Questão resolvida - Considere f(x,y) y x Classifique cada afirmação abaixo como verdadeiro ou falsa. A taxa de variação máxima da função f no ponto (9,1), ocorre na direção do vetor (16, 3) ... - Cálc

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• Considere f x, y = y( ) x
 
Classifique cada afirmação abaixo como verdadeiro ou falsa.
 
(V) A taxa de variação máxima da função no ponto , ocorre na direção do vetor f 9, 1( )
., 3
1
6
 
( ) A taxa de variação máxima da função no ponto e na direção do vertor é .f 9, 1( ) 4, 3( )
29
3
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função ; o gradiente é dado por:f x, y( )
 
𝛻f x, y = ,( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
Vamos, primeiro, encontrar as derivadas parciais ; e 
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
f x, y = y = yx ; = yx = yx = yx = =( ) x
1
2
𝜕f
𝜕x
1
2
-1
1
2 1
2
1 - 2
2
1
2
-1
2
y
2x
1
2
y
2 x
 
= 1 ⋅ =
𝜕f
𝜕y
x→
𝜕f
𝜕y
x
 
Assim, o gradiente de é;f x, y( )
 
𝛻f x, y = ,( )
y
2 x
x
 
No ponto , a derivada direcional, que fornece o vetor na direção da taxa de variação 9, 1( )
máxima também é;
 
 
 
𝛻f 9, 1 = , 𝛻f 9, 1 = , 3 𝛻f 9, 1 = , 3 ( )
1
2 9
9 → ( )
1
2 ⋅ 3
→ ( )
1
6
 
Agora, vamos conhecer a taxa de variação máxima de no ponto e na direção do f 9, 1( )
vetor ; já sabemos que o vetor direção máxima de é . O produto escalar entre 4, 3( ) f , 3
1
6
o vetor direção máxima e o vetor , fornece a taxa de variação máxima de no ponto e 4, 3( ) f
na direção desse vetor, ou seja;
 
4, 3 ⋅ , 3 = 4 ⋅ + 3 ⋅ 3 = + 9 = + 9 = =( )
1
6
1
6
4
6
2
3
2 + 27
3
29
3
 
 
(Verdadeiro)
(Verdadeiro)