E2_FUUV

Prévia do material em texto

FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL
E-book 2
Carla Vital
Neste E-Book:
INTRODUÇÃO ���������������������������������������������� 3
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES COM 
APLICAÇÕES ������������������������������������������������4
Algoritmo ������������������������������������������������������������������4
Máquina de funções ������������������������������������������������7
Definição de funções �������������������������������������������� 10
Tipos de função ���������������������������������������������������� 14
Aplicações de funções ����������������������������������������� 17
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES�����������������19
Soma de funções �������������������������������������������������� 19
Subtração de funções ������������������������������������������� 20
Multiplicação de funções ������������������������������������� 20
Divisão de funções ������������������������������������������������ 21
Função composta ������������������������������������������������� 22
FUNÇÃO LINEAR E SUAS 
APLICAÇÕES ����������������������������������������������26
Função constante ������������������������������������������������� 26
Função identidade ������������������������������������������������ 27
Função afim ����������������������������������������������������������� 28
Função linear ��������������������������������������������������������� 29
Aplicações de funções lineares ��������������������������� 30
CONSIDERAÇÕES FINAIS ���������������������� 35
SÍNTESE �������������������������������������������������������36
2
INTRODUÇÃO
Este é o segundo módulo de nossa disciplina� Espero 
que você esteja conseguindo acompanhar o conteú-
do sem maiores dificuldades. Agora você irá aprender 
como se dá o conceito inicial de uma função e, além 
disso, poderá perceber onde utilizamos a aplicação 
este conceito�
Primeiro, você vai se familiarizar como os algoritmos 
são utilizados no cotidiano, para, em seguida, obser-
var a definição de função de maneira mais formal. Em 
seguida, serão abordados os tipos de função: identi-
dade, constante, linear e afim e, depois, serão mos-
tradas algumas aplicações sobre funções lineares�
3
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES 
COM APLICAÇÕES
Nesta seção, você irá aprender alguns conceitos bá-
sicos para, em seguida, estudar o conceito de função, 
bem como suas aplicações. Inicialmente, será apre-
sentado sobre como os algoritmos estão presentes 
no cotidiano, bem como ele é definido; depois, é ex-
planado sobre como as funções são formadas e o 
seu princípio de formação.
Algoritmo
Provavelmente, esta palavra é familiar para você. 
Atualmente, esse conceito é muito utilizado em redes 
sociais, por exemplo; as publicações que aparecem 
em seu feed de notícias levam em consideração al-
guns dados, como: se o autor da publicação é alguém 
com que você tem engajamento, ou seja, quanto mais 
você interage com uma pessoa, mais as publicações 
dela aparecerão para você e quanto mais você se 
interessar por publicações de determinado assunto, 
mais este assunto será apresentado a você�
Esta é uma tarefa simples. Quem realiza a tarefa de 
escolher as publicações são esses algoritmos e a 
seleção é feita através de programação dentro da rede 
social. Talvez você acredite que isso é algo complexo; 
em alguns casos, talvez seja, mas a lógica envolvida 
nisso é muito mais simples do que você imagina�
4
Algoritmo, de maneira simplificada, é um conjunto 
de ações ou um caminho que se desenvolve para 
solucionar algo� Se você tem um problema e precisa 
encontrar a solução para ele, você deve encontrar um 
passo a passo para que as ações sejam executadas. 
Por exemplo, o que devemos fazer para cozinhar uma 
xícara de arroz? Nosso objeto inicial serial uma xícara 
de arroz cru e o objeto final cozinhar uma xícara de 
arroz cru. A partir disso, quais seriam as ações a 
serem desempenhadas para obter/cozinhar o arroz?
1. Lavar o arroz;
2. Colocar 2 xícaras de água para ferver;
3. Colocar uma panela no fogo;
4. Esperar a panela esquentar um pouco;
5. Colocar uma colher óleo na frigideira;
6. Colocar alho picado na panela e esperar frita;
7. Colocar o arroz na panela e mexer;
8. Apagar o fogo da água quente;
9. Despejar a água dentro da panela do arroz;
10. Colocar 1 colher de chá de sal;
11. Tampar a panela do arroz;
12. Esperar o arroz cozinhar;
13. Apagar o fogo da panela�
Esta é apenas uma maneira de fazer arroz, existem 
muitas outras. Há pessoas que fazem as ações des-
critas acima, mas em ordem diferente, utilizando 
5
diferentes tipos de temperos, colocando mais ou 
menos água ou, ainda, utilizando uma panela elé-
trica. Mesmo que o caminho seja diferente, tendo 
uma “entrada”, neste caso, uma xícara de arroz cru 
e, conseguindo chegar na “saída” esperada, cozinhar 
uma xícara de arroz cru, denominamos estes passos: 
algoritmo. Observe a figura a seguir:
A VIDA DOS ALGORITMOS
Eles ajudam a explicar por que sua vida
digital tem a sua cara
O QUE É
Algoritmos são como instruções ou
receitas usados para atingir objetivos
ou resolver problemas. A revolução da
computação passa justamente por aplicar
algoritmos de forma automatizada - bilhões
deles, ao mesmo tempo, nas
máquinas modernas.
O QUE FAZEM
Aquilo que eles são designados para fazer
dentro dos parâmetros estabelecidos. Eles
usam uma entrada - input - para receber
informações e têm uma saída, ou seja, um
resultado previsto.
A INFLUÊNCIA
Praticamente toda a nossa experiência na
internet é guiada por algoritmos - no caso
das redes sociais, eles buscam, entre outros
resultados, otimizar o engajamento.
É UTIL?
Ter uma certa curadoria diante de tanto
conteúdo não parece má ideia. Define
alguns critérios para que tipo de conteúdo
priorizar. Eles “aprendem” com o nosso
perfil, likes, comportamento, comportamento
dos amigos, padrões de navegação, entre
outros pontos.
O RESULTADO
Com base nessas informações, o algoritmo
decide que conteúdo é mostrado para você.
Não é analisado o conteúdo em si - se é
uma notícia verdadeira ou falsa,
por exemplo - mas, sim, os padrões de
engajamento.
Figura 1: Algoritmos. Fonte: adaptado de uol
6
https://tab.uol.com.br/crise-facebook#imagem-5
Note que, mesmo não dominando os algoritmos, 
você faz uso deles no cotidiano sem perceber. É algo 
que está presente no cotidiano, de maneira geral. às 
vezes, de maneira simples – como o exemplo dado 
– ou até mesmo para soluções empresariais.
SAIBA MAIS
Leia esta reportagem sobre algoritmos da Revis-
ta Galileu: https://revistagalileu.globo.com/Revis-
ta/noticia/2014/05/como-os-algoritmos-domina-
ram-o-mundo.html
Máquina de funções
Neste tópico, você irá aprender o princípio básico 
por trás de uma função. Dessa forma, será possível 
identificar como os números “entram” e “saem” da 
função, a partir do princípio exposto de algoritmo.
Inicialmente, estudamos que os algoritmos repre-
sentam um conjunto de ações desenvolvidas para 
que consigamos sair de um objeto inicial e chegar a 
um objeto final. Este conceito pode ser utilizado em 
matemática também. Por exemplo, quando fazemos 
uma soma: 3 + 7, inicialmente, verificamos os termos, 
3 e 7; em seguida, fazemos o cálculo necessário, 
levando em consideração a operação pedida – no 
caso, a soma; em seguida, efetuamos a operação. 
Assim, chegamos ao resultado: 10, ou seja: objeto 
inicial: 3 + 7 e objeto final: 10.
7
https://revistagalileu.globo.com/Revista/noticia/2014/05/como-os-algoritmos-dominaram-o-mundo.html
https://revistagalileu.globo.com/Revista/noticia/2014/05/como-os-algoritmos-dominaram-o-mundo.html
https://revistagalileu.globo.com/Revista/noticia/2014/05/como-os-algoritmos-dominaram-o-mundo.html
Agora podemos utilizar essa definição para opera-
ções um pouco mais complexas. Podemos chamar 
de máquina de funções� Ela funciona de maneira 
desconhecida, porém, a única informação disponível 
é que os números entram dentro dela e saem núme-
ros totalmente diferentes dos iniciais� Precisamos 
descobrir o que acontece dentro dessa máquina; 
para isso, vamos pensar nos passos que precisa-
mos desenvolver com os números,o algoritmo, para 
chegar ao resultado final. Leve em consideração os 
seguintes números da máquina A�
Entra Sai
1 3
2 4
-3 -1
Tabela 1: Dados Máquina A. Fonte: Elaboração Própria
Entra
Sai
Operações
Figura 2: Máquina de Função A. Fonte: Elaboração Própria.
8
Vamos raciocinar um pouco� O número 1 entra na 
máquina de funções e, em seguida, ele sai como 3. 
Que operações poderiam ter acontecido com o 1 
para ele se transformar em 3? Nós teríamos algumas 
opções. Vamos pensar:
1 + 2 = 3
(1 + 1) *1,5 = 3
1 * 3 = 3
Perceba que diferentes operações poderiam satis-
fazer o que estamos pedindo. Muitas outras, além 
desses exemplos, também conseguiriam atender ao 
que acontece, levando em consideração que o 1 entra 
e sai o 3. Porém, lembre-se de que é necessário levar 
em consideração os outros dados da tabela. Todas 
essas operações também valem para os outros nú-
meros? Vamos testar para o 2:
2 + 2 = 4
(2 + 1) *1,5 = 4,5
2 * 3 = 6
Note que a única operação que satisfaz as condições 
da tabela é o número 2, pois entra o 2 e sai o 4, as 
outras estão erradas. Dessa forma, poderemos definir 
uma lei de formação para esta máquina de função 
A; podemos descrever o padrão, como na figura 3 e, 
em seguida, escrever a lei de:
9
Entra
Sai
somar 2
Figura 3: Máquina de Somar 2. Fonte: Elaboração Própria.
Entra
Sai
X+2
Figura 4: Máquina X + 2. Fonte: Elaboração Própria.
Este mesmo princípio vale para outras máquinas que 
realizem operações diferentes.
Definição de funções
Não se sabe ao certo quem criou as funções, mas 
seu surgimento deve-se ao fato da necessidade de se 
relacionar casos de interdependência; por exemplo, 
10
as intempéries climáticas, como as leis de Kepler a 
respeito dos movimentos dos planetas (BOTELHO; 
REZENDE, 2007).
As autoras ainda acreditam que, apesar de diversos 
passos antes de se chegar ao conceito de função, 
como a definição de variável, a definição mais ex-
plícita de função do século 17 foi dada por James 
Gregory em 1667, que definiu função como “uma 
quantidade obtida de outras quantidades pela su-
cessão de operações algébricas ou por qualquer 
outra operação imaginável” (BOTELHO, REZENDE, 
2007, p. 69).
Agora que você está mais familiarizado com as 
operações e também com um pouco de história da 
matemática, podemos iniciar a definição formal de 
função. Observe que a Máquina de Função A pode-
ria ser definida da seguinte maneira x = número que 
entra, y = número que sai e é necessário definir a 
operação, no caso somar dois, dessa forma, mate-
maticamente poderíamos escrever como �
Além disso, poderíamos considerar os conjun-
tos A = {−3,1,2} , de entrada e 
de saída, e definir a seguinte relação binária 
. Assim, poderíamos 
definir os pares ordenados que satisfazem esta re-
lação �
Note que para todo que pertence ao conjunto A 
existe apenas 1 elemento que pertence a B, de tal 
forma que o par ordenado pertence à relação 
R. A esse tipo de relação damos o nome de função 
11
definida em A com imagens em B ou aplicação de A 
em B. Ao conjunto A, que são os números de partida, 
denominamos Domínio e aos seus correspondentes 
no conjunto B damos o nome de Imagem ou Im, con-
junto de chegada� Caso haja elementos em B que 
não se relacionam com A, esses elementos unidos 
aos elementos da imagem formam o Contradomínio� 
Agora, podemos finalmente chegar à definição formal 
de função. Dados dois conjuntos A e B, não vazios 
e contidos em , uma relação de A em B é cha-
mada de 
, se, e somente se, para todo x pertencente a A exis-
te apenas um y pertencente a B, tal que � 
Outra maneira de expressar os conjuntos da função 
é 𝑓𝑓:A → B �
Ou seja, função é uma maneira de relacionar duas 
ou mais grandezas; dessa forma, quando temos 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) , estamos dizendo que a grandeza y de-
pende da grandeza x.
Além disso, toda função obedece a uma mesma regra 
de formação geral, a qual relaciona os elementos de 
A em B; é importante ressaltar que cada uma das re-
lações obedece a esta regra geral ou lei de formação.
FIQUE ATENTO
Podemos dizer que f é uma aplicação de A em B 
↔ {∀	𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴, ∃	𝑦𝑦	 ∈ 𝐵𝐵| 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈ 𝑓𝑓}
12
De maneira geral, podemos definir duas caracterís-
ticas para satisfazer uma relação de A em B se: 
1. todo elemento faça parte de, no mínimo, 
um par (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝑓𝑓 , ou seja, nessas relações, nenhum 
elemento de A pode deixar de se relacionar com 
algum elemento de B;
2. todo elemento deve participar de apenas 
um único par ( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Para visualizar melhor, podemos 
fazer um esquema de flechas:
A B
2
4
-1
1
2
-3
Figura 5: F de A em B. Fonte: Elaboração Própria.
Uma relação não é uma função, se não satisfizer 
uma das condições citadas ou, em outras palavras, 
podemos dizer que não é uma função se existir 
algum elemento de A que não se relacione com al-
gum elemento de B ou se houver algum elemento 
de A que se relacione com mais de um elemento 
pertencente a B�
Tomando o exemplo inicial em que , 
graficamente, temos a figura 6. Note que todo valor 
de A corresponde apenas um valor de B
13
Figura 6: Gráfico f(x) = x +2. Fonte: Elaboração Própria.
Tipos de função
Podcast 1 
Agora que estamos familiarizados com o conceito 
de função, podemos falar sobre os diferentes tipos 
de funções. São eles: injetora, sobrejetora e bijeto-
ra – cada uma delas tem as suas especificidades 
em relação ao domínio, imagem e contradomínio. 
Estudaremos mais detalhadamente�
Função Injetora ou Injetiva
Para uma função ser denominada injetora ou injetiva, 
cada elemento de x, ou seja, do domínio ou conjun-
to de partida, corresponde a apenas um elemento 
de y, ou seja, da imagem ou conjunto de chegada. 
Contudo, pode haver a possibilidade de existirem 
elementos do contradomínio que não fazem parte 
da imagem, isto é, imagem e contradomínio são di-
14
https://famonline.instructure.com/files/132542/download?download_frd=1
ferentes� Denominaremos o conjunto dos ele-
mentos do domínio da função, o conjunto dos 
elementos da imagem da função, e o conjunto 
dos elementos do contradomínio da função. Observe 
um exemplo a seguir:
YX
A
B D
C
1
2
-3
Figura 7: Função Injetora. Fonte: Elaboração Própria.
Função Sobrejetora ou Sobrejetiva
Para uma função ser denominada sobrejetora ou 
sobrejetiva todos os elementos de x, ou seja, do do-
mínio ou conjunto de partida, corresponde a um ele-
mento de y, ou seja, do conjunto imagem ou conjunto 
de chegada. Em outras palavras, imagem e contrado-
mínio possuem a mesma quantidade de elementos� 
Podendo haver a possibilidade de dois elementos do 
conjunto x possuírem a mesma imagem.
15
X Y
A
B
C
1
2
-3
5
Figura 8: Função Sobrejetora. Fonte: Elaboração Própria.
Função Bijetora ou Bijetiva
Uma função bijetora ou bijetiva é, ao mesmo, tempo 
injetora e sobrejetora, ou seja, cada elemento de x 
relaciona-se a um elemento de f(x). Nesse tipo de 
função, não há a possibilidade de dois números di-
ferentes possuírem a mesma imagem; além disso, 
o contradomínio e a imagem possuem a mesma 
quantidade de elementos�
X Y
A
B
C
D
1
2
-3
5
Figura 9: Função Bijetora. Fonte: Elaboração Própria.
16
Aplicações de funções
Agora que pudemos estudar os diferentes tipos de 
funções, vamos analisar algumas de suas aplica-
ções na matemática e também em outras áreas do 
conhecimento. Um exemplo interessante em que 
utilizamos funções, muitas vezes sem perceber, é 
quando compramos uma determinada quantidade de 
um produto. Se você vai à padaria e verifica quanto 
custa a unidade do pão, você faz os cálculos de ma-
neira intuitiva, sem formalizar o pensamento.
Vamos a um exemplo prático. Se a unidade do pão 
custa 50 centavos e você precisa de 5 pães, quanto 
você deverá pagar?
5*0,5 = 2,5, ou seja, dois reais e cinquenta centavos 
ao todo. Note que a variável é a quantidade de pães; 
matematicamente, podemos definir a seguinte fun-
ção: , tal que , colocamos esta 
condição, pois o valor é, no mínimo, para um pão.
Outra situação que podemos citaré o tempo de uma 
viagem em função da velocidade de determinado 
meio de transporte� Considerando a distância apro-
ximada entre as cidades São Paulo e Fortaleza como 
sendo 3 mil quilômetros e sabendo que um avião voa 
com uma velocidade de 890 quilômetros por hora, 
quanto tempo leva-se no deslocamento de uma cida-
de para outra? Podemos escrever a seguinte função: 
,
17
note que ela relaciona tempo e distância; nesse caso, 
o corresponde à distância, considerando que 
o avião andou um certo tempo x. Como temos o 
valor da distância, basta substituirmos na equação 
, assim temos:
18
OPERAÇÕES COM 
FUNÇÕES
Sejam e duas funções numéricas definidas, com 
os mesmos valores do domínio, e o mesmo conjunto 
de chegada, ou seja, ambas e são funções de A 
em B, podemos operá-las da seguinte maneira:
Soma de funções
Definimos a soma de com a função 
definida por: 
Exemplo: seja e definidas 
� Agora vamos calcular a soma � 
Pela relação anterior, temos:
19
Subtração de funções
Definimos a subtração de e a função 
definida por: 
Exemplo: Seja e definidas 
. Agora vamos calcular a subtração � 
Pela relação anterior, temos:
Multiplicação de funções
Definimos a multiplicação de por a função 
 definida por: 
Exemplo: Seja e defini-
das . Agora vamos calcular a multiplicação 
. Pela relação anterior, temos:
20
Divisão de funções
Definimos o quociente de por a função 
, desde que , definida por:
Exemplo: Seja e definidas 
� Agora vamos calcular o quociente � 
Pela relação anterior, temos:
Agora podemos tentar simplificar esta fração. 
Observe que pode ser fatorado da seguinte 
maneira , assim:
21
Função composta
Além dessas operações, também temos mais um 
tipo de operação com funções – ela chama-se função 
composta, ou seja, compor funções até obter uma 
nova função a partir de outras funções que se rela-
cionam de alguma forma� Sejam e duas 
funções a composição por , tal que o con-
tradomínio, ou imagem, de seja igual ao domínio 
de , representada por é definida por:
A princípio, essa definição pode parecer um tanto 
quanto confusa, mas basta lembrar que a defini-
ção de função é uma relação entre dois conjuntos. 
Levando em consideração de e �
, para calcular , basta 
substituirmos , agora:
,
22
observe que a notação agora parece um pouco mais 
do que conhecemos usualmente como função; po-
rém, vamos calcular agora o � Lembre-se de 
que em define o valor, nesse caso elevado 
ao quadrado. Assim teremos:
�
para que você possa se familiarizar melhor com este 
conceito, agora, vamos calcular . Para isso, é 
necessário substituir em :
Agora, é necessário calcular o . Nesse caso, 
multiplicar por dois; assim, temos:
Agora vamos a um exemplo aplicado para que você 
possa entender melhor esse conceito� Um terreno 
foi dividido em 5 lotes de terrenos, cujas medidas 
formam quadrados com a mesma área� Vamos re-
presentar a função da área dos terrenos levando em 
consideração a área dos lotes. Para isso, vamos for-
malizar algumas definições:
23
 – medida de cada lote
 – área de cada lote
 – área do terreno
1. Podemos definir a primeira função a respeito da 
área do lote em função da medida do lado do lote 
como , pois a área do quadrado é calculada 
como a medida de seu lado ao quadrado�
2. Agora devemos pensar em como calcular a área 
do terreno inteiro. Lembre-se de que são 5 terrenos 
com a mesma área. Logo, teremos:
Essa função representa a área do terreno em fun-
ção da área dos lotes. Observe que estas funções 
 e são dependentes, pois para calcular a 
área do terreno precisamos saber a área dos lotes� 
Calculando a função composta, teremos:
Agora calculando temos:
Podcast 2 
24
https://famonline.instructure.com/files/132543/download?download_frd=1
SAIBA MAIS
Caso você tenha interesse, pode melhorar os 
seus estudos sobre função composta de ma-
neira simples e eficaz. Acesse este link https://
pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-
-functions/alg-funciton-composition/v/function-
-composition. Nele existem alguns vídeos sobre 
esse assunto, e as explicações são dadas de ma-
neira simples e direta�
25
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-functions/alg-funciton-composition/v/function-composition
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-functions/alg-funciton-composition/v/function-composition
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-functions/alg-funciton-composition/v/function-composition
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-functions/alg-funciton-composition/v/function-composition
FUNÇÃO LINEAR E 
SUAS APLICAÇÕES
Neste tópico, estudaremos as funções lineares e 
alguns outros tipos específicos de funções básicas. 
Além disso, também serão abordadas algumas apli-
cações para a função linear. Temos dois tipos de 
funções especiais. Vamos levar em consideração 
as definições de Iezzi e Murakami (1997).
Função constante
A função constante, definida como aplicação de 
de em , tal que é associada sempre ao 
mesmo elemento , ou seja:
Pelo gráfico abaixo podemos perceber que é uma 
reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, b); 
assim, seu conjunto imagem é: 
26
Figura 10: Função constante. Fonte: Elaboração Própria.
Função identidade
A função identidade definida como aplicação de 
de em , tal que é associada sempre o 
próprio , ou seja:
Pelo gráfico abaixo podemos perceber que é uma reta 
que contém as bissetrizes do 1º e do 3º quadrantes, 
assim, seu conjunto imagem é: 
27
Figura 11: Função Identidade. Fonte: Elaboração Própria.
Função afim
Existem alguns tipos de função que recebem a de-
nominação de acordo com o seu grau. As funções 
afins obedecem a seguinte lei geral de formação
. Esta é uma função do 1º grau, pois 
o maior grau da variável, no caso x, é igual a 1. Para 
esse tipo de função o gráfico é uma reta.
Seja uma aplicação de em , ela é denominada 
função afim, tal que associa-se ao elemento 
, onde , ou seja:
28
É possível perceber pelo gráfico que uma função afim 
, que ela é uma reta. Vamos pegar 
como exemplo a função linear :
Figura 12: Gráfico f(x) = -3x +2. Fonte: Elaboração Própria.
Função linear
Agora iremos abordar as funções lineares que são 
um tipo específico de função afim, em que o valor 
do coeficiente �
Seja uma aplicação de em , ela é denominada 
função linear, tal que associa-se o elemento 
, onde , ou seja:
29
É possível perceber pelo gráfico que uma função 
linear , que ela intercepta o plano carte-
siano em sua origem. Vamos pegar como exemplo 
a função linear � Observe que ela é pa-
ralela ao gráfico da função , pois 
o valor de :
Figura 13: Gráfico f(x) = - 3x. Fonte: Elaboração Própria.
Aplicações de funções lineares
Este tipo de função está muito presente em nosso 
cotidiano. São relações simples em que, muitas ve-
zes, fazemos as relações sem formalizar os cálcu-
30
los. Agora vamos estudar alguns exemplos em que 
podemos formalizar como uma função linear.
Exemplo 1: Leve em consideração que você foi ao 
mercado e precisa comprar 2,5 quilogramas de carne 
bovina. Existem diversos tipos de carnes, o que faz 
com que o preço varie também� Observe a tabela de 
preços a seguir:
Tipo de Carne Preço por Quilograma
Bife 21 reais
Patinho 22,9 reais
Contra Filé 30,89 reais
Picanha 65,20 reais
Dessa forma, podemos escrever uma função linear 
para cada tipo de carne, levando em consideração 
o peso que será comprado. Assim, definiremos as 
seguintes funções:
a) , ou seja, o valor total do bife em 
relação ao peso que será pedido;
b) , ou seja, o valor de patinho total 
em relação ao peso que será pedido;
c) , ou seja, o valor de contra filé total 
em relação ao peso que será pedido;
d) , ou seja, o valor de pinha total em 
relação ao peso que será pedido.
Agora, levando em consideração o peso de carne 
inicial, de 2,5 quilogramas, quanto você gastaria se 
levasse 2,5 quilogramas de cada uma das carnes?
31
Basta substituir o peso necessário, 2,5, em cada 
uma das funções parasabermos quanto seria gas-
to. Vamos lá:
 ● Bife:
Assim, podemos concluir que, se fossem comprados 
2 quilogramas e meio de bife bovino, seria gasto o 
valor de cinquenta e dois reais e cinquenta centavos;
 ● Patinho:
Assim, podemos concluir que, se fossem compra-
dos 2 quilogramas e meio de patinho bovino, seria 
gasto o valor de cinquenta e sete reais e vinte e cinto 
centavos;
 ● Contra Filé:
Assim, podemos concluir que, se fossem compra-
dos 2 quilogramas e meio de contra filé bovino, seria 
gasto o valor aproximado de setenta e sete reais e 
vinte e dois centavos;
 ● Picanha:
32
Assim, podemos concluir que, se fossem comprados 
2 quilogramas e meio de contra filé bovino, seria gas-
to o valor de cento e sessenta e três reais�
Agora, basta você decidir qual carne seria melhor 
para o que você precisa, com uma qualidade melhor 
e preço um pouco maior ou com qualidade menor 
com o valor mais acessível�
Exemplo 2: Agora leve em consideração que você 
irá viajar com seus amigos e ficou responsável por 
comprar água potável para disponibilizar nos dias 
da viagem. Suponha que são 10 pessoas no total e 
que cada pessoa bebe, em média, 2 litros de água 
por dia; porém, vocês irão permanecer na viagem por 
3 dias. Qual é a lei geral de formação da função que 
representa a quantidade de água que você precisa 
comprar em função do valor da água por litro?
Se são 10 pessoas e, ao todo, consomem por dia 2 
litros, então teremos no total um consumo de 10*2 = 
20 litros por dia. Agora, vamos calcular o valor total 
de água que você precisa comprar: 3*20, ou seja, 
consumo de 20 litros por dia, durante 3 dias, o que 
resultará no valor de 60 litros�
Para gerar a lei de formação, devemos levar em con-
sideração a relação de interdependência da quan-
tidade de água consumida pelo valor gasto com a 
água. Assim, teremos:
33
Em que representa o preço de 1 litro de água. Agora, 
considere que você cotou o valor de água em alguns 
supermercados, e chegou à seguinte conclusão:
Supermercado Valor do litro de água em reais
A 2
B 3,5
C 4,2
Vamos ver quanto gastaria em cada um dos 
supermercados:
Supermercado Valor gasto por 60 litros de água em reais
A
B
C
Assim, podemos concluir que o menor valor gasto 
seria comprando os sessenta litros de água no su-
permercado A, pois 120 reais < 210 reais < 252 reais.
34
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Neste segundo módulo, pudemos definir como são 
as funções, o ponto principal e que elas são leis ge-
rais para estabelecer relações entre dois ou mais ou 
conjuntos, ou duas ou mais grandezas. Ainda, foram 
apresentadas algumas situações em que podemos 
utilizar este conceito para formalizar uma relação.
Foram apresentadas as principais operações que 
podemos realizar com as funções, bem como se dá 
a relação entre funções, chamada de função com-
posta. E, por último, pudemos visualizar a respeito 
da função identidade e função constante, seguida 
da função linear, que é um tipo de função afim, bem 
como as suas aplicações�
35
SÍNTESE
Função Linear e suas aplicações: foram 
abordados os conceitos iniciais de função 
constante, função identidade, função afim 
para chegar à definição de função linear e 
em seguida foram mostradas algumas 
aplicações no cotidiano.
3
Operações com funções: revisamos como 
as operações podem ser feita com as 
funções: soma, subtração, multiplicação e 
divisão, além da função composta que é a 
relação entre duas ou mais funções;
2
Definição de funções: pudemos nos 
familiarizar com o conceito de algoritmos, 
em seguida aplicamos para a máquina de 
funções e, em seguida, chegamos à 
definição formal de função. 
Posteriormente foi visto os três tipos de 
funções: função injetora, função 
sobrejetora e função bijetora, por último 
pudemos ver aplicação de função;
1
Nesta unidade vimos os seguintes 
tópicos importantes para o
estudo de funções: 
FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL 
Referências 
Bibliográficas 
& Consultadas
BASSANEZI, R. C. Introdução ao cálculo e apli-
cações. São Paulo: Contexto, 2015. [Biblioteca 
Virtual]
BOTELHO, L.; REZENDE, W. M. Um breve histórico 
do conceito de função. In: Caderno dá licença� Rio 
de Janeiro, V. 6. Ano 9, dez. 2007. Disponível em: 
http://www.dalicenca.uff.br/images/stories/cader-
no/volume6/UM_BREVE_HISTRICO_DO_CONCEITO_
DE_FUNO.pdf. Acesso em: 7 ago. 2019.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: 
Pearson Addison Wesley, 2011. [Biblioteca Virtual]
GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada� Porto 
Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca]
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo A: fun-
ções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006. [Biblioteca Virtual]
GONICK, L. Cálculo em quadrinhos. São Paulo: 
Blucher, 2014. [Biblioteca Virtual]
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo� Rio de 
Janeiro: LTC, 2001. v. 1. [Minha Biblioteca]
HENRIQUE, O.; SILVA, M. Matemática e física: apro-
ximações. Curitiba: InterSaberes, 2017. [Biblioteca 
Virtual]
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de mate-
mática elementar: Conjuntos e funções� v�1� 3� ed� 
São Paulo: Atual, 1997.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo� 
12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2012. 1. v. 
[Biblioteca Virtual]
	Introdução
	Definição de Funções com aplicações
	Algoritmo
	Máquina de funções
	Definição de funções
	Tipos de função
	Aplicações de funções
	Operações com Funções
	Soma de funções
	Subtração de funções
	Multiplicação de funções
	Divisão de funções
	Função composta
	Função Linear e suas aplicações
	Função constante
	Função identidade
	Função afim
	Função linear
	Aplicações de funções lineares
	Considerações finais
	Síntese