Matemática Básica 05

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Matemática Básica
Aula 5: Regra de três e porcentagem
Apresentação
Nesta aula vamos aprender o conceito de regra de três e porcentagem e suas aplicações nos mais variados contextos.
Objetivos
Resolver os diversos problemas do cotidiano aplicando a “Regra de Três”;
Utilizar o conceito de porcentagem em grandezas e na resolução de problemas.
Regra de três
Denominamos de regra de três o dispositivo matemático envolvendo quatro grandezas, das quais conhecemos três e
queremos encontrar o valor da quarta. Esse dispositivo é de grande importância, não só na matemática, mas também nas
demais ciências.
Podemos classi�car a regra de três como simples ou composta. Quando a regra de três é simples podemos classi�cá-la em
direta ou inversa. Regra de três simples –São aquelas que envolvem apenas duas grandezas. Vejamos alguns exemplos da
regra de três simples.
Exemplo
Um objeto custa R$ 3,50 em uma determinada loja. Uma pessoa deseja comprar 10 desses objetos. Sabendo que a loja não
oferece nenhum tipo de desconto, quanto essa pessoa pagará por esses 10 objetos?
Solução: Observe que podemos construir uma proporção da seguinte maneira:
1 objeto = R$ 3,50
10 objetos = x
x= R$ 35,00
= →  x  =  10. 3, 501
10
3,50
x
Podemos construir uma função que nos forneça o valor que se deve pagar pela compra de um determinado número de objetos.
Chamando a quantia a ser paga de P, é fácil perceber que P é uma função da quantidade x, a ser comprada. Então, a função
pode ser expressa por:
P(x) =3,50.x
Basta multiplicar 3,50 pela quantidade a ser comprada para se obter o
quanto se deverá pagar, portanto, no nosso caso é su�ciente multiplicar R$
3,50 por 10, obtendo assim R$ 35,00.Voltaremos a tocar no assunto mais
adiante quando  estivermos estudando funções.
Comentário
Os dois problemas utilizam regra de três direta, pois as grandezas variam mantendo a proporcionalidade. Vale a pena ressaltar
que nem sempre que uma grandeza varia no mesmo sentido da outra podemos dizer que ela são proporcionais.
Veja o exemplo:
A área de um círculo de 2cm de raio é igual a 4 cm . (Área do círculo   )
A área de um círculo de 4cm é igual a 16 cm .
Observe que o raio do círculo dobra, enquanto a área quadruplica. Assim, as grandezas não são diretamente proporcionais.
π
2
πr
2
π
2
Exemplo
Para ir de uma cidade A para uma cidade B, um motorista gasta 4 horas com uma velocidade constante de 60 km/h. Quanto
tempo levaria esse motorista para realizar a mesma viagem com a velocidade constante de 80 km/h?
Solução: Nesse caso, a regra de três é inversa.
60km/h---------------------4 horas
80km/h-----------------------x horas
Vamos construir a proporção invertendo uma das razões. Veja:
60/80 = x/4
80x = 60.4
80x = 240
x = 3 horas
Podemos pensar em resolver o problema por uma outra via. Vejamos:
Se o motorista gasta para ir da cidade A  à  cidade B, em velocidade constante, 4 horas, isso signi�ca
dizer que a distância da cidade A à cidade B é de 240 Km. Observe que a velocidade constante é de 60
km/h, o que signi�ca dizer que a cada hora ele percorre 60 km. O problema deseja saber quanto tempo
ele levará se a velocidade passar a ser de 80 km/h. Bem, como a distância continua sendo a mesma e a
velocidade é constante, é su�ciente dividir 240 por 80, o que nos fornece o tempo de 3 horas.
Exemplo
Dez operários terminam uma obra em 60 dias. Quanto tempo levarão 15 operários com a mesma capacidade de trabalho para
terminar a mesma obra?
Solução: Nesse caso, a regra de três é inversa. Podemos escrever:
10 operários------------------60 dias
15 operários------------------ x dias
10/15 = x/60 => 15x = 600
x = 600/15
x = 40 dias
Podemos dar uma outra solução ao problema. Vamos admitir que cada operário contribua com uma
parte diária  da obra que iremos chamar de P. Como todos apresentam a mesma capacidade de trabalho
podemos escrever a seguinte equação:
10.P.60 = 15.P.x=> x = 40 dias

Exemplo
Em uma grá�ca existem 3 impressoras que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000
folhas. Tendo-se quebrado uma das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia
deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?
Estamos agora com um problema de regra de três composta, pois temos mais de duas grandezas distintas. A ideia é dividirmos a
regra de três composta em várias regras de três simples onde a coluna da variável desconhecida estará sempre presente.
Vejamos:
Impressoras Folhas Horas por dia Dias
3 
240000
10 4
2 
48000
x 6
(i) 
(iv)
(ii) (iii)
Comparando a coluna (ii) com a coluna (i), sabemos  que diminuindo o número de impressoras seremos obrigados a aumentar
o número de horas diárias de trabalho para fazermos frente ao trabalho. Logo, a regra de três é inversa. Comparando a coluna
(ii) com a coluna (iii), temos que, aumentando a quantidade de dias podemos reduzir o número de horas trabalhadas por dia e
então, a regra de três é inversa. Finalmente, comparando a coluna (ii) com a coluna (iii), veri�camos que aumentando o número
de folhas teremos, necessariamente, que aumentar o número de horas trabalhadas por dia, logo, esta regra de três é direta. Daí,
vem:
10/x = 2/3 x 6/ x 424000/48000
x = 20 horas por dia
Porcentagem
Historicamente, a expressão “por cento” aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo
% surgiu como uma abreviatura da palavra cento, utilizada nas operações mercantis
Saiba mais
Para saber mais sobre porcentagem , clique aqui.
Porcentagem é toda razão onde o consequente é igual a 100.
3/100 signi�ca 3 em 100 ou 3 por
cento.
15/100 signi�ca 15 em 100 ou 15
por cento.
javascript:void(0);
Comentário
Podemos expressar uma porcentagem na forma unitária, bastando, para isso, expressá-la como um número decimal. Por
exemplo:
1) 3% = 3/100 = 0,03
2)15% = 15/100 = 0,15
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) Uma casa com aluguel de valor R$ 200,00 teve esse valor reajustado para
R$ 320,00. Qual foi o percentual de aumento?
Clique nos botões para ver as informações.
200 --------------- 100%
320 --------------- x
x = 320.100/200 = 160%
160% - 100% = 60%
Solução 1 
Se o aluguel era de R$200,00 e passou a R$320,00, então sofreu um aumento de R$120,00. Como R$200,00 reais
corresponde a 100%, isso signi�ca que R$2,00 corresponde a 1%, logo,  R$120,00 corresponde a um aumento de 60%.
Solução 2 
Se dividirmos o valor �nal de R$320,00 pelo inicial de R$ 200,00, encontraremos 1,6, o  que signi�ca 100/100 +60/100.
Portanto, o aumento foi de 60%. O valor 1,6 pode ser chamado de fator de atualização.
Solução 3 
Veja mais algumas informações. Fique atento!
2) Certo artigo, que custava R$ 200 teve seu preço reajustado em 18%. Qual
é o seu preço atual, em reais?
Clique nos botões para ver as informações.
200.......................100%
x..........................118%
x= (200.118)/100
x= R$ 236,00
Solução 1 
Calculando 18% de R$ 200,00, encontramos R$ 36,00. Esse valor corresponde ao reajuste dado, então: R$ 200,00 + R$
36,00 = R$ 236,00.
Solução 2 
Podemos multiplicar o valor do aluguel pelo fator de atualização que é 1,18 (100%+18%). Portanto, temos:
R$ 200,00 x 1,18 = R$ 236,00
Solução 4: Devemos perceber que R$ 200,00 corresponde a 100% e isso signi�ca R$ 2,00 em cada 1%. Se o reajuste dado
é de 18%, então aumentaremos o aluguel em R$ 36,00. Logo, o novo aluguel será de R$ 200,00 + R$ 36,00 = R$ 236,00.
Solução 3 
3) Para aumentar  as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20%
de desconto em qualquer peça  de inverno. Qual era, em reais, o preço
original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$
96,00?
Clique nos botões para ver as informações.
Se na promoção o casaco estava sendo vendido por R$ 96,00, então esse valor corresponde a 80% do valor original.
80%.......................R$ 96,00
100%.................... x
x = 100.96/80
x= R$120,00
Solução 1 
Seja P o preço do casaco sem desconto. Se o descontodado foi de 20%, então o casaco está sendo oferecido por 80% do
seu preço original, daí:
80% P = 96
0,8 P = 96
P = 96 :0,8
P = 120
Solução 2 
Podemos montar a seguinte equação:
P = R$96,00 + 20%P
P - 0,2P = 96
0,8P = 96
P = R$120,00
Solução 3 
Podemos utilizar o fator de atualização, que nesse caso é 0,8 (1-0,2). Logo:
0,8 P = 96
P = R$120,00
Solução 4 
Veja mais alguns exemplos!
4) Eu gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um aumento de
salário de 50%, porém o aluguel aumentou 20%. Quanto passei a gastar com
aluguel?
Clique nos botões para ver as informações.
Seja P o meu salário inicial, portanto, eu gastava 0,2 P de aluguel. Como recebi um aumento de 50%, o meu salário passou
a ser de 1,5 P, entretanto, o meu aluguel foi reajustado em 20% e passou para 1,2 x 0,2 P =0,24 P. Ganho 1,5 P e gasto de
aluguel 0,24 P, logo, o problema quer saber quantos por cento 0,24 P é de 1,5 P. Basta dividir 0,24 P por 1,5 P, o que dá 16%.
Solução 1 
Podemos estipular um valor qualquer para o salário, por exemplo, R$ 100,00. Logo, pago R$ 20,00 de aluguel. Com o
aumento de 50% no salário e um reajuste de 20% no aluguel, passei a receber R$150,00 de salário e a pagar R$ 24,00 de
aluguel, portanto se dividirmos R$ 24,00 por R$150,00, teremos a resposta do problema, que é 16%.
Solução 2 
5) Sabe-se que em  3/8 do total de gavetas de um armário estão guardados
documentos diversos e, nos demais, material de consumo. Que
percentagem do total de gavetas desse armário está ocupada pelo material
de consumo?
Clique nos botões para ver as informações.
Como em 3/8 do total de gavetas estão guardados documentos diversos, 5/8 (8/8 – 3/8) estão ocupados com material
de consumo, portanto, o percentual de gavetas ocupadas pelo material de consumo é 62,5%.
Solução 1 
Podemos utilizar o recurso de estipular um valor para o número de gavetas, por exemplo, 800 gavetas. Então,  3/8 de 800,
que dá 300 gavetas. Logo, as 500 restantes estão ocupadas por material de consumo. Dividindo 500 por 800
encontramos 0,625 que corresponde a 62,5%.
Solução 2 
6) Numa certa cidade, 18% das pessoas têm planos de saúde. Entre as
mulheres, 30% têm planos de saúde. Entre os homens, esse índice é de 10%.
Qual a porcentagem de mulheres na população?
Solução
Sejam M = número de mulheres e H = número de homens, logo podemos equacionar o problema da seguinte forma.
Sejam x = número de mulheres e y = número de homens:
18/100 (x+y) = 30/100x + 10/100y
0,18 (x+y) = 0,3x + 0,1y
0,18x + 0,18y = 0,30x + 0,10y
18x + 18y = 30x + 10y
12x = 8y
x = 2/3y
2/3y / y + 2/3y
O resultado é 40%
Atividade
1. Para cercar um terreno retangular dando 1 volta são necessários 25 metros de arame farpado. Se desejarmos cercar esse
terreno dando 3 voltas, quanto deveremos gastar de arame farpado?
2. Fernando foi ao mercado com o dinheiro exato para comprar 2 Kg de carne. Como o mercado estava oferecendo 20% de
desconto no preço da carne, ele aproveitou para comprar uma quantidade maior. Se Fernando gastou todo o dinheiro que levou,
quantos quilos de carne ela comprou?
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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R f ê i
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