Compilado Exercícios Resolvidos do Halliday_Dinâmica dos Fluidos

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos 
1 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS 
 
16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à 
profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 31). (a) Mostre que a distância x da base da 
parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = 2 [h(H − h)]1/2. (b) Poderia ser perfurado um 
orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso 
afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um 
pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual 
é esta distância máxima? 
 
 (Pág. 94) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2: 
 2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
 20 1 0 2 2
1 1
0
2 2
p gy p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
 ( ) 21 2 2
1
2
g y y vρ ρ− = 
v2
x
H
1
2
y
h
x
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Como y1 − y2 = h, temos: 
 2 2v gh= (1) 
Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante: 
 0 xx x v t= + 
 20x v t= + (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 2x t gh= (3) 
Na coordenada y, o jato de fluido possui movimento com aceleração constante: 
 20 0
1
2y
y y v t at− = + 
 20
1
0 0
2
y t gt− = − 
 ( ) 21
2
H h gt− − = − 
 
( )2 H h
t
g
−
= (4) 
Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3): 
 
( )2 2H h gh
x
g
−
= 
 ( )2x H h h= − (5) 
(b) Sim. Veja o esquema a seguir. 
 
A outra profundidade (h’) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão: 
 ( ) ( )' '2 2x H h h H h h= − = − 
 ( ) ( )' 'H h h H h h− = − 
 ( )'2 ' 2 0h Hh Hh h− + − = 
As raízes desta equação são: 
 '1h h= 
 '2h H h= − 
x
H
1
y
h
x
h’
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3 
Logo: 
 'h H h= − 
(c) O alcance máximo é obtido derivando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero 
(ponto de máximo da função): 
 ( )( )2 0dx d H h h
dh dh
= − = 
 
( )
2
0
H h
H h h
−
=
−
 
 
2
H
h = 
 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4
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 Ed. - LTC - 1996. Cap. 16 – Fluidos 
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HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
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CAPÍTULO 16 – FLUIDOS 
 
67. Se a velocidade de escoamento, passando de baixo de uma asa, é 110 m/s, que velocidade de 
escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900 Pa entre as superfícies de 
cima e de baixo? Considere a densidade do ar ρ = 1,30 × 10−3 g/cm3. (Ver Exercício 66.) 
 (Pág. 73) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos A e B, localizados sobre as linhas de corrente do ar 
bem próximas à asa, nas partes inferior (i) e superior (s): 
 2 2
1 1
2 2s s s i i i
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
Os termos ρgyi e ρgys são aproximadamente iguais. Logo: 
 
1/ 2
22 1
2s i s i
v p p vρ
ρ
  = − +    
 
 ( ) ( ) ( )( )
1/ 2
23
3
2 1
900 Pa 1,30 kg/m 110 m/s 116,1232 m/s
21,30 kg/m
sv
   = + = 
   
 
 116 m/ssv ≈ 
 
vi
vs
A
B
pi
ps
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CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS 
 
31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 
2, e a equação de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no 
ponto 1. 
 1 1 2 2A v A v= Eq. 3 
 
 
( )
( )
'
2 2
2 gh
v a
A a
ρ ρ
ρ
−
=
−
 Eq. 11 
 
 (Pág. 96) 
Solução. 
Aplicando-se a equação de continuidade aos pontos 1 e 2, teremos: 
 1 1 2 2A v A v= 
 1 12
2
A v
v
A
= (1) 
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos: 
 2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível em relação ao solo horizontal, temos y1 = y2. Logo: 
 2 21 2 2 1
1 1
2 2
p p v vρ ρ− = − 
Mas, p1 − p2 = (ρ’ − ρ)gh, em que ρ’ é a densidade do líquido no tubo curvo. Logo: 
 ( ) ( )' 2 22 112gh v vρ ρ ρ− = − 
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2 
 
( )'2 2
2 1
2 gh
v v
ρ ρ
ρ
−
− = 
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 
( )2 '21 1
1
2
2 ghA v
v
A
ρ ρ
ρ
− 
− = 
 
 
 
( )'2
1 2 2
1 2
2
2
2 gh
v
A A
A
ρ ρ
ρ
−
=
 −
 
 
 
 
( )
( )
'
1 2 2 2
1 2
2 gh
v A
A A
ρ ρ
ρ
−
=
−
 
 
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CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS 
 
27. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade vs, e sob a 
parte inferior da asa com velocidade vi. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de 
sustentação S orientada para cima sobre a asa será 
 ( )2 21
2 s i
S A v vρ= − 
onde ρ é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente 
bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à 
superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas 
linhas de corrente iguais?) 
 (Pág. 96) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e 
abaixo da asa (pi > ps). 
 ( )res i sF S p p A= = − (1) 
O termo pi − ps é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de 
corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior: 
 2 2
1 1
2 2s s s i i i
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
Como ρgys ≅ ρgyi (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível), teremos: 
 ( )2 21
2i s s i
p p v vρ− ≈ − (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 ( )2 21
2 s i
S A v vρ≈ − 
A equação de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de 
corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes,o 
vi
vs
S
A
B
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escoamento além de ser estacionário, incompressível e não-viscoso, deverá ser irrotacional. Para 
que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e 
igualmente espaçadas, como no esquema abaixo: 
 
No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avião, essa condição não é satisfeita. 
Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente próximas à asa, acima 
e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial. 
 
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CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS 
 
21. Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado. 
Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha 
sido feito, o líquido escoará até que seu nível paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido 
tem densidade ρ e viscosidade desprezível. (a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C? 
(b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possível h1, a que 
um sifão pode fazer subir a água? 
 
 (Pág. 95) 
Solução. 
(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos: 
 2 2
1 1
2 2S S S C C C
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
Como vS << vC, é razoável desprezar o termo que envolve vS. Logo: 
 ( ) 20 2 0
1
0 0
2 C
p g d h p vρ ρ+ + + ≈ + + 
 ( )22Cv g d h≈ + 
(b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos: 
 2 2
1 1
2 2B B B C C C
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
 ( ) 2 21 2 0
1 1
0
2 2B B C
p g d h h v p vρ ρ ρ+ + + + = + + (1) 
De acordo com a equação de continuidade, temos: 
y
0
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B B C CA v A v= 
Como AB = AC, isto implica em vB = vC. Aplicando-se este raciocínio em (1), teremos: 
 ( )1 2 0Bp g d h h pρ+ + + = 
 ( )0 1 2Bp p g d h hρ= − + + 
(c) Uma das condições que limitam a altura h1 é a velocidade com que o líquido passa pelo ponto B. 
Quanto maior for h1, menor será vB. O maior valor que h1 pode ter é quando vB = 0. Logo, 
aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos: 
 2 2
1 1
2 2S S S B B B
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
 ( ) ( )0 2 1 20 0Bp g d h p g d h hρ ρ+ + + = + + + + 
 0 1Bp p ghρ= + (2) 
Na Eq. (2), a soma pB + ρgh1 deve ter o valor constante p0 (pressão atmosférica). Quanto maior for 
h1, menor deverá ser pB para que a soma continue dando p0. O limite dessa situação ocorre quando 
pB = 0. Neste caso, h1 = h1max. Portanto: 
 0 1max0p ghρ= + 
 
( )
( )( )
5
0
1max 3 2
1,01 Pa
10,3162 m
998 kg/m 9,81 m/s
p
h
gρ
×10
= = =  
 1max 10,3 mh ≈ 
 
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12. Em um furacão, o ar (densidade 1,2 kg/m3) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a) 
Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b) 
Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m2? 
 (Pág. 94) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado: 
 
(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do 
telhado da casa: 
 2 2
1 1
2 2i i i e e e
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
A pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), enquanto que a pressão no exterior é p. 
Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nível em relação ao solo, teremos yi = 
ye = y. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero. Logo: 
 2
1
0
2i e e
p gy p gy vρ ρ ρ+ + = + + 
 ( )
2
2 31 1 1101,2 kg/m m/s 560,1851 Pa
2 2 3,6i e e
p p vρ  − = = = 
 
 
 560 Pai ep p− ≈ 
(b) 
 ( ) ( )( )2560,1851 Pa 93 m 52.097,222 Ni eF p p A= − = =  
 52 kNF ≈ 
Esta força é equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco 
carros de passeio. 
 
A
i
e
F
ve
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15. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a 
uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a) 
Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostre que a 
velocidade com que o líquido sai do orifício é 
 2v gh= . 
Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse 
diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a 
viscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise? 
 
 (Pág. 94) 
Solução. 
(a) Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos: 
 2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
A análise da situação revela que p1 = p2 = p0, em que p0 é a pressão atmosférica. Considerando-se 
que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que v1 << v2. Logo, se 
observarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que v1 ≅ 0. De acordo com o 
referencial adotado temos y2 = 0. Portanto: 
 20 0
1
0 0
2
p gh p vρ ρ+ + = + + 
 2
1
2
gh v= 
v
y
0
h 1
2
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2 
 2v gh= 
Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda livre de uma altura h. 
(b) Considere o seguinte esquema: 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 3 e 4, teremos: 
 2 23 3 3 4 4 4
1 1
2 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + 
No topo do jato líquido a velocidade de escoamento é zero. 
 20 0 max
1
0 0
2
p v p ghρ ρ+ + = + + 
Substituindo-se o resultado do item (a): 
 max
1
2
2
gh ghρ ρ= 
 maxh h= 
Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante 
o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que é convertida em energia cinética no item 
(a) é reconvertida em potencial no item (b). 
(c) A viscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a 
turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição 
da velocidadede saída do fluido em (a) e da altura em (b). 
 
v
y
0
h 1
2
3