Unidade 4 - Distribuição de probabilidade contínua

Prévia do material em texto

04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 1/26
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
DISTRIBUIÇÕES DEDISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE CONTÍNUAPROBABILIDADE CONTÍNUA
Autor: Me. Raimundo Almeida
R e v i s o r : H u g o E s t e v a m d e S a l e s C â m a ra
I N I C I A R
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 2/26
introduçãoIntrodução
Na unidade passada você conheceu a de�nição de distribuição de probabilidade e pôde
trabalhar bastante com as distribuições binomiais e de Poisson. Destinaremos essa unidade ao
estudo da distribuição de probabilidade contínua mais trabalhada em todo o mundo: a
distribuição Normal (ou distribuição Normal de Gauss).
Com os conhecimentos adquiridos aqui, você se convencerá de como a estatística pode nos
auxiliar em decisões corriqueiras do nosso dia a dia, como no dimensionamento da altura de
uma porta, ou em situações mais complexas, como avaliar a qualidade da produção de um
equipamento numa linha de produção.
Bons estudos!
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 3/26
Considere um conjunto de dados que possui média e desvio-padrão . Dizemos que a
distribuição de probabilidade é Normal se puder ser descrita pela função:
Fique tranquilo(a)! A função anterior, por conta da sua complexidade, não precisará ser utilizada
em nenhum momento ao longo do restante desta unidade. Em substituição, utilizaremos uma
tabela com valores previamente calculados e que garantem toda a ferramenta necessária para
nosso estudo das distribuições normais.
Uma vez �xados os parâmetros e , a função anterior possui como grá�co a curva a seguir.
Distribuição Normal -Distribuição Normal -
Parte IParte I
μ σ
P (x) =
e
− 1
2
( )x−μ
σ
2
σ 2π−−√
μ σ
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 4/26
A curva anterior, por conta do seu formato, é chamada de curva sino, curva normal ou curva de
Gauss.
A principal propriedade da curva de Gauss é a sua simetria em torno da média .
OBSERVAÇÃO:
Observe que a lei que de�ne tal curva depende apenas da média e do desvio-padrão. Uma vez
alterados esses parâmetros, a curva se altera, mas mantém a forma de sino. A �gura a seguir
ilustra esse fato.
μ
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 5/26
Iniciaremos nosso estudo assumindo que a média e o desvio-padrão são constantes e iguais a 0
e 1, respectivamente. Nesse caso, chamamos a nossa distribuição normal de padrão. Na próxima
seção, aprenderemos a trabalhar com parâmetros diferentes dos assumidos na distribuição-
padrão ( e ).
Uma distribuição normal padrão tem as propriedades a seguir.
1. A média é igual a 0.
2. O desvio-padrão é igual 1.
3. O grá�co possui o formato de sino.
A área sob a curva normal é sempre igual a 1, o que garante a existência de uma
correspondência entre tal área e a probabilidade. Dessa fórmula, para calcular alguma
probabilidade em uma distribuição normal, calcularemos alguma área abaixo da curva normal.
Como a função que descreve a curva normal é extremamente complexa e o procedimento para
determinação de áreas de regiões delimitadas por ela requer densos cálculos, utilizaremos a
tabela que consta no �m desta unidade para determinar essas áreas procuradas.
Para usar a tabela, é muito importante que você se atente aos itens a seguir:
μ = 0 σ = 1
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 6/26
1. A tabela só pode ser utilizada quando a distribuição for normal padrão ( e 
).
2. A tabela é dividida em duas partes: uma para valores negativos e outras para valores
positivos.
3. Um escore é um valor limitante da área, situado no eixo horizontal. Na tabela, ela
corresponde à primeira coluna e primeira linha.
4. Cada valor observado na tabela corresponde à área acumulada até o valor do escore 
(área sempre à esquerda de ).
Por convenção, utilizaremos a variável apenas quando a distribuição for padrão. Para casos
gerais, utilizaremos a variável .
Por exemplo, considere que a variável possua distribuição normal com média e desvio-
padrão , ou seja, a distribuição é normal padrão. Qual a probabilidade de que ?
Essa pergunta pode ser respondida com o valor da área indicada em lilás na �gura a seguir. Ou
seja: a área abaixo da curva de normal para .
Para determinação dessa área, vamos recorrer à tabela de escores . Procurando na primeira
coluna o valor de 1,3 e na primeira linha o valor de 0,02, obtermos a área (probabilidade) igual a
0,9066. Ou seja: a probabilidade para que é igual a 90,66%.
μ = 0
σ = 1
z
z
z
z
x
z μ = 0
σ = 1 z ≤ 1, 32
z ≤ 1, 32
Figura 4.3 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z ≤ 1, 32
z
z ≤ 1, 32
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 7/26
Exercício resolvido 1:
Utilizando a tabela de escores , determine a probabilidade para que .
Solução:
Observe na �gura a seguir a área que corresponde à probabilidade desejada.
Como a tabela de escores só nos fornece áreas acumuladas à esquerda de um determinado
valor, usaremos a seguinte estratégia: subtrairemos da área total abaixo da curva normal (área
total = 1), o valor acumulado à esquerda de 0,61. Ou seja:
z z ≥ 0, 07
Figura 4.4 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z ≥ 0, 61
z
P (z ≥ 0, 61) = 1 − P (z ≤ 0, 61)
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 8/26
Utilizando a tabela de escores z, temos que .
Portanto, , conforme Figura 4.5.
praticarVamos Praticar
Num equipamento da indústria têxtil, um dos parâmetros a serem controlados pelos engenheiros de
produção é o indicador . Suponha que esse indicador seja uma medida contínua, normalmente
distribuída, com média e desvio-padrão . Calcule a probabilidade para que, num
determinado momento, o indicador seja observado entre os números 0,72 e 2,03.
Dica: 
a) 32,61%
P(z ≤ 0, 61) = 0, 7291
P(z ≥ 0, 61) = 0, 2709
α
μ = 0 σ = 1
P (0, 72 ≤ z ≤ 2, 03) = P (z ≤ 2, 03) − P (z ≤ 0, 72)
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 9/26
b) 51,47%
c) 14,79%
d) 21,46%
e) 32,04%
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 10/26
Nessa seção, discutiremos como calcular probabilidades para distribuições normais não
padronizadas, ou seja, ou .
Nos casos de distribuições não padronizadas, converteremos a variável da questão para escores
, utilizando a relação a seguir.
A �gura a seguir ilustra a conversão que deve ser realizada. Nela você deve observar que a área
procurada permanece a mesma, o que justi�ca a troca de variáveis. 
Distribuição Normal -Distribuição Normal -
Parte IIParte II
μ ≠ 0 σ ≠ 1
z
z =
x − μ
σ
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 11/26
Exercício resolvido 2:
A temperatura de câmaras frigorí�cas para armazenamento de vegetais em supermercados é
normalmente distribuída, com média de 7ºC e desvio-padrão de 1ºC. Por lei, essas câmaras
devem ter temperatura controlada entre 4ºC e 9ºC. Determine o percentual de câmaras
frigorí�cas que atendem a exigência da legislação.
Solução:
Para responder essa questão, devemos calcular a área indicada em lilás na �gura a seguir. 
Figura 4.6 - Mudança da variável para a variável 
Fonte: Elaborada pelo autor.
x z
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 12/26
04/12/2020 Ead.brhttps://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 13/26
Primeiro, vamos padronizar a variável , utilizando a equação de conversão .
Aplicando os limites e nessa equação, obtemos e . 
Por �m, vamos utilizar a tabela de escores para determinação da probabilidade desejada:
Portanto, 97,59% das câmaras frigorí�cas atendem a legislação. 
praticarVamos Praticar
2) Em 2016 a China possuía uma média de 148,0 habitantes por , com desvio-padrão de 32,0 hab/
. Assumindo que a distribuição de pessoas por área na China é normal, determine o percentual da
x z = x−7
1
x = 4 x = 9 z = −3 z = 2
z
P(4 ≤ x ≤ 9) = P(−3 ≤ z ≤ 2) = P(z ≤ 2) − P(z ≤ −3) = 0, 9772 − 0, 0013 = 0, 9759
km2
km2
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 14/26
área total do país com ocupação inferior a 115,1 hab./ .
a) 17,81%
b) 14,48%
c) 18,27%
d) 15,39%
e) 22,62%
km2
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 15/26
Nas seções anteriores você aprendeu a calcular a área abaixo da curva normal situada à direita
de um escore prede�nido. Nesta seção você aprenderá o processo inverso: determinar o
escore a partir de uma área conhecida. Para isso, considere o seguinte procedimento:
1. Esboce uma curva normal genérica e hachure a área em questão.
2. Localize na tabela de escores , a probabilidade mais próxima da desejada e veri�que
qual o escore correspondente.
Por exemplo, suponha que queiramos determinar o escore para o qual a área à esquerda de 
seja igual a 0,6591. O primeiro passo para isso consiste em esboçar, em uma curva normal
genérica, a área em questão e indicar a posição do escore desejado. Essa etapa serve para
visualizarmos se, de fato, o valor procurado pode ser lido diretamente na tabela (uma vez que
esta só se refere a áreas acumuladas à esquerda). 
Determinação deDeterminação de
Escores Escores a Partir de a Partir de
Áreas ConhecidasÁreas Conhecidas
zz
z
z
z
z
z z
z
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 16/26
Por �m, uma vez que tivermos a certeza que estamos em busca de uma área à esquerda de ,
procuramos na tabela o valor de 0,6591. Nesse caso encontramos que 0,41.
A seguir, veja dois exercícios resolvidos que auxiliarão na sua compreensão desse
procedimento.
Exercício resolvido 3:
Determine o valor de que torna a área indicada em lilás na �gura a seguir igual a 0,7576. 
Figura 4.9 - Escore para área igual a 0,6591 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z
z
z =
a
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 17/26
Solução:
Observe que a região indicada em lilás corresponde à área delimitada entre os escores e 0,75.
Dessa forma, . Logo,
Procurando na tabela de escores o valor de , concluímos que .
Exercício Resolvido 4:
O comprimento de um �o de cobre, extraído de um determinado equipamento industrial, é, em
média 3,2 metros, com desvio-padrão de 0,8 metros. Assumindo que o comprimento dos �os é
normalmente distribuído, determine a dimensão mínima para que 80% do conjunto de �os
extraídos possuam comprimento inferior a .
Solução:
Figura 4.10 - Área limitada entre dois escores
Fonte: Elaborada pelo autor.
a
P (a ≤ z ≤ 0, 75) = 0, 7576
P (z ≤ 0, 75) − P (z ≤ a) = 0, 7576
0, 7734 − P (z ≤ a) = 0, 7576
−P (z ≤ a) = −0, 0158
P (z ≤ a) = 0, 0158
z 0, 0158 a = −2, 15
x
x
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 18/26
Inicialmente, vamos identi�car na tabela o escore para o qual a área acumulada à esquerda
seja de 0,8. Assim, obtemos que .
Usando a equação , convertendo o escore para :
Portanto, 80% dos �os produzidos pelo equipamento possuem comprimento inferior a 3,88
metros.
O quadro a seguir contempla um resumo do passo a passo para resolução de exercícios
envolvendo a distribuição normal. 
Quadro 4.1 - Resumo dos procedimentos sobre a distribuição normal 
Fonte: Elaborado pelo autor.
z
z ≃ 0, 85
z =
x−μ
σ
z x
0, 85 =
x − 3, 2
0, 8
x − 3, 2 = 0, 68
x = 3, 88   metros
O que você está procurando?
A probabilidade, a partir de um escore
conhecido
O escore, a partir de uma probabilidade
conhecida
1º passo: converta o escore para a
distribuição padronizada. Para isso,
utilize a fórmula de conversão 
 
. 
 
2º passo: procure na tabela de escores a
área desejada. Lembre-se que as áreas
que contam na tabela correspondem às
regiões acumuladas à esquerda de .
1º passo: esboce a curva sino para
identi�car a área acumulada à esquerda
do escore dado. 
 
2º passo: localize, na tabela de escores , a
probabilidade correspondente e colete o
valor de . 
 
3º passo: use a equação 
para obter o valor desejado.
z =
x−μ
σ
z
z
z
z
x = μ + z ⋅ σ
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 19/26
Com o Quadro 4.1, você pode inserir o passo a passo da coluna à esquerda toda vez que o
exercício lhe fornecer um escore e solicitar um valor de probabilidade. Para os exercícios que
fornecem um valor de probabilidade, você deve proceder conforme passo a passo descrito na
coluna da direita. 
praticarVamos Praticar
O nascimento do primeiro dente em um bebê é, em média, no 177º dia de vida da criança, tendo um
desvio-padrão de 14 dias. Assumindo que essa idade segue uma distribuição normal, determine o
número de dias mínimo para o qual, a partir dessa idade, 70% das crianças já tenham o seu primeiro
dente.
a) Aproximadamente 153 dias.
b) Aproximadamente 192 dias.
c) Aproximadamente 141 dias.
d) Aproximadamente 195 dias.
e) Aproximadamente 184 dias.
z
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 20/26
indicações
Material
Complementar
L I V R O
Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia
- Capítulo 6
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521622062
Comentário: Neste livro você encontrará outros exemplos e
aplicações de todo o conteúdo trabalhado na unidade, além de
inúmeros exercícios para fortalecer e �xar seu aprendizado.
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 21/26
W E B
Distribuição Normal
Ano: 2015
Comentário: Esse vídeo contempla os principais tópicos do
conteúdo da nossa unidade. Ele inicia tratando das principais
características da Distribuição Normal. Em seguida, aborda as
propriedades da curva Normal, incluindo a in�uência dos
parâmetros média e desvio na geometria de tal curva. Por �m,
orienta como realizar a padronização de uma curva Normal. Assista
ao vídeo no link a seguir.
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=MoGes4OzsIk
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 22/26
conclusão
Conclusão
Aqui chega ao �m o conteúdo do seu curso básico de estatística. Agora você já pode se dizer
conhecedor de todas as ferramentas básicas da estatística descritiva e da teoria das
probabilidades. Pode, também, utilizar todo o conteúdo visto para realizar análise e tratativa de
dados de forma assertiva e coerente quanto ao rigor cientí�co exigido no ensino superior.
Aproveite para fazer uma revisão de todo o conteúdo trabalhado no semestre, realizar todas as
atividades práticas da disciplina e responder muitos exercícios até obter con�ança quanto ao
que aprendeu.
referências
Referências
Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros.
Rio de Janeiro: LTC, 2003.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia,v. único. 11. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2013.
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 23/26
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 24/26
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 25/26
04/12/2020 Ead.br
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 26/26