7 Aula - Movimento circular

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Movimento circular
APRESENTAÇÃO
O movimento circular está presente em diversos fenômenos do cotidiano, como ao fazer curvas 
dirigindo, ao dar a volta em uma rotatória, ou em equipamentos laboratoriais, como nas 
ultracentrífugas. Outros fenômenos, talvez menos perceptíveis no dia a dia, são as trajetórias de 
satélites em volta da Terra. Assim, estudar esse tipo de movimento é fundamental para 
compreender a dinâmica desses fenômenos.
Para acompanhar o conteúdo desta Unidade, você deve estar familiarizado com os conceitos de 
função, derivada, Lei de Newton e trigonometria.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá sobre coordenadas polares e sobre como 
aplicá-las no estudo do movimento circular. Verá também as variáveis angulares e como 
relacioná-las com as variáveis lineares, além de exemplos e aplicações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar variáveis e equações do movimento circular.•
Relacionar as grandezas do movimento circular às do movimento linear.•
Resolver problemas de contexto físico relacionados à variação angular (movimento 
circular).
•
DESAFIO
Entre os diversos exemplos de movimentação circular, é possível citar as pistas de corrida de 
carro. Estas, embora não sejam exatamente circulares, apresentam diversas curvas, que podem 
ser estudadas como movimento uniforme. Além do formato, outro ponto importante nessas 
pistas é a sua inclinação. Essa inclinação tem implicações na velocidade com que o carro é 
capaz de fazer a curva sem derrapar. 
Imagine que você esteja acompanhando uma corrida na pista de Daytona na Flórida.
Com essa velocidade, você diria que ele irá conseguir fazer a curva sem derrapar? Responda às 
questões a seguir para chegar à sua conclusão:
a) Quais forças atuam no carro? Faça um esquema.
b) Escreva o sistema de forças para as componentes cartesianas usando a Segunda Lei de 
Newton.
c) Encontre a velocidade máxima com que o carro pode fazer a curva.
d) Se o seu piloto estivesse na pista de Indianápolis, cuja inclinação das curvas é de 9°, ele iria 
conseguir fazer a curva? Suponha as outras variáveis iguais.
INFOGRÁFICO
Para estudar movimentos circulares, é preferível o uso de coordenadas polares. Embora o uso de 
variáveis angulares seja desejável, saber relacioná-las com as variáveis lineares é essencial para 
a compreensão da dinâmica da movimentação.
Veja, no Infográfico a seguir, como realizar essa relação com as variáveis lineares.
CONTEÚDO DO LIVRO
No movimento circular, estudam-se as variáveis cinemáticas do ponto de vista da variação 
angular. Ou seja, em vez de deslocamento, usa-se deslocamento angular; em vez de velocidade, 
usa-se velocidade angular; e assim por diante. No entanto, também é possível relacionar essas 
variáveis angular e linear entre si. 
No capítulo Movimento circular, da obra Cinemática da partícula, você conhecerá mais sobre a 
dinâmica de movimento circular e verá como encontrar as variáveis angulares e suas relações 
com as lineares, além de diversos exemplos.
Boa leitura. 
CINEMÁTICA 
DA 
PARTÍCULA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Movimento circular
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar variáveis e equações do movimento circular.
 � Relacionar as grandezas do movimento circular ao movimento linear.
 � Resolver problemas de contexto físico relacionados à variação angular 
(movimento circular).
Introdução
Os movimentos circulares são bastante comuns no nosso dia a dia, sendo 
observados na movimentação de brinquedos, como um carrossel em um 
parque, ou na própria translação da Terra ao redor do Sol, por exemplo. 
Quando estamos dirigindo e fazemos uma curva, a nossa movimentação 
também é circular, mesmo que parcialmente.
Neste capítulo, você vai estudar os principais conceitos do movimento 
circular e a relação entre as grandezas angulares e as grandezas lineares. 
Além disso, também vai verificar alguns exemplos e problemas sobre a 
temática.
1 Conceito
O movimento circular é aquele que acontece como uma rotação em torno de 
um eixo, com raio constante. Exemplos de movimento circular são a movi-
mentação das pessoas em uma roda gigante e a órbita de um satélite ao redor 
da Terra (Figura 1).
Figura 1. Exemplos de movimentos circulares: o movimento de uma roda gigante e a órbita 
de um satélite em torno do planeta Terra.
Fonte: ClassicVector/Shutterstock.com; robuart/Shutterstock.com. 
Para estudarmos o movimento circular, precisamos compreender alguns 
conceitos. Nesta seção, você vai estudar as coordenadas polares e angulares, 
o deslocamento angular, a velocidade angular, a frequência angular, o período, 
a aceleração angular, a aceleração centrípeta e a força centrípeta.
Coordenadas polares
Podemos dizer que, nos movimentos circulares, o corpo em questão se move 
ao longo da circunferência de um círculo. As suas coordenadas x e y variam 
com o tempo, mas a distância do centro, ou seja, o raio, permanece constante. 
Dessa maneira, o uso das coordenadas polares é indicado para analisar esses 
tipos de movimentação.
A Figura 2 ilustra os componentes necessários para entendermos as 
coordenadas polares no movimento circular. A imagem mostra o vetor posição 
r⃗ e a sua angulação θ em relação ao eixo x. Assim, podemos especificar o 
vetor posição, usando as coordenadas x e y, ou usando o seu módulo e a sua 
angulação, ou seja, a sua coordenada polar.
Movimento circular2
Figura 2. Coordenadas polares para o movimento 
circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 280).
Observando a geometria da Figura 2, podemos também encontrar a relação 
entre as coordenadas geometricamente. As coordenadas polares, r e θ, em 
relação às coordenadas cartesianas, x e y, são dadas por (BAUER; WESTFALL; 
DIAS, 2012; SAFIER, 2011):
Já as coordenadas cartesianas, em relação às polares, são dadas por 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012; SAFIER, 2011):
Como o raio permanece constante no movimento circular, podemos re-
duzir a descrição do movimento usando apenas a variação de θ, facilitando 
o problema.
3Movimento circular
A Figura 2 também ilustra os vetores unitários em relação às coordenadas 
x e y e os vetores unitários nas direções radial e tangencial ao movimento — 
ou seja, r ̂ e t ̂. A angulação entre r ̂ e x̂ também é θ (Figura 3). Assim, podemos 
encontrar relações entre os vetores unitários. Geometricamente, podemos 
escrever que:
Figura 3. Vetor unitário r ̂e a sua relação com 
o ângulo θ.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 281).
Para verificar se os vetores unitários r ̂e t ̂são perpendiculares entre si e unitários, pode-se 
utilizar o produto escalar. Para serem perpendiculares, o produto escalar entre eles 
deve resultar em zero, e, para serem unitários, o produto escalar de um vetor unitário 
com ele mesmo deve resultar em 1. Veja a seguir.
Movimento circular4
Coordenadas angulares de deslocamento angular
Como vimos anteriormente, no movimento circular, o raio permanece cons-
tante, e o que varia com o tempo é o ângulo θ. Ou seja, temos o ângulo como 
uma função do tempo θ(t). As duas unidades mais usadas para ângulos são 
radianos (rad) e grau (°). Considerando um ciclo completo, temos um ângulo 
de 360° ou 2π rad. Com essa informação, podemos encontrar a relação entre 
θ, π e rad. Assim,
ou
Temos também que:
Vale dizer que o ângulo θ pode ter valores positivos ou negativos. Porém, 
o ângulo é periódico, ou seja, após uma volta completa, o valor de θ retorna 
ao mesmo ponto.
O deslocamento angular é definido como a diferença entre os ângulos de 
dois pontos de interesse, ou seja:
∆θ = θ2 – θ1
5Movimento circular
Observe novamente a Figura 2. Nela, um arco de comprimento s é ilustrado 
com a cor verde. Esse comprimento é chamado de comprimento de arco, que 
tem uma relação entre o ângulo e o raio dada por:
s = rθ
Para um circunferência completa, temos que s = 2πr. O comprimentopossui 
a mesma unidade que o raio.
Velocidade angular, frequência angular e período
A velocidade angular é definida como a variação das coordenadas angulares. 
O valor médio da velocidade angular é dado por (BAUER; WESTFALL; DIAS, 
2012; MARQUES; UETA, 2007):
À medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero, temos a velocidade 
angular instantânea, ou seja:
A unidade mais usada para a velocidade angular é rad/s.
A direção e o sentido do vetor de velocidade angular podem ser encontra-
dos por meio da regra da mão direita (Figura 4). A sua direção é dada pelo 
eixo perpendicular ao plano do círculo, e o seu sentido depende da direção 
de rotação. Se for no sentido horário, a velocidade apontará para cima, como 
mostrado na Figura 4, ou para baixo, no caso oposto. Para usar a regra da mão 
direita, basta colocar seus dedos no sentido de rotação. O polegar apontará 
para o sentido da velocidade angular. 
Movimento circular6
Figura 4. Regra da mão direita.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 284).
A frequência angular f mostra quanto varia o ângulo com o tempo — ou 
seja, quantos ciclos ocorreram por certo tempo. Ela é dada por:
A unidade mais usada para a frequência é o Hertz, onde 1 Hz = 1 s–1. Já o 
período de rotação T é dado por:
O período mede o tempo necessário para o ângulo voltar ao mesmo valor, 
ou seja, o tempo necessário para passar uma vez ao redor do círculo. Relacio-
nando essas variáveis, podemos escrever que:
7Movimento circular
O período de rotação de um satélite ao redor da Terra é de 24 horas. Qual é a sua 
frequência e a sua velocidade angular?
A frequência será dada por:
Já a velocidade angular será:
Nesta subseção, você aprendeu alguns conceitos, como velocidade an-
gular, frequência angular e período, os quais se baseiam em deslocamentos 
angulares. Embora estejamos usando velocidade angular para o estudo de 
movimentos circulares, esta possui uma relação com a velocidade linear, 
conforme descrito a seguir.
Velocidade angular e velocidade linear
Podemos encontrar a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear em 
um movimento circular. Vamos iniciar essa análise encontrando a velocidade 
linear. Primeiramente, vamos escrever o vetor posição radial em coordenadas 
cartesianas e, depois, derivar em relação ao tempo. Assim, temos que:
Movimento circular8
A distância r é constante, então, podemos escrever que:
Ou seja, podemos escrever que:
v⃗ = rωt̂
O vetor velocidade é, então, tangencial à trajetória realizada e, também, 
sempre perpendicular ao vetor posição, que aponta na direção radial (Figura 5). 
Figura 5. Velocidade linear no movimento circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 285).
Se tirarmos o módulo dos dois lados da equação, obtemos uma relação 
entre os módulos da velocidade, ou seja:
v = rω
9Movimento circular
Uma moto possui pneu com raio de 30,0 cm. Se a moto estiver andando a 20 km/h, 
qual será a velocidade angular do pneu em rad/s?
Podemos usar que:
A seguir, você vai estudar sobre a aceleração no movimento circular.
Aceleração angular e centrípeta
A aceleração angular α é dada pela taxa de variação da velocidade angular. 
O seu valor médio é definido como (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012; 
MARQUES; UETA, 2007):
O vetor de aceleração instantânea é, então, definido por:
No caso da aceleração, podemos também encontrar uma relação entre a 
aceleração angular e a linear, usando as direções tangencial e radial. Usando, 
então, o vetor velocidade encontrado anteriormente e a regra do produto da 
diferenciação (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014), escrevemos que:
Movimento circular10
Assim, o vetor aceleração possui duas componentes. A primeira é a com-
ponente tangencial, que vem da variação do valor da velocidade. A segunda 
é a componente radial, que vem do fato de que o vetor velocidade tangencial 
tem que mudar a direção ao longo da trajetória.
Vamos analisar essas componentes individualmente. Calculando a derivada 
de v em relação ao tempo, temos que:
Assim, encontramos a relação entre aceleração angular e variação da 
velocidade com o tempo.
Agora, vamos analisar a derivada do segundo termo da aceleração. Temos 
que:
Agora, podemos escrever o vetor aceleração como:
a⃗(t) = rαt̂ – vωr̂
A Figura 6 mostra a relação entre a aceleração linear e suas componentes 
com a aceleração angular. A aceleração tem, então, uma componente radial e 
outra tangencial, que dependem do valor de α. A aceleração que varia a direção 
do vetor velocidade e não altera o seu módulo é chamada de aceleração centrí-
peta ac e aponta para dentro, na direção radial. Assim, podemos escrever que:
a⃗ = att̂ + acr̂
11Movimento circular
O valor da aceleração centrípeta é, então (BAUER; WESTFALL; DIAS, 
2012; MARQUES; UETA, 2007): 
Figura 6. Relações entre aceleração linear, suas componentes e aceleração angular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 287).
Já o valor da aceleração é dado por:
Força centrípeta
A força centrípeta é aquela necessária para a aceleração centrípeta do movi-
mento circular. Ela aponta para dentro, e o seu valor é dado por:
onde m é a massa do corpo em questão.
Movimento circular12
2 Movimentos circular e linear
A partir do que foi visto na seção anterior, podemos relacionar as grandezas 
lineares às grandezas angulares do movimento circular. A Figura 7 resume 
essas relações.
Figura 7. Relações entre as grandezas lineares e angulares no movimento circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 294).
Um corpo em rotação tem seu deslocamento angular dado por:
com o tempo t em segundos e θ em rad. O raio é 1,0 m. Encontre a velocidade e a 
aceleração angulares e os seus correlatos lineares.
Para encontrarmos a velocidade angular, utilizamos:
A aceleração angular é dada por:
13Movimento circular
A figura a seguir mostra θ, ω e α pelo tempo.
Os equivalentes lineares são dados por:
Usando essas relações entre as grandezas lineares e angulares, podemos 
entender e resolver os diversos problemas envolvendo movimentação circular. 
A seguir, você verá alguns desses problemas.
3 Problemas envolvendo movimento circular
A partir do que foi estudado nas seções anteriores, vamos agora verificar 
alguns problemas envolvendo os conceitos de movimento circular. 
Movimento circular14
Problema 1
Os planetas no nosso sistema solar apresentam movimentos de rotação e 
translação. A trajetória da Terra ao redor do Sol é aproximadamente circular, 
com período de um ano. Encontre a sua frequência angular, a sua velocidade 
angular e a sua velocidade linear. Considere a distância entre a Terra e o Sol 
igual a 1,49 ∙ 1011 m.
O período da órbita da Terra ao redor do Sol é de um ano. Transformando 
em segundos, temos que:
A frequência é dada por:
A velocidade angular é:
Por fim, a velocidade linear é dada por:
Transformando em km/h, temos que:
Como se pode perceber, a velocidade é bastante alta.
15Movimento circular
Problema 2
Suponha que um carro de 1.800 kg esteja fazendo uma curva à esquerda com 
raio de 80 m (Figura 8). Qual é a velocidade máxima que ele pode atingir 
sem derrapar? Considere o coeficiente de atrito estático do pneu com o chão 
de μe = 1,0.
Figura 8. Carro em uma trajetória curvilínea 
de raio r para a esquerda, com velocidade v.
Fonte: Knight (2009, p. 216).
Nesse problema, enquanto o carro faz a curva, ele descreve um movimento 
circular, mesmo que não seja um ciclo completo. Assim, no que aproximada-
mente é um quarto de um círculo, podemos analisar a sua dinâmica do ponto 
de vista de um movimento circular.
A força que permite que o carro faça a curva sem derrapar é a força de 
atrito entre os pneus e o chão (Figura 9). Se ela não existisse, o carro pro-
vavelmente derraparia para a frente, por conta da inércia. Assim, a força de 
atrito estático f e⃗ empurra o pneu para dentro do círculo. Ou seja, esse atrito é 
responsável pela aceleração centrípeta do movimento circular durante a curva.
Movimento circular16
Figura 9. Força de atrito durante a curva.Fonte: Knight (2009, p. 216).
A força de atrito estático atinge seu valor máximo, a certa velocidade 
máxima, sem que o carro derrape. Assim,
fe, max = μen
onde n é a normal. Ou seja, se o carro entrar na curva com velocidade que 
ultrapasse essa força, ele vai derrapar.
A força de atrito aponta para a direção de r. O diagrama de forças corres-
pondente é mostrado na Figura 10. Usando, então, o sistema de coordenadas 
rtz, as leis de Newton podem ser escritas como:
17Movimento circular
Figura 10. Diagrama de forças do 
veículo.
Fonte: Knight (2009, p. 216).
Da equação radial, podemos obter o módulo da velocidade. Assim, temos 
que:
Da segunda equação, temos que:
n = mg
A força de atrito será máxima quando:
fe = fe, max = μen = μemg
Assim, a velocidade máxima será:
Movimento circular18
Substituindo os valores dados no problema, obtemos que:
Transformando para km/h, temos que:
Ou seja, para não derrapar em uma curva de raio igual a 80 m, a velocidade 
máxima para fazer a curva é de 100,8 km/h.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1. 
MARQUES, G. C.; UETA, N. Mecânica (Universitário). In: E-Física. São Paulo: USP, 2007. 
Disponível em: http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario. Acesso em: 16 abr. 2020.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum)
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19Movimento circular
DICA DO PROFESSOR
No movimento circular, as medidas de localização importantes são a posição e o deslocamento 
angulares. O ângulo da movimentação também pode variar segundo uma função do tempo. Já 
a velocidade angular e a aceleração angular podem ser definidas como o uso de derivada, da 
mesma maneira que as suas correlatas lineares. 
Veja, nesta Dica do Professor, um pouco mais sobre essas definições, bem como um exemplo 
aplicado.
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EXERCÍCIOS
No movimento circular, é comum utilizar coordenadas polares, porque o raio é constante, 
sobrando apenas a coordenada angular, o que facilita o estudo da dinâmica. Suponha o 
vetor posição , como mostrado na figura a seguir.
 
1) 
Se as coordenadas xy do ponto referente são dadas por , encontre suas coordenadas 
polares e o vetor unitário em relação a e .
A) Confira a alternativa A:
 
 
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B) Confira a alternativa B:
 
 
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C) Confira a alternativa C:
 
 
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Confira a alternativa D: 
 
 
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D) 
E) Confira a alternativa E:
 
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2) Como você já deve saber, o planeta Terra apresenta movimentos de translação e 
rotação. Considerando a Linha do Equador, qual a velocidade linear da rotação de 
um ponto na superfície da Terra? Considere que RTerra = 6.380km. 
A) 465m/s.
B) 470m/s.
C) 495m/s.
D) 523m/s.
E) 630m/s.
3) O movimento circular está presente em nossas vidas e em várias situações, como, por 
exemplo, quando colocamos um CD para tocar. Sabendo que a frequência angular é 
de f=6Hz, qual é a aceleração centrípeta em um ponto na superfície cujo raio é de 
10cm?
A) 106,53m/s2.
B) 122,13m/s2.
C) 130,10m/s2.
D) 142,13m/s2.
E) 170,30m/s2.
4) Uma pessoa em uma roda gigante estava parada no ponto 1. A roda iniciou e parou 
em um ponto 2. Sabendo que θ1= 30° e θ2= 90°, que o raio da roda é de 10m e que 
sua frequência é de 5 rotações por minuto, determine o comprimento de arco 
percorrido pela pessoa e o tempo que a roda levou para ir do ponto 1 ao ponto 2. 
A) s=5,00m e t=1s.
B) s=10,47m e t=2s.
C) s=10,47m e t=4s.
D) s=15,20m e t=2s. 
E) s=10,47m e t=10s.
5) Um corpo em movimento circular exibe deslocamento angular dado pela função: 
, com o tempo t dado em segundos e angulação θdada em 
radianos. Qual é sua aceleração angular em t=2s? 
A) α=16rad/s2.
B) α=18rad/s2.
C) α=20rad/s2.
D) α=21rad/s2.
E) α=24rad/s2 .
NA PRÁTICA
Quando você pensa em exemplos de movimento circular, algumas imagens podem vir à sua 
mente, como diversos brinquedos em parques de diversão ou órbitas de satélites no espaço. Mas 
você sabia que existem equipamentos que se utilizam das características de um movimento 
circular para funcionarem? 
Veja, Na Prática, um exemplo de um equipamento encontrado em laboratório e sua relação com 
o movimento circular.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Dinâmica do movimento circular
Estudar a dinâmica do movimento circular nos ajuda a entender diversos fenômenos, como 
movimentação de satélites. Veja, a seguir, uma aula sobre o assunto do professor Gil da Costa 
Marques no canal da Univesp.
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Laboratório virtual
Quer saber mais sobre força centrífuga? Veja o experimento mostrado pelo prof. Cláudio 
Furukawa no link a seguir.
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Física Interativa
Uma maneira excelente de assimilar os conceitos vistos nesta UA é treinando resolvendo 
exercícios sobre o assunto. Veja, a seguir, uma lista com diversos exercícios no canal do 
Youtube do Física Interativa.
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