Gabarito P1 FUV A2 2022

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BCN0402-15 Funções de Uma Variável
A2 - Noturno
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 1 (gabarito)
1. Calcule f ′(2) para a função f(x) = (x − 2) arctan 1√
x+ 1
, usando a definição da
derivada como limite.
Temos f(2) = 0. Logo,
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
(2 + h− 2) arctan 1√
2+h+1
h
= arctan
1√
3
=
π
6
2. Calcule a derivada da função usando as regras de diferenciação:
y =
3
√(
2 cos2(4x) + x ln3 x
)2
y′ =
2
3
(
2 cos2(4x) + x ln3 x
)−1/3 · (2 · 2 cos(4x) · (− sen (4x))) · 4 + ln3 x+ x · 3 ln2 x · 1
x
)
=
2
3
· −16 cos(4x) sen (4x) + ln
3 x+ 3 ln2 x
3
√
2 cos2(4x) + x ln3 x
3. Analise a função y =
x2 + 1
x− 1
e esboce o seu gráfico.
Domı́nio x 6= 1. x = 1 é uma descontinuidade infinita (uma asśıntota vertical).
Não há simetrias.
Intersecção com Ox: y = 0 → não há. Intersecção com Oy: x = 0 → y = −1.
Extremos locais:
y′ =
x2 − 2x− 1
(x− 1)2
= 0 → x = 1±
√
2
ymax(1−
√
2) = 2− 2
√
2, ymin(1 +
√
2) = 2 + 2
√
2
Concavidade:
y′′ =
4
(x− 1)3
, x < 1 para baixo, x > 1 para cima
Assintotas obĺıquas y = ax+ b:
a = lim
±∞
x2 + 1
x(x− 1)
= 1, b = lim
±∞
(
x2 + 1
x− 1
− x
)
= 1 → y = x+ 1
4. Um terreno retangular deve ter a área de 9000 m2 e deve ser cercado por um
muro de concreto em dois lados opostos, e por uma cerca de madeira nos outros
dois lados. O custo de 1 metro de muro é de R$ 200, e de 1 metro de cerca é de
R$60. Qual seria o orçamento mı́nimo da obra?
Seja x o lado cercado com concreto, e y, o lado cercado com madeira. Sendo a área total
9000, temos y = 9000
x
. O custo total será
C(x) = 2x · 200 + 2y · 60 = 400x+ 120 · 9000
x
O valor de x segue da condição
C ′(x) = 400− 1
x2
· 120 · 9000 = 0 x = 30
√
3 ≈ 52, y = 100
√
3 ≈ 170
5. Determine o ângulo com o qual o gráfico da função f(x) =
√
1 + x intercepta o
eixo Oy.
O coeficiente angular m = f ′(x) =
1
2
√
1 + x
no ponto de interseção x = 0 é igual a 1
2
, o que
corresponde ao ângulo de inclinação α = arctan
1
2
≈ 27◦. Logo, o ângulo de intersecção com
o eixo Oy é β =
π
2
− arctan 1
2
≈ 63◦.
2