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GABARITO MA13 Geometria I - Avaliação 3 - 2013/2 Questão 1. (pontuação: 2) Os pentágonos regulares ABCDE e EFGHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida do ângulo DEF . Uma solução: As retas perpendiculares CD e GH cortam-se em J . A reta BE encontra GH em L como mostra a figura abaixo. Como BE é paralela a CD então BE é perpendicular a GH. Na figura, os ângulos de vértices J e L são retos. Sejam: ∠DEF = θ, ∠LEF = α e ∠DEB = β. Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108o. Como BE é paralela a CD e ∠CDE = 108o então β = 180o − 108o = 72o. No quadrilátero ELGF temos α = 360o − 90o − 108o − 108o = 54o. Assim, θ = 180o − 72o − 54o = 54o. Outra solução: A soma dos ângulos internos do pentágono EDJGF é 540o e todos os seus ângulos são conhecidos, com exceção de θ. Somando todos eles, θ + (180o − 108o) + 90o + (180o − 108o) + (360o − 108o) = 540o, donde θ = 54o. Questão 2. (pontuação: 2) Em uma circunferência de centro O e raio R as cordas AB e CD são perpendiculares em P , interior à circunferência. Seja CE um diâmetro da circunferência. (0,5) a) Mostre que os triângulos CPA e CBE são semelhantes. (0,5) b) Mostre que os arcos AD e EB são congruentes. (1,0) c) Mostre que PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2. Uma solução: a) Como CE é diâmetro, o ângulo CBE é reto. Os ângulos inscritos BEC e BAC são iguais pois subtendem o mesmo arco CB. Assim os triângulos CPA e CBE são retângulos e possuem um mesmo ângulo agudo. Logo, são semelhantes. b) Como os os triângulos CPA e CBE são semelhantes, então os ângulos ACP e ECB são iguais. Assim, são também iguais os arcos subtendidos AD e EB. c) Arcos iguais subtendem cordas iguais. Então, AD = BE. Assim, CB2 +BE2 = CE2 CB2 +AD2 = (2R)2 PB2 + PC2 + PA2 + PD2 = 4R2 Rearranjando os termos, PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 Questão 3. (pontuação: 2) O triângulo ABC tem área igual a 1. O ponto M é médio de AB e o ponto D é médio de CM . A reta AD intersecta o lado BC em E. (1,0 a) Calcule a área do quadrilátero MBED. (1,0) b) Considerando AB = 1 e CM perpendicular a AB, determine o cosseno do ângulo ACB. Uma solução: Usaremos o śımbolo (X) para denotar a área da figura X. Traçamos MF paralela a AE. Como M é médio de AB então F é médio de EB. Como D é médio de AM então E é médio de CF . Então, CE = EF = FB. Vamos calcular a área do triângulo CDE. (CDE) (CMB) = CD CM · CE CB = 1 2 · 1 3 = 1 6 A mediana de um triângulo divide esse triângulo em dois outros de mesma área. Por isso (CMB) = 1 2 e, portanto, (CDE) = 1 6 · 1 2 = 1 12 . Logo, (MBED) = 1 2 − 1 12 = 5 12 . b) Se ABC tem área igual a 1 e AB = 1, então a altura CM é igual a 2, CA2 = CB2 = 22 + ( 1 2 )2 = 174 . Seja θ = ∠ACB. A lei dos cossenos no triângulo ABC relativa ao vértice C é AB2 = CA2 + CB2 − 2.CA.CB.cos θ. Substituindo e fazendo as contas, temos: cos θ = 15 17 . Vaio Text Box CM Questão 4. (pontuação: 2) O prisma triangular reto ABC DEF tem arestas laterais AD, BE e CF . Sabe-se que ∠BAC = 90o, AB = BE = 3 e AC = 4. (0,5) a) Calcule cosseno do ângulo entre as retas AF e BE. (0,5) b) Determine o comprimento da perpendicular comum entre as retas AF e BE. (0,5) c) Determine a posição do centro da esfera circunscrita ao prisma. (0,5) d) O ponto G é médio da aresta CF . O plano AEG dividiu o prisma em duas partes. Mostre que essas duas partes têm mesmo volume. Uma solução: a) Como AC = 4 e CF = 3 então AF = 5. O ângulo entre as retas AF e BE é o ângulo FAD = α. Como o prisma é reto, o ângulo ADF é reto e, portanto, cosα = AD AF = 3 5 b) O ângulo ABE é reto porque o prisma é reto. Como os ângulos FCA e CAB são retos então, pelo teorema das três perpendiculares, o ângulo FAB é reto. Logo, AB é a perpendicular comum entre AF e BE. Então, AB = 3 unidades. c) Basta encontrar o ponto equidistante de todos os vértices do prisma. Sejam M e N os pontos médios de BC eEF , respectivamente. O ponto O, médio de MN é o centro da esfera circunscrita ao prisma. De fato, como o triângulo ABC é retângulo em A temos MA = MB = MC = NF = NE = ND. Assim, os triângulos OMA, OMB, OMC, OND, ONE e ONF são todos congruentes. Logo, O é equidistante de todos os vértices do prisma. d) O volume do prisma é V = (ABC).BE = 3.4 2 .3 = 18 O sólido ABCGE é um tronco de prisma. Seu volume é V1 = (ABC). CG+BE 3 = 6. 3 2 + 3 3 = 9 Como V1 = V 2 , o plano AEG dividiu o prisma em duas partes de mesmo volume. Obs: Esse fato ocorre em qualquer prisma triangular. Se S é a área da base e h a altura, o volume da parte de baixo é V1 = S. h+ h2 3 = S. 3h2 3 = S.h 2 = V 2 Questão 5. (pontuação: 2) O trapézio ABCD de bases AB e CD, representado na figura abaixo, gira em torno do eixo e que passa por A e é perpendicular a AB gerando o sólido de revolução R. Dados AB = 4, CD = 2 e BC = AD = 3. (1,0) a) Calcule o volume de R. (1,0) b) Calcule a área total de R. Uma solução: Seja E a interseção da reta CD com o eixo. Como o trapézio é isósceles, a distância de D ao eixo é DE = 1. No triângulo retângulo AED, AE = h = 2 √ 2. O sólido de revolução R é um tronco de cone de altura h com bases de raios AB e EC, subtráıdo de um cone de altura h e base de raio ED. a) O volume do sólido R é V = π · 2 √ 2 3 · (42 + 32 + 4 · 3)− 1 3 π · 12 · 2 √ 2 = 24π √ 2 b) Calcularemos a área gerada por cada segmento. Área gerada por AB (ćırculo). S1 = π · 42 = 16π Área gerada por CD (coroa circular). S2 = π · 32 − π · 12 = 8π Área gerada por AD (superf́ıcie lateral de um cone). S3 = π · 1 · 3 = 3π Área gerada por BC (superf́ıcie lateral de um tronco de cone). S4 = π · (4 + 3) · 3 = 21π A área total de R é a soma das áreas geradas pelos lados do trapézio ABCD. Assim, S = S1 + S2 + S3 + S4 = (16 + 8 + 3 + 21)π = 48π
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