Resumo Capítulo 7 (Measuring Cosmological Parameters) - Introduction to Cosmology (Barbara Ryden 1st ed)

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Resumo do caṕıtulo 7 do livro Barbara Ryden[1]
Raphael Gomes Sousa
13 de abril de 2022
1 Medindo parâmetros cosmológicos
Os cosmólogos gostariam de saber o fator de escala a(t) para o universo. Para modelos de universos
cujos conteúdos são conhecidos com precisão, o fator de escala pode ser calculado a partir da equação
de Friedmann. Encontrando a(t) para o universo real, no entanto, é muito mais dif́ıcil. O fator de
escala não é diretamente observável; só pode ser deduzido indiretamente das observações imperfeitas e
incompletas que fazemos do universo ao nosso redor. Se conhecêssemos a densidade de energia ε para
cada componente do universo, poderiamos usar a equação de Friedmann para encontrar o fator de
escala a(t). O argumento funciona na outra direção também; se pudéssemos determinar a(t) a partir
de observações, podeŕıamos usar esse conhecimento para encontrar ε para cada componente. Vamos
ver então, quais restrições podemos colocar no fator de escala fazendo observações de distâncias objetos
astronômicos.
2 Uma busca por 2 números
Como é dif́ıcil determinar a forma funcional exata de a(t), é útil, em vez disso, para fazer uma expansão
em série de Taylor para a(t) em torno do momento presente. A série de Taylor completa é
a(t) = a(t0) +
da
dt
|t=t0(t− t0) +
1
2
d2a
dt2
|t=t0(t− t0)2 + ...
Para reproduzir exatamente uma função arbitrária a(t) para todos os valores de t, é necessário um
número infinito de termos na expansão. No entanto, a utilidade de um Taylor expansão em série reside
no fato de que se a não flutuar muito com t, usar apenas os primeiros termos da expansão dá uma boa
aproximação nas imediações de t0. O fator de escala a(t) é um bom candidato para uma expansão
de Taylor. Não há evidências de que o universo real tenha um fator de escala descontroladamente
oscilante. Mantendo os três primeiros termos da expansão de Taylor, o fator de escala no passado
recente e o futuro próximo podem ser aproximados como
a(t) ≃ a(t0) +
da
dt
|t=t0(t− t0) +
1
2
d2a
dt2
|t=t0(t− t0)2
Dividindo por a(t0),
a(t)
a(t0)
≃ 1 + ȧ
a
|t=t0(t− t0) +
1
2
ä
a
|t=t0(t− t0)2
Usando a normalização de a(t0) = 1, temos portanto
a(t) ≃ 1 +H0(t− t0) +
1
2
q0H
2
0 (t− t0)2
Onde
H0 ≡
ȧ
a
|t=t0 , q0 ≡ −(
äa
ȧ2
)|t=t0 = −(
ä
aH2
)|t=t0
Observe a escolha do sinal na definição de q0. Um valor positivo de q0 corresponde a ä < 0, significando
que a expansão do universo está desacelerando (ou seja, a velocidade relativa de quaisquer dois pontos
está diminuindo). Um valor negativo de q0 corresponde a ä > 0, significando que a velocidade relativa
1
de quaisquer dois pontos está aumentando com o tempo. A escolha do sinal para q0, e o fato de ser
chamado de parâmetro de desaceleração, é porque foi definido pela primeira vez em meados da década
de 1950, quando as informações limitadas dispońıveis favoreceu um universo dominado por matéria
com ä < 0. Se o universo contém uma constante cosmológica suficientemente grande, no entanto, o
parâmetro de desaceleração q0 pode ter qualquer um dos sinais. Se o nosso universo modelo contém
várias componentes, cada um com um valor diferente da equação de estado parâmetro w, a equação
de aceleração pode ser escrita
ä
a
= −4πG
3c2
∑
w
εw(1 + 3w).
Divida cada lado da equação de aceleração pelo quadrado do parâmetro de Hubble H(t) e mude o
sinal:
− ä
aH2
=
1
2
[
8πG
3c2H2
]
∑
w
εw(1 + 3w).
Mas [ 8πG3c2H2 ] é o inverso da densidade critica εc, portanto ficamos com
− ä
aH2
=
1
2
∑
w
εw
εc
(1 + 3w).
− ä
aH2
=
1
2
∑
w
Ωw(1 + 3w)
Mas como dito anteriormente, para t = t0
q0 ≡ −(
ä
aH2
)|t=t0
q0 =
1
2
∑
w
Ωw(1 + 3w)
Para um universo contendo radiação, matéria e uma constante cosmológica
q0 = Ωr,0 +
1
2
Ωm,0 − ΩΛ,0.
Em prinćıpio, determinar H0 deve ser fácil. Para pequenos redshifts, a relação entre a distância de
uma galáxia d e seu redshift z é linear:
cz = H0d
A distância de uma galáxia não é apenas dif́ıcil de medir, mas também, em um universo em expansão,
um pouco dif́ıcil de definir. A distância própria dp(t) entre dois pontos pode ser definido como o
comprimento da geodésica espacial entre os pontos quando o fator de escala é fixado no valor a(t).
A distância própria é portanto a definição mais direta da distância espacial entre dois pontos em um
universo em expansão. Além disso, há uma relação útil entre fator de escala e distância própria. Se
observarmos, no tempo t0, a luz emitida por uma galáxia no tempo te, a distância atual adequada
para essa galáxia é:
dp(t0) = c
∫ t0
te
dt
a(t)
(I)
Para universos modelo, conhecemos a forma funcional exata de a(t) e, portanto, podemos calcular
exatamente dp(t0) para uma galáxia de qualquer redshift. Se tivermos apenas conhecimento parcial
do fator de escala, na forma da expansão de Taylor podemos usar a expansão
1
a(t)
≃ 1−H0(t− t0) + (
1 + q0
2
)H20 (t− t0)2
Aplicando a expansão acima em (I), temos,
d0(t0) ≃ c(t0 − te) +
cH0
2
(t0 − te)2. (II)
2
O primeiro termo na equação acima, c(t0 − te), é o que faz a distância própria estar em um universo
estático - o tempo de retrospectiva vezes a velocidade da luz. O segundo termo é uma correção
devido à expansão do universo durante o tempo em que a luz estava viajando. A equação (15) seria
extremamente útil se os fótons de galáxias distantes carregava um selo nos dizendo o tempo de lookback,
t0 − te. Eles não fazem isso; em vez disso, eles carregam um selo informando o fator de escala a(te) no
momento em que a luz foi emitida. O redshift observado z de uma galáxia, lembre-se, é
z =
1
a(te)
− 1
Usando a expansão, podemos escrever uma relação aproximada entre redshift e tempo de retrospectiva:
z ≡ H0(t0 − te) + (
1 + q0
2
)H20 (t0 − te)2
Invertendo a equação acima, para dar o tempo de lookback em função do redshift, temos
t0 − te ≡ H−10 [z − (
1 + q0
2
)z2].
Substituindo a equação acima em (II), nos dá uma relação aproximada para a distância atual adequada
para uma galáxia com redshift z:
dp(t0) ≡
c
H0
[z − (1 + q0
2
)z2] +
cH0
2
z2
H20
=
c
H0
z[1− 1 + q0
2
z].
3 Distância de luminosidade
Infelizmente, a distância atual até uma galáxia, dp(t0), não é uma propriedade mensurável. Se você
tentasse medir a distância de uma galáxia com uma fita métrica, por exemplo, a distância aumentaria
continuamente à medida que você estendesse a fita. Para medir a distância adequada no tempo t0, você
precisaria de uma fita métrica que poderia ser estendido com velocidade infinita; alternativamente, você
precisaria parar a expansão do universo em seu fator de escala atual enquanto você mediu a distância
à vontade. Nenhuma dessas alternativas é fisicamente posśıvel. Uma maneira de usar propriedades
medidas para atribuir uma distância é o método de vela padrão. Uma vela padrão é um objeto cuja
luminosidade L é conhecida. Por exemplo, se alguma classe de objeto astronômico tivesse luminosidades
que fossem as mesmas ao longo de todo o espaço-tempo, eles agiriam como excelentes velas padrão - se
sua luminosidade única L eram conhecidas. Se você souber, por algum meio ou outro, a luminosidade
de um objeto, então você pode usar seu fluxo medido f para definir uma função chamada de distância
de luminosidade:
dL ≡ (
L
4πf
)
1
2
Suponha, porém, que você esteja em um universo descrito por uma métrica Robertson-Walker:
ds2 = −c2dt2 + a(t)2[dr2 + Sk(r)2dΩ2
Com
Sk(r)
 R0sen(r/R0) K = +1r K = 0
R0senh(r/R0) K = −1
Você está na origem. No momento presente, t = t0, você vê a luz que foi emitida por uma vela
padrão na localização da coordenada móvel (r, θ, ϕ) em um momento te. Os fótons emitidos no tempo
t e estão, no momento presente, espalhados sobre uma esfera de raio adequado dp(t0) = r e área de
superf́ıcie adequada Ap(t0). Se espaço é plana (k = 0), então a área própria da esferaé dada pela
relação euclidiana Ap(t0) = 4πdp(t0)
2 = 4πr2. Mais geralmente, no entanto,
Ap(t0) = 4πSk(r)
2.
Além desses efeitos geométricos, que se aplicariam mesmo em um ambiente universo estático, a ex-
pansão do universo causa o fluxo de luz observado de uma vela padrão de redshift z seja diminúıda
3
por um fator de (1 + z)−2. Primeiro, a expansão do universo faz com que a energia de cada fóton da
vela padrão diminuir. Se um fóton começa com uma energia Ee = hc/λe quando a escala fator é a(te),
no momento em que o observamos, quando o fator de escala é a(t0) = 1, o comprimento de onda terá
crescido para
λ0 =
1
a(te)
λe = (1 + z)λe
Em segundo lugar, graças à expansão do universo, o tempo entre as detecções de fótons será maior.
Se dois fótons são emitidos na mesma direção separados por um intervalo de tempo δte, a distância
adequada entre eles será inicialmente c(δte); no momento em que detectarmos os fótons no tempo t0,
a distância adequada entre eles será esticada para c(δte)(1 + z), e vamos detectá-los separados por
um intervalo de tempo δt0 = δte(1 + z). O resultado ĺıquido é que, em um universo em expansão,
espacialmente curvo, a relação entre o fluxo observado f e a luminosidade L de uma fonte de luz
distante é
f =
L
4πSk(r)2(1 + z)2
E a distância de luminosidade é
dL = Sk(r)(1 + z)
As evidências dispońıveis indicam que nosso universo é quase plano, com um raio de curvatura R0
maior que a distância do horizonte atual dhor(t0). Objetos com redshift finito estão em distâncias
apropriadas menores que a distância do horizonte e, portanto, menor que o raio de curvatura. Assim,
é seguro fazer a aproximação r << R0, implicando Sk(r) ≃ r. Com nossa suposição de que o espaço
está muito próximo de ser plano, a relação entre a distância de luminosidade e a distância própria
torna-se muito simples:
dL = r(1 + z) = dp(t0)(1 + z), [k = 0].
Em um universo quase plano, a distância de luminosidade pode ser aproximada como
dL ≃
c
H0
z[1− 1 + q0
2
z](1 + z) ≃ c
H0
z[1 +
1− q0
2
z].
Note que então o limite z −→ 0
dp(t0) ≃ dL ≃
c
H0
z
Em um universo descrito pela métrica de Robertson-Walker, a distância de luminosidade é uma boa
aproximação para a distância atual adequada para objetos com pequens redshifts.
4 Distância do diâmetro angular
A distância de luminosidade dL não é a única medida de distância que pode ser calculada usando
as propriedades observáveis de objetos cosmológicos. Suponha que em vez de uma vela padrão, você
observou uma régua padrão. Uma régua padrão é um objeto cujo comprimento próprio l é conhecido.
Na maioria dos casos, é conveniente escolher como referência um objeto que está firmemente ligado, por
gravidade ou fita adesiva ou alguma outra influência e, portanto, não está se expandindo junto com o
universo como um inteiro. Suponha que uma régua de comprimento próprio constante esteja alinhada
perpendicularmente a sua linha de visão. Meça uma distância angular δθ entre as extremidades da
régua e um redshift z para a luz que a régua emite. Se δθ << 1, e se você conhece o comprimento l da
medida, podemos calcular uma distância para o critério usando a fórmula de ângulo pequeno
dA =
l
δθ
Esta função de l e δθ é chamada de distância diâmetro-angular. A distância diâmetro-angular é igual
à distância adequada para o padrão se o universo é estático e euclidiano. Escolheendo seu sistema de
coordenadas móveis para que você esteja na origem. A régua é uma distância coordenada comóvel r.
Em um momento te, a régua emitia a luz que você observa no tempo t0. As coordenadas comóveis
das duas extremidades da medida, no momento em que a luz foi emitida, eram (r, θ1, ϕ) e (r, θ2, ϕ).
Enquanto a luz do padrão se move em direção à origem, viaja ao longo de geodésicas com θ = constante
4
e ϕ = constante. Assim, o tamanho angular que você mede para o será δθ = θ2 − θ1. A distância
ds entre as duas extremidades da régua, medida no momento te em que a luz foi emitida, pode ser
encontrada a partir da métrica de Robert-Walker:
ds = a(te)Sk(r)δθ
No entanto, uma régua padrão que tem comprimento l conhecido, podemos colocar ds = l e encontrar
l = a(te)Sk(r)δθ =
Sk(r)δθ
1 + z
Com isso, a distância diâmetro-angular dA para uma régua padrão é
dA =
l
δθ
=
Sk(r)
1 + z
Comparando da com dL, temos portanto
dA =
dL
(1 + z)2
Se você encontrar um objeto que é vela padrão e régua padrão ao mesmo tempo, podemos relacio-
nar tanto distância de luminosidade como a distância própria a distância diâmetro-angular, para um
universo espacialmente plano.
dA(1 + z) = dp(t0) =
dL
1 + z
[k = 0]
Quando z << 1, o valor aproximado de dA é dado pela expansão
dA ≃
c
H0
z(1− 3 + q0
2
z)
Para o limite onde z −→ 0, dA ≃ dL ≃ dp(t0) ≃ ( cH0 z). Por outro lado, encontramos algo muito
diferente no limite onde z −→ ∞. Em modelos com um horizonte finito, dp −→ dhor(t0) quando
z −→ ∞. A distância de luminosidade para objetos com altos redshifts, neste caso onde z −→ ∞, com
dL(z −→ ∞) ≃ zdhor(t0).
Por outro lado, a distândia diâmetro-angular para objetos com altos redshifts se aproxima de zero,
com z −→ ∞,
dA(z −→ ∞) ≃
dhor(t0)
z
Referências
[1] Ryden, B. Introduction to cosmology.
5
	Medindo parâmetros cosmológicos
	Uma busca por 2 números
	Distância de luminosidade
	Distância do diâmetro angular