Aula 4 - fisica

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Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
Metas
Projetar os vetores em bases ortogonais, definir o produto escalar entre ve-
tores e, ainda, definir superficialmente os conceitos de limite, derivada, dife-
rencial e integral de funções vetoriais, com uma variável real.
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. projetar vetores em uma direção;
2. calcular componentes de vetores;
3. calcular as componentes da soma de vetores e da multiplicação de um
vetor por um número real;
4. calcular o produto escalar entre vetores;
5. derivar vetores.
Introdução
Na Aula 3 iniciamos a discussão acerca do movimento dos corpos e concluí-
mos que a escolha do ponto de observação é muito importante na descrição
desses movimentos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (como, por
exemplo, o carrinho em um trilho de ar, a esfera etc.), tratando-os como
partículas, além de termos falado sobre trajetórias e deslocamentos.
Ainda, a soma de deslocamentos e a sua multiplicação por números reais
foram definidas geometricamente, o que, além de ser um fator limitador, tem
o inconveniente de que essas operações geométricas dependem da qualidade
dos desenhos. Nesta aula, vamos transformar as regras de soma de desloca-
mentos e a sua multiplicação por um número real em somas e multiplicações
de números reais; com esse fim, vamos representar os vetores de maneira
algébrica. A forma mais apropriada para a nossa finalidade é representar os
vetores em bases ortogonais, e tal representação requer o conceito de projeção
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de um vetor em uma direção. Esse conceito será definido geometricamente e
algebricamente.
Nas Aulas 1 e 2 apresentamos os conceitos de limite, derivada e diferencial de
funções reais, com variáveis reais. Esses conceitos serão generalizados para
o caso de funções vetoriais, com variáveis reais, já que eles são necessários
para as descrições dos movimentos dos corpos.
Antes da leitura desta aula, veja se você é capaz de solucionar as seguintes
questões:
1. O que é um vetor unitário?
2. Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário uˆ ?
3. O que é uma base de vetores ortogonais?
4. O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal?
5. Enuncie a regra para somar vetores utilizando as componentes dos ve-
tores.
6. Enuncie a regra para multiplicar um vetor por um número real utili-
zando as componentes dos vetores.
Projeção de vetores
A decomposição de vetores de um plano em uma base ortogonal apa-
rece naturalmente quando fazemos as seguintes perguntas: Quantos vetores
existem em um plano? Como conseguimos relacioná-los?
Sabemos que existem infinitos vetores em um plano e que as relações
entre eles aparecem quando os projetamos nas direções de vetores escolhidos
que constituem uma base. Para simplificar, utilizamos uma base com vetores
unitários, representados por letras com acentos circunflexos em cima, por
exemplo uˆ; ele é assim chamado pois tem módulo igual a um.
Projeção ortogonal de um vetor na direção de um
vetor unitário uˆ
A projeção de vetores que é utilizada usualmente é a ortogonal. Ela
utiliza um vetor unitário e retas perpendiculares a eles.
Projetar um vetor ~d1 na direção de um vetor unitário uˆ é passar pelo
início e pelo final do vetor ~d1 retas perpendiculares à direção do vetor uˆ. O
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vetor projetado ~d1u tem a direção do vetor unitário uˆ, o sentido do vetor ~d1
e o módulo igual à menor distância entre as perpendiculares que projetaram
o vetor ~d1.
Figura 4.1: Projeção de um vetor na direção de um vetor unitário uˆ.
A Figura 4.1 mostra o vetor ~d1, o vetor unitário uˆ, as retas perpendi-
culares a uˆ usadas na projeção, o vetor projetado ~d1u e o ângulo que o vetor
~d1 forma com a direção do vetor unitário uˆ.
Como o vetor projetado ~d1u tem a direção do vetor unitário uˆ, e este
último tem módulo 1, ele pode ser escrito como ~du = d1u uˆ, sendo d1u a com-
ponente do vetor ~d1 na direção do unitário uˆ. Logo, a componente de um
vetor ~d1 na direção do unitário uˆ é o número que deve ser multiplicado a uˆ
para se obter o vetor projetado ~d1u.
As Figuras 4.1 e 4.2 mostram que a componente d1u é dada por:
d1u = d1 cos(θ). Ela pode ser positiva ou negativa.
Figura 4.2: Projeção de um vetor na direção de um vetor unitário uˆ.
Ela será positiva quando o sentido do vetor projetado for igual ao vetor
unitário uˆ (como na Figura 4.1); tal situação ocorre quando o ângulo θ entre
os vetores é menor do que 90o. Por outro lado, ela será negativa quando o
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sentido do vetor projetado ~du for contrário ao do vetor unitário uˆ (como na
Figura 4.2); situação que ocorre quando θ > 90o.
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, responda às seguintes perguntas:
1. O que é um vetor unitário?
2. Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário uˆ?
Respostas Comentadas
1. O vetor unitário é um vetor com módulo igual a um.
2. Projetar um vetor ~d1 na direção de um vetor unitário uˆ é passar pelo
início e pelo final do vetor ~d1 retas perpendiculares à direção do vetor
uˆ. O vetor projetado ~d1u tem a direção do vetor unitário uˆ, o sentido
do vetor ~d1 e módulo igual à menor distância entre as perpendiculares
que projetaram o vetor ~d1.
A Figura 4.3 mostra uma propriedade importante dos vetores projetados
na direção de um vetor unitário uˆ: se o vetor ~d é a soma dos vetores ~d1 e ~d2,
então o vetor projetado é a soma dos vetores projetados ~d1u e ~d2u, isto é,
~du = ~d1u + ~d2u.
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Figura 4.3: Projeção da soma de vetores na direção de um vetor unitário uˆ.
Isso faz com que a componente da soma dos vetores na direção de um
vetor unitário uˆ seja a soma das componentes de cada um dos vetores, uma
vez que
~du = ~d1u + ~d2u ⇒ d1u uˆ+ d2u uˆ = (d1u + d2u) uˆ.
Podemos dizer que todos os vetores que têm a direção do vetor unitário
uˆ podem ser escritos como ~d = duuˆ. Logo, eles podem ser representados por
esse mesmo vetor e pela sua componente du. Todavia, os vetores com direções
diferentes do vetor unitário uˆ não podem ser representados apenas por ele e
por sua referida componente du. Veremos, a seguir, que todo vetor de um
plano pode ser representado em termos de dois vetores unitários ortogonais
e pelas componentes associadas às projeções do vetor nas direções desses
unitários. Assim, dizemos que dois vetores unitários perpendiculares formam
uma base ortogonal para os vetores de um plano.
Projeção dos vetores do plano em base ortogonal
Os unitários mais usados como base ortogonal para os vetores de um
plano são aqueles que têm a direção e o sentido dos eixos utilizados. No caso
dos eixos cartesianos OX e OY , eles são denominados, respectivamente, por
ıˆ e ˆ, como mostra a Figura 4.4.
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Figura 4.4: Decomposição de vetores em uma base ortogonal.
Na Figura 4.4 estão representados o vetor ~d1, as bases ıˆ e ˆ e os vetores
projetados associados ao vetor ~d1 na base escolhida. O vetor projetado na
direção do unitário ıˆ foi denominado ~d1x e o projetado na direção de ˆ, ~d1y.
Os vetores projetados ~d1x e ~d1y podem ser escritos da seguinte forma:
~d1x = d1x ıˆ; ~d1y = d1y ˆ,
em que d1x é o número que deve ser multiplicado por ıˆ para se obter o
vetor projetado ~d1x na direção do unitário ıˆ, e d1y é o número que deve ser
multiplicado por ˆ para obtermos o vetor projetado ~d1y. Os números d1x e d1y
são denominados componentes do vetor nas direções dos vetores unitários
ıˆ e ˆ. Vemos que o vetor ~d1 pode ser escrito como a combinação linear dos
unitários ıˆ e ˆ,isto é,
~d1 = d1x ıˆ+ d1x ˆ.
Uma vez que isso pode ser feito para qualquer vetor, podemos dizer
que todo vetor de um plano pode ser representado por uma base ortogonal
contida no plano e por suas componentes nessa base. Todos os vetores de um
plano estão relacionados com os vetores unitários da base ortogonal através
das suas componentes.
A Figura 4.4 mostra que é possível caracterizar completamente um
vetor em um plano fornecendo-se as suas componentes dx e dy, ou o seu
módulo d (tamanho) e ângulo θ, medido a partir da direção do eixo OX no
sentido anti-horário (ângulo positivo).
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O ângulo poderia ser escolhido de outra maneira. Ele é
escolhido em relação ao eixo OX por conveniência.
A representação de um vetor que utiliza o seu módulo e o ângulo que
ele forma com o eixo OX é denominada de polar , enquanto aquela que
utiliza as componentes nas direções dos unitários dos eixos é denominada
de cartesiana . As representações polar e cartesiana são equivalentes e a
relação entre elas pode ser deduzida facilmente a partir da Figura 4.4.
Se as quantidades que caracterizam a representação polar, d e θ, são
conhecidas, podemos obter as componentes cartesianas do vetor da seguinte
forma:
dx = dcos(θ) e dy = d sen(θ).
Por outro lado, se as componentes dx e dy são conhecidas, podemos
obter o módulo do vetor e o ângulo que ele faz com o eixo OX da seguinte
forma:
d =
∣∣∣~d ∣∣∣ = √(d21x + d21y) e tan(θ) = d1yd1x .
As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas. Nas
projeções realizadas na Figura 4.5, observamos que o vetor projetado ~d1x
tem o mesmo sentido do vetor unitário ıˆ. Logo, a componente d1x é positiva.
Já a componente d2x é negativa porque o vetor projetado ~d2x tem sentido
contrário ao do unitário ıˆ. Os vetores projetados ~d1y e ~d2y têm, ambos, o
mesmo sentido de ˆ. Logo, as componentes d1y e d2y são positivas.
Figura 4.5: Sinais das componentes dos vetores.
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Exemplo 4.1
A Figura 4.6 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca até um
ponto B, que dista 80 km de A.
Figura 4.6: Um carro se desloca 80 km na direção nordeste, indo do ponto A
até o ponto B.
A reta que une os pontos A e B faz um ângulo de 45o com o eixo OX.
(a) Desenhe o vetor deslocamento ~d do carro.
(b) Desenhe os vetores projetados ~dx e ~dy.
(c) Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do carro nas dire-
ções dos vetores unitários ıˆ e ˆ.
(d) Escreva os vetores projetados em função dos vetores unitários ıˆ e ˆ.
Resolução
(a) O vetor deslocamento do carro vai de A até B e está desenhado na
Figura 4.7.
Figura 4.7: Vetor deslocamento do carro indo do ponto A até o ponto B na
direção nordeste.
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(b) Todo o procedimento para as projeções está indicado na Figura 4.8.
Figura 4.8: Vetores projetados.
Para projetar o vetor deslocamento ~d na direção do vetor unitário ıˆ, é neces-
sário levantar duas retas perpendiculares à direção de ıˆ, a partir do eixo OX,
que passem pelo início e pelo final de ~d. O vetor projetado ~dx é aquele que
tem a direção do unitário ıˆ, módulo igual à menor distância entre as retas
que o projetaram e sentido do vetor ~d. De maneira análoga, para projetar
o vetor deslocamento ~d na direção do vetor unitário ˆ, é necessário levantar
duas retas perpendiculares à direção de ˆ, a partir do eixo OY , que passem
pelo início e pelo final de ~d. O vetor projetado ~dy é aquele que tem a direção
do vetor unitário ˆ, o módulo igual à menor distância entre as retas que o
projetaram e o sentido do vetor ~d.
(c) A componente dx é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário
ıˆ para obtermos o vetor projetado ~dx. O módulo da componente dx é igual ao
módulo do vetor projetado
∣∣∣~dx∣∣∣. O módulo da componente pode ser calculado
por trigonometria, uma vez que
cos(45o) =
|dx|∣∣∣~d ∣∣∣ ⇒ |dx| =
√
2
∣∣∣~d ∣∣∣
2
=
√
2 (80 km)
2
= 40
√
2 km.
Como o vetor projetado ~dx tem o mesmo sentido do vetor unitário ıˆ, a com-
ponente dx é positiva e igual a 40
√
2 km.
Já a componente dy é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário ˆ
para obtermos o vetor projetado ~dy. O módulo da componente |dy| é igual ao
do vetor projetado |~dy|. O módulo |dy| pode ser calculado por trigonometria,
uma vez que
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sen(45o) =
|dy|∣∣∣~d ∣∣∣ ⇒ |dy| =
√
2
∣∣∣~d ∣∣∣
2
=
√
2 (80 km)
2
= 40
√
2 km.
Como o vetor projetado ~dy tem o mesmo sentido do vetor unitário ˆ, a com-
ponente dy é positiva e igual a 40
√
2 km.
(d) Os vetores projetados escritos em função dos unitários ıˆ e ˆ são:
~dx = (40
√
2 ıˆ) km e ~dy = (40
√
2 ˆ) km.
Exemplo 4.2
A Figura 4.9 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca até um
ponto B, que dista 80 km de A.
Figura 4.9: Um carro se desloca 80 km na direção noroeste, indo do ponto A
até o ponto B.
A reta que une os pontos A e B faz um ângulo de 135o com o eixo OX.
(a) Desenhe o vetor deslocamento ~d do carro.
(b) Desenhe os vetores projetados ~dx e ~dy.
(c) Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do carro nas dire-
ções dos vetores unitários ıˆ e ˆ.
(d) Escreva os vetores projetados em função dos vetores unitários ıˆ e ˆ.
Resolução
(a) O vetor deslocamento do carro que vai de A até B está desenhado na
Figura 4.10.
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Figura 4.10: Vetor deslocamento do carro indo do ponto A até o ponto B na
direção noroeste.
(b) O procedimento de projeção está detalhado na Figura 4.11. Para pro-
jetar o vetor deslocamento ~d na direção do vetor unitário ıˆ, é necessário
levantar duas retas perpendiculares à direção do unitário ıˆ, a partir do eixo
OX, e que essas retas passem pelo início e pelo final de ~d. O vetor projetado
~dx é aquele que tem a direção do unitário ıˆ, módulo igual à menor distância
entre as retas que o projetaram e mesmo sentido do vetor ~d. Para projetar
o vetor deslocamento ~d na direção do unitário ˆ, é necessário levantar duas
retas perpendiculares à direção de ˆ, a partir do eixo OY, e que essas retas
passem pelo início e pelo final de ~d. O vetor projetado ~dy é aquele que tem
a direção do unitário ˆ, módulo igual à menor distância entre as retas que o
projetaram e mesmo sentido do vetor ~d.
Figura 4.11: Vetores projetados.
(c) A componente dx é o número que se deve multiplicar pelo vetor unitário
ıˆ para obter o vetor projetado ~dx. O módulo da componente |dx| é igual ao
módulo do vetor |~dx| e pode ser calculado por trigonometria, uma vez que
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cos(45o) =
|dx|∣∣∣~d ∣∣∣ ⇒ |dx| =
√
2
∣∣∣~d ∣∣∣
2
=
√
2 (80 km)
2
= 40
√
2 km.
Como o vetor projetado |~dx| tem o sentido contrário ao do unitário ıˆ, a
componente dx é negativa e igual a − 40
√
2 km.
De maneira análoga, a componente dy é o número que se deve multiplicar
pelo unitário ˆ para obter o vetor projetado ~dy. O módulo da componente
|dy| é igual ao módulo do vetor |~dy| e pode ser calculado por trigonometria,
visto que
sen(45o) =
|dy|∣∣∣~d ∣∣∣ ⇒ |dy| =
√
2
∣∣∣~d ∣∣∣
2
=
√
2 (80 km)
2
= 40
√
2 km.
Como o vetor projetado ~dy tem o mesmo sentido do vetor unitário ˆ, a com-
ponente dy é positiva e igual a 40
√
2 km.
(d) Os vetores projetados escritos em função dos unitários ıˆ e ˆ são:
~dx = −(40
√
2 ıˆ) km e ~dy = (40
√
2 ˆ) km.
Comparando os Exemplos 4.1 e 4.2, podemos verificar que, apesar
de os deslocamentos terem o mesmo módulo, os vetores que os representam
são diferentes, uma vez que a direção não é a mesma.
Já sabemos que a projeção de vetores em uma base ortogonal permite
transformara soma de vetores definida pela Regra do Triângulo em uma soma
de números reais. Já mostramos que, se o vetor ~d é a soma dos vetores ~d1 e
~d2, a componente du na direção do vetor unitário uˆ é a soma das componentes
individuais, isto é, du = d1u + d2u. Logo, as componentes dx e dy do vetor
~d nas direções dos vetores unitários da base ortogonal são: dx = d1x + d2x e
dy = d1y + d2y.
Logo, as componentes da soma de vetores, nas direções dos vetores
unitários da base ortogonal, são as somas das componentes dos vetores nas
direções dos vetores unitários da base. Essas relações podem ser observadas
facilmente na Figura 4.12.
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Figura 4.12: As componentes da soma de vetores são iguais às somas das
componentes dos vetores.
Exemplo 4.3
Um carro se desloca 80 km entre os pontos A e B e, a seguir, 40 km entre
os pontos B e C, conforme indicado na Figura 4.13. Os deslocamentos são
retilíneos: a reta que une os pontos A e B tem a direção leste-oeste e aquela
que une os pontos B e C forma um ângulo de 30o com essa direção.
Figura 4.13: Deslocamentos do carro.
(a) Desenhe os vetores deslocamento entre os pontos A e B (~d1), entre os
pontos B e C (~d2) e entre os pontos A e C (~d3).
(b) Encontre as componentes dos vetores ~d1 e ~d2 nas direções dos vetores
unitários ıˆ e ˆ desenhados na Figura 4.13.
(c) Encontre as componentes do vetor ~d3 nas direções dos vetores unitários
ıˆ e ˆ, desenhados na Figura 4.13. Expresse o vetor ~d3 em termos desses
vetores unitários.
(d) Encontre o módulo do deslocamento ~d3 e o ângulo que ele faz com o eixo
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OX.
Resolução
(a) Os vetores deslocamento do carro entre os pontos A e B (~d1), entre os
pontos B e C (~d2) e entre A e C (~d3) foram desenhados na Figura 4.14.
Figura 4.14: Vetores deslocamento do carro.
(b) A Figura 4.15 mostra que o vetor projetado ~d1x é igual ao vetor ~d1. O
vetor projetado ~d1y é nulo pois as duas retas perpendiculares ao unitário ˆ, que
projetam o vetor ~d1 nessa direção, coincidem. Sendo assim, as componentes
do vetor ~d1 são: d1x = d1 = 80 km e d1y = 0 km.
Figura 4.15: Projeções do vetor deslocamento.
Na Figura 4.15 estão representados os vetores projetados ~d2x e ~d2y. Os
módulos de tais componentes podem ser calculados por trigonometria, visto
que:
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MÓDULO 1 - AULA 4
cos(30o) =
|d2x|
d2
⇒ |d2x| =
√
3 d2
2
= 20
√
3 km,
sen(30o) =
|d2y|
d2
⇒ |d2y| = d2
2
= 20 km.
As componentes d2x e d2y são positivas, visto que os vetores projetados ~d2x e
~d2y têm os mesmos sentidos dos vetores unitários ıˆ e ˆ. Portanto, temos que:
d2x = 20
√
3 km e d2y = 20 km.
(c) A Figura 4.15mostra que o deslocamento ~d3 é a soma dos deslocamentos
~d1 e ~d2, isto é,
~d3 = ~d1 + ~d2.
Logo, temos que:
d3x = d1x + d2x = 80 + 20
√
3 = (80 + 20
√
3) km,
d3y = d1y + d2y = 0 + 20 = 20 km.
(d) O módulo do deslocamento ~d3 é dado por: d3 =
√
d23x + d
2
3y
∼= 116 km.
O ângulo que o vetor deslocamento ~d3 faz com o eixo OX é dado por:
θ = arctan
(
d3y
d3x
)
∼= 0,17 rad = 9,9o.
Da mesma forma que a soma de vetores pode ser representada por somas de
números reais (soma das componentes), a multiplicação de um vetor por um
número real pode ser representada por multiplicações de números reais, uma
vez que, se ~a = α(ax ıˆ + ay ˆ), temos ~b = α~a = α(ax ıˆ + ay ˆ). Na Aula 3
você aprendeu que a multiplicação de uma soma de vetores por um número
real é distributiva em relação à soma. Por isso, as componentes do vetor ~b
são iguais a bx = α ax e by = α ay. Logo, as componentes do produto de
um número real por um vetor são iguais ao produto do número real pelas
componentes do vetor.
Atividade 2
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
Baseado no que você leu nesta aula, responda às seguintes propostas de
atividade:
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1. O que é uma base de vetores ortogonais em um plano?
2. O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal?
3. Enuncie a regra para somar vetores utilizando as componentes dos ve-
tores.
4. Enuncie a regra para multiplicar um vetor por um número real utili-
zando as componentes dos vetores.
Respostas Comentadas
1. É o conjunto formado por dois vetores unitários perpendiculares conti-
dos no plano.
2. As componentes de um vetor ~d em uma base ortogonal são os números
pelos quais devem ser multiplicados os vetores unitários da base para
se obterem os vetores projetados nas direções desses unitários.
3. A componente da soma de vetores é a soma das componentes dos ve-
tores.
4. As componentes do produto de um número real por um vetor são as
componentes do vetor multiplicadas pelo número real.
Atividade 3
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Na Figura 4.16 foram desenhados os vetores ~d1, ~d2, ~d3, ~d4 e ~d5.
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Figura 4.16: Nesta figura, o tamanho do quadriculado deve ser considerado
como unidade.
a) Represente na figura os vetores projetados associados aos vetores ~d1, ~d2,
~d3, ~d4 e ~d5. Não precisa representar os vetores projetados nulos.
b) Calcule as componentes dos seguintes vetores e escreva-os em termos dos
vetores unitários ıˆ e ˆ :
• ~d1, ~d2, ~d3, ~d4 e ~d5;
• ~d = ~d1+~d5;
• ~d = −2 ~d3;
• ~d =
~d1
d1
;
• ~d = ~d1 − 2 ~d3;
• ~d = ~d1 + ~d4 + ~d5.
Resposta Comentada
a) A Figura 4.17 mostra os vetores projetados associados aos vetores ~d1,
137 CEDERJ
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~d2, ~d3, ~d4 e ~d5. Os vetores projetados ~d1x, ~d2y e ~d3y são nulos porque as
perpendiculares que os projetam coincidem. Eles não foram representados
na Figura 4.17.
Figura 4.17: Vetores projetados.
b)
• A componente d1x do vetor ~d1 é nula porque o vetor projetado ~d1x é
nulo. A componente d1y do vetor ~d1 é positiva porque o vetor projetado
~d1y tem o sentido do vetor unitário ˆ. Logo, as componentes do vetor ~d1 são:
d1x = 0, d1y = 4 e ~d1 = 4 ˆ.
A componente d2y do vetor ~d2 é nula porque o vetor projetado ~d2y é nulo.
A componente d2x do vetor ~d2 é positiva porque o vetor projetado ~d2x tem
o sentido do vetor unitário ıˆ. Logo, as componentes do vetor ~d2 são: d2x =
4, d2y = 0 e ~d2 = 4 ıˆ.
A componente d3y do vetor ~d3 é nula porque o vetor projetado ~d3y é nulo. A
componente d3x do vetor ~d3 é negativa porque o vetor projetado ~d3x tem o
sentido contrário ao do vetor unitário ıˆ. Logo, as componentes do vetor ~d3
são: d3x = −4, d3y = 0 e ~d3 = −4 ıˆ.
A componente d4y do vetor ~d4 é positiva porque o vetor projetado ~d4y tem o
sentido do vetor unitário ˆ. A componente d4x do vetor ~d4 é negativa porque
o vetor projetado ~d4x tem o sentido contrário ao do vetor unitário ıˆ. Logo,
as componentes do vetor ~d4 são: d4x = −4, d4y = 4 e ~d4 = −4 ıˆ+ 4 ˆ.
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A componente d5y do vetor ~d5 é positiva porque o vetor projetado ~d5y tem o
sentido do vetor unitário ˆ. A componente d5x do vetor ~d5 é positiva porque o
vetor projetado ~d5x tem o sentido do vetor unitário ıˆ. Logo, as componentes
do vetor ~d5 são: d5x = 4, d5y = 4 e ~d5 = 4 ıˆ+ 4 ˆ.
• ~d = ~d1+~d5 ⇒ dx = d1x + d5x = 0 + 4 = 4; dy = d1y + d5y = 4 + 4 = 8 e o
vetor ~d é igual a 4 ıˆ+ 8 ˆ.
• ~d = −2 ~d3 ⇒ dx = −2 d3x = −2.(−4) = 8; dy = −2 d3y = −2.0 = 0 e
~d = 8ıˆ.
• O vetor ~d1 é 4 ˆ. O módulo do vetor ~d1 é d1 = 4. Logo, o vetor ~d = 4 ˆ
4
= ˆ.
Como esperado, um vetor dividido por seu módulo é um vetor unitário.
• ~d = ~d1 − 2 ~d3 ⇒ dx = d1x − 2 d3x = −2.(−4) = 8;
dy = d1y − 2 d3y = 4− 2.(0) = 4. Logo, o vetor ~d é ~d = 8 ıˆ+ 4 ˆ.
• ~d = ~d1 + ~d4 + ~d5 ⇒ dx = d1x + d4x + d5x =0− 4 + 4 = 0;
dy = d1y + d4y + d5y = 4 + 4 + 4 = 12 e ~d = 12ˆ.
Decomposição dos vetores do espaço tridimensional em
uma base ortogonal
A decomposição de vetores do espaço tridimensional em uma base or-
togonal requer uma base com três vetores unitários ortogonais. Utilizaremos
como base ortogonal do espaço tridimensional os vetores unitários ıˆ, ˆ e kˆ,
nas direções dos eixos OX, OY e OZ. A Figura 4.18 mostra o vetor ~d e
os seus vetores projetados ~dx, ~dy e ~dz nas direções desses unitários. Ele é a
soma dos vetores projetados, isto é, ~d = ~dx + ~dy + ~dz.
Figura 4.18: Vetores do espaço tridimensional projetados na base ortogonal
ıˆ, ˆ e kˆ.
Cada um dos vetores projetados é paralelo ao vetor unitário da base, no qual
foi feita a projeção. Além disso, eles são ortogonais entre si. O vetor ~d escrito
139 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
em termos das suas componentes é igual a:
~d = dx ıˆ+ dy ˆ+ dz kˆ.
Um vetor ~d no espaço tridimensional fica completamente determinado
por uma base ortogonal com três vetores unitários e por suas componentes
dx, dy e dz nessa base.
Nem tudo o que tem módulo, direção e sentido é vetor
Existem grandezas que têm módulo, direção e sentido, mas que não são
vetores, este é o caso das rotações em torno de um eixo fixo.
Para caracterizar uma rotação em torno de um eixo fixo, é necessário
especificar o eixo, o ângulo e um sentido (horário ou anti-horário) de rotação.
Logo, uma rotação em torno de um eixo fixo tem módulo, direção e sentido,
mas você aprenderá, na disciplina de Física 1B, que duas rotações não se
somam segundo a Regra do Paralelogramo. Desse modo, como elas não
obedecem a uma das características necessárias para tal, elas não são vetores.
A projeção dos vetores e o produto escalar entre eles
A operação matemática entre vetores que está relacionada com a sua
projeção em uma direção é o produto escalar entre vetores .
Tomemos os vetores ~a e ~b. O produto escalar entre esses vetores, repre-
sentado pela notação ~a ·~b, é uma grandeza escalar definida por:
~a ·~b = |~a|.|~b|.cos(θ) = a.b.cos(θ),
em que a e b são os módulos dos vetores, e θ é o menor ângulo formado pelos
vetores, ~a e ~b. Na Figura 4.19 foram desenhados os vetores ~a e ~b e o ângulo
θ no caso em que θ < 90o e no caso em que θ > 90o.
Figura 4.19: Produto escalar entre dois vetores.
CEDERJ 140
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Como o produto entre números reais é comutativo, podemos reescrever
o produto escalar da seguinte forma:
~a ·~b = a.b.cos(θ) = b.a.cos(θ) = ~b ·~a.
Logo, o produto escalar é comutativo.
Para tratarmos de casos expeciais, na Figura 4.20 foram desenhados
dois vetores perpendiculares e dois vetores iguais:
Figura 4.20: Casos especiais de produto escalar.
Vemos pela Figura 4.20 que o produto escalar entre os dois vetores
perpendiculares é nulo, uma vez que ~a ·~b = a.b.cos(90o) = 0. Por outro lado,
o produto escalar entre dois vetores iguais é o seu módulo ao quadrado, uma
vez que ~a ·~a = a.a.cos(0o) = a2. Por isso, no caso dos vetores unitários
representados na Figura 4.21, temos: ıˆ.ˆı = ˆ.ˆ = kˆ.kˆ = 1 e ıˆ.ˆ = ıˆ.kˆ =
ˆ.kˆ = 0.
Figura 4.21: Os produtos escalares entre os vetores unitários de uma base
ortogonal são nulos.
Na Figura 4.22 foram desenhados os vetores ~a, ~b, o vetor unitário aˆ,
que tem a direção e o sentido do vetor ~a, o vetor ~ba, que é a projeção de ~b na
direção de aˆ, e o ângulo θ nos casos em que θ < 90o e θ > 90o.
141 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
Figura 4.22: Relação entre o produto escalar e a componente do vetor ~b na
direção do vetor unitário aˆ.
A Figura 4.22mostra que a componente ba na direção do vetor unitário
aˆ é dada por: ba = b.cos(θ). Essa expressão é válida para os dois casos, uma
vez que quando θ < 90o, o cosseno de θ e a componente ba são positivos e,
quando θ > 90o, o cosseno de θ e a componente ba são negativos. Logo, o
produto escalar entre os vetores ~a e ~b pode ser reescrito da seguinte forma:
~a ·~b = a.b.cos(θ) = a.ba.
No caso em que o vetor ~a é um vetor unitário uˆ, o produto escalar se
reduz a:
uˆ ·~b = ~b · uˆ = 1.bu = bu.
Analogamente, a Figura 4.23 mostra que a componente ab na direção
do vetor unitário bˆ é dada por: ab = a.cos(θ).
Figura 4.23: Relação entre o produto escalar e a componente do vetor ~a na
direção do vetor unitário bˆ.
Essa expressão é válida para os dois casos, uma vez que, quando θ < 90o,
o cosseno de θ e a componente ab são positivos e, quando θ > 90o, o cosseno
de θ e a componente ab são negativos. Logo, o produto escalar entre os
vetores ~a e ~b pode ser reescrito da seguinte forma:
~a ·~b = a.b.cos(θ) = b.a.cos(θ) = b.ab.
CEDERJ 142
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
No caso em que o vetor ~b é um vetor unitário uˆ, o produto escalar se
reduz a:
uˆ ·~a = au.1 = au.
Por isso, podemos dizer que a componente de um vetor ~c na direção de
um vetor unitário uˆ é o produto escalar entre o vetor ~c e o vetor unitário uˆ,
isto é, cu = ~c · uˆ. Em particular, lembrando que as componentes de um vetor
estão relacionadas com as suas projeções nas direções dos vetores unitários
ıˆ, ˆ e kˆ, temos que:
ax = ~a · ıˆ, ay = ~a · ˆ e az = ~a · kˆ.
O produto de números reais é comutativo e é distributivo em relação
à soma de números reais, isto é, α.β = β.α e α.(β + δ) = αβ + α δ. Já
demonstramos que o produto escalar é comutativo e agora demonstraremos
que ele também é distributivo em relação à soma de vetores.
O produto escalar é representado por ~a · (~b + ~c) = a.da, em que ~d é a
soma dos vetores ~b + ~c e da é a componente do vetor ~d na direção do vetor
unitário aˆ. Como a componente de uma soma de vetores é a soma das com-
ponentes dos vetores, temos: ~a · (~b+~c) = a.(ba+ca) = a ba+a ca = ~a ·~b+~a ·~c.
Por isso, o produto escalar é distributivo em relação à soma dos vetores.
Esse fato dá origem a outra propriedade do produto escalar, que diz
respeito à possibilidade de comutar um número real entre os vetores desse
produto, isto é,
(α~a).~b = |α~a| b cos(θ) = |α| a b cos(θ) = a |α~b| cos(θ) = ~a.(α~b).
A Figura 4.24 mostra que, independentemente do sinal de α, o ângulo entre
os vetores α~a e ~b será igual ao ângulo entre ~a e α~b.
Figura 4.24: Comutação de um número real entre os vetores de um produto
escalar.
143 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
As propriedades dos vetores e do produto escalar entre vetores permi-
tem escrever o produto escalar entre os vetores ~a e ~b em termos das suas
componentes dos vetores, uma vez que
~a.~b = (ax ıˆ+ ay ˆ+ az kˆ).(bx ıˆ+ by ˆ+ bz kˆ) = ax bx ıˆ.ˆı+ ax by ıˆ.ˆ+ ax bz ıˆ.kˆ+
ay bx ˆ.ˆı+ ay by ˆ.ˆ+ ay bz ˆ.kˆ + az bx kˆ.ˆı+ az by kˆ.ˆ+ az bz kˆ.kˆ ⇒
~a.~b = ax bx + ay by + az bz.
Na obtenção da expressão do produto escalar entre dois vetores em
componentes, foram utilizadas as propriedades dos vetores da base, isto é,
ıˆ.ˆı = ˆ.ˆ = kˆ.kˆ = 1 e ıˆ.ˆ = ıˆ.kˆ = ˆ.kˆ = 0.
É importante ressaltar que as componentes dos vetores utilizadas
na expressão do produto escalar entre dois vetores têm sinais.
Elas serão positivas se os vetores projetados tiverem os sentidos
dos vetores unitários, e serão negativas se os vetores projetados
tiverem os sentidos contrários ao dos vetores unitários.
Atividade 4
Atende aos Objetivos 1, 2 e 4
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Encontre a relação entre as componentes de todos os vetores do plano XY
que são perpendiculares ao vetor ~a = 6 ıˆ− 2 ˆ.
Resposta Comentada
Um vetor contido no plano XY tem componente z nula. Logo, ele pode ser
escrito como ~b = bx ıˆ+by ˆ. Já vimos que, quando um vetor ~b é perpendicular
a um vetor ~a, o produto escalar entre eles é nulo, isto é, ~a ·~b = ax bx+ay by =
6 bx − 3 by = 0⇒ by = 2 bx.
CEDERJ 144
Aula 4 - Osvetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Atividade 5
Atende aos Objetivos 1, 2 e 4
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Sejam os vetores ~a = 3 ıˆ+ 4 ˆ e ~b = 2 ıˆ− 2 ˆ, calcule o ângulo entre eles.
Resposta Comentada
O ângulo entre dois vetores cujas componentes são conhecidas pode ser cal-
culado facilmente com o produto escalar entre eles, uma vez que
~a ·~b = a.b.cos(θ)⇒ cos(θ) = ~a ·
~b
a.b
.
Os módulos dos vetores ~a e ~b são dados por:
a =
√
a2x + a
2
y =
√
9 + 16 = 5 e b =
√
b2x + b
2
y =
√
4 + 4 = 2
√
2.
Já o produto escalar entre os vetores ~a e ~b é dado por:
~a ·~b = ax bx + ay by = 3.2− 2.4 = −2.
Logo, o ângulo entre os vetores ~a e ~b é dado por:
θ = arccos
( −2
5.2
√
2
)
∼= 98,1o.
Atividade 6
Atende aos Objetivos 1, 2 e 4
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
A Figura 4.25 mostra um triângulo com lados a, b e c.
Figura 4.25: Cálculo do lado c do triângulo.
São conhecidos a, b e o ângulo entre os lados a e b. Utilize os seus conheci-
mentos sobre vetores e produto escalar para obter c.
145 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
Resposta Comentada
Na Figura 4.26 foram desenhados os vetores ~a, ~b e ~c sobre os lados do
triângulo.
Figura 4.26: Cálculo do lado c do triângulo.
A Figura 4.26 mostra que o vetor ~b é a soma dos vetores ~a e ~c, isto é,
~b = ~a+~c. Logo, ~c = ~b−~a. Por isso, o módulo de ~c ao quadrado é dado por:
c2 = (~b− ~a) · (~b− ~a) = ~b ·~b−~b ·~a− ~a ·~b+ ~a ·~a = b2 + a2 − 2 a b cos(θ).
Portanto, o tamanho do lado c é igual a c =
√
b2 + a2 − 2abcos(θ). Podemos
observar que, quando os vetores são ortogonais, ou seja θ = 90o, essa expres-
são se reduz ao Teorema de Pitágoras e que, em todos os outros casos, o lado
c será menor do que nesse caso, em que ~a e ~b são ortogonais.
CEDERJ 146
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Atividade 7
Atende aos Objetivos 1, 2 e 4
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
A Figura 4.27 mostra um vetor ~d = 5 ıˆ + 4 ˆ + 6 kˆ e os ângulos α, β e γ
que ele forma, respectivamente, com os eixos OX, OY e OZ. Calcule esses
ângulos.
Figura 4.27: Cálculo dos ângulos entre um vetor e os eixos coordenados.
Resposta Comentada
Os ângulos que o vetor ~d forma com os eixos coordenados são iguais aos que
ele forma com os vetores unitários dos eixos. Logo, eles podem ser calculados
utilizando-se o produto escalar entre o vetor ~d e os vetores unitários, isto é,
cos(α) =
~d · ıˆ
d
=
dx
d
, cos(β) =
~d · ˆ
d
=
dy
d
e cos(γ) =
~d · kˆ
d
=
dz
d
.
O módulo do vetor ~d é dado por: d =
√
d2x + d
2
y + d
2
z =
√
25 + 16 + 36 =√
77.
Os ângulos α, β e γ são:
α = arccos
(
dx
d
)
= arccos
(
5√
77
)
∼= 55o,
β = arccos
(
dy
d
)
= arccos
(
4√
77
)
∼= 63o,
γ = arccos
(
dz
d
)
= arccos
(
6√
77
)
∼= 47o.
147 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
Funções vetoriais no espaço tridimensional, com
uma variável real
Uma função vetorial, com uma variável real, associa a cada valor da
variável real t um vetor do espaço tridimensional. Ela é representada da
seguinte forma:
~f = < −→ <3
t −→ ~f(t)
A descrição dos movimentos é realizada por grandezas cinemáticas que
serão definidas na Aula 5. Entre elas podemos citar os vetores posição, velo-
cidade e aceleração de uma partícula. Essas grandezas são funções vetoriais,
que dependem do tempo, que é uma variável real. Por isso, a seguir, veremos
de maneira simplificada, alguns dos conceitos apresentados nas Aulas 1 e 2
para funções reais, com uma variável real.
Limites, derivadas, diferenciais e integrais de
funções vetoriais, com uma variável real
Podemos generalizar os conceitos de limite, derivada, diferencial e in-
tegral de funções vetoriais com uma variável real, aplicando os conceitos
definidos para funções reais, com um variável real, para cada uma de suas
componentes.
Sejam os vetores ~f(t) e ~L, se os limites das componentes do vetor ~f(t)
existem e são iguais a lim
t−→a
fx(t) = Lx, lim
t−→a
fy(t) = Ly e lim
t−→a
fz(t) = Lz,
dizemos que o limite da função vetorial ~f(t), quando t tende a a, existe e é
igual ao vetor ~L. A representação do limite de um vetor é:
lim
t−→a
~f(t) = ~L.
A derivada de um vetor ~f(t) em t1 é definida da seguinte forma:
~f ′(t1) =
d~f
dt
(t1) = lim
t2−→t1
~f(t2)− ~f(t1)
t2 − t1 = limt2−→t1
∆~f
∆t
.
CEDERJ 148
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Como lim
t2−→t1
fx(t2)− fx(t1)
t2 − t1 =
dfx
dt
(t1), lim
t2−→t1
fy(t2)− fy(t1)
t2 − t1 =
dfy
dt
(t1) e
lim
t2−→t1
fz(t2)− fz(t1)
t2 − t1 =
dfz
dt
(t1), a derivada de uma função vetorial é dada por:
~f ′(t1) =
d~f
dt
(t1) =
dfx
dt
(t1) ıˆ+
dfy
dt
(t1) ˆ+
dfx
dt
(t1) kˆ.
Logo, para derivar uma função vetorial, é suficiente derivar as suas compo-
nentes.
Vamos, agora, generalizar a Regra da Cadeia. Seja g(t) uma função real
da variável real t, e ~f(t) uma função vetorial da variável real t, a derivada da
função vetorial g(t) ~f(t) é dada por:
(
g ~f
)′
(t1) =
d
(
g ~f
)
dt
(t1) =
d(g fx)
dt
(t1) ıˆ+
d(g fy)
dt
(t1) ˆ+
d(g fz)
dt
(t1) kˆ ⇒
d
(
g ~f
)
dt
(t1) = g(t1)
(
dfx
dt
(t1) ıˆ+
d(fy)
dt
(t1) ˆ+
d(fz)
dt
(t1) kˆ
)
+
dg
dt
(t1)
(
fx(t1) ıˆ+ fy(t1)) ˆ+ fz(t1) kˆ
)
⇒
d
(
g ~f
)
dt
(t1) = g(t1)
d~f
dt
(t1) +
dg
dt
(t1) ~f(t1).
A diferencial de uma função vetorial ~f(t) é dada por:
d~f(t1) = ~f
′(t1) dt =
(
dfx
dt
(t1) ıˆ+
dfy
dt
(t1) ˆ+
dfx
dt
(t1) kˆ
)
dt⇒
d~f(t1) = dfx(t1) ıˆ+ dfy(t1) ˆ+ dfz(t1) kˆ.
Assim, para encontrar a diferencial de uma função vetorial, com uma variável
real, é suficiente diferenciar as suas componentes.
A integral da diferencial de uma função vetorial, com uma variável real,
é dada por:
∫ t2
t1
d~f =
(∫ t2
t1
dfx
)
ıˆ+
(∫ t2
t1
dfy
)
ˆ+
(∫ t2
t1
dfz
)
kˆ.
As definições de limite, derivada, diferencial e integral de uma função
vetorial, com uma variável real, foram representadas na base ortogonal com-
posta pelo vetores unitários ıˆ, ˆ e kˆ. É possível provar que elas valem para
149 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
qualquer base ortogonal.
Nos livros de Física, em geral, as funções vetoriais, com uma variável
real, são denominadas vetores . Adotaremos essa nomenclatura a partir de
agora.
Vetores unitários na representação polar
Foi mencionado no início desta aula que, além de representar os vetores
pelas suas componentes cartesianas, podemos também utilizar a represen-
tação polar. Essa representação será especialmente útil quando estudarmos
o movimento circular e, assim sendo, encontraremos nesta seção algumas
relações envolvendo os unitários dessa representação.
Exemplo 4.4
A Figura 4.28 mostra o vetor ~r(t). Ele caracteriza um deslocamento que vai
da origem dos eixos coordenados até um ponto de um círculo com raio r. O
vetor ~r(t) se desloca sobre o círculo à medida que o tempo t transcorre. Isso
significa que, em qualquer instante de tempo, o deslocamento tem mesmo
módulo. São conhecidos o módulo r do deslocamento e o ângulo θ(t) que ele
faz com o eixo OX.
Figura 4.28: Vetor deslocamento que depende do tempo.
1. Escreva o vetor ~r(t) em função do seu módulo r, do ângulo θ e dos
vetores unitários ıˆ e ˆ.
2. Encontre o vetor unitário rˆ(t) na direção do vetor ~r(t).
3. Encontre a derivada do vetor unitário rˆ(t) em relação ao tempo.
CEDERJ 150
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
4. Escreva o vetor ~r(t) em termos do seu módulo r e do vetor unitário
rˆ(t).
5. Calcule o derivada do vetor ~r(t)em relação ao tempo t. Denomine essa
derivada ~v(t).
6. Encontre o vetor unitário θˆ(t) na direção do vetor ~v(t). Considere todos
os casos possíveis.
7. Calcule o ângulo entre o vetor unitário rˆ(t) e o vetor unitário θˆ(t).
Resolução
1. A Figura 4.28 mostra que as componentes do vetor ~r(t) são dadas
por: rx = rcos[θ(t)] e ry = r sen[θ(t)]. Logo, o vetor ~r(t) é dado por:
~r(t) = rcos[θ(t)] ıˆ+ r sen[θ(t)] ˆ.
2. O vetor unitário rˆ(t) na direção do vetor ~r(t) é dado por:
rˆ =
~r(t)
r
= cos[θ(t)] ıˆ+ sen[θ(t)] ˆ.
Vemos que, ao contrário dos unitários ıˆ, ˆ e kˆ, o vetor rˆ varia com o
tempo.
3. A derivada temporal do vetor unitário rˆ(t) é obtida derivando-se as
suas componentes em relação ao tempo, isto é,
drˆ
dt
(t) =
d(cos[θ(t)])
dt
ıˆ+
d(sen[θ(t)])
dt
ˆ.
A derivada de cos[θ(t)] deve ser obtida com a regra da cadeia e é
−d[θ(t)]
dt
sen[θ(t)].
Analogamente, a derivada de sen[θ(t)] é
d[θ(t)]
dt
cos[θ(t)].
Logo, temos que:
drˆ
dt
(t) = −ω(t) sen[θ(t)] ıˆ+ ω(t)cos[θ(t)] ˆ,
em que definimos a quantidade
ω(t) =
d[θ(t)]
dt
.
151 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
4. Pela definição do vetor unitário rˆ, temos que o vetor ~r(t) pode ser
escrito da seguinte forma:
rˆ =
~r(t)
r
⇒ ~r(t) = r rˆ(t).
5. A derivada do vetor ~r(t) em relação ao tempo é dada por:
d~r
dt
(t) = ~v(t) =
d(r rˆ(t))
dt
= r
d(rˆ(t))
dt
= r ω(t) (−sen[θ(t)] ıˆ+ cos[θ(t)] ˆ).
6. O vetor unitário θˆ(t) na direção do vetor ~v(t) é dado por: θˆ =
~v(t)
|~v(t)| .
O módulo do vetor ~v(t) é dado por:Identidade:
cos2θ+ sen2θ = 1.
|~v(t)| =
√
v2x(t) + v
2
y(t) =
√
r2 ω2(t)cos2[θ(t)] + r2 ω2(t)sen2[θ(t)]⇒
|~v(t)| = r |ω(t)|.
Logo, o vetor unitário é dado por:
θˆ(t) =
r ω(t) (−sen[θ(t)] ıˆ+ cos[θ(t)] ˆ)
r |ω(t)| .
Temos dois casos, dependendo do sinal de ω(t). No caso em que ω(t) é
positivo, o vetor unitário θˆ(t) é igual a
θˆ+(t) = −sen[θ(t)] ıˆ+ cos[θ(t)] ˆ
e, no caso em que ω(t) é negativo, o vetor unitário θˆ(t) é igual a
θˆ−(t) = sen[θ(t)] ıˆ− cos[θ(t)] ˆ.
7. O ângulo α entre o vetor unitário rˆ(t) e o vetor unitário θˆ(t) pode ser
obtido através do produto escalar entre esses vetores:
cos(α) =
rˆ · θˆ
|rˆ| |θˆ| = rˆ · θˆ.
O produto escalar entre entre os vetores unitários rˆ(t) e θˆ(t) é dado
por:
rˆ · θˆ = rx θx + ry θy
rˆ · θˆ = (cos[θ(t)]).
(
− ω(t)|ω(t)| sen[θ(t)]
)
+(sen[θ(t)]).
(
ω(t)
|ω(t)|cos[θ(t)]
)
= 0.
Logo, o ângulo entre eles é de 90o.
CEDERJ 152
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Atividade 8
Atende aos Objetivos 1, 2 e 4
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
No Exemplo 4.4 foi calculada a derivada do vetor ~r(t). Essa derivada foi
denominada ~v(t).
1. Escreva o vetor ~v em termos do vetor unitário θˆ+(t), encontrado no
exemplo anterior. Calcule a componente do vetor ~v na direção do vetor
unitário θˆ+(t).
2. Calcule a derivada do vetor unitário θˆ+(t) em relação ao tempo. Rela-
cione essa derivada com o vetor unitário rˆ.
3. Calcule a derivada do vetor ~v(t) em relação ao tempo. Denomine essa
derivada de ~a(t). Escreva o vetor ~a(t) em termos dos vetores unitários
rˆ(t) e θˆ+(t).
Respostas Comentadas
1. As expressões do vetor ~v(t) e do vetor unitário θˆ+(t) encontradas no
Exemplo 4.4 mostram que o vetor ~v(t) pode ser reescrito da seguinte
forma: ~v(t) = r ω(t) θˆ+(t). Logo, a componente vθ+(t) do vetor ~v(t) na
direção do vetor unitário θˆ+(t) é igual a r ω(t).
2. A derivada do temporal do vetor unitário θˆ+(t) é obtida derivando-se
as suas componentes em relação ao tempo, isto é,
dθˆ+
dt
(t) = −d(sen[θ(t)])
dt
ıˆ+
d(cos[θ(t)])
dt
ˆ.
A derivada de cos[θ(t)], obtida com a regra da cadeia, é−d[θ(t)]
dt
sen[θ(t)].
A derivada de sen[θ(t)], obtida com a regra da cadeia, é
d[θ(t)]
dt
cos[θ(t)].
153 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
Logo, temos que:
dθˆ+
dt
(t) = −ω(t)cos[θ(t)] ıˆ− ω(t)sen[θ(t)] ˆ.
A comparação entre essa expressão e a expressão do vetor unitário rˆ,
obtida no Exemplo 4.4, mostra que a derivada do vetor unitário θˆ+(t)
em relação ao tempo é dada por:
dθˆ+
dt
(t) = −ω(t) rˆ.
3. A derivada do vetor ~v(t) em relação ao tempo é dada por:
d~v(t)
dt
= ~a(t) =
d[r ω(t) θˆ+(t)]
dt
= r
d[ω(t) θˆ+(t)]
dt
⇒
~a(t) = r ω(t)
d[θˆ+(t)]
dt
+ r
dω(t)
dt
θˆ+(t)⇒
~a(t) = r ω(t) [−ω(t) rˆ] + r dω(t)
dt
θˆ+(t)⇒
~a(t) = −r ω2(t) rˆ + r dω(t)
dt
θˆ+(t).
Limites, derivadas, diferenciais e integrais de funções
vetoriais, com uma variável real
1. Para calcular o limite de uma função vetorial ~f(t), com uma variável
real, é suficiente calcular os limites das suas componentes fx(t), fy(t) e
fz(t), isto é , lim
t−→a
~f(t) = lim
t−→a
fx(t) ıˆ+ lim
t−→a
fy(t) ˆ+ lim
t−→a
fz(t) kˆ.
2. Para calcular a derivada de uma função vetorial ~f(t), com uma variável
real, é suficiente calcular as derivadas das suas componentes fx(t), fy(t)
e fz(t), isto é ,
d~f
dt
(t1) =
dfx
dt
(t1) ıˆ+
dfy
dt
(t1) ˆ+
dfz
dt
(t1) kˆ.
3. Para calcular a diferencial de uma função vetorial ~f(t), com uma va-
riável real, é suficiente calcular as diferenciais das suas componentes
fx(t), fy(t) e fz(t), isto é , d~f(t1) = dfx(t1) ıˆ+ dfy(t1) ˆ+ dfz(t1) kˆ.
4. Para calcular a integral de uma função vetorial ~f(t), com uma variável
real, é suficiente calcular as integrais das suas componentes fx(t), fy(t)
e fz(t), isto é,∫ t2
t1
~f dt =
(∫ t2
t1
fx dt
)
ıˆ+
(∫ t2
t1
fy dt
)
ˆ+
(∫ t2
t1
fz dt
)
kˆ.
CEDERJ 154
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
Exemplo 4.5
Calcule as seguintes integrais:
1.
∫ t1
to
d ~A(t);
2.
∫ t1
to
~Adt, em que ~A é um vetor constante.
Resolução
A integral de uma função vetorial é a integral das suas componentes, isto é,
1.
∫ t1
to
d ~A(t) =
(∫ t1
to
dAx(t)
)
ıˆ+
(∫ t1
to
dAy(t)
)
ˆ+
(∫ t1
to
dAz(t)
)
kˆ ⇒∫ t1
to
d ~A(t) = (Ax(t1)− Ax(to)) ıˆ+(Ay(t1)− Ay(to)) ˆ+(Az(t1)− Az(to)) kˆ ⇒∫ t1
to
d ~A(t) = ~A(t1)− ~A(to) e
2.
∫ t1
to
~Adt =
(∫ t1
to
Ax dt
)
ıˆ+
(∫ t1
to
Ay dt
)
ˆ+
(∫ t1
to
Az dt
)
kˆ,
em que Ax , Ay e Az são constantes. Como a integral de uma constante vezes
uma função é igual à integral da constante vezes a integral da função, temos
que: ∫ t1
to
~Adt = Ax
(∫ t1
to
dt
)
ıˆ+ Ay
(∫ t1
to
dt
)
ˆ+ Az
(∫ t1
to
dt
)
kˆ ⇒
∫ t1
to
~Adt = Ax (t1 − to) ıˆ+ Ay (t1 − to) ˆ+ Az (t1 − to) kˆ ⇒∫ t1
to
~Adt = ~A (t1 − to) .
Resumo
Projeção de vetores
1. Projetar um vetor ~d1 na direção de um vetor unitário uˆ é passar pelo
início e pelo final do vetor ~d1 retas perpendiculares à direção do vetor
uˆ. O vetor projetado ~d1u tem a direção do vetor unitário uˆ, o sentido
do vetor ~d1 e o módulo igual à menor distância entre as perpendiculares
que projetaram o vetor ~d1.
2. A componente de um vetor ~d1 na direção do vetor unitário uˆ é o número
pelo qual deve ser multiplicado o vetor unitário uˆ para se obter o vetor
projetado ~d1u.
155 CEDERJ
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
3. A componente da soma de vetores na direção de um vetor unitário uˆ é
a soma das componentes dos vetores na direção desse vetor.
4. Uma base ortogonal do espaço tridimensional é um conjunto de três
vetores unitários ortogonais. Utilizaremos como base ortogonal do es-
paço tridimensional os vetores unitários ıˆ, ˆ e kˆ, nas direções dos eixos
OX, OY e OZ.
5. Um vetor do espaço tridimensional pode ser escrito da seguinte forma:
~d = dx ıˆ+ dy ˆ+ dz kˆ, em que dx, dy e dz são as componentes do vetor
~d nas direções dos vetores unitários ıˆ, ˆ e kˆ.
Produto escalar
1. Sejam os vetores ~ae ~b. O produto escalar entre esses vetores, represen-
tado pela notação ~a.~b, é uma grandeza escalar definida por:
~a.~b = |~a|.|~b|.cos(θ) = a.b.cos(θ), em que a e b são os módulos dos vetores
e θ é o menor ângulo formado pelos vetores ~a e ~b. O produto escalar
também pode ser expresso em termos das componentes dos vetores:
~a.~b = ax bx + ay by + az bz.
2. A componente de um vetor ~c na direção de um vetor unitário uˆ é
o produto escalar entre o vetor ~c e o vetor unitário uˆ, isto é, cu =
~c.uˆ. Em particular, lembrando que as componentes de um vetor estão
relacionadas com as suas projeções nas direções dos vetores unitários
ıˆ, ˆ e kˆ, temos que: ax = ~a.ˆı, ay = ~a.ˆ e az = ~a.kˆ.
3. O produto escalar entre vetores tem as seguintes propriedades:
a. ~a.~b = ~b.~a;
b. ~a.(~b+ ~c) = ~a.~b+ ~a.~c;
c. (α~a).~b = ~a.(α~b).
Derivadas e integrais de vetores
1. Para derivar uma função vetorial ~f(t), é suficiente derivar as suas com-
ponentes, isto é, ~f ′(t1) =
d~f
dt
(t1) =
dfx
dt
(t1) ıˆ+
dfy
dt
(t1) ˆ+
dfz
dt
(t1) kˆ.
2. Para calcular a integral de uma função vetorial ~f(t), com uma variável
real, é suficiente calcular as integrais das suas componentes fx(t), fy(t)
CEDERJ 156
Aula 4 - Os vetores e as suas bases
MÓDULO 1 - AULA 4
e fz(t), isto é,∫ t2
t1
~f dt =
(∫ t2
t1
fx dt
)
ıˆ+
(∫ t2
t1
fy dt
)
ˆ+
(∫ t2
t1
fz dt
)
kˆ.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula vamos discutir a Cinemática Vetorial.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, Maria Antonieta Teixeira. Introdução às ciências físicas I. v. 2,
4. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
PESCO, Dirce Uesu; ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática bá-
sica. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
. Geometria básica. v. 1, 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj,
2010.
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