Resumo Capítulo 3 (Newton Versus Einstein) - Introduction to Cosmology (Barbara Ryden 1st ed)

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Resumo do caṕıtulo 3 do livro Barbara Ryden[Ryd06]
Raphael Gomes Sousa
23 de fevereiro de 2022
1 Prinćıpio de Equivalencia
Na visão de Newton do universo, o espaço é imutável e euclidiano. No espaço euclidiano, ou “plano”,
todos os axiomas e teoremas da geometria plana (como codificados por Euclides no século III aC) são
verdadeiros. No espaço euclidiano, a menor distância entre dois pontos é uma linha reta, os ângulos
nos vértices de um triângulo somam π radianos, a circunferência de um ćırculo é 2π vezes seu raio, e
assim em diante, através de todos os outros axiomas e teoremas que você aprendeu na geometria do
ensino médio. Na visão de Newton, além disso, um objeto sem força resultante agindo sobre ele se
move em linha reta com velocidade constante. No entanto, quando olhamos para objetos no Sistema
Solar como planetas, luas, cometas e asteróides, descobrimos que eles se movem em linhas curvas,
com velocidade em constante mudança. Por que é isso? Newton nos diria, “Suas velocidades estão
mudando porque há uma força agindo sobre eles; a força chamada gravidade”.
Newton desenvolveu uma fórmula para calcular a força gravitacional entre dois objetos. Cada
objeto no universo, disse Newton, tem uma propriedade que podemos chamar de “massa gravitacional”.
Sejam as massas gravitacionais de dois objetos Mg e mg, e seja a distância entre seus centros r. A
força gravitacional agindo entre os dois objetos (assumindo que ambos são esféricos) é
F = −GMgmg
r2
O sinal negativo na equação acima indica que a gravidade, na teoria newtoniana vista que, é sempre
uma força atrativa, tendendo a aproximar dois corpos. A igualdade da massa gravitacional e da massa
inercial é chamado de prinćıpio de equivalência, e é o prinćıpio de equivalência que levou Einstein para
desenvolver sua teoria da relatividade geral. Se o prinćıpio da equivalência não for válido, então a
aceleração gravitacional de um objeto em direção a uma massa Mg seria
a = −GMg
r2
(
mg
mi
)
Com a razão (mg/mi) variando para diferentes objetos. A presença de massa, na visão de Einstein,
faz com que o espaço seja curvo. Na verdade, na teoria totalmente desenvolvida da relatividade
geral, massa e energia (que Newton pensou ser como duas entidades separadas) são intercambiáveis,
através da famosa equação E = mc2. Além disso, espaço e tempo (que Newton considerava duas
entidades) formam um espaço-tempo quadridimensional. Um resumo mais preciso do ponto de vista
de Einstein, então, é que a presença de massa-energia faz com que o espaço-tempo ser curvado. A
descrição da gravidade de Einstein dá uma explicação natural para o prinćıpio de equivalência. Na
descrição newtoniana da gravidade, a igualdade da força gravitacional massa e a massa inercial é
uma coincidência notável. No entanto, na teoria da relatividade geral de Einstein , a curvatura é uma
propriedade do próprio espaço-tempo. Isso então segue automaticamente que a aceleração gravitacional
de um objeto deve ser independente de massa e composição - está apenas seguindo uma geodésica, que
é ditada pela geometria do espaço-tempo.
2 Descrevendo a curvatura
Ao desenvolver uma teoria matemática da relatividade geral, na qual a curvatura do espaço-tempo está
relacionada à densidade de massa-energia, Einstein precisava de uma maneira de descrever matemati-
camente a curvatura. Já que imaginar a curvatura de um espaço-tempo quadridimensional é o menos
1
dif́ıcil, vamos começar considerando maneiras de descrever a curvatura de espaços bidimensionais, e
então estender o que aprenderam a dimensões superiores. O mais simples dos espaços bidimensionais
é um plano, no qual a geometria euclidiana se sustenta. Em um plano, uma geodésica é uma linha
reta. Se um triângulo é constrúıdo em um plano conectando três pontos com geodésicas, os ângulos
em seu vértices obedecem à relação
α+ β + γ = π
Onde os ângulos são medidos em radianos. Em um plano, podemos configurar um sistema cartesiano
sistema de coordenadas, e atribuir a cada ponto uma coordenada (x, y). Em um plano, O teorema de
Pitágoras é válido, então a distância ds entre os pontos (x, y) e (x + dx, y + dy) é dado pela relação
ds2 = dx2 + dy2
É claro que outros sistemas de coordenadas pode ser usado, no lugar de coordenadas cartesianas. Por
exemplo, em uma sistema de coordenada polar, a distância entre os pontos (r,θ) e (r + dr, θ + dθ) é
ds2 = dr2 + r2dθ2
Agora considere outro espaço bidimensional simples, a superf́ıcie de uma esfera. Na superf́ıcie de uma
esfera, uma geodésica é uma porção de um grande ćırculo isto é, um ćırculo cujo centro corresponde
ao centro da esfera. Se um triângulo é constrúıdo na superf́ıcie da esfera ligando três pontos com
geodésicas, os ângulos em seus vértices obedecem à relação
α+ β + γ = π +
A
R2
onde A é a área do triângulo e R é o raio da esfera. Todos os espaços em que α + β + γ > π são
chamados de espaços “positivamente curvos”. A superf́ıcie de uma esfera é um espaço bidimensional
positivamente curvado.
Na superf́ıcie de uma esfera, podemos configurar um sistema de coordenadas polares escolhendo
um par de pontos ant́ıpodas para ser o “pólo norte” e o “pólo sul” e escolhendo uma geodésica do pólo
norte ao sul para ser o ”primeiro meridiano”. Se r é a distância do pólo norte, e θ é o ângulo azimutal
medido em relação ao primeiro meridiano, então a distância ds entre um ponto (r, θ) e outro próximo
ponto (r + dr, θ + dθ) é dado pela relação
ds2 = dr2 +R2sen2(r/R)dθ2
Observe que a superf́ıcie de uma esfera tem uma área finita, igual a 4πR2, e uma máxima distância
posśıvel entre pontos; a distância entre os pontos ant́ıpodas, na separação máxima posśıvel, é πR. Em
contraste, um plano tem área infinita, e não tem limites superiores para a distância posśıvel entre os
pontos. Além dos espaços planos e dos espaços positivamente curvos, existem espaços curvos. Um
exemplo de um espaço bidimensional curvado negativamente é o hiperbolóide, ou forma de sela. Para
fins ilustrativos, irá mostrar-lhe uma superf́ıcie de curvatura negativa constante, assim como a superf́ıcie
de uma esfera tem curvatura positiva constante. Infelizmente, o matemático David Hilbert provou que
uma superf́ıcie bidimensional de curvatura negativa constante não pode ser constrúıda em um espaço
euclidiano tridimensional. A forma de sela tem curvatura constante apenas na região central, próximo
ao “assento” da sela. Apesar das dificuldades em visualizar uma superf́ıcie de curvatura negativa
constante, suas propriedades podem ser escritas facilmente. Considere uma superf́ıcie bidimensional
de curvatura negativa constante, com raio de curvatura R. Se um triângulo é constrúıdo nesta superf́ıcie
conectando três pontos com geodésicas, os ângulos em seus vértices obedecem à relação
α+ β + γ = π − A
R2
Em uma superf́ıcie de curvatura negativa constante, podemos configurar um sistema de coordenada
polar escolhendo algum ponto como o pólo, e alguma geodésica conduzindo do pólo como o meridiano
principal. Se r é a distância do pólo e θ é o ângulo azimutal medido em relação ao meridiano principal,
então a distância ds entre um ponto (r, θ) e um ponto próximo (r + dr, θ + dθ) é dado por
ds2 = dr2 +R2senh2(r/R)dθ2
2
Uma superf́ıcie de curvatura negativa constante tem área infinita e não tem limite superior sobre a
distância posśıvel entre os pontos. Portanto, se um espaço bidimensional tem curvatura homogênea e
isotrópica, sua geometria pode ser especificada por duas quantidades, K e R. O número K, chamado de
constante de curvatura, é K = 0 para um espaço plano, K = +1 para um espaço curvado positivamente,
e K = -1 para um espaço curvado negativamente. Se o espaço for curvo, então a quantidade R, que
tem dimensões de comprimento, é o raio de curvatura. Os resultados para o espaço bidimensional
podem serestendidos diretamente para três dimensões. Um espaço tridimensional, se sua curvatura é
homogênea e isotrópica, deve ser plana, ou ter curvatura positiva uniforme, ou ter curvatura negativa
uniforme. Se um espaço tridimensional é plano (k = 0), tem a métrica
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
Em coordenadas cartesianas, ou
ds2 = dr2 + r2[dθ2 + sen2θdϕ2]
Em coordenadas esféricas. Se um espaço tridimensional tem curvatura positiva uniforme (K = +1),
ds2 = dr2 +R2sen2(r/R)[dθ2 + sen2θdϕ2]
Um espaço tridimensional positivamente curvo tem volume finito, assim como um espaço tridimensional
positivamente curvo tem volume finito. espaço bidimensional curvo tem área finita. O ponto em r = πR
é o ponto ant́ıpoda à origem, assim como o pólo sul, em r = πR, é o ponto ant́ıpoda ao pólo norte,
em r = 0, na superf́ıcie de uma esfera. Ao viajar uma distância C = 2πR, é posśıvel “contornar”
um espaço de curvatura positiva uniforme. Finalmente, se um espaço tridimensional tem curvatura
negativa uniforme (K = −1), sua métrica é
ds2 = dr2 +R2sen2(r/R)[dθ2 + senh2θdϕ2]
Como o espaço plano, o espaço curvado negativamente tem volume infinito. As três métricas posśıveis
para uma imagem homogênea, isotrópica e espaço tridimensional pode ser escrito de forma mais com-
pacta na forma
ds2 = dr2 + Sk(r)
2dΩ2
Onde
dΩ2 ≡ dθ2 + sen2θdϕ2
E
Sk(r)
 Rsen(r/R) K = +1r K = 0
Rsenh(r/R) K = −1
(II)
Note que no limite r ≪ R, Sk ≃ r, independente do valor de K. Quando o espaço é plano, ou curvado
negativamente, Sk aumenta monotonicamente com r, com Sk −→ ∞ como r −→ ∞. Por outro lado,
quando o espaço é curvado positivamente, Sk aumenta para um máximo de Smax = R em r/R = π/2,
então diminui novamente para 0 em r/R = π, o ant́ıpoda aponta para a origem. O sistema de
coordenadas (r, θ, ϕ) não é o único sistema posśıvel. Por exemplo, se mudarmos a coordenada radial
de r para x ≡ Sk(r), a métrica para um espaço tridimensional homogêneo, isotrópico, pode ser escrita
na forma
ds2 =
dx2
1−Kx2/R2
+ x2dΩ2
3 A métrica de Robertson-Walker
Até agora, consideramos apenas as métricas para espaços simples bidimensionais e tridimensionais.
No entanto, a relatividade nos ensina que o espaço e o tempo juntos compreendem um espaço-tempo
quadridimensional. Assim como podemos calcular a distância entre dois pontos no espaço usando
a métrica apropriada para esse espaço, então pode calcular a distância quadridimensional entre dois
eventos no espaço-tempo. Considere dois eventos, um ocorrendo na localização espaço-tempo (t, r, θ, ϕ),
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e outro ocorrendo no local do espaço-tempo (t + dt, r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ). De acordo com as leis da
relatividade especial, a separação espaço-tempo entre esses dois eventos é
ds2 = −c2dt2 + dr2 + r2dΩ2 (I)
A métrica dada na equação acima é chamada de métrica de Minkowski, e o espaço-tempo que ela
descreve é chamado de espaço-tempo de Minkowski. Observe, a partir de uma comparação com a
equação que o componente espacial do espaço-tempo de Minkowski é euclidiano, ou plano. O caminho
de um fóton através do espaço-tempo é uma geodésica de quatro dimensões e não apenas qualquer
geodésica, lembre-se, mas uma variedade especial chamada geodésica nula. Um geodésica nula é aquela
para a qual, ao longo de cada segmento infinitesimal do caminho do fóton, ds = 0. No espaço-tempo
de Minkowski, então, a trajetória de um fóton obedece à relação
ds2 = 0 = −c2dt2 + dr2 + r2dΩ2
Se o fóton está se movendo ao longo de um caminho radial, em direção ou para longe da origem, este
significa, uma vez que θ e ϕ são constantes
c2dt2 = dr2
ou
dr
dt
= ±c
A métrica de Minkowski da equação (I) se aplica apenas no contexto de relatividade especial, assim
chamada porque trata do caso especial em que o espaço-tempo não é curvado pela presença de massa
e energia. Sem qualquer gravidade efeitos, o espaço-tempo de Minkowski é plano e estático. Quando a
gravidade é adicionada, no entanto, os espaços-tempos permitidos são mais interessantes. Na década
de 1930, os f́ısicos Howard Robertson e Arthur Walker perguntaram: “Que forma a métrica do espaço-
tempo pode assumir se o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico o tempo todo, e se as
distâncias podem se expandir (ou contrair) em função do tempo?” A métrica que eles derivaram
(independentemente um do outro) é chamado de métrica de Robertson-Walker. Geralmente é escrito
na forma
ds2 = −c2dt2 + a(t)2[ dx
2
1− kx2/R20
+ x2dΩ2]
Observe que o componente espacial da métrica de Robertson-Walker consiste na métrica espacial para
um espaço uniformemente curvo de raio R0, escalado pelo quadrado do fator de escala a(t). O fator
de escala descreve como as distâncias em um universo homogêneo e isotrópico se expandem ou se
contraem com o tempo. A métrica de Robertson-Walker também pode ser escrita na forma
ds2 = −c2dt2 + a(t)2[dr2 + Sk(r)2dΩ2]
com a função Sk(r) para os três diferentes tipos de curvatura dados pela equação.
A variável de tempo t na métrica de Robertson-Walker é a tempo próprio cosmológico, chamado de
tempo cósmico para abreviar, e é o tempo medido por um observador que vê o universo se expandindo
uniformemente ao seu redor. As variáveis espaciais (x, θ, ϕ) ou (r, θ, ϕ) são chamadas de coordena-
das comoventes de um ponto no espaço; E se a expansão do universo é perfeitamente homogênea e
isotrópica, então as coordenadas móveis de qualquer ponto permanecem constantes com o tempo.
A suposição de homogeneidade e isotropia é muito poderosa. Se o universo é perfeitamente ho-
mogêneo e isotrópico, então tudo o que precisamos saber sobre sua geometria está contida em a(t), K
e R0. O fator de escala a(t) é uma função adimensional do tempo que descreve como as distâncias
crescem ou diminuem com tempo; é normalizado para que a(t0) = 1 no momento presente. A cur-
vatura constante K é um número adimensional que pode assumir um dos três valores discretos: K
= 0 se o universo for espacialmente plano, K = -1 se o universo tiver curvatura espacial negativa,
e K= +1 se o universo tem curvatura espacial positiva. O raio de curvatura R0 tem dimensões de
comprimento, e dá o raio de curvatura do universo no momento atual. Grande parte da cosmologia
moderna é dedicada de uma maneira ou outra para encontrar os valores de a(t), K e R0. A suposição
de homogeneidade espacial e isotropia é tão poderosa que Robertson e Walker a assumiram na década
de 1930, muito antes de as evidências observacionais dispońıveis fornecerem qualquer suporte para tal
4
uma suposição. Se homogeneidade e isotropia não existissem, como Voltaire poderia ter dito, seria
necessário inventá-los - pelo menos se seu desejo é ter uma forma simples e analiticamente tratável
para a métrica do espaço-tempo.
Na verdade, as observações revelam que o universo não é homogêneo e isotrópico em pequenas
escalas. Assim, a métrica de Robertson-Walker é apenas uma aproximação válida em grandes escalas.
Em escalas menores, o universo é “grumoso”, e, portanto, não se expande uniformemente. Caroços
pequenos e densos, como humanos e grãos de poeira interestelar, são mantidos juntos por forças
eletromagnéticas, e, portanto, não se expandem. Pedaços maiores, desde que sejam suficientemente
densos, são mantidos juntos por sua própria gravidade e, portanto, não se expandem. Exemplos de tal
sistemas gravitacionalmente ligados são sistemas planetários (como o sistema solar em que vivemos),
galáxias (como a galáxia em que vivemos) e aglomerados de galáxias (como o Grupo Local em que
vivemos). É apenas em escalas maiores do que 100 Mpc que a expansão do universo pode ser tratada
como o ideal, expansão homogênea e isotrópica descrita pelo fator de escala única a(t).
4 Distância Própria
Considere uma galáxia distante de nós suficientemente distante para que possamos ignorar o per-
turbações de pequena escala do espaço-tempoe adotar a métrica de Robertson-Walker.
Uma pergunta que podemos fazer é: “Exatamente a que distância está essa galáxia?” Em um
universo em expansão, a distância entre dois objetos está aumentando com o tempo. Portanto, se
quisermos atribuir uma distância espacial d entre dois objetos, devemos especificar o tempo t no qual
a distância é a correta. Suponha que você esteja na origem, e que a galáxia que você está observando
está em uma coordenada comovente posição (r, θ, ϕ). A distância adequada dp (t) entre dois pontos
é igual ao comprimento da geodésica espacial entre eles quando o fator de escala é fixado no valor
a(t). A distância adequada entre o observador e galáxia podem ser encontrados usando a métrica de
Robertson-Walker em um tempo fixo t:
ds2 = a(t)2[dr2 + Sk(r)
2dΩ2]
Ao longo da geodésica espacial entre o observador e a galáxia, o ângulo (θ, ϕ) é constante e, portanto,
ds = a(t)dr
A distância adequada dp é encontrada integrando sobre a coordenada radial comovente r:
dp(t) = a(t)
∫ r
0
dr = a(t)r
Alternativamente, se você deseja usar as coordenadas espaciais (x, θ, ϕ) em vez de (r, θ, ϕ), onde x =
Sk(r), você pode inverter as relações da equação (II) para encontrar
dp(t) = a(t)r(x)
 a(t)R0sen
−1(x/R0) (K = +1)
a(t)x (K = 0)
a(t)R0senh
−1(x/R0) (K = −1)
Como a distância apropriada tem a forma dp(t) = a(t)r, com a coordenada comovente r constante com
o tempo, a taxa de variação para a distância apropriada entre nós e uma galáxia distante é
ḋp = ȧr =
ȧ
a
dp
Assim, no tempo atual (t = t0), existe uma relação linear entre a distância de uma galáxia e sua
velocidade de recessão:
υp(t0) = H0dp(t0)
Onde
υp(t0) ≡ ḋp(t0)
e
H0 = (
ȧ
a
)
5
Se a distância entre os pontos for proporcional a a(t), haverá uma relação linear entre a velocidade
relativa de dois pontos e a distância entre eles. Agora, no entanto, estamos interpretando a mudança
na distância entre galáxias como sendo associadas com a expansão do espaço. Como a distância entre
galáxias aumenta, o raio de curvatura do universo, R(t) = a(t)R0, aumenta na mesma proporção.
Alguns livros de cosmologia conterão uma declaração como “À medida que o espaço se expande,
afasta as galáxias umas das outras.” Declarações desse tipo são enganosas porque fazem as galáxias
parecerem inteiramente passivas. Por outro lado, uma afirmação como “À medida que as galáxias
se afastam, elas arrastam o espaço junto com elas” seria igualmente enganosa porque faz o espaço
parecer inteiramente passivo. Enquanto a teoria da relatividade geral aponta que o espaço-tempo e a
massa-energia estão intimamente vinculados. Sim, a curvatura do espaço-tempo diz à massa-energia
como se mover, mas então é a massa-energia que diz ao espaço-tempo como se curvar. A relação linear
velocidade-distância dada na equação (31) implica que pontos separados por uma distância adequada
maior que um valor cŕıtico
dH(t0) ≡ c/H0
Geralmente chamada de distância de Hubble, dado por
υp = ḋp > c
Usando o valor determinado observacionalmente de H0 = 70 ± 7 km s−1 Mpc−1, o valor atual da
distância de Hubble em nosso universo é
dH(t0) = 4300± 400Mpc
Quando observamos uma galáxia distante, conhecemos muito bem sua posição angular, mas não a sua
distância. Ou seja, podemos apontar em sua direção, mas não sabemos sua distância adequada atual
dp(t0). Podemos, no entanto, medir o redshift z da luz que recebemos da galáxia. Embora o redshift
não nos diga a distância da galáxia, ele nos diz qual era o fator de escala a no momento em que a luz
daquela galáxia foi emitida.A Luz que foi emitida pela galáxia em um momento te é observado por
nós em um tempo t0. Durante sua viagem da galáxia distante até nós, a luz viajou ao longo de uma
geodésica nula, com ds = 0. A geodésica nula tem θ eϕ constante. Assim, ao longo da geodésica nula
da luz,
c2dt2 = a(t)2dr2
Rearranjando,
c
dt
a(t)
= dr (III)
Na equação (III), o lado esquerdo é uma função apenas de t, e o lado direito é independente de
t. Suponha que a galáxia distante emite luz com um comprimento de onda λ e, medido por um
observador na galáxia emissora. Fixe sua atenção em uma crista de onda única da luz emitida. A
crista da onda é emitida em um tempo te e observado em um instante t0, tal que
c
∫ t0
te
dt
a(t)
=
∫ r
0
dr = r (IV )
A próxima crista de onda de luz é emitida em um tempo te + λe/c, e é observada em um tempo
t0 + λ0/c, onde, em geral, λ0 = λe. Para a crista da segunda onda,
c
∫ t0+λ0/c
te+λe/c
dt
a(t)
=
∫ r
0
dr = r (V )
Comparando (IV) e (V), ∫ t0
te
dt
a(t)
=
∫ t0+λ0/c
te+λe/c
dt
a(t)
(V I)
Ou seja, a integral de dt/a(t) entre o tempo de emissão e o tempo de observação é a mesma para cada
crista de onda na luz emitida. Se subtrairmos a integral∫ t0
te+λe/c
dt
a(t)
6
de cada lado da equação (VI), encontramos a relação∫ te+λe/c
te
dt
a(t)
=
∫ t0+λ0/c
t0
dt
a(t)
(V II)
Ou seja, a integral de dt/a(t) entre a emissão de sucessivas cristas de onda é igual à integral de dt/a(t)
entre a observação de sucessivas cristas de onda. Essa relação se torna ainda mais simples quando
percebemos que durante o tempo entre a emissão ou observação de duas cristas de onda, o universo
não tem tempo de expandir em uma quantidade significativa. A escala de tempo para a expansão
do universo é o tempo de Hubble, H−10 ≃ 14Gir. O tempo entre as cristas das ondas, para luz, é
λ/c ≃ 2.10−15s ≃ 10−32H−10 . Assim, a(t) é efetivamente constante no integrais da equação (VII).
Assim, podemos escrever
1
a(te)
∫ te+λe/c
te
dt =
1
a(t0)
∫ t0+λ0/c
t0
dt
ou
λe
a(te)
=
λ0
a(t0)
Usando a definição de redshift, z = (λ0 − λe)/λe, descobrimos que o redshift da luz de um objeto
distante está relacionado ao fator de expansão no momento em que foi emitido através da equação
1 + z =
a(t0)
a(te)
=
1
a(te)
Aqui, usamos a convenção usual de que a(t0) = 1.
Assim, se observarmos uma galáxia com um redshift z = 2, estamos observando-a como ela foi
quando o universo tinha um fator de escala a(te) = 1/3. O redshift que observamos para um objeto
distante depende apenas dos fatores de escala relativos no momento da emissão e o tempo de ob-
servação. Não depende de como a transição entre a(te) e a(t0) foi feito. Não importa se a expansão foi
gradual ou abrupta; isto não importa se a transição foi monotônica ou oscilatória. Tudo o que importa
é os fatores de escala no momento da emissão e no momento da observação.
Referências
[Ryd06] Barbara Ryden. Introduction to cosmology. 2006.
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	Princípio de Equivalencia
	Descrevendo a curvatura
	A métrica de Robertson-Walker
	Distância Própria