERGUNTA 1 
No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram 
exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um 
time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de 
desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No 
total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte informação: 
o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois. Seguindo o 
que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga 
para disputar o importante campeonato Libertadores da América. 
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja solução será o 
número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre, utilizando o determinante da 
matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado. 
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na letra b). 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê? 
 
 
A) 
1 1 1 11 
1 1 -2 1 1 
3 0 1 3 0 
D = -5 – 4 = -9 ≠ 0. Logo o sistema é possível e determinado (SPD). 
 
B) 
Resolução do sistema por Escalonamento 
a + b + c = 38 
a + b – 2c = 2 x(-1) 
3a + 0b + c = 54 => 3a + c = 54 => 3a + 12 = 54 => 3a = 42 => a = 14 
 
a + b + c = 38 => 14 + b + 12 = 38 => 26 + b = 38 => b = 12 
-a – b + 2c = -2 
3c = 36 
c = 36/3 => c = 12 
 
C) Regra de Crammer 
 
a + b + c = 38 
a + b – 2c = 2 
3a + 0b + c = 54 
 
Da = 38 1 1 38 1 
 2 1 -2 2 1 = -70 – 56 = -126, logo a = Da/D, a = -126/-9, a = 14 
 54 0 1 54 0 
 
Db = 1 38 1 1 38 
 1 2 -2 1 2 = -172 +64 = -108, logo b = Db/D, a = -108/-9, b = 12 
 3 54 1 3 54 
 
Dc = 1 1 38 1 1 
 1 1 2 1 1 = -60 - 168 = -108, logo c = Dc/D, a = -108/-9, c = 12 
 3 0 54 3 0 
 
D) O time Chapecoense ficou melhor colocado devido ao número de vitórias igual a 15. 
 
Usuário WALTER ROBERTO RODRIGUES SAMPAIO
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 1
Iniciado 23/08/19 11:33
Enviado 26/08/19 08:23
Status Completada
Resultado da tentativa 2,5 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 68 horas, 49 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
Selecionada:
No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram
exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um
time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério
de desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No
total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte
informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois.
Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a
última vaga para disputar o importante campeonato Libertadores da América. 
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja solução será o
número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre, utilizando o determinante da
matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado.
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na letra b). 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?
2,5 em 2,5 pontos Exibir rubrica
Segunda-feira, 9 de Setembro de 2019 11h48min45s BRT
Resposta
Correta:
[Nenhuma]
Feedback da
resposta:
[Sem Resposta]
Bom dia!
Por uma questão de configuração, a as matrizes podem ficar fora de lugar. Não consegui salvar
como anexo.
Obrigado.
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja
solução será o número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre,
utilizando o determinante da matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado.
1 1 1 1 1
1 1 -2 1 1
3 0 1 3 0
D = -5 – 4 = -9 ≠ 0. Logo o sistema é possível e determinado (SPD).
 
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
a + b + c = 38
a + b – 2c = 2 x(-1)
3a + 0b + c = 54 => 3a + c = 54 => 3a + 12 = 54 => 3a = 42 => a = 14
 a + b + c = 38 => 14 + b + 12 = 38 => 26 + b = 38 => b = 12
 -a – b + 2c = -2
3c = 36
c = 36/3 => c = 12
 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na
letra b). 
a + b + c = 38
a + b – 2c = 2
3a + 0b + c = 54
Da 
38 1 1 38 1
 2 1 -2 2 1 
54 0 1 54 0
=-70 – 56 = -126, logo a = Da/D, a = -126/-9, a = 14
 Db 
1 38 1 1 38
1 2 -2 1 2
3 54 1 3 54
= -172 +64 = -108, logo b = Db/D, a = -108/-9, b = 12
Dc 
1 1 38 1 1
1 1 2 1 1
3 0 54 3 0
= -60 - 168 = -108, logo c = Dc/D, a = -108/-9, c = 12
 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?
A Chapecoense uma vez que obteve 15 vitórias. Uma a mais que o Atlético Mineiro.
19/08/2019 Blackboard Learn
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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2
Usuário CARLOS ROBERTO ANDRIOLLI JUNIOR
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) -
201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 12/08/19 14:56
Enviado 19/08/19 12:42
Status Completada
Resultado da
tentativa
1,75 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 165 horas, 45 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
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da
resposta:
Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos
conceitos abordados. A dependência e independência linear e a geração de vetores
são conceitos que devemos compreender bem. 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
( ) Os vetores são linearmente dependentes.
( ) Para gerar .
( ) Os vetores são LI .
( ) Para gerar .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
F, V, F, V. 
V, V, F, V.
Sua resposta está incorreta. Para verificar se um conjunto de vetores é
linearmente independente ou dependente faça a combinação linear dos
vetores e verifique se existem escalares, pelo menos um diferente de zero,
que torne a igualdade ao vetor nulo possível. Sistemas possíveis indicam
vetores LD. 
Pergunta 2
Vamos considerar o conjunto dado por: .
Considere as seguintes afirmações:
I) O subespaço gerado pelos vetores de A é dado por
 . 
II) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
III) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando .
IV) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando k= 2.
V) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
0 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
 
Com base no que você estudou, é correto o que se afirma em?
I, II e III;
I, II e III;
Resposta correta. O conjunto A é um conjunto formado por elementos
finitos. O subespaço gerado a partir deste conjunto é formado por todas
as combinações lineares dos vetores do conjunto A. 
Pergunta 3
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
 
Um vetor é um ente matemático que, para ser perfeitamente definido, necessita que
conheçamos sua direção, sentido e intensidade. Podemos operar algebricamente sobre
vetores, obtendo somas, subtrações e multiplicações de escalares por vetores. Uma
soma de vetores pode também ser feita geometricamente. Observe a figura:
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Qual esquema representa a operação 
 
 
 
0 em 0,25 pontos
19/08/2019 Blackboard Learn
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Feedback
da
resposta:
Sua resposta está incorreta. Lembre-se de que um vetor pode sofrer
translação desde que não se mude sua direção. Aplique a regra dos
polígonos unindo a origem do vetor posterior à extremidade do vetor
anterior. Observe que a direção e intensidade a serem representadas
geometricamente, no caso deste exercício, são dadas pela operação: 
. Observe que nenhum sinal foi invertido e os vetores não
foram multiplicados por escalares, ou seja, neste exercício, apenas
faremos a translação de cada vetor, sem mudar tamanho e sentido direção
dos vetores. 
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Estudamos em nosso capítulo 2 que o produto escalar gera como resultado um número
e o produto vetorial geraum terceiro vetor. Desta forma, temos dois vetores dados pelas
coordenadas: . 
 
Qual vetor é ortogonal a estes dois vetores?
Temos infinitos vetores dados por 
Temos infinitos vetores dados por 
Resposta correta. O produto vetorial é sempre ortogonal ao plano que
contém os dois vetores que geram o produto vetorial. Você observou bem
ao considerar infinitos vetores, pois a multiplicação de um vetor por um
escalar não altera a direção do vetor original. 
Pergunta 5
Na Álgebra Linear temos o conceito de base de um espaço vetorial. Dizemos que a
base de um espaço vetorial é formada por um conjunto de vetores lineamente
independentes e que consegue gerar um dado espaço vetorial.
 
Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
 
( ) Os vetores formam uma base e
geram . 
( ) O conjunto é uma base do ; 
( ) O conjunto é uma base do 
( ) Os vetores e pertencentes ao espaço vetorial são
linearmente dependentes.
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, F, V, V.
V, F, V, V.
Resposta correta. Os vetores são geradores e linearmente
independentes. 
Vetores múltiplos são LD e não são geradores. Lembre-se de que
conjuntos de versores podem ser geradores de espaços do sistema de
coordenadas . 
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Uma das aplicações do produto vetorial é a determinação de áreas de paralelogramos e
triângulos, ou figuras que podem ser decompostas em triângulos. 
Desta forma, temos um triângulo definido pelos vetores 
 . 
 
Qual a área deste triângulo?
 unidades de área.
 unidades de área.
Resposta correta. O produto vetorial tem significados algébricos,
geométricos e até físicos. Geometricamente, ele equivale às áreas de
paralelogramos. Em termos algébricos, o produto vetorial possui como
resultado de sua operação um vetor e em termos físicos representa um
movimento de giro ou rotação. 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
Dentre muitos conceitos importantes pertencentes à Álgebra Linear, temos os conceitos
de espaço e subespaço vetorial. Estudamos que os elementos pertencentes a um
espaço ou subespaço podem ser de qualquer natureza, como por exemplo retas, pares
ordenados, planos, polinômio, matrizes, dentre outros. Lembre-se de que um conjunto
qualquer é definido como sendo um espaço vetorial quando estão definidas por sobre
ele operações de adição e multiplicação por escalar e que o conjunto definido com
estas operações é chamado de espaço vetorial se forem verificados os axiomas de
soma e multiplicação. 
 
Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
 
( ) O conjunto dado por é subespaço vetorial de 
( ) O conjunto dado por com soma e produto
por escalar não é um espaço vetorial.
( ) O conjunto é um subespaço vetorial
de .
( ) O conjunto dado por é um espaço vetorial
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
F, V, F, F.
F, V, F, F.
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
19/08/2019 Blackboard Learn
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da
resposta:
Resposta correta. Você fez a aplicação correta dos axiomas de soma e
multiplicação por escalares da Álgebra Linear. Lembre-se de que, para
que um dado conjunto seja definido como espaço vetorial, devem ser
verificadas as operações de soma e multiplicação por escalar e também
os oito axiomas de soma e multiplicação. Falhando um destes axiomas, o
conjunto não será definido como espaço vetorial. 
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Uma das aplicações do produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores.
Sabe-se que os pontos representam vértices do
triângulo ABC. 
 
Quanto mede o ângulo no vértice A?
-90 0 
 
 
 
90 0
Sua resposta está incorreta. Refaça os cálculos, pois pode ser apenas
um erro algébrico. Entretanto, você poderia fazer algumas etapas
básicas: 
 
• posicionar os pontos no sistema cartesiano; 
• criar dois vetores com vértice em A; 
• aplicar a definição de produto escalar; 
• calcular o cosseno do ângulo entre os dois vetores; 
• verificar o ângulo correspondente a este cosseno; 
• lembre-se de que . 
Pergunta 9
Vamos analisar graficamente o comportamento de vetores de forma a entender e
associar a interpretação geométrica de dependência e independência linear. Observe
as figuras com vetores em 3 dimensões.
 
Situação I 
0 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
19/08/2019 Blackboard Learn
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Situação II 
Situação III 
Situação IV 
 
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Agora, defina qual a classificação das situações apresentadas quanto à dependência ou
independência linear?
LD; LI; LD; LI.
LD; LI; LD; LI.
Resposta correta! Vetores no plano representados na mesma reta são
linearmente dependentes. No espaço são LD quando representados no
mesmo plano passando pela origem. 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria
Analítica. Dois objetos estão localizados nas coordenadas no plano cartesiano dadas
por: . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
.
0,25 em 0,25 pontos
19/08/2019 Blackboard Learn
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Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
.
Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por 
. Observe que nesta
expressão não importa a escolha dos pontos final e inicial de um
segmento, uma vez que a fórmula trabalha como coordenadas ao
quadrado. 
27/08/2019 Blackboard Learn
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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
Usuário EVANDRO PEREIRA VASCONCELOS
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) -
201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 27/08/19 20:49
Enviado 27/08/19 22:02
Status Completada
Resultado da
tentativa
2,25 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 13 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
Um vetor é um ente matemático que, para ser perfeitamente definido, necessita que
conheçamos sua direção, sentido e intensidade. Podemos operar algebricamente sobre
vetores, obtendo somas, subtrações e multiplicações de escalares por vetores. Uma
soma de vetores pode também ser feita geometricamente. Observe a figura:
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Qual esquema representa a operação 
0,25 em 0,25 pontos
27/08/2019 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 2/5
Feedback
da
resposta:
Resposta correta. A regra dos polígonos é uma das formas de determinar
o vetor resultante de uma operação vetorial. A partir do primeiro vetor
devemos unir a origem do vetor seguinte na extremidade do vetor anterior.
Esta regra permite somar qualquer quantidade de vetores. 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Os produtos escalar e vetorial possuem interpretações algébricas e geométricas. Em
relação ao produto vetorial, algebricamente, sua operação produz um vetor. Em relação
à interpretação geométrica, o módulo do produto vetorial equivale à área de um
paralelogramo. 
Desta forma, dadosos pontos: , representados pela
figura abaixo:
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Qual a área do paralelogramo de vértices 
6 unidades de área.
6 unidades de área.
Resposta correta. O produto vetorial tem, por sentido geométrico, a área
de um paralelogramo. Aspecto muito importante é sempre em sua
resposta indicar unidades de área representadas no enunciado da
questão. Caso não conste, sempre escreva unidades de área. Lembre-se
também de que a área calculada será sempre positiva, haja vista que
temos o valor calculado em módulo.
Pergunta 3
Para que um dado conjunto de vetores seja definido como um espaço vetorial devemos
ter definidas, neste conjunto operações, entre os seus elementos, de soma e
multiplicação por escalares e a consequente verificação dos axiomas de soma e
multiplicação. Desta forma, considere o conjunto dado por 
 . 
 
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
27/08/2019 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 3/5
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Baseado nos axiomas de nosso livro texto, identifique se todos os axiomas são
verificados ou se algum falha. Esse conjunto pode ser definido como um espaço
vetorial?
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
Resposta coreta. A aplicação está correta dos 8 axiomas em relação à
adição e à multiplicação por escalar. Lembre-se de que para definirmos
um conjunto como espaço vetorial, todos os axiomas, sem exceção,
devem ser verificados. 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria
Analítica. Dois objetos estão localizados nas coordenadas no plano cartesiano dadas
por: . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
.
.
Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por 
. Observe que nesta
expressão não importa a escolha dos pontos final e inicial de um
segmento, uma vez que a fórmula trabalha como coordenadas ao
quadrado. 
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Quais são os valores dos escalares para que o vetor seja combinação linear dos
vetores 
-1 e 3.
-1 e 3.
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como
a soma de outros, multiplicados por escalares que possibilitam a
verificação da igualdade vetorial, desta forma para dois vetores como
combinação para um terceiro vetor, teremos uma expressão como 
 com pelo menos uma das constantes diferente de zero. 
 
Pergunta 6
Vamos considerar o conjunto dado por: .
Considere as seguintes afirmações:
 
I) O subespaço gerado pelos vetores de A é dado por 
 . 
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
27/08/2019 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 4/5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
II) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
III) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando .
IV) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando k= 2.
V) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
 
Com base no que você estudou, é correto o que se afirma em?
I, II e III;
I, II e III;
Resposta correta. O conjunto A é um conjunto formado por elementos
finitos. O subespaço gerado a partir deste conjunto é formado por todas
as combinações lineares dos vetores do conjunto A. 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Vetores podem ser somados geometricamente e algebricamente. A soma de vetores
resulta sempre em um vetor e para somarmos vetores eles devem possuir sempre o
mesmo número de componentes. 
 
Desta forma, qual é a soma dos vetores ?
Resposta correta. A soma de vetores deve ser feita componente a
componente. Observe que a questão apresenta os vetores em
coordenadas cartesianas e vetoriais. Para que a resolução fique mais
óbvia, escreva 
 
Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Estudamos em nosso capítulo 2 que o produto escalar gera como resultado um número
e o produto vetorial gera um terceiro vetor. Desta forma, temos dois vetores dados pelas
coordenadas: . 
 
Qual vetor é ortogonal a estes dois vetores?
Temos infinitos vetores dados por 
Temos infinitos vetores dados por 
Resposta correta. O produto vetorial é sempre ortogonal ao plano que
contém os dois vetores que geram o produto vetorial. Você observou bem
ao considerar infinitos vetores, pois a multiplicação de um vetor por um
escalar não altera a direção do vetor original. 
Pergunta 9
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0 em 0,25 pontos
27/08/2019 Blackboard Learn
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 5/5
Terça-feira, 27 de Agosto de 2019 22h02min46s BRT
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Neste exercício vamos estudar um pouco sobre dependência linear. Imagine que temos
um conjunto de vetores. Caso possamos escrever pelo menos um destes vetores como
combinação linear dos demais, teremos uma dependência linear entre estes vetores. 
 
Então, vejamos algumas afirmações e assinale com V as afirmativas verdadeiras e com
F as alternativas falsas:
 
( ) O conjunto é LD. 
( ) Os elementos são LI. 
( )O conjunto não é uma base para . 
( ) O conjunto não é uma base para . 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, V, F, F.
V, F, V, V.
Sua resposta está incorreta. Ao conseguirmos escrever em um conjunto
um vetor como função dos demais, temos um conjunto linearmente
dependente, não sendo uma base para o qual os conjuntos pertencem.
Lembre-se também de que uma base de um espaço vetorial é um conjunto
de vetores linearmente independente que geram o espaço vetorial. 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Uma das aplicações do produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores.
Sabe-se que os pontos representam vértices do
triângulo ABC. 
 
Quanto mede o ângulo no vértice A?
90 0
90 0
Resposta correta. Lembre-se de que o produto escalar entre dois vetores
produz um número como resultado. Uma das finalidades de utilização de
produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. O produto
escalar também é conhecido como produto interno. 
0,25 em 0,25 pontos
 
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2
GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01 Unidade 2
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
Usuário SISSA CRISTHIANE BENITES YAMADA IRALA
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 17/08/19 07:50
Enviado 27/08/19 22:08
Status Completada
Resultado da tentativa 2,25 em 2,5 pontos  
Tempo decorrido 254 horas, 17 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
Um vetor é um ente matemático que, para ser perfeitamente definido, necessita que conheçamos sua
direção, sentido e intensidade. Podemos operar algebricamente sobre vetores, obtendo somas, subtrações
e multiplicações de escalares por vetores. Uma soma de vetores pode também ser feita geometricamente.
Observe a figura:
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Qual esquema representa a operação 
SISSA CRISTHIANE BENITES YAMADA IRALAMinha Área
0,25 em 0,25 pontos
http://portal.anhembi.br/
https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_549525_1
https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_549525_1&content_id=_11344776_1&mode=reset
https://anhembi.blackboard.com/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_358_1https://anhembi.blackboard.com/webapps/login/?action=logout
 
Resposta Correta:
 
Feedback
da
resposta:
Resposta correta. A regra dos polígonos é uma das formas de determinar o vetor resultante
de uma operação vetorial. A partir do primeiro vetor devemos unir a origem do vetor seguinte
na extremidade do vetor anterior. Esta regra permite somar qualquer quantidade de vetores. 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Vetores podem ser somados geometricamente e algebricamente. A soma de vetores resulta sempre em
um vetor e para somarmos vetores eles devem possuir sempre o mesmo número de componentes. 
 
Desta forma, qual é a soma dos vetores ?
Resposta correta. A soma de vetores deve ser feita componente a componente. Observe que
a questão apresenta os vetores em coordenadas cartesianas e vetoriais. Para que a resolução
fique mais óbvia, escreva    
  
Pergunta 3
Neste exercício vamos estudar um pouco sobre dependência linear. Imagine que temos um conjunto de
vetores. Caso possamos escrever pelo menos um destes vetores como combinação linear dos demais,
teremos uma dependência linear entre estes vetores. 
 
Então, vejamos algumas afirmações e assinale com V as afirmativas verdadeiras e com F as alternativas
falsas:
 
(  ) O conjunto  é LD. 
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
(  ) Os elementos  são LI.  
(  )O conjunto  não é uma base para . 
(  ) O conjunto  não é uma base para .   
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, F, V, V.
V, F, V, V.
Resposta correta. Quando podemos escrever um vetor como combinação linear dos demais,
temos uma dependência linear estabelecida entre os vetores. Dizemos, então, que o conjunto
de vetores é linearmente dependente. Caso isso não possa ser feito, os vetores são
linearmente independentes. 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria Analítica. Dois
objetos estão localizados nas coordenadas no plano cartesiano dadas por:
 . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de  de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
.
.
Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por 
. Observe que nesta expressão não importa a
escolha dos pontos final e inicial de um segmento, uma vez que a fórmula trabalha como
coordenadas ao quadrado. 
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Quais são os valores dos escalares para que o vetor  seja combinação linear dos vetores
-1 e 3.
-1 e 3.
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como a soma de outros,
multiplicados por escalares que possibilitam a verificação da igualdade vetorial, desta forma
para dois vetores como combinação para um terceiro vetor, teremos uma expressão como 
 com pelo menos uma das constantes diferente de zero. 
  
Pergunta 6
Uma das aplicações do produto vetorial é a determinação de áreas de paralelogramos e triângulos, ou
figuras que podem ser decompostas em triângulos. 
Desta forma, temos um triângulo definido pelos vetores . 
 
Qual a área deste triângulo?
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
 unidades de área.
 unidades de área.
Resposta correta. O produto vetorial tem significados algébricos, geométricos e até físicos. 
Geometricamente, ele equivale às áreas de paralelogramos. Em termos algébricos, o produto
vetorial possui como resultado de sua operação um vetor e em termos físicos representa um
movimento de giro ou rotação. 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Temos que o produto escalar fornece um número como resultado e o produto vetorial produz um terceiro
vetor como resultado do produto vetorial. Analise as afirmativas 
 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F, as falsas.
 
  .
 O módulo do produto vetorial geometricamente equivale a uma projeção de um vetor sobre o outro. 
 O produto vetorial dos vetores  é simultaneamente ortogonal a estes dois vetores.
 O produto vetorial . 
  .
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
 V, F, V, V, V.
 V, F, V, V, V.
Resposta correta. As definições e propriedades do produto vetorial foram assimiladas por
você. Lembre-se de que vetores são caracterizados por intensidade, direção e sentido. O
produto vetorial produz como resultado um vetor ortogonal a um plano que compõe os
vetores base do produto vetorial, desta forma, admitem sentidos (positivo e negativo)
opostos. 
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Estudamos em nosso capítulo 2 que o produto escalar gera como resultado um número e o produto
vetorial gera um terceiro vetor. Desta forma, temos dois vetores dados pelas coordenadas:
 .  
 
Qual vetor é ortogonal a estes dois vetores?
Temos infinitos vetores dados por 
Temos infinitos vetores dados por 
Resposta correta. O produto vetorial é sempre ortogonal ao plano que contém os dois vetores
que geram o produto vetorial. Você observou bem ao considerar infinitos vetores, pois a
multiplicação de um vetor por um escalar não altera a direção do vetor original. 
Pergunta 9
Dentre muitos conceitos importantes pertencentes à Álgebra Linear, temos os conceitos de espaço e
subespaço vetorial.  Estudamos que os elementos pertencentes a um espaço ou subespaço podem ser de
qualquer natureza, como por exemplo retas, pares ordenados, planos, polinômio, matrizes, dentre outros.
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
Terça-feira, 27 de Agosto de 2019 22h10min03s BRT
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Lembre-se de que um conjunto qualquer é definido como sendo um espaço vetorial quando estão definidas
por sobre ele operações de adição e multiplicação por escalar e que o conjunto definido com estas
operações é chamado de espaço vetorial se forem verificados os axiomas de soma e multiplicação.  
 
Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
 
(  ) O conjunto dado por  é subespaço vetorial de 
( ) O conjunto dado por  com soma e produto por escalar não é
um espaço vetorial.
(  ) O conjunto  é um subespaço vetorial de  .
( ) O conjunto dado por  é um espaço vetorial
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
F, V, F, F.
F, V, F, F.
Resposta correta. Você fez a aplicação correta dos axiomas de soma e multiplicação por
escalares da Álgebra Linear. Lembre-se de que, para que um dado conjunto seja definido
como espaço vetorial, devem ser verificadas as operações de soma e multiplicação por
escalar e também os oito axiomas de soma e multiplicação. Falhando um destes axiomas, o
conjunto não será definido como espaço vetorial. 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O produto escalar tem como significado geométrico o tamanho da projeção de um vetor sobre o outro,
como se fosse uma sombra projetada.  Desta forma, considere os vetores: .  
 
Qual é o valor da projeção do vetor  sobre o vetor 
A projeção é igual a 
A projeção é igual a 
Sua resposta está incorreta. Refaça os cálculos caso você tenha obtido um valor negativo
para este exercício. Atente-se para outro aspecto: a projeção não possui direção e nem
sentido, apenas tamanho, não sendo, portanto, um vetor. Caso o exercício pedisse o vetor
projeção, então, sim, seria admitida uma resposta vetorial. 
← OK
0 em 0,25 pontos
javascript:launch('/webapps/gradebook/do/student/viewAttempts?course_id=_549525_1&method=list&nolaunch_after_review=true');
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2
 
Usuário PAULO RAIMUNDO DE SOUSA
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) -201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 19/08/19 14:25
Enviado 27/08/19 14:25
Status Completada
Resultado da 
tentativa
2,25 em 2,5 pontos  
Tempo decorrido 192 horas, 0 minuto
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
 Pergunta 1
0,25 em 0,25 pontos
Quais são os valores dos escalares para que o vetor   seja combinação linear dos 
vetores 
Resposta 
Selecionada:
 
-1 e 3.
Resposta Correta: 
-1 e 3.
Feedback 
da resposta:
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como a 
soma de outros, multiplicados por escalares que possibilitam a verificação da 
igualdade vetorial, desta forma para dois vetores como combinação para um 
terceiro vetor, teremos uma expressão como com pelo menos uma das 
constantes diferente de zero. 
 
 Pergunta 2
0 em 0,25 pontos
Um vetor é um ente matemático que, para ser perfeitamente definido, necessita que 
conheçamos sua direção, sentido e intensidade. Podemos operar algebricamente sobre 
vetores, obtendo somas, subtrações e multiplicações de escalares por vetores. Uma soma 
de vetores pode também ser feita geometricamente. Observe a figura:
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Qual esquema representa a operação 
Resposta Selecionada: 
 
  
  
  
Resposta Correta: 
Feedback 
da resposta:
Sua resposta está incorreta. Lembre-se de que um vetor pode sofrer translação 
desde que não se mude sua direção. Aplique a regra dos polígonos unindo a 
origem do vetor posterior à extremidade do vetor anterior. Observe que a 
direção e intensidade a serem representadas geometricamente, no caso deste 
exercício, são dadas pela operação: . Observe que nenhum sinal foi 
invertido e os vetores não foram multiplicados por escalares, ou seja, neste 
exercício, apenas faremos a translação de cada vetor, sem mudar tamanho e 
sentido direção dos vetores. 
 Pergunta 3
0,25 em 0,25 pontos
Estudamos em nosso capítulo 2 que o produto escalar gera como resultado um número e o 
produto vetorial gera um terceiro vetor. Desta forma, temos dois vetores dados pelas 
coordenadas:  . 
 
Qual vetor é ortogonal a estes dois vetores?
Resposta 
Selecionada:
 
Temos infinitos vetores dados por 
Resposta Correta: 
Temos infinitos vetores dados por 
Feedback da
resposta:
Resposta correta. O produto vetorial é sempre ortogonal ao plano que contém 
os dois vetores que geram o produto vetorial. Você observou bem ao 
considerar infinitos vetores, pois a multiplicação de um vetor por um escalar 
não altera a direção do vetor original. 
 Pergunta 4
0,25 em 0,25 pontos
Uma das aplicações do produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. 
Sabe-se que os pontos   representam vértices do triângulo ABC. 
 
Quanto mede o ângulo no vértice A?
Resposta Selecionada: 
90 0
Resposta Correta: 
90 0
Feedback da
resposta:
Resposta correta. Lembre-se de que o produto escalar entre dois vetores 
produz um número como resultado. Uma das finalidades de utilização de 
produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. O produto 
escalar também é conhecido como produto interno. 
 Pergunta 5
0,25 em 0,25 pontos
Uma das aplicações do produto vetorial é a determinação de áreas de paralelogramos e 
triângulos, ou figuras que podem ser decompostas em triângulos. 
Desta forma, temos um triângulo definido pelos vetores  . 
 
Qual a área deste triângulo?
Resposta 
Selecionada:
 
 unidades de área.
Resposta Correta: 
 unidades de área.
Feedback 
da resposta:
Resposta correta. O produto vetorial tem significados algébricos, geométricos e 
até físicos. Geometricamente, ele equivale às áreas de paralelogramos. Em 
termos algébricos, o produto vetorial possui como resultado de sua operação 
um vetor e em termos físicos representa um movimento de giro ou rotação. 
 Pergunta 6
0,25 em 0,25 pontos
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria 
Analítica. Dois objetos estão localizados nas coordenadas no plano cartesiano dadas 
por:  . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de   de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
Resposta Selecionada: 
.
Resposta Correta: 
.
Feedback da 
resposta: Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por . Observe
que nesta expressão não importa a escolha dos pontos final e inicial de um 
segmento, uma vez que a fórmula trabalha como coordenadas ao quadrado. 
 Pergunta 7
0,25 em 0,25 pontos
Temos que o produto escalar fornece um número como resultado e o produto vetorial 
produz um terceiro vetor como resultado do produto vetorial. Analise as afirmativas 
 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F, as falsas.
 
  .
 O módulo do produto vetorial geometricamente equivale a uma projeção de um vetor 
sobre o outro. 
 O produto vetorial dos vetores   é simultaneamente ortogonal a estes dois 
vetores.
 O produto vetorial  . 
  .
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
Resposta 
Selecionada:
 
 V, F, V, V, V.
Resposta Correta: 
 V, F, V, V, V.
Feedback 
da resposta:
Resposta correta. As definições e propriedades do produto vetorial foram 
assimiladas por você. Lembre-se de que vetores são caracterizados por 
intensidade, direção e sentido. O produto vetorial produz como resultado um 
vetor ortogonal a um plano que compõe os vetores base do produto vetorial, 
desta forma, admitem sentidos (positivo e negativo) opostos. 
 Pergunta 8
0,25 em 0,25 pontos
Dentre muitos conceitos importantes pertencentes à Álgebra Linear, temos os conceitos de 
espaço e subespaço vetorial. Estudamos que os elementos pertencentes a um espaço ou 
subespaço podem ser de qualquer natureza, como por exemplo retas, pares ordenados, 
planos, polinômio, matrizes, dentre outros. Lembre-se de que um conjunto qualquer é 
definido como sendo um espaço vetorial quando estão definidas por sobre ele operações de
adição e multiplicação por escalar e que o conjunto definido com estas operações é 
chamado de espaço vetorial se forem verificados os axiomas de soma e multiplicação. 
 
Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
 
( ) O conjunto dado por   é subespaço vetorial de  
( ) O conjunto dado por   com soma e produto por escalar não é um espaço vetorial.
( ) O conjunto   é um subespaço vetorial de   .
( ) O conjunto dado por   é um espaço vetorial
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
Resposta 
Selecionada:
 
F, V, F, F.
Resposta Correta: 
F, V, F, F.
Feedback 
da resposta:
Resposta correta. Você fez a aplicação correta dos axiomas de soma e 
multiplicação por escalares da Álgebra Linear. Lembre-se de que, para que um 
dado conjunto seja definido como espaço vetorial, devem ser verificadas as 
operações de soma e multiplicação por escalar e também os oito axiomas de 
soma e multiplicação. Falhando um destes axiomas, o conjunto não será 
definido como espaço vetorial. 
 Pergunta 9
0,25 em 0,25 pontos
Vamos considerar o conjunto dado por:  .
Considere as seguintes afirmações:
I) O subespaço gerado pelos vetores de A é dado por  . 
II) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
III) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando  .
IV) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando k= 2.
V) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
Com base no que você estudou, é correto o que se afirma em?
Resposta 
Selecionada: I, II e III;
Resposta Correta:
I, II e III;
Feedback da 
resposta:
Resposta correta. O conjunto A é um conjunto formado por elementos finitos. 
O subespaço gerado a partir deste conjunto é formado por todas as 
combinações lineares dos vetores do conjunto A. 
 Pergunta 10
0,25 em 0,25 pontos
Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos 
conceitos abordados. A dependência e independência linear e a geração de vetores são 
conceitos que devemos compreender bem. 
Nesse sentido,assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
( ) Os vetores são linearmente dependentes.
( ) Para gerar  .
( ) Os vetores são LI .
( ) Para gerar  .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
Resposta 
Selecionada: V, V, F, V.
Resposta Correta:
V, V, F, V.
Feedback da 
resposta: Resposta correta. Importante observar que em vetores paralelos ou 
coincidentes são LD. 
Terça-feira, 27 de Agosto de 2019 21h00min03s BRT
OK 
28/08/2019 Blackboard Learn
1/5
Usuário 
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 27/08/19 12:46
Enviado 28/08/19 11:54
Status Completada
Resultado da tentativa 2,25 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 23 horas, 8 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Feedback
da
resposta:
Uma das aplicações do produto vetorial é a determinação de áreas de paralelogramos e triângulos, ou
figuras que podem ser decompostas em triângulos. 
Desta forma, temos um triângulo definido pelos vetores . 
Qual a área deste triângulo?
 unidades de área.
 unidades de área.
Resposta correta. O produto vetorial tem significados algébricos, geométricos e até
físicos. Geometricamente, ele equivale às áreas de paralelogramos. Em termos
algébricos, o produto vetorial possui como resultado de sua operação um vetor e em
termos físicos representa um movimento de giro ou rotação. 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O produto escalar tem como significado geométrico o tamanho da projeção de um vetor sobre o outro,
como se fosse uma sombra projetada. Desta forma, considere os vetores: 
 . 
Qual é o valor da projeção do vetor sobre o vetor 
A projeção é igual a 
A projeção é igual a 
Resposta correta. Ao calcularmos a projeção de um vetor sobre um vetor , estamos
determinando o tamanho, o quanto se projeta do vetor sobre o vetor . 
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Uma das aplicações do produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. Sabe-se que
os pontos representam vértices do triângulo ABC. 
Quanto mede o ângulo no vértice A?
90 0
90 0
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Blackboard Learn
2/5
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da
resposta:
Resposta correta. Lembre-se de que o produto escalar entre dois vetores produz um
número como resultado. Uma das finalidades de utilização de produto escalar é a
determinação do ângulo entre dois vetores. O produto escalar também é conhecido
como produto interno. 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Os produtos escalar e vetorial possuem interpretações algébricas e geométricas. Em relação ao
produto vetorial, algebricamente, sua operação produz um vetor. Em relação à interpretação
geométrica, o módulo do produto vetorial equivale à área de um paralelogramo. 
Desta forma, dados os pontos: , representados pela figura abaixo:
Elaborado pelo autor, 2019.
Qual a área do paralelogramo de vértices 
6 unidades de área.
6 unidades de área.
Resposta correta. O produto vetorial tem, por sentido geométrico, a área de um
paralelogramo. Aspecto muito importante é sempre em sua resposta indicar unidades de
área representadas no enunciado da questão. Caso não conste, sempre escreva
unidades de área. Lembre-se também de que a área calculada será sempre positiva,
haja vista que temos o valor calculado em módulo.
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
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da
resposta:
Temos que o produto escalar fornece um número como resultado e o produto vetorial produz um
terceiro vetor como resultado do produto vetorial. Analise as afirmativas 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F, as falsas.
 .
 O módulo do produto vetorial geometricamente equivale a uma projeção de um vetor sobre o
outro. 
 O produto vetorial dos vetores é simultaneamente ortogonal a estes dois vetores.
 O produto vetorial . 
 .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
 V, F, V, V, V.
 V, F, V, V, V.
Resposta correta. As definições e propriedades do produto vetorial foram assimiladas por
você. Lembre-se de que vetores são caracterizados por intensidade, direção e sentido. O
produto vetorial produz como resultado um vetor ortogonal a um plano que compõe os
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Blackboard Learn
3/5
vetores base do produto vetorial, desta forma, admitem sentidos (positivo e negativo)
opostos. 
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
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resposta:
Vamos, neste exercício, aplicar a definição de ângulos diretores. Considere a figura abaixo:
Observe que os ângulos diretores do vetor são os ângulos que o vetor forma com os eixos
coordenados. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. p. 56. 
Desta forma, quais são os ângulos diretores do vetor 
Sua resposta está incorreta. Lembre-se de que os cossenos diretores são dados
pelas fórmulas: 
, em que representa o ângulo entre o vetor e o
eixo . 
, em que representa o Ângulo entre o vetor e o
eixo .
Pergunta 7
Para que um dado conjunto de vetores seja definido como um espaço vetorial devemos ter definidas,
neste conjunto operações, entre os seus elementos, de soma e multiplicação por escalares e a
consequente verificação dos axiomas de soma e multiplicação. Desta forma, considere o conjunto
0 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Blackboard Learn
4/5
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da
resposta:
dado por . 
Baseado nos axiomas de nosso livro texto, identifique se todos os axiomas são verificados ou se
algum falha. Esse conjunto pode ser definido como um espaço vetorial?
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
Resposta coreta. A aplicação está correta dos 8 axiomas em relação à adição e à
multiplicação por escalar. Lembre-se de que para definirmos um conjunto como espaço
vetorial, todos os axiomas, sem exceção, devem ser verificados. 
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
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da
resposta:
Vetores podem ser somados geometricamente e algebricamente. A soma de vetores resulta sempre
em um vetor e para somarmos vetores eles devem possuir sempre o mesmo número de
componentes. 
Desta forma, qual é a soma dos vetores ?
Resposta correta. A soma de vetores deve ser feita componente a componente. Observe
que a questão apresenta os vetores em coordenadas cartesianas e vetoriais. Para que a
resolução fique mais óbvia, escreva 
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Estudamos em nosso capítulo 2 que o produto escalar gera como resultado um número e o produto
vetorial gera um terceiro vetor. Desta forma, temos dois vetores dados pelas coordenadas: 
 . 
Qual vetor é ortogonal a estes dois vetores?
Temos infinitos vetores dados por 
Temos infinitos vetores dados por 
Resposta correta. O produto vetorial é sempre ortogonal ao plano que contém os dois
vetores que geram o produto vetorial. Você observou bem ao considerar infinitos vetores,
pois a multiplicação de um vetor por um escalar não altera a direção do vetor original. 
Pergunta 10
Dentre muitos conceitos importantes pertencentes à Álgebra Linear, temos os conceitos de espaço e
subespaço vetorial. Estudamos que os elementos pertencentes a um espaço ou subespaço podem
ser de qualquer natureza, como por exemplo retas, pares ordenados, planos, polinômio, matrizes,
dentre outros. Lembre-se de que um conjunto qualquer é definido como sendo um espaço vetorial
quando estão definidas por sobre ele operações de adição e multiplicação por escalar e que o
conjunto definido com estas operações é chamado de espaço vetorial se forem verificados os axiomas
de soma e multiplicação.Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Blackboard Learn
5/5
Resposta Selecionada: 
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da
resposta:
( ) O conjunto dado por é subespaço vetorial de 
( ) O conjunto dado por com soma e produto por escalar
não é um espaço vetorial.
( ) O conjunto é um subespaço vetorial de .
( ) O conjunto dado por é um espaço vetorial
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
F, V, F, F.
F, V, F, F.
Resposta correta. Você fez a aplicação correta dos axiomas de soma e multiplicação por
escalares da Álgebra Linear. Lembre-se de que, para que um dado conjunto seja definido
como espaço vetorial, devem ser verificadas as operações de soma e multiplicação por
escalar e também os oito axiomas de soma e multiplicação. Falhando um destes
axiomas, o conjunto não será definido como espaço vetorial. 
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 1/8
 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01 Unidade 2
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
Usuário ROBERTO WILLIAM SALVI
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 20/08/19 15:41
Enviado 28/08/19 19:24
Status Completada
Resultado da tentativa 2,25 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 195 horas, 43 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Vamos analisar graficamente o comportamento de vetores de forma a entender e associar a interpretação geométrica de dependência e independência linear.
Observe as figuras com vetores em 3 dimensões.
 
Minha Área
0,25 em 0,25 pontos
ROBERTO WILLIAM SALVI
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https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_549525_1
https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_549525_1&content_id=_11344776_1&mode=reset
https://anhembi.blackboard.com/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_358_1
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28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
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Situação I 
Situação II 
Situação III 
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
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resposta:
Situação IV 
 
 
Elaborado pelo autor, 2019.
 
Agora, defina qual a classificação das situações apresentadas quanto à dependência ou independência linear?
LD; LI; LD; LI.
LD; LI; LD; LI.
Resposta correta! Vetores no plano representados na mesma reta são linearmente dependentes. No espaço são LD quando representados no
mesmo plano passando pela origem. 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria Analítica. Dois objetos estão localizados nas coordenadas no plano
cartesiano dadas por: . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
.
.
Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por . Observe que nesta expressão não
importa a escolha dos pontos final e inicial de um segmento, uma vez que a fórmula trabalha como coordenadas ao quadrado. 
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 4/8
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Quais são os valores dos escalares para que o vetor seja combinação linear dos vetores 
-1 e 3.
-1 e 3.
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como a soma de outros, multiplicados por escalares que possibilitam a
verificação da igualdade vetorial, desta forma para dois vetores como combinação para um terceiro vetor, teremos uma expressão como 
 com pelo menos uma das constantes diferente de zero. 
 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da resposta:
Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos conceitos abordados. A dependência e independência linear e a geração de
vetores são conceitos que devemos compreender bem. 
 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
 
( ) Os vetores são linearmente dependentes.
( ) Para gerar .
( ) Os vetores são LI .
( ) Para gerar .
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. Importante observar que em vetores paralelos ou coincidentes são LD. 
Pergunta 5
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 5/8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Neste exercício vamos estudar um pouco sobre dependência linear. Imagine que temos um conjunto de vetores. Caso possamos escrever pelo menos um destes
vetores como combinação linear dos demais, teremos uma dependência linear entre estes vetores. 
 
Então, vejamos algumas afirmações e assinale com V as afirmativas verdadeiras e com F as alternativas falsas:
 
( ) O conjunto é LD. 
( ) Os elementos são LI. 
( )O conjunto não é uma base para . 
( ) O conjunto não é uma base para . 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, F, V, V.
V, F, V, V.
Resposta correta. Quando podemos escrever um vetor como combinação linear dos demais, temos uma dependência linear estabelecida entre os
vetores. Dizemos, então, que o conjunto de vetores é linearmente dependente. Caso isso não possa ser feito, os vetores são linearmente
independentes. 
Pergunta 6 0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 6/8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Feedback da resposta:
Vamos, neste exercício, aplicar a definição de ângulos diretores. Considere a figura abaixo:
 
 
Observe que os ângulos diretores do vetor são os ângulos que o vetor forma com os eixos coordenados. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. p. 56. 
 
Desta forma, quais são os ângulos diretores do vetor 
 
 
 
 
Resposta correta. Ângulos diretores são calculados pelas fórmulas: 
 
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 7/8
 
 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da resposta:
Dizemos que um vetor é combinação linear de outros quando podemosencontrar múltiplos escalares que somados se igualam ao vetor original, ou seja:
 , desde que os escalares sejam, pelo menos, um diferente de zero. Neste exercício, temos que os vetores são dados por:
 
 
 
 
 
 
Quais coeficientes escalares tornam o vetor como combinação linear dos vetores ?
Temos que .
Temos que .
Refaça os cálculos relativos ao sistema linear. Verifique se a sua combinação linear proposta está na forma 
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Para que um dado conjunto de vetores seja definido como um espaço vetorial devemos ter definidas, neste conjunto operações, entre os seus elementos, de soma
e multiplicação por escalares e a consequente verificação dos axiomas de soma e multiplicação. Desta forma, considere o conjunto dado por
 . 
 
Baseado nos axiomas de nosso livro texto, identifique se todos os axiomas são verificados ou se algum falha. Esse conjunto pode ser definido como um espaço
vetorial?
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
Sim, é um espaço vetorial e todos os axiomas são verificados.
0 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
28/08/2019 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 – GRA0536 GEOMETRIA ...
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27497423_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&outcome_id=_26177570_1&outcome_definition_id=_7824323_1 8/8
Quarta-feira, 28 de Agosto de 2019 19h27min31s BRT
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resposta:
Resposta coreta. A aplicação está correta dos 8 axiomas em relação à adição e à multiplicação por escalar. Lembre-se de que para definirmos um
conjunto como espaço vetorial, todos os axiomas, sem exceção, devem ser verificados. 
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
Vetores podem ser somados geometricamente e algebricamente. A soma de vetores resulta sempre em um vetor e para somarmos vetores eles devem possuir
sempre o mesmo número de componentes. 
 
Desta forma, qual é a soma dos vetores ?
Resposta correta. A soma de vetores deve ser feita componente a componente. Observe que a questão apresenta os vetores em coordenadas
cartesianas e vetoriais. Para que a resolução fique mais óbvia, escreva 
 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
O produto escalar tem como significado geométrico o tamanho da projeção de um vetor sobre o outro, como se fosse uma sombra projetada. Desta forma,
considere os vetores: . 
 
Qual é o valor da projeção do vetor sobre o vetor 
A projeção é igual a 
A projeção é igual a 
Resposta correta. Ao calcularmos a projeção de um vetor sobre um vetor , estamos determinando o tamanho, o quanto se projeta do
vetor sobre o vetor . 
← OK
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
javascript:launch('/webapps/gradebook/do/student/viewAttempts?course_id=_549525_1&method=list&nolaunch_after_review=true');
1. 
 
2. 
3. Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
 
Usuário RUBENS DAVI GARCIA URBIETA 
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 
201920.1976.01 
Teste ATIVIDADE 2 
Iniciado 20/08/19 21:05 
Enviado 31/08/19 19:22 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
2,5 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 262 horas, 16 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
• Pergunta 1 
0,25 em 0,25 pontos 
 
 
Neste exercício vamos estudar um pouco sobre dependência linear. Imagine que temos um 
conjunto de vetores. Caso possamos escrever pelo menos um destes vetores como 
combinação linear dos demais, teremos uma dependência linear entre estes vetores. 
 
Então, vejamos algumas afirmações e assinale com V as afirmativas verdadeiras e com F as 
alternativas falsas: 
 
( ) O conjunto é LD. 
( ) Os elementos são LI. 
( )O conjunto não é uma base para . 
 
https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_27502108_1&course_id=_549525_1&content_id=_11344783_1&return_content=1&step=#contextMenu
( ) O conjunto não é uma base para . 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas. 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, V. 
Resposta Correta: 
V, F, V, V. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. Quando podemos escrever um vetor como combinação linear 
dos demais, temos uma dependência linear estabelecida entre os vetores. 
Dizemos, então, que o conjunto de vetores é linearmente dependente. Caso isso 
não possa ser feito, os vetores são linearmente independentes. 
 
 
• Pergunta 2 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Dados os vetores , uma combinação linear de vetores pode ser definida como sendo um 
vetor na forma: 
 
. 
 
Em que são números reais. 
 
Desta forma, sendo dados os vetores e os escalares , qual seria o vetor que 
poderia ser escrito como combinação linear destes vetores usando estes coeficientes? 
 
Resposta Selecionada: 
O vetor seria 
Resposta Correta: 
O vetor seria 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Este exercício envolve apenas a resolução do lado direito 
de . Lembre-se de que a combinação linear é uma soma de múltiplos 
escalares. Basicamente temos, então, uma soma de vetores. 
 
 
• Pergunta 3 
0,25 em 0,25 pontos 
 
O cálculo de distância entre dois pontos é uma das grandes aplicações da Geometria 
Analítica. Dois objetos estão localizados nas coordenadas no plano cartesiano dadas 
por: . As distâncias são dadas em quilometros. 
 
Qual o valor de de forma que o ponto C esteja equidistante dos pontos 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. A distância entre dois pontos é calculada por . Observe 
que nesta expressão não importa a escolha dos pontos final e inicial de um 
segmento, uma vez que a fórmula trabalha como coordenadas ao quadrado. 
 
 
• Pergunta 4 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Na Álgebra Linear temos o conceito de base de um espaço vetorial. Dizemos que a base de 
um espaço vetorial é formada por um conjunto de vetores lineamente independentes e que 
consegue gerar um dado espaço vetorial. 
 
Nesse sentido, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. 
 
( ) Os vetores formam uma base e geram . 
( ) O conjunto é uma base do ; 
( ) O conjunto é uma base do 
( ) Os vetores e pertencentes ao espaço vetorial são linearmente 
dependentes. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, V. 
Resposta Correta: 
V, F, V, V. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Os vetores são geradores e linearmente independentes. 
Vetores múltiplos são LD e não são geradores. Lembre-se de que conjuntos 
de versores podem ser geradores de espaços do sistema de 
coordenadas . 
 
 
• Pergunta 5 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos 
conceitos abordados. A dependência e independência linear e a geração de vetores são 
conceitos que devemos compreender bem. 
 
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F as falsas. 
 
 
( ) Os vetores são linearmente dependentes. 
( ) Para gerar . 
( ) Os vetores são LI . 
( ) Para gerar . 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas. 
Resposta Selecionada: 
V, V, F, V. 
Resposta Correta: 
V, V, F, V. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. Importante observar que em vetores paralelos ou 
coincidentes são LD. 
 
 
• Pergunta 6 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Uma das aplicações do produto vetorial é a determinação de áreas de paralelogramos e 
triângulos, ou figuras que podem ser decompostas em triângulos. 
Desta forma, temos um triângulo definido pelos vetores . 
 
Qual a área deste triângulo? 
 
Resposta Selecionada: 
 unidades de área. 
Resposta Correta: 
 unidades de área. 
Feedback 
da 
resposta:Resposta correta. O produto vetorial tem significados algébricos, geométricos e 
até físicos. Geometricamente, ele equivale às áreas de paralelogramos. Em 
termos algébricos, o produto vetorial possui como resultado de sua operação um 
vetor e em termos físicos representa um movimento de giro ou rotação. 
 
 
• Pergunta 7 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Uma das aplicações do produto escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. Sabe-
se que os pontos representam vértices do triângulo ABC. 
 
Quanto mede o ângulo no vértice A? 
 
Resposta Selecionada: 
90 0 
 
Resposta Correta: 
90 0 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Lembre-se de que o produto escalar entre dois vetores produz 
um número como resultado. Uma das finalidades de utilização de produto 
escalar é a determinação do ângulo entre dois vetores. O produto escalar 
também é conhecido como produto interno. 
 
• Pergunta 8 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Quais são os valores dos escalares para que o vetor seja combinação linear dos 
vetores 
 
Resposta Selecionada: 
-1 e 3. 
Resposta Correta: 
-1 e 3. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como a 
soma de outros, multiplicados por escalares que possibilitam a verificação da 
igualdade vetorial, desta forma para dois vetores como combinação para um 
terceiro vetor, teremos uma expressão como com pelo menos uma das 
constantes diferente de zero. 
 
 
 
• Pergunta 9 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Dizemos que um vetor é combinação linear de outros quando podemos encontrar múltiplos 
escalares que somados se igualam ao vetor original, ou seja: , desde que os 
escalares sejam, pelo menos, um diferente de zero. Neste exercício, temos que os 
vetores são dados por: 
 
 
 
 
 
 
Quais coeficientes escalares tornam o vetor como combinação linear dos 
vetores ? 
 
Resposta Selecionada: 
Temos que . 
Resposta Correta: 
Temos que . 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta! Só dizemos que um vetor é combinação linear de outro, ou 
outros, quando expressamos este vetor como a soma dos demais. Desta 
forma, sua escolha foi correta. 
 
• Pergunta 10 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Vamos considerar o conjunto dado por: . 
Considere as seguintes afirmações: 
 
I) O subespaço gerado pelos vetores de A é dado por . 
II) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
III) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando . 
IV) O vetor é combinação linear dos vetores de A quando k= 2. 
V) O vetor pertence ao subespaço gerado por 
 
Com base no que você estudou, é correto o que se afirma em? 
 
Resposta Selecionada: 
I, II e III; 
Resposta Correta: 
I, II e III; 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O conjunto A é um conjunto formado por elementos 
finitos. O subespaço gerado a partir deste conjunto é formado por todas as 
combinações lineares dos vetores do conjunto A. 
 
 
Sábado, 31 de Agosto de 2019 19h22min05s BRT 
 OK 
 
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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 
Usuário MARCOS CESAR PEREIRA MICHELINI JUNIOR
Curso GRA0536 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR PNA (ON) - 201920.1976.01
Teste ATIVIDADE 2
Iniciado 03/09/19 05:17
Enviado 03/09/19 07:27
Status Completada
Resultado da tentativa 2,5 em 2,5 pontos  
Tempo decorrido 2 horas, 10 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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Resposta Correta: 
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resposta:
Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos conceitos abordados.  A
dependência e independência linear e a geração de vetores são conceitos que devemos compreender bem. 
  
Nesse sentido, assinale com V, as a�rmações verdadeiras e com F as falsas. 
  
( ) Os vetores  são linearmente dependentes. 
( ) Para gerar . 
( ) Os vetores  são LI . 
( ) Para gerar . 
  
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. Importante observar que em   vetores paralelos ou coincidentes
são LD. 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Temos que o produto escalar fornece um número como resultado e o produto vetorial produz um terceiro
vetor como resultado do produto vetorial. Analise as a�rmativas 
  
Nesse sentido, assinale com V, as a�rmações verdadeiras e com F, as falsas. 
  
  . 
 O módulo do produto vetorial geometricamente equivale a uma projeção de um vetor sobre o outro. 
 O produto vetorial dos vetores  é simultaneamente ortogonal a estes dois vetores. 
 O produto vetorial . 
  . 
  
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de respostas.
 V, F, V, V, V.
 V, F, V, V, V.
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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Feedback
da
resposta:
Resposta correta. As de�nições e propriedades do produto vetorial foram assimiladas por você.
Lembre-se de que vetores são caracterizados por intensidade, direção e sentido. O produto
vetorial produz como resultado um vetor ortogonal a um plano que compõe os vetores base do
produto vetorial, desta forma, admitem sentidos (positivo e negativo) opostos. 
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Quais são os valores dos escalares para que o vetor  seja combinação linear dos vetores
-1 e 3.
-1 e 3.
Resposta correta. A combinação linear equivale a escrever um vetor como a soma de outros,
multiplicados por escalares que possibilitam a veri�cação da igualdade vetorial, desta forma para
dois vetores como combinação para um terceiro vetor, teremos uma expressão como 
 com pelo menos uma das constantes diferente de zero.  
  
Pergunta 4
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Resposta Correta: 
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da
resposta:
Os produtos escalar e vetorial possuem interpretações algébricas e geométricas. Em relação ao produto
vetorial, algebricamente, sua operação produz um vetor. Em relação à interpretação geométrica, o módulo do
produto vetorial equivale à área de um paralelogramo. 
Desta forma, dados os pontos: , representados pela �gura abaixo: 
 
Elaborado pelo autor, 2019. 
  
Qual a área do paralelogramo de vértices 
6 unidades de área.
6 unidades de área.
Resposta correta.  O produto vetorial tem, por sentido geométrico, a área de um paralelogramo.
Aspecto muito importante é sempre em sua resposta indicar unidades de área representadas no
enunciado da questão. Caso não conste, sempre escreva unidades de área. Lembre-se também
de que a área calculada será sempre positiva, haja vista que temos o valor calculado em módulo.
Pergunta 5
Um vetor é um ente matemático que, para ser perfeitamente de�nido, necessita que conheçamos sua direção,
sentido e intensidade. Podemos operar algebricamente sobre vetores, obtendo somas, subtrações e
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
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da
resposta:
multiplicações de escalares por vetores. Uma soma de vetores pode também ser feita geometricamente.
Observe a �gura: 
 
Elaborado pelo autor, 2019. 
  
Qual esquema representa a operação 
Resposta correta. A regra dos polígonos é uma das formas de determinar o vetor resultante de
uma operação vetorial. A partir do primeiro vetor devemos unir a origem do vetor seguinte na
extremidade do vetor anterior. Esta regra permite somar qualquer quantidade de vetores. 
Pergunta 6
Para que um