Introdução à Teoria da Relatividade - Física IV

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DESCRIÇÃO
Conceitos gerais sobre a teoria da relatividade especial e algumas de suas aplicações.
PROPÓSITO
Apresentar as definições, os postulados e as ideias gerais que envolvem a teoria da relatividade restrita.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer os postulados de Einstein e suas implicações nos conceitos de simultaneidade, tempo e espaço
MÓDULO 2
Identificar sistemas em movimento relativo e as implicações relativísticas oriundas desse movimento
MÓDULO 3
Calcular grandezas importantes como massa, energia, trabalho e momento em suas formas relativísticas
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL
MÓDULO 1
 Reconhecer os postulados de Einstein e suas implicações nos conceitos de simultaneidade, tempo e espaço
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE RESTRITA –
POSTULADOS E CONCEITOS DE RELATIVIDADE
ESPECIAL
INTRODUÇÃO
Em 1905, um jovem físico de 26 anos chamado Albert Einstein mostrou como medidas de tempo e espaço são afetadas pelo
movimento entre o observador e aquilo que está sendo observado. Dizer que a teoria da relatividade de Einstein
revolucionou a Ciência não é um exagero.
 
Imagem: spatuletail/Shutterstock.com
 Físico Albert Einstein
A relatividade conecta espaço e tempo, matéria e energia, eletricidade e magnetismo – ligações que são cruciais para o
nosso entendimento do universo físico.
Da relatividade, deriva uma série de previsões notáveis, todas comprovadas experimentalmente. Com toda a sua
profundidade, muitas conclusões da relatividade podem ser alcançadas com a mais simples matemática. Essa é a beleza da
teoria.
RELATIVIDADE RESTRITA
Quando aprendemos sobre as medidas de comprimento, intervalo de tempo e massa na Física Básica, nenhuma
consideração restrita é feita sobre como se medir.
Se queremos medir o comprimento de um avião quando estamos a bordo, basta utilizar uma fita métrica e estendê-la do
nariz à cauda do avião e olhar os números na fita. Mas e se o avião estiver em voo e nós no solo?
 RESPOSTA
Não é difícil utilizarmos conhecimentos trigonométricos, ângulos e medidas em movimento para realizar tal medição. Porém,
para a nossa surpresa, essa medida sempre será menor do que a encontrada por alguém que o mediu por dentro, no seu
referencial, como os físicos costumam dizer.
Para entender o motivo dessa diferença, precisamos analisar o processo de medida de coisas em movimento.
SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Primeiramente, vamos esclarecer o que se entende por movimento. Quando dizemos que algo está em movimento,
queremos dizer que sua posição relativa a algo está mudando com o tempo.
 EXEMPLO
Um passageiro se move em relação a um avião, o avião se move em relação à Terra, a Terra se move em relação ao Sol, o
Sol se move em relação à galáxia e assim por diante.
Em todos os casos, um sistema de referência foi parte da descrição do movimento. Dizer que alguma coisa está em
movimento implica num específico sistema de referência.
Referencial inercial é um sistema de referência em que corpos livres não têm o seu estado de movimento alterado, a não
ser que haja sobre eles uma força externa.
De acordo com a Primeira Lei de Newton, uma partícula em repouso (parada) permanecerá em repouso; e uma
partícula em movimento com velocidade constante permanecerá em movimento, até que uma força externa atue sobre
ela. Portanto, essa lei diz que uma partícula isolada está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
Quando estamos enunciando a Lei da Inércia, ou seja, a Primeira Lei de Newton, temos que indicar ao que ou a quem
está sendo referido o movimento do corpo livre em movimento.
Temos a possibilidade de admitir que o movimento do corpo é relativo a um observador (ele próprio), a outra partícula ou a
um sistema livre.
Para o sistema livre, o móvel não sofre interação com o restante do universo. Esse observador é um observador
inercial, e o sistema de referência que ele utiliza recebe o nome de sistema inercial de referência. Todos os referenciais
inerciais são igualmente válidos.
Suponha que observemos um corpo mudando sua posição em relação a nós com velocidade constante. Ele está se
movendo ou nós é que estamos? Imagine que estejamos numa sala fechada na qual as leis de Newton são válidas: Como
poderíamos saber se o laboratório está se movendo ou se está em repouso?
 ATENÇÃO
Essas questões são sem sentido, pois todos os movimentos de velocidade constante são relativos. Não existe um referencial
universal que possa ser usado para todos os casos, não existe “movimento absoluto”.
 SAIBA MAIS
A teoria da relatividade trata das consequências da falta de um referencial universal. A relatividade restrita, publicada por
Einstein em 1905, trata de problemas que envolvem sistemas de referências inerciais. A relatividade geral, publicada uma
década depois também por Einstein, trata de problemas que envolvem sistemas de referência acelerados em relação a
outros sistemas de referência. Um observador num laboratório isolado pode detectar acelerações como qualquer um que já
tenha experimentado um elevador ou um carrossel.
POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Dois postulados fundamentam a relatividade restrita. O primeiro, o princípio da relatividade, e o segundo, baseado no
resultado de muitos experimentos:
As leis da Física são as mesmas para todos os referenciais inerciais. Esse postulado deriva da ausência de referenciais
universais.
A velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor em todos os sistemas de referência (Inercial ou não inercial) .
Esta velocidade é c = 2,998 x 108 m/s com quatro algarismos significativos.
Para percebermos quão notáveis são esses postulados, vamos realizar um experimento imaginário.
Suponha que eu ligue um holofote no mesmo instante em que você decola num foguete a 2 x 108 m/s. Ambos mediremos a
velocidade da luz proveniente do holofote com o mesmo tipo de instrumento.
 RESPOSTA
Do solo, eu vou encontrar a velocidade de 3 x 108 m/s como de costume. O senso comum nos diz que você deveria
encontrar uma velocidade de (3 - 2) x 108 m/s, ou seja, 1 x 108 m/s, para a mesma onda de luz. Mas o que os postulados nos
dizem é que você deve encontrar os mesmos 3 x 108 m/s, mesmo que para mim você se mova paralelamente às ondas
luminosas com 2 x 108 m/s.
Só há um jeito desse resultado ser possível sem violar o princípio da relatividade. As medidas de tempo e espaço não devem
ser absolutas, mas dependentes do movimento relativo entre o observador e o que está sendo observado.
Se eu fosse medir o tique-taque de um relógio e o comprimento de uma régua de medida, perceberíamos que o relógio é
mais lento do que quando está em repouso no solo, e que a régua de medida é menor na direção do movimento do foguete.
RELATIVIDADE GALILEANA
Entender o movimento dos corpos é uma busca que já aparece antes de Cristo. O homem sempre procurou entender melhor
o mundo que o cerca, a natureza. À medida que evoluía o pensamento humano, evoluíam também a busca e as ferramentas
para tal.
 VOCÊ SABIA
No que diz respeito à descrição do movimento dos corpos em relação a outros, em movimentos uniformes ou acelerados, a
busca teve seu início com o filósofo grego Zenão, de Eléia (500-451 a.C.), estendendo-se até os trabalhos de Albert Einstein,
em 1905, com a teoria da relatividade restrita.
Zenão considerava que, se dois bastões (A e B) se movessem com velocidades iguais em intensidade, porém em sentidos
opostos em relação a um terceiro bastão C, mantido fixo, um observador em A (ou B) mediria a velocidade do bastão em B
(ou A) como duas vezes maior do que a medida por C. Zenão concluiu que esse movimento era impossível, passando a
chamá-lo de paradoxo dos bastões em movimento.
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 1. Um observador em A perceberá que o bastão C se afasta com uma rapidez v e o bastão B com uma rapidez 2v.
O grego Aristóteles, nascidoprovavelmente em 384 a.C., foi outro filósofo a procurar descrever o movimento dos corpos.
Suas ideias permaneceram aceitas por mais de 20 séculos.
Para Aristóteles, a matéria se compunha basicamente de quatro elementos terrestres:
 
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FOGO
 
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AR
 
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ÁGUA
 
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TERRA
Esses elementos tinham posições determinadas no Universo, chamadas lugares naturais. O fogo, por exemplo, tinha seu
lugar natural acima do lugar natural do ar, que estava acima do lugar natural da água, por sua vez, acima do lugar natural da
terra.
Aristóteles formulou também várias outras teorias sobre ciências naturais, que foram aceitas até a Renascença. Dentre elas,
podemos destacar o modelo geocêntrico (o Planeta Terra como centro do Universo).
As ideias de Aristóteles só vieram a ser contestadas mais veementemente nos séculos XVI e XVII, principalmente no que diz
respeito à ideia do geocentrismo. Até os séculos XVI e XVII, a dificuldade em entender o movimento dos corpos permaneceu;
somente com Giordano Bruno (1548-1600) e Galileu Galilei (1564-1642) é que alguma luz no sentido de dar uma resposta ao
paradoxo dos corpos em movimentos relativos (Zenão) surgiu, utilizando relações matemáticas e não apenas respostas
filosóficas como as de Aristóteles.
Primeiro grande gênio da Ciência moderna, Galileu Galilei foi o primeiro homem a observar o céu com um telescópio.
Percebeu que as ideias do sistema heliocêntrico proposto por Copérnico se mostravam muito evidentes, o que, aliás, custou-
lhe muitos contratempos.
 
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 Galileu Galilei, Físico e Astrônomo
Além da discussão do movimento planetário, Galileu contribuiu muito para o desenvolvimento da mecânica, estabelecendo
as leis da queda livre de um corpo e introduzindo o método experimental em Física. A relatividade de Galileu pode ser
aplicada em trajetórias parabólicas de projéteis.
 EXEMPLO
Um observador estacionário em relação a uma plataforma que se movimenta em relação ao solo com velocidade constante
em um movimento retilíneo uniforme atira uma pedra verticalmente para cima, conforme a Figura 2.
A trajetória percebida por esse observador é uma linha reta e vertical. Já um segundo observador, no solo, perceberá que a
trajetória não é linear e sim parabólica. Essa constatação é o resultado da composição do movimento da plataforma com a
da pedra.
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 2. Um observador que se encontra em movimento sobre uma plataforma verá uma trajetória vertical para o projétil.
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 3. Um observador que se encontra em um referencial no solo verá uma trajetória parabólica para o projétil.
Com isso, Galileu conseguiu resolver o paradoxo de Zenão, mostrando que a trajetória e velocidades são dependentes
do referencial do qual se observa o movimento.
Se quisermos mensurar quantitativamente o movimento dos corpos, é necessário um referencial, que nada mais é do que um
corpo ao qual vamos referenciar o movimento, bem como um conjunto de eixos coordenados, como, por exemplo, o canto
entre duas paredes e o teto da sala de aula, em que podemos considerar três eixos imaginários que se cruzam
ortogonalmente.
É preciso também um instrumento que seja capaz de medir o tempo. A relatividade galileana, termo utilizado por Einstein,
trata da descrição de movimentos em relação a um referencial inercial, ou seja, um referencial em repouso, ou em
movimento retilíneo e uniforme (não acelerado) em relação a outro referencial.
SIMULTANEIDADE RELATIVÍSTICA
O conceito de simultaneidade para Galileu depende apenas da constatação de que os referenciais analisados são
inerciais. Ou seja, para ele, observadores em quaisquer referenciais inerciais poderão sempre contar com eventos
simultâneos, pois o tempo é absoluto.

Na relatividade de Einstein, esse conceito é diferente. Eventos simultâneos para um observador em dado referencial
não necessariamente são simultâneos para outro observador em outro referencial. A simultaneidade é relativa.
Imaginemos um trem se movendo com velocidade V relativística (o trem de Einstein). Nesse trem, encontra-se um
observador posicionado exatamente no centro, no referencial S’. Na estação, fora do trem, no solo, encontra-se outro
observador, no referencial que chamaremos de S.
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 4. Trem de Einstein.
Suponha que esses observadores se cruzem exatamente quando dois raios ocorrem (ver Figura 4).
Os dois raios atingem a posição anterior e posterior do trem e, do ponto de vista do observador S, o evento foi simultâneo,
acontecendo ao mesmo tempo. Porém, para o observador que se encontra dentro do trem, no referencial S’, a frente de onda
do raio que atingiu a parte posterior do trem o alcança primeiro, pois é nesse sentido que o trem se move, e só depois a
frente de onda proveniente da parte posterior os alcança.
Isso se deve ao fato de a velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais. Em outras palavras, para o observador
em S’ o evento não foi simultâneo. O que significa que a simultaneidade também é relativa.
Mas quem está com a razão, o observador S ou o observador S’?
 RESPOSTA
Ambos estão corretos; embora pareça estranho, não existe uma única resposta para essa questão. A simultaneidade é uma
noção relativa e não absoluta.
Se a velocidade da luz fosse infinita em qualquer referencial, os dois eventos seriam simultâneos para os dois observadores.
Mas, como a rapidez da luz é igual em todas as direções, em qualquer referencial inercial, os dois eventos simultâneos em
um referencial não serão necessariamente simultâneos em outro.
DILATAÇÃO DO TEMPO
Um tempo medido por um relógio em movimento é mais lento do que o medido por um relógio em repouso.
O segundo postulado da relatividade tem consequências espantosas. Ele nos diz que a luz tem a mesma velocidade em
todos os referenciais. Isso indica que a medida do tempo não é absoluta como acreditavam Galileu e Newton. O tempo
também dependerá do referencial analisado.
Novamente, vamos considerar o trem de Einstein, um experimento famoso conhecido como experimento de pensamento.
Einstein dizia que o melhor laboratório era a mente, então ele gastava horas e horas imaginando situações físicas. Vamos
apresentar aqui uma delas.
Imagine um trem que se desloca com velocidade constante V em relação ao solo. Um observador fixo no solo estará num
referencial que chamaremos de S. Dentro do trem, um observador analisa um experimento, chamaremos este referencial de
S’. O experimento do observador em S’ consiste em um dispositivo que emite uma luz na direção vertical para cima.
Essa luz é refletida por um espelho colocado no teto do trem a uma altura D. Seja Δt’ o intervalo de tempo necessário para
que a luz se desloque até o espelho e retorne, do ponto de vista de S’. Assim, Δt’ = 2.D/c. Veja a Figura 5, que indica
esquematicamente a experiência realizada em S’.
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 5. Esquema do experimento hipotético.
Para o observador que se encontra no solo, o tempo em que ele medirá o experimento será ligeiramente maior, pois a luz
percorre uma distância AB com a mesma velocidade c; então, o tempo para a luz atingir o espelho, medido pelo
observador S, será AB/c.
O experimento todo (ida e volta da luz) terá uma duração de 2AB/c. Como a distância AB é maior do que D, e a
velocidade da luz é a mesma, então a conclusão óbvia é que Δt >Δt’. Analise a Figura 6:
 
Imagem: WOLFF, J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 6. Raio de luz visto pelo observador no referencial S.
Ao passo que o sinal luminoso sobe até o espelho, o trem se desloca a uma distância d que pode ser facilmente
determinada por d = V.Δt/2. Podemos também determinar a relação entre Δt’ e Δt pelo teorema de Pitágoras,
considerando o triângulo retângulo da Figura 7.
 
Imagem: WOLFF,J.F.S. & MORS, P.M. / UFRGS
 Figura 7. Análise das distâncias percorridas pela luz.
Temos, portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo tudo por c2, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usualmente utilizamos Δt = . Δt’, onde é denominado de fator de Lorentz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que só V < c permite, para , um valor real.
AB2 = d2 + D2
(c. )
2
= (V . )
2
+ (c. )
2
Δt
2
Δt
2
Δt'
2
(c.Δt)2 = (V .Δt)2 + (c.Δt')2
(c.Δt)2 − (V .Δt)2 = (c.Δt')2
(c2 − V 2)Δt2 = c2.Δt' 2
Δt2(1 − ) = Δt' 2V
2
c2
Δt = Δt'
√(1− )V
2
c2
 γ
γ = 1
√(1− )V
2
c2
γ
Perceba que o fator é sempre maior do que um. Isso nos leva a concluir que Δt > Δt’, como foi mencionado. Dessa
forma, quem não está no trem medirá um tempo maior do que quem está no interior. Este fenômeno é conhecido como
dilatação temporal.
O intervalo de tempo para quem mede no interior do trem é chamado de tempo próprio (Δt’), e o intervalo de tempo para
quem está no referencial fora do trem é chamado de tempo dilatado (Δt).
O tempo é alterado pelo referencial em que nos encontramos. Se um trem pudesse ir mudando sua velocidade até atingir a
velocidade da luz, o que veríamos como resultado é que o tempo para aqueles que viajam no trem ficaria cada vez mais
difícil de passar.
Ou seja, os segundos se alongariam, o próximo segundo seria cada vez mais demorado para chegar, até que finalmente o
tempo pararia quando se atingisse a velocidade da luz. Contudo, essa condição, apesar de surpreendente, é impossível de
ser atingida por corpos que possuem massa. Veremos mais adiante que apenas corpos sem massa podem viajar na
velocidade da luz.
CONTRAÇÃO DO ESPAÇO
Medidas de comprimento, bem como os intervalos de tempo, são afetadas pelo movimento relativo. O comprimento L de
um objeto em movimento em relação a um observador sempre se mostra menor para este que o comprimento L 0 quando
ele está em repouso. Essa contração ocorre apenas da direção do movimento relativo. O comprimento L0 de um objeto no
referencial em repouso é chamado de comprimento próprio.
A contração do comprimento pode ser deduzida de inúmeras formas. Talvez a mais comum seja baseada na dilatação
temporal e no princípio da relatividade.
Vamos considerar o que acontece com partículas instáveis chamadas múons, que são criadas em altas altitudes pelos raios
cósmicos rápidos oriundos do espaço quando colidem com núcleos atômicos na atmosfera terrestre.
 VOCÊ SABIA
Um múon tem massa igual a 207 vezes a massa do elétron e pode ter carga +e ou -e; ele decai num elétron ou num pósitron
depois de um tempo de vida médio de 2,2 μs (2,2 x 10-6s).
Múons de raios cósmicos têm velocidade aproximada de 2,994 x 108 m/s (0,998c) e alcançam o nível do mar em profusão –
um deles atravessa um centímetro quadrado da superfície da Terra em uma média de mais ou menos um minuto. Mas, em
to= 2,2 μs, seu tempo de vida médio, os múons podem viajar antes de decair uma distância de apenas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os múons são criados a uma altitude de 6 km ou mais. Para resolver esse paradoxo, devemos perceber que o tempo de vida
médio de t0 = 2,2 μs é o que um observador em repouso em relação ao múon vai encontrar. Devido ao múon ser
γ
v. t0  =(2,994 × 108 )(2,2 × 10−6 s)= 6,6 × 102 m = 0,66 kmms
arremessado para nós com uma velocidade considerável de 0,998c, seu tempo de vida é dilatado em nosso sistema de
referência.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O múon em movimento tem tempo de vida quase 16 vezes maior do que em repouso.
No intervalo de tempo de 34,8 μs, um múon cuja velocidade é 0,998c pode cobrir uma distância de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Paradoxo resolvido. Porém, também podemos pensar da seguinte forma. Para um observador que viaja com o múon, o
tempo de vida da partícula é 2,2 μs; portanto, ela só percorrerá 0,66 km. A única forma de ela conseguir chegar ao solo é se
a distância viajada no ponto de vista do observador no referencial em movimento for menor em virtude de seu movimento.
O princípio da relatividade nos diz a extensão do encurtamento – ela deve ser pelo mesmo fator de que o
tempo de vida do múon é estendido do ponto de vista do observador estacionário. Por isso, podemos concluir que, para uma
altitude que nós no solo medimos h0, no referencial do múon deve aparecer como altitude h:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O encurtamento da distância é um exemplo da contração geral de comprimento na direção do movimento:
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Δt = Δt'
√(1− )V
2
c2
Δt = = 34,8 × 10−6s = 34,8μs
2,2×10−6 s
√(1− )(0,998c)
2
c2
v. t0  =(2,994 × 108 )(34,8 × 10−6 s)= 1,04 × 104 m = 10,4kmms
√(1 − )V 2
c2
h = h0√(1 − )V
2
c²
L = L0√(1 − )V
2
c²
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1 - CONSIDEREMOS QUE UMA PESSOA ESTEJA VIAJANDO EM UMA NAVE COM VELOCIDADE CONSTANTE DE
80% DA VELOCIDADE DA LUZ, EM RELAÇÃO À TERRA, E VERIFICA QUE DETERMINADO PROCESSO DENTRO DA
NAVE LEVA, PARA SUA OCORRÊNCIA, UM INTERVALO DE TEMPO DE 1 MINUTO. PARA UM OBSERVADOR QUE
FICOU EM UM REFERENCIAL INERCIAL EM REPOUSO EM RELAÇÃO À TERRA, QUAL SERÁ O INTERVALO DE
TEMPO PARA A OCORRÊNCIA DO MESMO PROCESSO?
A) 55 s
B) 60 s
C) 75 s
D) 100 s
E) 190 s
2 - UM ASTRONAUTA COM ALTURA NA TERRA DE EXATAMENTE 6 FT ESTÁ PARALELO AO EIXO DE MOVIMENTO
DE UMA NAVE QUE VIAJA A 0.90 C EM RELAÇÃO À TERRA. QUAL É A ALTURA MEDIDA POR UM OBSERVADOR NA
MESMA NAVE E POR UM OBSERVADOR NA TERRA, RESPECTIVAMENTE?
A) 6 ft e 2,6 ft
B) 2,6 ft e 6 ft
C) 6 ft e 6 ft
D) 2,6 ft e 2,6 ft
E) 6 ft e 3,4 ft
GABARITO
1 - Consideremos que uma pessoa esteja viajando em uma nave com velocidade constante de 80% da velocidade da
luz, em relação à Terra, e verifica que determinado processo dentro da nave leva, para sua ocorrência, um intervalo
de tempo de 1 minuto. Para um observador que ficou em um referencial inercial em repouso em relação à Terra, qual
será o intervalo de tempo para a ocorrência do mesmo processo?
A alternativa "D " está correta.
As informações do problema são: V = 0,8.c Δt’ = 1 min = 60 s (tempo próprio, medido pelo próprio viajante).
Δt=? (Determinar o tempo medido por um observador que permaneceu em um referencial em repouso em relação à Terra.)
O fator de Lorentz vale:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2 - Um astronauta com altura na Terra de exatamente 6 ft está paralelo ao eixo de movimento de uma nave que viaja
a 0.90 c em relação à Terra. Qual é a altura medida por um observador na mesma nave e por um observador na Terra,
respectivamente?
A alternativa "B " está correta.
Para o observador que está a bordo da nave, o comprimento será o mesmo de 6 ft. Porém, para o observador na Terra,
haverá o efeito relativístico e o comprimento contrairá segundo a equação a seguir:
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MÓDULO 2
 Identificar sistemas em movimento relativo e as implicações relativísticas oriundas desse movimento
γ = 1
√(1− )V 2
c2
γ = 1
√(1− )(0,8c)
2
c2
γ = = =   = = 1,661
√(1−0,64 )c2
c2
1
√(1−0,64)
1
√ ( 0,36 )
1
0,6
Δt  =  γ.Δt’ =  1, 66.  Δt’  =>  Δt  =  1, 66. 60  → Δt  =  100s.
L = L0√1 − =(6ft)√1 − (0,90)² = 2,6ftV
2
c²
AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ E A DIFERENÇA
ENTRE O EFEITO DOPPLER CLÁSSICO E O EFEITO
DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
INTRODUÇÃO
Suponha que estejamos em um referencial inercial S e encontremos as coordenadas de um evento que ocorra num tempo
t, como sendo x, y e z. Para um observador localizado num referencial inercialdiferente, S’, que está se movendo em
relação a S com velocidade constante v, o mesmo evento ocorre num tempo t’ com coordenadas x’, y’ e z’.
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 8. Referenciais S e S’.
A fim de simplificar o exemplo, vamos assumir que a velocidade v está apenas na direção +x, conforme a Figura 8.
Como estão as medidas x, y, z e t relacionadas com x’, y’, z’ e t’? Essas coordenadas estarão dispostas de acordo com as
transformações galileanas.
TRANSFORMAÇÕES GALILEANAS
Antes da relatividade restrita, transformar medidas de um referencial inercial para outro parecia óbvio. Se os relógios em
ambos os sistemas são iniciados quando as origens de S e S’ coincidem, medidas na direção x feitas em S serão maiores
do que as feitas em S’ por uma quantia vt, que representa a distância que S’ se moveu na direção x em relação a S. Assim,
tem-se:
(1)
(2)
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na ausência de qualquer evidência em contrário na nossa experiência do dia a dia, assumimos que:
x  =  x’  +  v. t;
y  =  y’;
z  =  z’;
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O conjunto de equações de (1) a (4) é conhecido como transformações galileanas. Elas podem ser reescritas em termos
das variáveis de S’:
(5)
(6)
(7)
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para converter as componentes da velocidade medidas no referencial S nas suas equivalentes no referencial S’, de acordo
com as transformações galileanas, basta diferenciar x’, y’ e z’ em relação ao tempo:
(9)
(10)
t  =  t’.
x' = x − vt
y' = y
z' = z   
t' = t  
v'x =   = vx − v 
dx'
dt
v'y =   = vy
dy'
dt
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apesar de as transformações galileanas e as correspondentes transformações de velocidade aparentarem serem simples e
diretas, elas violam ambos os postulados da relatividade restrita.
Claramente, uma transformação nova é necessária para que os postulados possam ser respeitados. É esperado que tanto a
dilatação temporal quanto a contração do comprimento surjam naturalmente nessa nova transformação.
TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
Um palpite razoável sobre a natureza da correlação entre x e x’ é:
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que k é um fator que não depende de x e t, mas pode ser uma função de v. A escolha da equação (12) é seguida de
algumas considerações:
É linear em x e x’, tanto que um simples evento em S corresponde a um simples evento em S’, como deve ser.

É simples, e uma solução simples para o problema deve ser sempre explorada primeiro.

Tem possibilidade de ser reduzida à equação (5), que sabemos estar correta na mecânica clássica.
Como as equações da Física devem ter a mesma forma em ambos os referenciais S e S’, podemos trocar apenas o sinal de
v, já que, devido ao movimento relativo, o sentido da velocidade muda para escrevermos a equação de x em termos de x’ e
t’.
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
v'z =   = vz
dz'
dt
x' = k(x − vt)
x = k(x' + vt ')
O fator k deve ser o mesmo em ambos os referenciais, pois a única coisa diferente entre eles é o sentido da velocidade.
Assim como nas transformações galileanas, nenhuma alteração será aplicada em y, y’, z e z’, já que são perpendiculares
quanto à direção do movimento.
(14)
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As coordenadas temporais t e t’ não são iguais. Podemos ver isso substituindo o valor de x’ da equação (12) na equação
(13).
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Daí, segue que:
(16)
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As equações (12) e (14) a (16) constituem um conjunto de transformações que atendem ao primeiro postulado da
relatividade restrita. O segundo postulado da relatividade nos dá um jeito de calcular k. No instante t = 0, pela descrição dos
referenciais usados, S e S’, ambos estão na mesma posição e no mesmo instante, portanto t = t’= 0.
Suponha que nesse instante desliguemos uma lanterna e ambos os observadores nos diferentes referenciais queiram medir
a velocidade da luz. O segundo postulado nos diz que ambos devem medir a mesma velocidade. Portanto:
y' = y
z' = z
x = kx' + kvt' = k[k(x − vt)]+kvt'
x = k2(x − vt)+kvt' 
t' = kt +( )x1−k
2
kv
x = ct
(17)
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No referencial S.
E, no referencial S’:
(18)
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Substituindo x’ e t’ na equação (18), temos:
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Resolvendo x,
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Porém, da equação (17) temos que x = ct, o que implica que o termo todo entre colchetes deve ser igual a 1. Por isso:
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Dessa forma, vemos que k assume:
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x' = ct '
k(x − vt)= ckt +( )cx1−k
2
kv
x = = ct[ ]= ct[ ]ckt+vkt
k−( ) c1−k
2
kv
k+ kvc
k−( ) c1−k
2
kv
1+ vc
1−( −1)1
k2
c
v
= 1
1+ vc
1−( −1)1
k2
c
v
k = 1
√1− ( ) 2cv
A expressão acima é conhecida como fator de Lorentz. Agora, o conjunto de transformações está completo. As medidas de
um evento em S corresponderão às medidas de um evento em S’ de acordo com as seguintes transformações, conhecidas
como transformações de Lorentz:
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EFEITO DOPPLER
Suponha que haja um inseto feliz no centro de uma poça d'água circular. O inseto está sacudindo as pernas periodicamente
para produzir perturbações que viajam pela água. Se essas perturbações se originassem em um ponto, viajariam para fora
dele em todas as direções. Como cada perturbação está viajando no mesmo meio, viajam em todas as direções com a
mesma velocidade.
O padrão produzido pelo movimento do inseto seria uma série de círculos concêntricos, conforme mostrado na Figura 9;
círculos alcançariam as bordas da poça de água na mesma frequência. Um observador no ponto A (a borda esquerda da
poça) observaria as perturbações para atingir a borda na mesma frequência que seria observada por um observador no
ponto B (na borda direita da poça).
De fato, a frequência com que as perturbações atingem a borda da poça seria a mesma que a frequência com que o inseto
produz as perturbações. Se o inseto produz perturbações a uma frequência de 2 por segundo, então cada observador ia
observá-las se aproximando a uma frequência de 2 por segundo.
x' =   x−vt
√1− ( ) 2cv
y' = y
z' = z
t' =
t− vx
c2
√1− ( ) 2cv
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 9. Padrões produzidos pelo movimento de um inseto estacionário numa superfície líquida.
Agora suponha que nosso inseto está se movendo para a direita através da poça de água e produzindo perturbações na
mesma frequência de 2 perturbações por segundo. Como o inseto está se movendo para a direita, cada perturbação
consecutiva origina-se de uma posição mais próxima do observador B e mais distante do observador A, conforme a Figura
10.
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 10 -padrões produzido por um inseto em movimento numa superfície líquida
Sucessivamente, cada perturbação consecutiva tem uma distância menor a percorrer antes de chegar ao observador B e,
portanto, leva menos tempo para chegar até ele. O observador B observa que a frequência de chegada das perturbações é
maior do que a frequência em quais perturbações são produzidas.
Por outro lado, cada perturbação consecutiva tem uma distância adicional a percorrer antes de chegar ao observador A.Por
essa razão, o observador A observa uma frequência de chegada menor do que a frequência com que as perturbações são
produzidas.
O resultado do efeito do movimento do inseto (a fonte das ondas) é que o observador em direção a quem o inseto está se
movendo observa uma frequência superior a 2 perturbações/segundo; e o observador distante de onde o inseto está se
movendo observa uma frequência inferior a 2 perturbações/segundo. Esse efeito é conhecido como efeito Doppler.
 ATENÇÃO
O efeito Doppler é observado sempre que a fonte das ondas se move em relação a um observador. Pode ser descrito como o
efeito produzido por uma fonte móvel de ondas em que há um aparente deslocamento para cima na frequência para
observadores em direção aos quais a fonte está se aproximando, e uma aparente mudança para baixo na frequência para os
observadores de quem a fonte está recuando.
É importante notar que o efeito não ocorre devido a uma mudança real na frequência da fonte. Usando o exemplo acima, o
inseto ainda está produzindo perturbações a uma taxa de 2 perturbações por segundo; apenas parece ao observador de
quem o inseto está se aproximando que os distúrbios estão sendo produzidos a uma frequência maior do que 2
distúrbios/segundo (Lê-se: distúrbios POR segundo) .
O efeito só é observado porque a distância entre o observador B e o inseto está diminuindo, e a distância entre o observador
A e o inseto está aumentando.
O efeito Doppler pode ser observado para qualquer tipo de onda – água, som, luz etc.
Estamos mais familiarizados com o efeito Doppler por causa de nossas experiências com ondas de som. Talvez você se
lembre de um caso em que uma ambulância ou veículo de emergência estava viajando em sua direção na rodovia. Conforme
o carro se aproximava com a sirene tocando, o tom do som da sirene (uma medida da frequência da sirene) era alto; e então,
de repente, depois que o carro passou, o tom do som da sirene estava baixo.
Esse foi o efeito Doppler – uma mudança aparente na frequência de uma onda sonora produzida por uma fonte móvel.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Figura 11. Efeito Doppler percebido quando as sirenes de uma ambulância passam pelos observadores.
EFEITO DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Conforme abordado, percebemos a mudança da frequência do som de uma sirene de ambulância quando nos
movimentamos relativamente a ela, ou quando ela se move relativamente a nós. Para calcular essa mudança de frequência,
utilizamos a equação do efeito Doppler sonoro:
f = f0( )
1+ vc
1− vc
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Em que:
C = velocidade do som;
v = velocidade do observador (+ para movimento na direção da fonte e – para movimento se afastando da fonte);
V = velocidade da fonte (+ para movimento na direção do observador e – para movimento se afastando do observador).
Se o observador estiver estacionário, v = 0, e se a fonte for estacionária V = 0.
O efeito Doppler no som varia se a fonte ou o observador, ou ambos, estão se movendo.
Podemos analisar o efeito Doppler na luz considerando uma fonte luminosa como um relógio que bate f0 vezes por segundo
e emite uma onda luminosa a cada batida.
Vamos analisar as três situações da Figura 12:
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 12. A frequência da luz vista por um observador depende da direção e da velocidade relativa do observador em
relação à fonte.
O OBSERVADOR SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE À FONTE
OBSERVADOR SE AFASTANDO DA FONTE LUMINOSA
OBSERVADOR SE APROXIMANDO DA FONTE LUMINOSA.
O OBSERVADOR SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE À FONTE
O tempo próprio entre as batidas é t0=1/f0, então entre uma batida e a seguinte o tempo decorrido é 
 no referencial do observador. A frequência encontrada adequadamente é:
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Efeito Doppler transversal:
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t = t0 /√1 − v2 / c2
f ( transversal ) = =
1
t
√1−v2/c2
t0
f = f0√1 − v 2/c2
A frequência f observada é sempre menor do que a frequência da fonte f0.
OBSERVADOR SE AFASTANDO DA FONTE LUMINOSA
Agora o observador viaja uma distância vt se afastando da fonte entre as batidas, o que significa que a onda luminosa de
uma batida leva vt/c mais tempo para alcançar a próxima frente de onda. Então, o tempo total entre duas ondas sucessivas
será de:
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A frequência observada é:
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OBSERVADOR SE APROXIMANDO DA FONTE LUMINOSA.
Este caso é similar ao anterior. A diferença é que as ondas do tempo entre duas batidas agora se torna menor por um fator
vt/c. Nesse caso, , e o resultado será:
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
T = t + = t0 = = t0(√ )vtc
1+v/c
√1−v2/c2
(√1+v/c) (√1+v/c)
(√1+v/c)√1−v/c
1+v/c
1−v/c
f ( afastamento ) = = √ = f0√1T
1
t0
1−v∕c
1+v∕c
1−v∕c
1+v∕c
T = t − vtc
f (aproximação ) = = √ = f0√
1
T
1
t0
1+v∕c
1−v∕c
1+v∕c
1−v∕c
1- SUPONHA QUE A TRIPULAÇÃO DE UMA NAVE ESPACIAL FIQUE EM MISSÃO DURANTE SETE ANOS, MEDIDOS
NO RELÓGIO DA NAVE. QUANDO ELA REGRESSA À TERRA, VERIFICA QUE AQUI SE PASSARAM 50 ANOS. QUAL
A VELOCIDADE DA NAVE?
A) 1,222 c
B) 0,899 c
C) 0,990 c
D) 0,993 c
E) 0,992 c
2 - UMA GALÁXIA NA CONSTELAÇÃO DA URSA MAIOR ESTÁ SE AFASTANDO DA TERRA A 15.000 KM/S. SE O
COMPRIMENTO DE ONDA CARACTERÍSTICO EMITIDO PELA GALÁXIA É DE 550 NM, QUAL O COMPRIMENTO DE
ONDA CORRESPONDENTE MEDIDO POR ASTRÔNOMOS AQUI NA TERRA?
A) 548 nm
B) 578 nm
C) 599 nm
D) 539 nm
E) 555 nm
GABARITO
1- Suponha que a tripulação de uma nave espacial fique em missão durante sete anos, medidos no relógio da nave.
Quando ela regressa à Terra, verifica que aqui se passaram 50 anos. Qual a velocidade da nave?
A alternativa "C " está correta.
Neste caso, temos que o intervalo de tempo próprio (Δt’) é igual a sete anos, e o intervalo de tempo dilatado (Δt) é igual a 50
anos. Então, podemos determinar o fator de Lorentz:
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Como já determinamos o valor do fator de Lorentz, utilizamos ele para determinar com que rapidez a nave deve viajar para
que ocorra a dilatação temporal.
Δt  =   γ .  Δt’  =>  γ = =   ≅7,14Δt
Δt'
50
7
γ = 1
√(1− )V2
c2
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2 - Uma galáxia na constelação da Ursa Maior está se afastando da Terra a 15.000 km/s. Se o comprimento de onda
característico emitido pela galáxia é de 550 nm, qual o comprimento de onda correspondente medido por
astrônomos aqui na Terra?
A alternativa "B " está correta.
Note que:
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Da equação do Doppler relativístico, temos:
γ2 = 1
(1− )V
2
c2
(1 − ) =V2
c2
1
γ2
( )
2
= 1 −Vc
1
γ2
( )
2
= 1 − = 0,9964Vc
1
7,142
( )= √0,9803 = 0,9901Vc
V = 0,9901. c
= − = −0,050vc
1,5×107m/s
3,0×108m/s
λ = = = λ0√cv
c
v0
v0
v
1− vc
1+ vc
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Portanto:
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MÓDULO 3
 Calcular grandezas importantes como massa, energia, trabalho e momento em suas formas relativísticas
MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICO, TRABALHO E
ENERGIA NA RELATIVIDADE
λ = λ0√ =(550 nm)√ = 578 nm
1− vc
1+ vc
1+0,050
1−0,050
RELATIVIDADE DA MASSA
Massa em repouso é menor.
Quando uma força é aplicada a um corpo livre para se mover, ela trabalha nesse corpo e, como resultado, a sua energia
cinética aumenta. O corpo se desloca cada vez mais rápido. Como a velocidade da luz é uma velocidade limite no Universo,
a velocidade de um corpo não pode aumentar indefinidamente em proporção ao trabalho realizado sobre ele. Contudo, a
conservaçãoda energia é válida no mundo da relatividade.
 ATENÇÃO
À medida que a velocidade do corpo aumenta, sua massa deve aumentar também; o trabalho realizado continua a se
transformar em energia cinética, contudo v nunca excede c.
Para investigar o que acontece com a massa de um corpo quando sua velocidade aumenta, vamos considerar a colisão
elástica (aquela que ocorre com conservação da energia cinética) entre duas partículas A e B, vistas por observadores
nos referenciais S e S’, em movimento relativo uniforme.
As propriedades de A e B são idênticas quando medidas num referencial em repouso, ou seja, as partículas são idênticas.
Os referenciais S e S’ são orientados conforme a Figura 13, com S’ se movendo na direção +x em relação a S com
velocidade v.
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 13. Sistemas de coordenadas S e S’.
Antes da colisão, a partícula A estava em repouso no referencial S e B no referencial S’. Então, no mesmo instante, A é
arremessada na direção +y com uma velocidade VA, enquanto B foi arremessado na direção -y com velocidade VB, em que:
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VA = V
'
B
O comportamento de A visto em S é exatamente o comportamento de B visto em S’.
Quando as duas partículas colidem, A recua na direção -y com velocidade VA, enquanto B recua na direção +y com
velocidade VB’. Se as partículas estiverem separadas por uma distância Y, um observador em S constatará que a colisão se
deu na posição y=½Y, e um observador em S’ constatará que a colisão se deu em y’ = y = ½Y, conforme a Figura 14.
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 14. Colisão elástica em dois referências diferentes S e S’.
O tempo total do evento para A medido no referencial S é:
(19)
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E no referencial S’ é:
(20)
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Se o momento linear é conservado no referencial S, deve ser verdade que:
(21)
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Em que mA e mB são as massas de A e B, e VA e VB são suas velocidades medidas no referencial S. Em S, a velocidade
VB é:
T0 =
y
VA
T0 =
y
VB
mAVA = mBVB
(22)
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Em que T é o tempo total do evento requerido por B e medido no referencial S. Em S’, entretanto, a viagem de B requer
um tempo T0, lembrando que:
(23)
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Apesar de os observadores em ambos os referenciais presenciarem o mesmo evento, eles discordam em relação à duração
do tempo em que ele ocorreu. Substituindo T na equação (22), temos:
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Da equação (19), segue que:
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Na equação (21), se inserirmos VA e VB, chegamos à seguinte conclusão:
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VB =
y
T
T = T0
√1−v 2/C2
VB =
y√1− v2
c2
T0
VA =
y
T0
mAVA = mBVB
mA. = mB.
y
T0
y√1− v2
c2
T0
(24)
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Como A e B são partículas de mesma massa quando estão em repouso em relação ao mesmo observador, a diferença
encontrada entre mA e mB na equação (24) significa que a medida da massa, assim como o espaço e o tempo, também
depende da velocidade relativa entre o observador e aquilo que ele está observando.
No exemplo que utilizamos, ambas as partículas A e B estão se movendo em S. A fim de obter a equação que correlaciona a
massa m de um corpo em movimento com a massa m0 do corpo em repouso, precisamos considerar um exemplo similar no
qual Va e VB’ sejam muito pequenos quando comparados a v. Nesse caso, um observador em S veria B se aproximar de A
com uma velocidade v, fazer uma colisão de relance e continuar em S.
Assim: mA = m0 e mB = m.
(25)
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Essa é a equação da massa relativística.
 SAIBA MAIS
O que essa equação nos diz é que, quanto maior a velocidade de um corpo, maior a massa que ele vai adquirir. É claro que,
para velocidades cotidianas, o efeito do acréscimo massa é pouco expressivo. Contudo, à medida que aumentamos a
velocidade da partícula a valores que se aproximam da velocidade da luz, o efeito começa a ser mais pronunciado.
Partículas atômicas e subatômicas como prótons, mésons e elétrons atingem velocidades altas o suficiente para
perceber efeitos relativísticos.
⇒ mA = mB√1 − v
2
c2
⇒ m = m0
√1− v2
c2
 
Imagem: Marco Rogério Vieira
 Figura 15. Gráfico do comportamento relativístico da massa em dependência da velocidade.
O gráfico da Figura 15 nos mostra claramente que, quando a velocidade se aproxima de c, a massa tende ao infinito. É
importante notar que essa constatação matemática está alinhada com o termo , já que se v se aproxima de c, o
termo tende a zero e, pela equação (25), percebemos que m tende ao infinito. Dessa forma, podemos concluir que v nunca
poderá ser igual a c. Nenhum corpo massivo pode atingir a velocidade da luz.
MOMENTO RELATIVÍSTICO
O momento linear p é definido como:
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A conservação do momento é válida na relatividade restrita assim como na mecânica clássica. Portanto, a Segunda Lei de
Newton é correta apenas na forma:
(26)
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Isso não é equivalente a dizer que:
√1 − v2
c2
p = mv = m0v
√1− v2/c2
F = (mv)= ( )d
dt
d
dt
m0v
√1−v 2/c2
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Mesmo com m dado pela equação (25), porque:
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E dm/dt não some se a velocidade do corpo varia com o tempo. A força resultante de um corpo é sempre igual à taxa de
variação do momento com o tempo.
MASSA, TRABALHO E ENERGIA
A mais famosa relação obtida por Einstein do postulado da relatividade restrita diz respeito à massa e à energia.
 SAIBA MAIS
A variação da energia cinética é igual ao trabalho da força resultante num corpo. Essa relação é conhecida como Teorema
da Energia Cinética (T.E.C). O cálculo do trabalho W para uma força de módulo constante é dado por W = F.s, em que s é a
distância percorrida pelo corpo na direção da força F.
De uma forma geral, para qualquer tipo de força, constante ou não, o trabalho é fruto de uma integral da força pelo
deslocamento; portanto, a energia cinética (EC) também é:
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Na Física não relativística, a energia cinética de um corpo de massa de repouso m0 e velocidade v é dada por .
Para encontrar a expressão correta da energia cinética relativística, partiremos da segunda lei na forma relativística, equação
(26), que nos dá:
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F = ma = m dv
dt
(mv)= m + vd
dt
dv
dt
dm
dt
Ec = ∫
S
0 Fds
Ec = m0v2
1
2
Ec = ∫
S
0 ds = ∫
S
0 vd(mv)= ∫
v
0 vd( )
d (mv )
dt
m0v
√1−v 2/c2
Integral por partes ( )
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(27)
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Esse resultado mostra que a energia cinética de um objeto é igual ao incremento de sua massa devido ao movimento relativo
multiplicado pela velocidade da luz ao quadrado. A energia total é então:
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Se interpretarmos mc2 como a energia total E do objeto, veremos que, quando ele está em repouso e EC = 0, ainda assim
possuienergia, m0c2. A quantidade m0c2 é adequadamente chamada de energia de repouso E0 de algo que tem massa de
repouso m0. Por isso, temos:
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Em que a energia de repouso é:
∫ xdy = xy − ∫ ydx
Ec = − m0 ∫
v
0
m0v
2
√1− v2/c2
vdv
√1− v2/c2
Ec = + [m0c2(√1 − v 2/c2)]
v
0
m0v
2
√1− v2/c2
Ec = − m0c2
m0c
2
√1− v2
c2
Ec = mc
2 − m0c
2
mc2 = m0c
2 + Ec
E = E0 + Ec
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Se um objeto está se movendo, então sua energia total será:
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 EXEMPLO
Um corpo estacionário explode em dois pedaços cuja massa de repouso de cada um é de 1,0kg, e se movem com 0,6c,
afastando-se do corpo inicial. Qual a massa de repouso do corpo inicial?
Resolução:
A energia total do corpo deve ser igual à soma das energias de cada fragmento. Então:
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Como massa e energia não são entidades independentes, seus princípios de conservação separados na verdade são
apenas um. Massa pode ser criada ou destruída, mas quando isso acontece, uma quantidade equivalente de energia
simultaneamente some ou aparece. Massa e energia são diferentes aspectos da mesma coisa.
ENERGIA CINÉTICA A BAIXAS VELOCIDADES
Quando a velocidade relativa v é baixa comparada a c, a equação da energia cinética se aproxima da equação da mecânica
clássica ½m0v2.
E0 = m0c2
E = mc2 =
m0c
2
√1− v2
c2
m0c
2 = +
m01c
2
√1− v2
c2
m02c
2
√1− ν2
c2
m0 = = 2,5kg
( 2 ) ( 1,0kg )
2√1− ( 0,60 ) 2
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Como , podemos usar uma aproximação binomial , válida para , assim:
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Que resulta em:
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PARTÍCULAS NÃO MASSIVAS
Uma partícula sem massa pode existir? Para ser mais preciso, uma partícula pode existir sem massa de repouso e com
propriedades de partícula massiva como energia e momento linear?
 RESPOSTA
Na mecânica clássica, uma partícula deve ter massa de repouso para apresentar energia e momento linear, mas na
mecânica relativística isso não é necessário.
Energia total: 
Momento relativístico: 
Quando m0 = 0 e v < c, fica claro que E = p = 0. Uma partícula sem massa viajando em velocidade menor do que a da luz
não tem energia nem momento linear. Porém, quando m0 = 0 e v = c, E = 0/0 e p = 0/0, isso representa uma indeterminação.
E e p podem assumir então qualquer valor.
A equação da energia total e do momento relativístico são consistentes com a existência de uma partícula não massiva que
possui energia e momento.
Da equação da energia total, vem:
Ec = − m0c
2m0c
2
√1− v2
c2
≪ 1v
2
c2
(1 + x)n ≈ 1 + nx |x| ≪ 1
≈ 1 +⊥
1− v
2
c2
1
2
v2
c2
Ec ≈(1 + )m0c2 − m0c2 ≈ m0v212
v2
c2
1
2
E =
m0c
2
√1− v
2
c2
p =
m0v
√1− v
2
c2
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Da equação do momento relativístico, vem:
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Subtraindo p2c2 de E2:
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Energia total para todas as partículas:
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De acordo com essa expressão, se uma partícula existe com m0 = 0, a relação entre sua energia e momento é dada por:
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E2 =
m20c
4
1− v
2
c2
p2 =
m20v
2
1− v
2
c2
p2c2 =
m20v
2c2
1− v
2
c2
E2 − p2c2 = = = m20c
4m
2
0c
4−m20v
2c2
1− v
2
c2
m20c
4 ( 1−v2/c2 )
1−v 2/c2
E2 = m20c
4 + p2c2
E = √m20c4 + p2c2 = √E20 + p2c2
E = pc
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A ENERGIA SOLAR ATINGE A TERRA A UMA TAXA DE 1,4KW POR METRO QUADRADO DE SUPERFÍCIE
PERPENDICULAR À DIREÇÃO DO SOL. QUANTO DE MASSA O SOL PERDE POR SEGUNDO DEVIDO A ESSA
PERDA DE ENERGIA? DADO: O RAIO MÉDIO DA ÓRBITA DA TERRA EM RELAÇÃO AO SOL É 1,5.1011 M.
A) 2,0. 109 kg.
B) 4,4. 109 kg.
C) 5,2. 109 kg.
D) 6,3. 109 kg.
E) 7,2. 109 kg
2. UM ELÉTRON (M0 = 0,511 MEV/C2) E UM FÓTON (M0 = 0) TÊM MOMENTOS LINEARES IGUAIS A 2.000 MEV/C.
QUAL A ENERGIA TOTAL, RESPECTIVAMENTE, DO ELÉTRON E DO FÓTON?
A) 2.005 MeV e 2.000 MeV;
B) 1.502 MeV e 2.064 MeV;
C) 1.003 MeV e 3.567 MeV;
D) 2.064 MeV e 2.000 MeV;
E) 3.110 MeV e 2.000 MeV.
GABARITO
1. A energia solar atinge a Terra a uma taxa de 1,4kW por metro quadrado de superfície perpendicular à direção do
Sol. Quanto de massa o Sol perde por segundo devido a essa perda de energia? Dado: O raio médio da órbita da
Terra em relação ao Sol é 1,5.1011 m.
A alternativa "B " está correta.
Sendo a área de uma esfera de raio r, A = 4.π.r2, a potência total irradiada pelo Sol, que é igual à potência recebida por uma
esfera de raio igual ao da órbita da Terra, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PT = AT = ⋅(4πr2)=(1,4.103W/m2)(4π)(1, 5.1011m)
2
= 4,0 ⋅ 1026WP
A
P
A
Assim, o Sol perde E0= 4,0.1026 J/s de energia. O que significa que a massa de repouso dele é de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um elétron (m0 = 0,511 MeV/c2) e um fóton (m0 = 0) têm momentos lineares iguais a 2.000 MeV/c. Qual a energia
total, respectivamente, do elétron e do fóton?
A alternativa "D " está correta.
Vejamos a aplicação direta das equações de energia para partículas não massivas e massivas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o elétron:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o fóton:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos inicialmente sobre os conceitos básicos da teoria da relatividade restrita, bem como sobre os postulados de
Einstein que deram origem à teoria e que ainda regem o campo da relatividade. Percebemos as implicações dos postulados
m0 = = = 4,4 ⋅ 10
9kg
E0
c2
4,0 . 1026J
( 3,0 . 108 m/s )
2
E = √m20c4 + p2c2 = √E20 + p2c2
E = √m20c4 + p2c2 = √(0,511  MeV /c2)
2 + (2.000 )
2
c2 = 2.064 MeVMeVc
E = pc = 2.000 . c = 2.000 MeVMeV
c
e como podemos medir sua validade.
No segundo módulo, vimos a diferença entre a mecânica clássica e a relatividade por meio das comparações entre as
transformações galileanas e as transformações de Lorentz. Percebemos que espaço e tempo são grandezas relativas e que
a velocidade da luz é a única grandeza invariante em todos os referenciais físicos.
Por fim, apresentamos as formas relativísticas de energia, massa e trabalho. Percebemos que a massa de um corpo
depende também de seu movimento relativo. Quanto mais veloz o corpo segue, mais massa ele adquire.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
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TORRES, C.M.A. et al. Física: ciência e tecnologia. São Paulo: Moderna, 2001. 665 p.
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CONTEUDISTA
Marco Rogério Vieira
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