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Capítulo 1
Conceitos e introdução à matemática 
financeira 1
Seção 1
Introdução à matemática financeira
Por se tratar de um assunto que está presente na vida da maioria das pessoas, 
esse material foi cuidadosamente elaborado para que o ensino da matemática 
financeira esteja ao alcance de todos que a ele tiverem acesso. O material 
tem uma abordagem básica e direta, direcionado a quem estiver interessado 
em identificar operações mais comuns no mercado e aqueles que pretendem 
administrar melhor seu dinheiro.
A Matemática Financeira é um ramo da matemática que analisa algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Faz uso de 
algumas ferramentas para melhorar o desempenho e agilizar processos, atuando 
assim, na simplificação de operações financeiras a um Fluxo de Caixa. Alguns de 
seus elementos básicos são: capital, juros, taxas e montante.
O conhecimento de algumas siglas é importante para o entendimento desse 
conteúdo.
C = capital ou P = principal – significam o mesmo
J = juros
n = número de períodos
1 NIEHUNS, Sidenir. Matemática Financeira. Palhoça: UnisulVirtual, 2019.
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Capítulo 1 
t = tempo ou período
i = taxa de juros
M = montante
s = montante de capitalização composta
A matemática financeira possibilita um maior estudo sobre a área financeira 
de determinado segmento ou pessoal e o contexto em que ela está inserida. 
Esse ramo da matemática auxilia na compreensão de áreas como Engenharia 
Financeira e Análise de Investimentos.
1.1 - Capital
É chamado também de valor atual, presente ou aplicado. É o valor representado 
por uma determinada quantia de dinheiro, títulos ou bens, disponível numa certa 
data para aplicação em uma operação financeira. Também se entende por capital 
qualquer valor expresso em moeda. É representado pela letra C, de capital ou P, 
de principal.
1.2 - Juros
Juro pode ser definido como sendo a remuneração a qualquer título, atribuída ao 
fator capital. Poderíamos conceituar juros como sendo:
a. Custo do capital de terceiros posto à nossa disposição.
b. Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou 
ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o 
capital nelas aplicado.
1.2.1 Tipos de Juros
a) Juros Simples
No regime de capitalização simples, os juros de cada período são sempre 
calculados sobre o mesmo principal. Ou seja, os juros de um determinado 
período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base 
de cálculo dos juros do período seguinte; consequentemente, o capital cresce a 
uma taxa linear, e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao 
tempo. A taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base 
em multiplicações e divisões sem alterar o seu valor intrínseco, ou seja, mantenha 
a proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes datas. 
Suas aplicações são limitadas e têm apenas algum sentido em um contexto não 
inflacionário e no curtíssimo prazo.
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Matemática Financeira
b) Juros Compostos
Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada 
período, são somados ao capital constituído no início, para produzirem 
novos juros no período seguinte, ou seja, os juros do primeiro período serão 
incorporados ao capital do segundo período.
1.3 - Taxa de Juros
O juro é determinado por meio de um coeficiente referido a um dado intervalo 
de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital 
empregado por um prazo igual àquele da taxa.
As taxas de juros geralmente são apresentadas de dois modos:
a. Forma Percentual
Nesse caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém 
após dividir-se o capital por 100.
Ex.: 12% a. a.
b. Forma Unitária
Refere-se à unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a 
aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.
Ex.: Qual é o juro que rende um capital de R$1.000,00 aplicado por um ano à taxa 
de juros de 10% ao ano?
Juro = 1.000,00 x 0,10 x 1
Juro = R$ 100,00
Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa 
na forma percentual por 100.
Ex.: 6% a. s. = 6/100 = 0,06 a. s.
1.4 - Montante
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n 
períodos, como sendo a soma de juro mais o capital inicial (MATHIAS, 2009).
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Capítulo 1 
1.5 - Fluxo de Caixa
Toda operação financeira tem entradas e saídas de valor monetário, por isso 
precisamos falar de fluxo de caixa, que é como representamos as entradas e 
saídas de caixa.
As operações financeiras dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) 
de dinheiro no tempo. O fluxo de caixa trata-se de uma representação que 
possibilita visualizar o problema ou, se for o caso, distinguir cada alternativa. O 
fluxo de caixa nos dá a cada período a quantia recebida ou paga. Ele pode ser 
representado do seguinte modo:
a) 
1.000
500 400 400
Flecha para baixo significa uma saída ou aplicação de dinheiro (valor negativo).
Flecha para cima significa uma entrada ou recebimento de dinheiro (valor positivo).
b)
0 1 2 3 4 5 6
500 400 400(1000)
Os valores negativos foram representados pelo número entre parênteses.
O fluxo de caixa sempre vai ter duas visões, a do investidor e do receptador 
(banco, por exemplo). 
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Matemática Financeira
Seção 2
Aplicação nos cálculos
2.1 Cálculo do Juro
Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado, 
também chamado de principal, é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação.
J = C i n
J = juros
C, V, P = valor do capital inicial ou principal
n = período 
i = taxa (sempre na forma unitária)
OBS.: A taxa de juros deve referir-se à mesma unidade de tempo que se refere o período.
Exemplos:
1) Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 200,00 pelo 
prazo de um ano, sabendo-se que a taxa cobrada é de 1,3% ao mês?
Para resolver um problema de matemática financeira, devemos primeiro identificar 
o que temos no problema e identificar a incógnita.
Nesse caso, temos:
C= 200,00
n = 1 ano, como a taxa está ao mês, precisamos transformar o período para mês, 
nesse caso 1 ano = 12 meses.
I = 1,3% ao mês
J = ?
Agora vamos identificar a fórmula a ser usada, nesse caso, queremos os juros, 
logo, a fórmula a ser usada é:
J= Cin
J = 200. 0,013. 12
J= 31,20
Logo, nesse caso os juros correspondentes ao empréstimo são de R$ 31,20.
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2) Uma aplicação de R$ 650,00 em ações, pelo prazo de 180 dias obteve um 
rendimento de R$182,50. Qual a taxa anual que está em uso nesta operação?
Nesse caso, temos o valor da aplicação, 
C= 650
N= 180 dias podemos transformar os 180 dias para ano, dividindo por 360, logo, 
temos 0,5 anos. Isso porque a taxa é solicitada ao ano.
J= 182,50
i=?
Vamos usar a fórmula de juros
J= Cin
182,50= 650. 0,50. i
182,50= 325.i
i= 182,50/325
i= 0,561538 x100
i= 56,15% ao ano
Sempre que se calcula a taxa e encontra-se a taxa unitária, é necessário multiplicar por 
100 para chegar-se à taxa percentual.
3) Qual o tempo necessário para que um capital de R$600,00 produza, à taxa de 
1,0% a.m, R$240,00 de juros simples?
C= 600
i= 1% ao mês
j= 240
n?
J= Cin
240= 600.0,01n
240 = 6n
n=40 meses
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Em todos os cálculos é sempre muito fácil verificar se o cálculo está correto, 
podemos trocar uma variável e calcular novamente.
Por exemplo, nesse caso, quero calcular os juros.
J=Cin
J= 600. 0,01. 40
J= 240
Logo, encontramos o mesmo resultado para os juros, isso significa que os 
cálculos estãocorretos.
4) Qual o capital que deve ser aplicado à taxa de 0,8% a.m, para que, em 3 
meses, produza R$1.500,00 de juros simples?
C= ?
i= 0,8% ao mês
n= 3 meses 
J= 1.500
Nesse caso, continuamos a usar a fórmula dos juros.
J= Cin
1500= C. 0,008. 3
1500 = C0,024
C= 62.500,00
Atenção!
 Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja colocada na forma unitária.
 A taxa de juros e o número de períodos precisam estar sempre na mesma unidade.
 Quando a taxa e o prazo estão em unidades de tempo diferentes, sugerimos alterar o 
 tempo.
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2.2 - Montante
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de “n” 
períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.
Sendo C o principal, aplicado por “n” períodos e à taxa de juros i temos o 
montante M como sendo:
M = C + J
M = C + Cin
M = C (1 + in)
Exemplos:
1) Um capital de R$ 250,00 foi aplicado à taxa de 1,25% a . m pelo prazo de 6 
meses. Qual o montante ao fim desse prazo?
C= 250,00
i=1,25% ao mês
n= 6 meses
M= 
Nesse caso, a taxa e o período já estão na mesma unidade.
Aqui vamos usar a fórmula do Montante, pois assim já encontramos o montante 
direto.
M= C (1+in)
M= 250 (1+ 0,0125. 6)
M= 250 (1,075)
M= 268,75
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2) Gustavo obtém R$ 450,00 emprestado de um agiota, entregando-lhe uma 
nota promissória de R$ 560,00 com vencimento para 8 meses. Determinar a taxa 
mensal que está sendo cobrada pelo agiota.
C= 450,00
M = 560,00
n= 8 meses
i= 
M= C (1+in)
560= 450 (1+i8)
560/450= 1+8i
1,24444 - 1= 8i
0,24444= 8i
i= 0,030556 x100
i= 3,05% ao mês
OBS: Um detalhe importante é observar a unidade do tempo usado, que será a mesma 
unidade para a taxa. Aqui a unidade do período foi mês, logo, a unidade da taxa 
também será mês.
3) Em que prazo uma aplicação de R$1.000,00 pode gerar um montante de 
R$1.162,50, considerando-se uma taxa de 13 % a. a. ?
C= 1000
M= 1.162,50
i= 13% ao ano
n= ?
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M= C (1+in)
1.162,50= 1000 (1+ 0,13. n)
1.162,50/1000= 1+ 0,13n
1,16250 – 1 = 0,13n
0,1625 = 0,13n
n= 1,25 ano
Nesse caso, como a unidade o tempo é ano, a unidade da taxa também será ano, 
mas podemos transformar o período para mês, fica assim 1 ano e 3 meses ou 15 
meses.
2.3 - Taxa Proporcional
Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas, respectivamente, 
aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comum de tempo das taxas.
Essas taxas se dizem proporcionais se houver uma proporção entre as taxas e 
seus respectivos períodos, ou seja, se ou ou .
Exemplos:
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
Para verificar se as duas taxas são proporcionais precisamos dividir:
0,05/3 = 0,20/12
0,016667 = 0,016667
Logo, as duas taxas são proporcionais, pois as equações se igualaram
Aqui, é importante entender a relação de tempo, onde:
1 ano = 12 meses
1 ano = 3 quadrimestres
1 ano= 4 trimestres
1 ano= 2 semestres
1 ano = 6 bimestres
1 trimestre = 3 meses
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1 quadrimestre = 4 meses
1 semestre = 6 meses
1 mês = 30 dias
Podemos usar a fórmula 
i1= 5%
n1= 3 meses
i2= 20%
n2 = 12 meses 
0,05. 12 = 0,20 . 3
0,60 = 0,60
Como igualou a equação, isso significa que as taxas são proporcionais.
2) Sendo dada a taxa de juros de 18% ao ano, determine a taxa proporcional 
mensal.
i1= 18%
n1 = 12 meses 
i2 = ?
n2 = 1 mês
i1.n2 = i2.n1
0,18.1= i2. 12
0,18 = 12 i2
i2 = 0,015
i2 = 1,5 % ao mês
Logo, a taxa mensal proporcional a 18 % ao ano, é 1,5% ao mês.
Aqui também de uma forma muito simples podemos dividir 18% por 12 e chegar 
à taxa proporcional mensal.
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Obs.: Quando queremos achar a taxa proporcional a uma fração de período, 
podemos proceder da seguinte forma:
Sendo i a taxa de juros correspondente a um período e admitindo-se que 
queremos determinar a taxa proporcional im, correspondente à fração 1/m de 
um período, temos:
i1= i 
n1 = 1 período
i2 = im = ?
n2 = 1/m de período
Como temos: portanto 
Ou seja, basta dividir a taxa dada pelo denominador da fração.
Exemplo: 
Sendo dada a taxa de 8% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é 
proporcional.
im = ?
i = 8%
m= 2 ( um semestre tem 2 trimestres)
 
im = 0,08/ 2
im = 0,04 x100
im= 4% ao trimestre
Logo, 4 % ao trimestre é proporcional a 8% ao semestre.
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2.4 - Períodos não Inteiros
Exemplo:
Qual o juro e qual o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado à taxa 
de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses?
Aqui temos a taxa ao semestre, então, o melhor a fazer é transformar o prazo em 
semestre, onde 5 anos = 10 semestres + 1,5 semestres.
C= 1000
i= 12% ao semestre
n= 11,5 semestres
J= ?
M=?
Vamos calcular pela fórmula do Montante:
M= C (1+ in)
M = 1000 (1 + 0,12 . 11,5)
M = 1000 (2,38)
M= 2.380,00
Logo os juros = Montante - capital:
J = M-C
J =2.380,00 – 1000
J= 1.380,00
2.5 - Juro exato e juro comercial
Embora as taxas sejam expressas em termos anuais, os prazos são fixados em 
dias. É muito comum em certas operações ocorrerem um ou alguns dias apenas.
Como em curto prazo o regime geralmente adotado é o de juros simples, torna-se 
necessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia.
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Nesse caso, podemos ter dois enfoques, dependendo do número de dias 
adotado para o ano:
a. Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês 
com seu número real de dias.
b. Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial 
com 30 dias.
Os juros obtidos usando 365 dias são chamados de juros exatos, e aquele obtidos 
usando 360 dias, de juros comerciais. Em geral, a convenção é de juros comerciais.
Para calcularmos Juros exatos usa-se a fórmula 
 
E para calcularmos Juros Comerciais usa-se a fórmula
 
Exemplo:
1) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado por 40 dias à taxa de 30%a.a. no 
regime de juros simples.
a. Obtenha os juros exatos.
b. Obtenha os juros comerciais.
Resolução:
Vamos primeiro calcular os juros exatos
C= 4000
I= 30% a.a.
N= 40 dias
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Vamos usar a fórmula para cálculo dos juros exatos.
 
 
48000
365
eJ � 
Je= 131,51
Agora, vamos calcular os juros comerciais.
C= 4000
i= 30% a.a.
n= 40 dias
 
 
Jc = 133,33
Podemos observar uma pequena diferença no valor, entre os juros exatos e os 
juros comerciais. 
Na prática, o mercado usa os juros comerciais, onde o mês tem 30 dias, e, em 
consequência, o ano tem 360 dias.
2) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 1.500,00 a uma 
taxa de 15% a.a., de 10 de Abril de 2019 à 20 de Junho de 2019.
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Tabela 1 – Contagem de dias entre duas datas 
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
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Precisamos encontrar o número de dias entre as duas datas, devemos subtrair o 
número de dias correspondente à data posterior do número de dias da data anterior.
No caso de ano bissextos, devemos acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, 
quando o final do mês de fevereiro estiver envolvido no prazo de aplicação. 
Sempre que o exercício exigir, comentaremos se o ano for bissexto.
Vamos encontrar o número de dias entre as datas.
20/06 – 171
10/04 - 100
Logo, precisamos subtrair 100 de 171, será igual a 71 dias.
C= 1.500,00
i =15% a.a.
n = 71 dias
Como a taxa está ao ano e o período em dias, devemos dividir por 360 para 
transformar os dias para ano.
n= 71/360 = 0,1972 ano
A fórmula a ser usada
J = Cin
J = 1500 . 0,15 . 0,1972
J = 44,37
2.6 - Valor Atual e Valor Nominal
a) Valor atual (V)
O valor atual corresponde ao valor de um compromisso de débito ou de crédito em 
uma determinada data compreendida entre o início e o término do compromisso.
b) Valor Nominal (N)
É o valor da aplicação ou do recebimento em sua data de vencimento, ou seja, é 
a soma do capital mais juros que é o próprio montante.
 ou 
matematica_financeira.indb 25 04/10/2019 10:44
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Exemplo:
1) Tenho uma Letra no valor nominal de R$1.200,00, que é resgatável daqui a um 
ano. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 20% a.a., por 
quanto devo oferecer a letra a uma pessoa interessada em adquiri-la?
N =1.200
n = 1 ano
i = 20% a.a.
Aqui a ideia é de desconto, então vamos descontar o valor nominal àdata zero, 
para encontrar o valor atual.
Logo, vamos usar a fórmula, 
 
 
V= 1000,00
Logo, o valor atual de um valor nominal 1200 é 1000.
2) O valor nominal de uma nota promissória é de R$ 5.770,00. Qual é o seu valor 
atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.?
N= 5.770,00
i= 24% ao ano
n= 3 meses
V=?
 
 
 
V= 5.443,40
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Exemplos: 
1) Calcule a taxa quadrimestral proporcional à taxa de 21% a.a. 
Para encontrarmos a taxa proporcional quadrimestral precisamos dividir 21% por 
3, pois é o número de quadrimestres que temos em um ano.
Im = 0,21/ 3 
Im = 0,07 . 100 = 7% ao quadrimestre
2) Calcule os juros simples e o montante de $ 500,00 a 25% a.a. por 8 meses.
C = 500,00
i = 25% a.a.
N = 8 meses
M = ?
J = ?
Observe que a taxa e o período não estão na mesma unidade, logo, precisamos 
dividir a taxa ou o período por 12.
Nesse caso, podemos calcular pela fórmula do montante ou dos juros, ou pelas 
duas fórmulas.
Vamos calcular pela fórmula do montante e depois subtrair os juros
M= C (1 +in)
 
M =500 (1+ 0,25 . 0666667)
M= 500 (1+ 0,166667)
M = 500 . 1,166667
M = 583,33
Para calcularmos os juros, podemos usar J = M-C
J = 583,33 – 500
J = 83,33
matematica_financeira.indb 27 04/10/2019 10:44
28
3) Calcule a taxa de juro que, de um capital de $ 1.200,00 gera um montante de $ 
1.998,00 em 3 anos e 2 meses. 
C= 1200,00
M= 1998,00
N= 3 anos e 2 meses
i= ?
Podemos usar a taxa ao ano ou ao mês, nesse caso, vamos usar a taxa ao mês, 
transformando os 3 anos em 36 meses mais 2 meses, logo, teremos 38 meses.
M= C (1 +in)
1998= 1200 (1+ i38)
1998/1200 = 1 + 38i
1,665 -1 = 38i
0,665 = 38i
 
I = 0,0175, multiplicando por 100, teremos
I= 1,75% ao mês.
4) Calcule o capital que rende $ 150,00 a 18% a.a., em 10 meses.
C = ?
J= 150
I=18% a.a.
N= 10 meses
J= Cin
 
 
C= 1000,00
matematica_financeira.indb 28 04/10/2019 10:44
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5) Em quanto tempo um capital de $10.000,00, aplicado a 26,4% a.a., renderá 
$4.620,00? 
C= 10.000,00
I= 26,4%a.a
J= 4.620,00
n=
J= Cin
4620 = 10000x 0,264n
4620= 2640n
n= 1,75 anos, mas podemos multiplicar por 12 para termos o período em meses.
Logo, vamos ter 21 meses.
Seção 3
Desconto simples
3.1 – Conceito
Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória, letra de câmbio) é 
resgatado antes de seu vencimento, ele sofre um abatimento, que é denominado 
desconto. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor 
comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, 
notas promissórias etc., pode levantar fundos junto a um banco descontando um 
título antes da data do vencimento.
Um título possui um valor, chamado nominal, a ele declarado, que corresponde ao 
seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o título pode ser resgatado por um 
valor menor que o nominal, sendo denominado valor atual ou valor presente.
3.2 - Desconto Racional ou Desconto “Por Dentro”
No desconto racional, a taxa de desconto incide sobre o valor atual do título 
descontado “n” períodos antes do vencimento. O valor do desconto racional 
pode ser calculado do seguinte modo: Dr = Vr . i . n
matematica_financeira.indb 29 04/10/2019 10:44
30
Como o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual 
de um compromisso, que seja saldado “n” períodos antes do seu vencimento, 
temos:
 
Como:
Dr = N – V
 
 
 
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal
Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto
N: valor nominal ou montante
Vr: valor atual ou valor descontado racional
Dr: valor do desconto
n: número de períodos antes do vencimento
i: taxa de desconto
O valor descontado é dado por:
Vr = N – Dr
 
 
 
Obs.: Em juros simples, o valor descontado é o próprio valor atual.
matematica_financeira.indb 30 04/10/2019 10:44
31
Exemplos:
1) Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 6.500,00 3 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% ao ano, qual o 
desconto racional e quanto vai obter?
N = 6.500,00
n =3 meses
i =40%ao ano
Dr = ?
Como a taxa está ao ano e o período ao mês, precisamos dividir o período por 12 
para transformar para ano ou poderíamos dividir a taxa por 12, mas, nesse caso, 
optamos por dividir o período.
 
Dr= 590,91
Vr = N-Dr
Vr = 6500- 590,91
Vr = 5.909,09
Logo, o dono do título vai receber um valor líquido de R$ 5.909,09.
2) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 
R$ 135,00, pago 2 meses antes do vencimento a 5,5 % ao mês.
Dr = 135,00
n = 2 meses
i = 5,5% ao mês
 
Dr = 13,38
matematica_financeira.indb 31 04/10/2019 10:44
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3) Determine o valor atual racional de um título, cujo valor nominal $ 20.000,00 à 
taxa de 15,9% a.a. no prazo de 50 dias.
N = 20.000,00
I= 15,9%a.a
N= 50 dias
Vr=? 
Como a taxa está ao ano e o período em dias, vamos dividir os dias por 360, logo 
temos n= 50/360= 0,138889 anos.
Vamos usar a fórmula do valor atual racional
 
 
 
Vr = 19.567,87
Esse valor é o valor líquido recebido pelo título, sendo que sofre um desconto de 
R$ 4.432,12.
3.3 - Desconto Comercial ou “Por Fora” ou Bancário
É aquele valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal 
do compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu vencimento. 
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal
Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto
N: valor nominal ou montante
Vc: valor atual ou valor descontado comercial
n: número de períodos antes do vencimento
i: taxa de desconto
Dc: desconto comercial
matematica_financeira.indb 32 04/10/2019 10:44
33
Dc = Nin 
Vc = N - Dc
Vc = N - Nin
Vc = N (1-in)
Exemplos:
1) Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 6.500,00 3 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juroscorrente é de 40% ao ano, qual o 
desconto comercial e quanto vai obter? 
N = 6.500
n = 3meses
i = 40%ao ano
Dc= Nin
 
Dc= 650,00
Para encontrar o valor atual comercial recebido, podemos usar a fórmula do Vc 
ou simplesmente fazer a diferença entre o valor nominal e o valor do desconto.
Vc= N- Dc
Vc= 6500 – 650
Vc = 5.850,00 esse é o valor recebido pelo dono do título.
Observe que o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional, justamente pelo 
fato de o primeiro incidir sobre o valor nominal e o segundo sobre o valor atual. 
2) Uma Letra de Câmbio de valor nominal igual a R$ 550,00 foi resgatada 2 meses 
e 26 dias antes do vencimento, a 1,2% ao mês. Qual o valor do resgate?
N = 550
n = 2 meses e 26 dias
i = 1,2% ao mês
Vc = ?
matematica_financeira.indb 33 04/10/2019 10:44
34
Vc = N (1-in)
Vc= 550 (1- 0,012. 2.86666)
Vc= 550 (0,9656)
Vc = 531,08
Logo, o valor do resgate foi R$ 531,08.
3) Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco 2 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a m..
a. Obtenha o desconto.
b. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.
c. Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. 
Calcule também a taxa efetiva de juros da operação.
N = 18.000,00
N = 2meses
i = 2,5%ao mês
a) Dc= Nin
Dc= 18000 . 0,025 . 2
Dc= 900,00
b) Vc = N (1-in)
Vc = 18000 (1-0,025 . 2)
Vc = 18000 ( 0,95)
Vc = 17.100,00
Na prática, em descontos de cheques, notas promissórias, duplicatas é utilizado 
o desconto comercial simples.
3.4 - Taxa de Juros Efetiva (if )
É a relação entre a taxa de desconto e taxa de juros simples, ou seja, é a taxa 
de juros que aplicado sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no 
período considerado um montante igual ao valor nominal.
matematica_financeira.indb 34 04/10/2019 10:44
35
 
Dc = Nin
Dc = Dr
 
 
 
“i” é a taxa de desconto aplicada.
Exemplo:
1) Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de 
uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa de juros simples (if) da operação?
i = 4% am
n = 3 meses
if = ?
 
If = 0,045455
If = 0,045455 x 100
If = 4,55% ao mês
O que significa uma taxa efetiva de 4,55% ao mês? Nesse caso, para uma taxa 
de desconto de 4% ao mês, gera uma taxa de juros ou uma taxa efetiva de 
4,55%ao mês.
Onde usa-se taxa efetiva? 
matematica_financeira.indb 35 04/10/2019 10:44
36
Vamos pensar em um empresário que está calculando os preços de suas 
mercadorias!
Entre os custos a serem calculados está o ICMS de 17% que ele terá que pagar 
ao governo, sobre o preço final da venda.
Vamos usar um exemplo:
A mercadoria está com custo de R$ 100,00 e incide os 17% de ICMS, ou seja, R$ 
117,00.
Quando o empresário for calcular o ICMS para pagar, ele vai calcular 17% sobre 
117,00, logo, o valor do ICMS será de 19,89. Opa, mas está faltando dinheiro aqui!!!
O que aconteceu?
Agora entra a taxa efetiva, é a taxa efetivamente necessária para fechar essa conta.
Logo, já deu para perceber que a taxa a ser aplicada em R$ 100,00 terá que ser 
maior que 17%.
Vamos lá, usaremos a fórmula abaixo para encontrar a taxa que deve ser usada 
para fechar as contas.
 
If = 0,2048 x100
If = 20,48%
Essa é a taxa que precisamos incidir sobre R$ 100,00 para no final pagarmos 
17% de ICMS, e não sair no prejuízo.
Vamos conferir:
R$ 100 . (1+ 0,2048) = 120,48
A mercadoria precisa ser vendida por 120,48 para que o empresário pague 17% 
de ICMS e o empresário fique com R$ 100,00 líquidos.
A taxa efetiva é a taxa aplicada sobre o valor atual para chegarmos ao valor nominal.
4) Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontada em um 
banco, proporcionando-lhe a taxa efetiva de juros simples igual a 3% a. m. Qual a 
taxa de desconto utilizado?
matematica_financeira.indb 36 04/10/2019 10:44
37
I = 3% ao mês
n = 2 meses
i = ?
 
0,03 (1- 2i) = i
0,03 – 0,06 . i = i
0,03= i + 0,06 . i
0,03 = 1,06 . i
i = 0,02830
i = 0,02830 . 100
i = 2,83% ao mês
Agora encontramos a taxa de desconto, que é sempre menor que a taxa efetiva.
3.5 - Relação entre Desconto Racional e Desconto Comercial
Como já vimos o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional, porque 
ele incide sobre o valor nominal enquanto que o Desconto Racional incide sobre o 
valor atual.
Dc > Dr
 
matematica_financeira.indb 37 04/10/2019 10:44
38
Exemplo:
O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes do seu vencimento 
e à taxa de 40% a.a. é de R$ 550,00. Qual é o Dr?
Dc = Dr (1+in)
 
550 = Dr (1,10)
 
Dr= 500,00
matematica_financeira.indb 38 04/10/2019 10:44
39
Atividades de autoavaliação
1. (MATHIAS,2009) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros 
de 42%a.a, pelo prazo de 100 dias. Qual será o juro dessa aplicação se 
for considerado:
· Juro comercial?
· Juro exato?
2. (VIERA SOBRINHO,1997) Determinar o montante correspondente a uma 
aplicação de R$ 15.000,00, por 225 dias, à taxa de 0,56% ao mês.
3. Qual é o rendimento produzido por uma aplicação de $ 2.400,00, 
durante 17 meses, à taxa de juros simples de 60% a.a.? 
4. Um capital de $ 135,00 transformou-se, após 44 dias, em $ 140,94. 
Calcule a taxa de juros mensal ganha na operação. 
5. Em quantos meses uma aplicação de $ 28.000,00 produz um montante 
de $ 38.080,00 à taxa de juros de 48% a.a.? 
6. O valor nominal de uma promissória com vencimento em 15/11/2018 é 
de $ 2.700,00. Se o dinheiro valer 36% a.a. e a promissória for saldada 
dia 19/08/2018, de quanto será o desconto racional por dentro obtido? 
Qual o valor atual? 
7. Se o desconto racional concedido for de $57,63, qual será a taxa 
considerada, uma vez que o valor nominal é de $ 600,00 e o período de 
antecipação foi de 5 meses. 
8. Se o desconto comercial for de $ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a 
taxa considerada for 27% a.a. e o prazo de antecedência for de 100 dias. 
9. Uma Nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu 
vencimento, à taxa de 26% a.a.. Sabendo-se que o valor atual 
comercial é de $18.266,67, qual seria seu valor nominal? 
10. O valor atual de um título é de $ 23.600,00, considerando-se a taxa de 
28% a.a. e o prazo de antecipação de 72 dias, pergunta-se: qual é o 
desconto comercial? 
11. Uma duplicata de valor nominal $ 8.000,00 foi descontada 90 dias antes 
de seu vencimento a 23,5% a.a. Qual é o desconto comercial? Qual a 
taxa efetiva? 
12. Se uma instituição desejar ganhar 36% a.a. (taxa efetiva), que taxa de 
desconto deverá aplicar para operações com o mesmo prazo.
matematica_financeira.indb 39 04/10/2019 10:44