Vibração da rede - Fônons

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Centro Universitário Estadual da Zona Oeste
Vibração da Rede Cristalina – Fônons
Curso: Engenharia de Materiais
Aluna: Aline Muniz Lima
Disciplina: Física do estado sólido
Professora: Érika Cabral
Rio de Janeiro
2021
Uma quase-partícula fundamental em Física da Matéria Condensada é o fônon.
Fônons são vibrações coletivas dos átomos na rede cristalina que possuem energia
quantizada como se fossem partículas. Ao contrário dos elétrons, fônons não tem carga e
não podem ser controlados diretamente por um campo eletromagnético externo, nem tem
uma fonte coerente que possa produzi-los com uma frequência específica. As interações
entre fônons também são muito mais fortes do que as interações entre fótons. E diferente
dos elétrons e fótons, cuja natureza ondulatório e propriedades coerente são bem
conhecidas, a demonstração experimental da natureza ondulatória coerente dos fônons
tem gerado muita discussão. Grosseiramente falando, "estudar fônons é como estudar luz
usando somente lâmpadas, sem espectrômetros, e com interação forte entre os fótons.
Não é surpresa assim que os fônons permaneçam tão pouco entendidos".
A descrição dos átomos num cristal, ou dinâmica da rede cristalina, é um tópico
fundamental em Estado Sólido. A rede cristalina é melhor entendida não em termos de
átomos individuais, mas através de seu comportamento coletivo. A razão é que os átomos
estão conectados por ligações químicas, e quando um deles se desloca da sua posição de
equilíbrio, exerce uma força que influencia todos os outros átomos na vizinhança. Assim, o
conjunto de átomos vibrando em torno de suas posições de equilíbrio (devido à agitação
térmica) geram uma superposição de vibrações em toda a rede. Estas vibrações são ondas
mecânicas caracterizadas por vetor de onda, frequência e polarização. A superposição de
vibrações pode ser decomposta em modos normais (ou modos fundamentais). A cada modo
está associado um quantum de energia chamado fônon. A teoria quântica descreve o sólido
como uma rede de átomos fixos preenchida com uma mistura caótica de quase partículas
(fônons) com diferentes frequências e polarizações. A propagação das ondas mecânicas no
sólido é então descrita por uma relação de dispersão que relaciona a frequência ω e o vetor
de onda q das vibrações. Em outras palavras a dispersão nos informa a energia e direção
de propagação das vibrações. Em um meio macroscópico e homogêneo a dispersão é
simplesmente ω = vq, onde v é a velocidade de propagação da onda, que também é a
velocidade de propagação do som nesse meio. Contudo, a dispersão dos fônons em
outros meios é mais complicada e seu conhecimento é crucial pois influência nas
propriedades mecânicas, elétricas, óticas e térmicas.
Para um cristal com um átomo por célula unitária, a relação de dispersão, quando
medida ao longo de direções selecionadas no espaço dos vetores de onda, corresponde a
um conjunto de curvas com três ramos. No caso de ondas que se propagam ao longo das
direções de mais alta simetria da rede, todos os deslocamentos ocorrem de maneira
exatamente paralela ou perpendicular a direção de propagação em virtude de condição
imposta pela simetria do cristal. Tais casos correspondem a modos puros de vibração. Uma
completa determinação da relação de dispersão envolve não somente a determinação das
frequências mas também uma identificação dos ramos de acordo com sua polarização. O
conhecimento da relação de dispersão é muito importante para o entendimento de muitas
propriedades físicas dos sólidos, como por exemplo, velocidade de propagação do som,
constantes de força e constantes elásticas. Além disso, a relação de dispersão fornece a
informação experimental necessária para o ensaio de vários modelos teóricos sobre
dinâmica de redes. As frequências dos fônons (frequências de vibração da rede) podem ser
medidas por várias técnicas, porém a mais comumente usada é a que utiliza o
espalhamento coerente inelástico de nêutrons por uma amostra monocristalina.
Quando os átomos em um sólido executam pequenas oscilações em torno de suas
posições de equilíbrio, ocorrem as vibrações da rede ocasionadas pela excitação térmica.
Para um sólido cristalino com N átomos, são permitidos 3N modos normais de vibração e
o sistema é descrito por ondas planas. O movimento ondulatório é quantizado, sendo o
quantum associado a um modo normal considerado como uma excitação elementar da
rede cristalina conhecida como fônon. 
Ao descrever o sólido cristalino como uma rede de Bravais, assumimos que os íons
estão fixos nas posições definidas pela rede de Bravais. É uma boa aproximação porque
os íons têm massa muito maior do que os elétrons, pelo menos 3 ordens de grandeza
maior e a energia cinética e velocidade de movimento iônico é de fato baixa. No entanto,
ativação térmica e colisões elétron íon cedem energia aos íons, fazendo-os sair de sua
posição exata na rede de Bravais.
Contanto que esse deslocamento seja pequeno comparativamente aos parâmetros
da rede de Bravais, podemos tratar as vibrações como pequena perturbação da posição
do íon em torno de sua posição de equilíbrio dentro da rede de Bravais. Essa
aproximação é válida em baixas temperaturas e longe das transições de fase, em que
ocorre mudança de estado físico e efeitos não lineares dominam completamente o
cenário.
Esses efeitos adicionais são denominados anarmônicos. Podemos observar a
figura de uma rede de Bravais unidimensional (Figura 1): 
Figura 1: rede de Bravais unidimensional
A interação entre dois íons da rede, nas posições Xi e Xi – 1 é descrita por um
potencial efetivo da forma V (Xi - - Xi – 1). Na condição de equilíbrio, a repulsão eletrostática
entre dois íons é compensada pela interação de natureza atrativa com a nuvem eletrônica
que fica distribuída entre os dois íons. Na situação ligante, o potencial V terá um mínimo,
que é a posição de equilíbrio do íon na rede de Bravais. O Hamiltoniano da rede de íons é
dado por: 
Teoria clássica: Osciladores harmônicos 
Vamos supor a rede cristalina tridimensional constituída por N átomos que, quando
recebem energia térmica, vibram como se fossem osciladores harmônicos. A energia
total (cinética e potencial) de cada um destes osciladores de massa:
E = 
1
2
mv2 + 
1
2
mw2r2m) é E = 
1
2
mv2 + 
1
2
mw2r2
sendo r o respectivo afastamento da posição de equilíbrio e m2   a constante
elástica.
Admitindo uma distribuição clássica de Boltzmann pode concluir-se que o valor
médio da energia associada a cada oscilador, à temperatura T, é: 
E  KB T
(KB : constante de Boltzmann)
Supondo que a energia total U se reparte igualmente por todos os 3N osciladores 
(isto é, admitindo a equipartição da energia) pode escrever-se: 
U  3N KB T  3R T mole
 
Referências 
1. DECHAUMPHAI, E.; CHEN, R.J.Appl.,phys., v.111, p.073508, 2012.
2. LUCKYANOVA, M. N. et al. Science, v.338, p. 936, 2012.
3. MAASILTA, I.; MINNICH, A.J. Physics Today, v. 67(8), p.27, 2014.