Gabarito P2 FUV A2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BCN0402-15 Funções de Uma Variável
A2 - Noturno
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. Construindo uma soma de Riemann com n = 5, encontre um valor aproximado
da integral
3∫
2
(3x− 2) dx
Escolhendo todos ∆xk = 0, 2, e os pontos ck como {2, 2; 2, 4; . . . ; 3}, obtemos
5∑
k=1
f(ck)∆xk = ((3 ·2, 2−2)+(3 ·2, 4−2)+(3 ·2, 6−2)+(3 ·2, 8−2)+(3 ·3−2)) ·0, 2 = 5, 8
2. Calcule a integral definida fazendo uma substituição de variável:
π2/16∫
0
dx√
x cos2(
√
x)
Fazendo u =
√
x, du =
dx
2
√
x
, u(0) = 0, u(π2/16) = π/4, temos:
π2/16∫
0
dx√
x cos2(
√
x)
= 2
π/4∫
0
du
cos2 u
= 2 tanu
∣∣∣π/4
0
= 2 tan
π
4
= 2
3. Calcule a integral indefinida usando integração por partes:
∫
x2 lnx dx
=
∫
lnx d(x3/3) = ln x · x3/3−
∫
x3/3 · d(lnx) = 1
3
x3 lnx− 1
3
∫
x2 dx =
1
3
x3 lnx− 1
9
x3 +C
4. Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções y = 2x − 1 e
y = x2 − 1.
2x−1 = x2−1 ⇒ x(x−2) = 0 ⇒ x = 0, x = 2
A =
2∫
0
((2x− 1)− (x2 − 1)) dx
=
2∫
0
(2x−x2) dx =
(
x2 − x
3
3
)∣∣∣∣2
0
= 4− 8
3
=
4
3
5. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo gráfico
de y = 1/x e o eixo Ox no intervalo 1 ≤ x ≤ 2.
V = π
2∫
1
1
x2
dx = −π
x
∣∣∣2
1
= −π
2
+ π =
π
2
2