EDO Capítulo 1

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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CARATINGA – FUNEC 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA – UNEC 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
Prof: MSc Robson da Silva 
 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
As Equações Diferenciais Ordinárias (EDOS) é parte de uma disciplina que 
compõe o ciclo básico de saberes a serem desenvolvidos no curso de exatas. Logo 
sua compreensão e domínio são de fundamental importância para um bom desempe-
nho durante os cursos de engenharia, matemática e física, bem como qualquer curso 
na área de exatas. É bom que você tenha em mente que esta disciplina serve como 
pré-requisito para disciplinas especificas do curso que você irá participar e que as 
técnicas aqui estudadas iram facilitar a compreensão e solução de eventuais proble-
mas que encontrará em sua área de atuação profissional. 
O estudo das equações diferenciais ordinárias, tem início com os próprios cria-
dores do cálculo, Newton e Leibniz, no final do século XVII. Motivados por problemas 
físicos. A preocupação dominante desde aquela época até meados do século XIX, era 
a obtenção de soluções das equações de forma explicita. Hoje a utilizamos as equa-
ções diferenciais ordinárias para modelar problemas que envolvem taxas de variação 
e derivadas. 
Para facilitar o entendimento e dinamizar o estudo, esse curso foi dividido em 
seis capítulos, onde foi priorizado os principais tópicos necessários para a formação 
nas áreas de extas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
 
1. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
Em algum momento durante o seu curso, você já deve ter ouvido falar em 
equações diferenciais. Alguns de seus colegas e amigos já devem ter comentado, em 
algum momento que esta disciplina deve ser a mais difícil do curso. Porém de antemão 
posso lhe garantir que isso não passa de um equívoco e que as EDOs são mal com-
preendidas dentro do contexto das exatas. O que peço a você e que tenha perseve-
rança e empenho no estudo das EDOs e forme você mesmo sua opinião sobre o 
conteúdo. Espero que ao final, você perceba a importância dessa ferramenta na solu-
ção de problemas em engenharia e áreas afins. 
Por experiencia, acredito que, ao menos três perguntas ficam ressoando na 
cabeça de qualquer estudante no início do estudo das EDOs. 
 
• O que são equações diferenciais? 
• Para que servem as equações diferenciais? 
• Para que eu devo aprender a resolver equações diferenciais? 
 
Se você, também está se perguntado a mesma coisa. Convido para que jun-
tos, respondamos a esses questionamentos. 
 
1.1 O que são equações diferenciais? 
 
Na literatura existem vários modos diferentes de classificar o que venha a ser 
uma equação diferencial. No entanto eu particularmente gosto de referir a, estas como 
sendo uma poderosa ferramenta de cálculo, que é utilizada para resolver problemas 
que envolvam taxas de variação. Se o termo taxas de variação nesse momento lhe 
possa parecer desconhecido lembre-se, isso é o que você está procurando quando 
faz uma derivada. No Cálculo Diferencial e Integral I, o professor deve ter lhe ensinado 
que uma das definições de derivada seria medir a taxa de variação de uma variável 
em função de outa ou ainda: 
 
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dx
dy
xFy == )('' 
 Nesse exemplo estamos querendo saber qual a taxa de variação da função y 
(que pode estar representando a posição no eixo y) em razão da variável x (posição 
no eixo x). Ou simplesmente encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto 
sobre uma curva, figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em resumo equações diferenciais são equações que envolvam derivadas ou diferen-
ciais. 
 
 
1.2 PARA QUE SERVEM AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS? 
 
No geral as equações diferenciais servem para descrever problemas que en-
volvam taxas de variações e suas soluções descrevem o comportamento das variá-
veis conforme o problema se evolui. 
Problemas que são baseados em uma lei física bem estabelecida devem ser 
resolvidos usando técnicas de equações diferenciais e são conhecidos como mode-
los matemáticos. 
Figura 1: Derivada de uma função num ponto 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 01/10/2020 
 
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Já problemas observacionais, mas que não se baseiam em uma lei física bem 
estabelecida, não configura um modelo matemático, com tudo, podemos utilizar equa-
ções diferenciais para resolvê-los. 
 
1.2.1 Exemplo de modelo matemático 
 
Considere um objeto em queda do alto de uma torre de 300 metros acima do nível do 
mar. A interação do objeto com o fluido que o cerca é 2 kg/s (dois quilogramas por 
segundo). Determine a velocidade a qual o objeto toca o solo? 
 
Esse é um problema clássico dos livros de física. Você já deve ter se deparado 
com problemas desse modelo e deve ter ficado tentado a resolvê-lo utilizando as leis 
do movimento uniforme variado estudado em física 1. O caso é que esse problema se 
baseia na aplicação da segunda lei de Newton, o que o torna um problema de mode-
lagem e deve ser resolvido usando uma equação diferencial de primeira ordem. Logo 
as equações de movimento uniforme variável, falhariam em sua solução. 
 
1.2.2 Exemplo de modelo não matemático 
 
Considere uma população de ratos do campo que habitam certa área rural. Vamos 
supor que na ausência de predadores a população cresça a uma taxa de cinquenta 
por cento da população atual ao mês. E ainda exista nas vizinhanças corujas que 
frequentemente abatam 15 ratos por dia. Se a população inicial for de 800 ratos qual 
será a população ao final de seis meses? 
 
Outro exemplo de aplicação que envolve equações diferenciais, são os pro-
blemas observacionais. Estes, não se baseiam em uma lei física já estabelecida, logo, 
não configura um modelo matemático, com tudo, podemos utilizar equações diferen-
ciais para resolvê-lo. 
 
1.3 PARA QUE EU DEVO APRENDER A RESOLVER EQUAÇÕES DIFERENCI-
AIS? 
 
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Você deve ter percebido, analisando os dois problemas apresentados na sub-
seção 1.2.1 e 1.2.2, que em alguns casos, os conhecimentos desenvolvidos por você 
até aqui não dão conta de resolvê-los. Sendo necessário outra abordagem a fim de 
solucioná-los. É justamente aí que entra a necessidade de aprender a resolver equa-
ções diferenciais. Pois além de proporcionar a você estudante uma solução ou uma 
família de soluções para um problema, proporcionam um enorme desenvolvimento 
em sua linha de raciocínio.1.4 MODELOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 
Retomando ao problema do objeto em queda: 
 
Um objeto em queda do alto de uma torre de 300 metros acima do nível do mar. A 
interação do objeto com o fluido que o cerca é 2 kg/s (dois quilogramas por segundo). 
Determine a velocidade a qual o objeto toca o solo? 
 
Como você deve se lembrar, esse problema constitui um modelo matemático, 
pois o seu comportamento é descrito por uma lei física bem estabelecida. A solução 
para esse problema está bem definida na aplicação da segunda lei de Newton. 
A ideia fundamental para chegar à solução desse problema será dividida em 
etapas, então, com frequência voltaremos a esse ponto. 
 A primeira etapa, preocuparemos em provar que esse problema é um modelo 
matemático e encontrar a equação diferencial que descreve o seu comportamento. 
Na segunda etapa estudaremos o comportamento da equação diferencial uti-
lizando o método de campos de direção. 
A terceira etapa será, resolver a equação diferencial e determinar uma equa-
ção que descreva o movimento. 
A quarta etapa consiste em aplicar as condições iniciais do problema a fim de 
obter a equação que resolva o problema. 
Agora é hora de praticar, resolva nas ATIVIDADES PROPOSTAS AULA 1 que 
está em ATIVIDADE COMPLEMENTAR os exercícios 1, 2 e 3. 
 
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E por fim responder à pergunta fundamental a que se refere o problema. (Qual 
a velocidade que o objeto toca o solo?). 
De modo geral toda solução que envolve modelos matemáticos, deve seguir 
essas etapas em seu desenvolvimento. 
 
1.4.1 Modelagem (modelo matemático) 
 
A ideia nesse caso seria aplicar a segunda lei de Newton para obter a equação 
diferencial que descreve o problema. A segunda lei de Newton afirma que: Ao somar-
mos todas as forças que atuam em um corpo a força resultante é igual ao produto da 
massa pela aceleração. 
 
Em termos matemáticos: 
 
amFr .= (1) 
 
Onde 
Fr representa a força resultante, m a massa do corpo e a aceleração. 
 
Agora vamos determinar quais as forças estão presentes nesse problema. 
 
Primeiro, como o objeto está em queda, a força responsável por esse efeito seria a 
força gravitacional. Ou seja, igual a peso do objeto. 
 
�⃗�𝑔 = �⃗⃗� = 𝑚�⃗� (2) 
Onde 
P é a força peso, m a massa do objeto e g a aceleração da gravidade. 
 
Segundo: como o objeto está imerso em um fluido (ar) a interação gera uma força de 
atrito (força de arrasto) dada por: 
vA = (3) 
 
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Onde 
A é a força de arrasto, γ e o coeficiente de interação corpo fluido e ν é a velocidade 
do objeto. 
 
No diagrama de corpo livre: 
 
 
Resolvendo, temos: 
 
 
 
 
Lembre-se que a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a aceleração é a 
taxa de variação da velocidade pelo tempo. O que resulta: 
 
( ) ( )
m
vmg
dt
dv tt −
=
 (4)
 
 
Na equação 4, a variável independente é o tempo e a variável dependente é a veloci-
dade, ou seja, a velocidade é uma função do tempo, mas vou omitir de proposito esse 
fato nas notações dos problemas para simplificar o entendimento, mas lembre-se 
sempre desse fato. 
Logo: 
m
vmg
dt
dv −
=
 (5)
 
 
Veja que agora, a equação apresenta nos dois lados uma mesma variável 
velocidade. Então, essa é a equação a equação diferencial que descreve o movimento 
do objeto em queda. E como partimos da aplicação da segunda lei de Newton para 
encontrá-la, classificamos o problema como um modelo matemático. 
 
1.4.2 Modelagem (modelo observacional) 
 
vmgma
ApFr
−=
−=
 
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Considere uma população de ratos do campo que habitam certa área rural. Vamos 
supor que na ausência de predadores a população cresça a uma taxa de cinquenta 
por cento da população atual ao mês. E ainda exista nas vizinhanças corujas que 
frequentemente abatam 15 ratos por dia. Se a população inicial for de 800 ratos qual 
será a população ao final de seis meses? 
 
Como esse problema não possui uma base física estabelecida. Vamos direto 
para a montagem da equação que descreve a taxa de variação das grandezas envol-
vidas. O restante do problema irá seguir a mesma dinâmica do problema anterior e 
discutiremos isso no futuro. 
A ideia fundamental aqui, se baseia no fato em que a taxa de variação da 
população
dt
dP
 é proporcional à população atual menos os indivíduos abatidos por co-
rujas, podemos escrever como: 
 
ArP
dt
dP
−=
 (6) 
 
(lembre-se que a população P(t) é função do tempo) 
 
Onde, P representa a população, r e a taxa de proporcionalidade e A o número de 
indivíduos abatidos. Como esse problema não se baseou em uma lei física, dizemos 
que não representa um modelo matemático. 
 
 
 
 
1.5 CAMPOS DE DIREÇÕES. 
 
Campos de direções é uma ferramenta muito útil na compreensão qualitativa 
a respeito da evolução do problema. Ela nos permite prever a tendência das soluções 
apresentadas pelas equações diferenciais, sem ser preciso resolvê-las. Como ainda 
Agora é hora de praticar, resolva nas ATIVIDADES PROPOSTAS AULA 1 que 
está em ATIVIDADE COMPLEMENTAR os exercícios 4, 5 e 6. 
 
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não trabalhamos as resoluções de equações diferenciais, a construção dos campos 
de direções é um grande passo na direção da compreensão das equações diferenci-
ais. 
Novamente vamos utilizar o problema do objeto em queda como exemplo para 
a construção de campos de direções. 
 
Considere um objeto em queda do alto de uma torre de 300 metros acima do nível do 
mar. A interação do objeto com o fluido que o cerca é 2 kg/s (dois quilogramas por 
segundo). Determine a velocidade a qual o objeto toca o solo? 
 
A modelagem desse problema nos forneceu a equação diferencial de primeira 
ordem dada pela equação 4. 
 
m
vmg
dt
dv −
=
 
 
Agora substitua as constantes do problema skgesmg /2²/8,9 ==  , para esse 
problema vamos considerar a massa do corpo como sendo 10 kg. O que resulta em: 
 
kg
vskgsmkg
dt
dv
10
/2²/8,910 −
=
 
 
Dividindo tudo pela massa 
 
, 
 
(note que as unidades de medida são condizentes com a aceleração) 
 
Para facilitar vou escrever a equação diferencial omitindo as unidades de medida. 
 
 
 
s
v
s
m
dt
dv
5²
8,9
−=
5
8,9
v
dtdv
−=
 
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Essa é a equação diferencial que descreve unicamente esse problema. 
 
Muito bem, estamos prontos para construir o esboço do campo de direções 
do problema do objeto em queda. Vou utilizar a técnica que acredito ser a mais fácil 
para a construção desse campo, mas não se surpreenda se encontrar outras manei-
raras de construir. O gráfico que será construído é um gráfico em duas dimensões, 
você já deve estar familiarizado com esse modelo, é o mesmo utilizado em matemá-
tica básica, onde o eixo das abcissas é representado pelo eixo x e o eixo das ordena-
das é representado pelo eixo y. 
Para esse gráfico vamos utilizar a variável velocidade (ν) no eixo das ordena-
das e a variável tempo (t) no eixo das abcissas. 
Vamos agora determinar através da equação diferencial o ponto ou os pontos 
de equilíbrio da função, ou seja, se existe algum ponto onde a taxa de variação seja 
nula. Isso é determinado fazendo a taxa de variação sendo zero: 
0=
dt
dv
, o que fornece: 
 
 
 
Isto significa que em qualquer tempo em que a velocidade do corpo for v = 49m/s, a 
taxa de variação da velocidade pelo tempo será nula. Graficamente, como a derivada 
fornece a inclinação da reta tangente em um ponto sobre uma curva e nesse caso a 
taxa de variação foi zero significa que o ângulo da reta tangente será zero. 
Note que em qualquer tempo em que a velocidade for 49m/s a inclinação das retas 
exibidas nos gráficos é igual a zero. 
 
Plotando essa informação no gráfico temos: 
smv
v
/49
5
8,90
=
−=
 
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Para complementar o gráfico, devemos escolher no mínimo duas velocidades 
acima do ponto de equilíbrio e duas velocidades abaixo e descobrir a inclinação do 
seguimento de reta referente a estas velocidades. Vou escolher as velocidades 50m/s 
e 51 m/s para formar os pontos acima e 48m/s e 47m/s para formar os pontos abaixo. 
 
Resolvendo a equação para essas velocidades: 
 
Acima: 
 
 
 
 
 
Abaixo: 
 
 
 
 
 
 
2,0
6,98,9
5
48
8,9
=
−=
−=
dt
dv
dt
dv
dt
dv
4,0
2,108,9
5
51
8,9
−=
−=
−=
dt
dv
dt
dv
dt
dv
2,0
2,0108,9
5
50
8,9
−=
−=−=
−=
dt
dv
dt
dv
dt
dv
4,0
4,98,9
5
47
8,9
=
−=
−=
dt
dv
dt
dv
dt
dv
 
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Para determinar a inclinação da reta tangente vamos usar a equação 6: 
 
dt
dv
g 1tan −=
 (6) 
 
Onde  é o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo das abcissas, 
1tan −g é 
uma função que existe nas calculadoras cientificas e
dt
dv
 é o resultado que você ob-
teve substituindo ν em cada uma das operações feitas acima. Assim temos: 
 
º69,168º31,112,0tantan 11 oug
dt
dv
g −=−== −−
 
º2,158º80,214,0tantan 11 oug
dt
dv
g −=−== −−
 
Para as velocidades 50m/s e 51m/s. Note que as retas tangentes devem ser decres-
centes nessas velocidades e a inclinação da reta na velocidade de 51m/s deve ser 
maior que a da velocidade de 50m/s. 
 
Para as velocidades 48m/s e 47m/s: 
º31,112,0tantan 11 === −− g
dt
dv
g
 
º80,204,0tantan 11 === −− g
dt
dv
g
 
Note que as retas tangentes devem ser crescentes, e para a velocidade de 47m/s a 
inclinação será maior. 
Vamos usar: 
 
 
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Velocidade 
m/s 
dt
dv
 
Ângulo  Esboço 
Da 
inclinação 
51 -0,4 158,2º 
50 -0,2 168,69º 
49 0 0º 
48 0,2 11,31º 
47 0,4 20,80º 
 
Plotando essas informações no gráfico: 
 
Observe que o gráfico das soluções sugere um padrão de curvas voltado para 
o ponto onde a taxa de variação é nula. Nesse caso dizemos que as soluções conver-
gem para um ponto de equilíbrio. Nós podemos interpretar que não importa a veloci-
dade inicial do objeto. A velocidade máxima que ele poderá atingir é de 49m/s. Isto é 
se o objeto for abandonado do alto da torre com velocidade inicial zero a força peso 
irá acelerá-lo até sua velocidade chegar próxima a 49m/s. Ou se o objeto for arremes-
sado para baixo com a velocidade inicial superior a 49m/s a força de atrito ira desace-
lerá-lo até que sua velocidade fique próxima de 49m/s. Então, para esse problema 
49m/s é a velocidade terminal do objeto. 
 
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Você observou que mesmo sem resolver a equação diferencial o campo de 
direções nos forneceu muita informação sobre o comportamento do corpo nesse pro-
blema. Agora convido você a fazer o esboço do gráfico do problema de dinâmica po-
pulacional. É só você seguir os mesmos passos do problema do corpo em queda. 
Bom trabalho! 
 
 
 
 
 
1.6 CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas em sua consti-
tuição. No cálculo como na área das exatas, podem aparecer grandezas e funções 
que podem ser deriváveis mais de uma vez, bem como equações diferenciais eleva-
das a diversos expoentes. É comum, encontrar também equações diferenciais que 
sejam lineares ou não lineares. De modo que saber classificar uma equação diferen-
cial quanto a sua formação pode tornar a tarefa de resolvê-la mais fácil e dinâmica. 
 
1.6.1 Equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. 
 
Equação diferencial ordinária (EDO) são equações que possuem apenas uma 
única variável independente na sua formulação. 
Exemplos: 
a) 
 
b) c) 
 
Nestas equações a variável INDEPENDENTE É O TEMPO. 
 
Equação diferencial parcial (EDP) são equações diferenciais que possuírem 
duas ou mais variáveis independentes na sua formulação. 
ArP
dt
dP
−= 26
²
²
+=+ y
dt
dy
dt
yd
y
dt
dy
dt
yd
2
³
³
42
=





+





Agora é hora de praticar, resolva nas ATIVIDADES PROPOSTAS AULA 1 que 
está em ATIVIDADE COMPLEMENTAR os exercícios 7, 8 e 9. 
 
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Exemplos: 
 
a) 
 
b) 
 
 
1.6.2 Classificação quanto a ordem e grau de uma equação diferencial. 
 
A ordem de uma equação diferencial está ligada a ordem da derivada de maior 
ordem que aparece na equação. As equações que descreveram os problemas apre-
sentados nas seções anteriores são equações diferenciais ordinárias de primeira or-
dem, pois os expoentes da derivada era um. 
 
m
vmg
dt
dv −
=
 e 
ArP
dt
dP
−=
 
e ainda: 
te
y
yexx
dx
ydyy −=−−==+
2
1'5³3
²
²
,6'2''
. 
São equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. 
 
O grau de uma equação diferencial é determinado observando o maior expo-
ente ao qual a derivada de maior ordem está elevada. 
Exemplo: 
26
²
²
+=+ y
dt
dy
dt
yd
 
 
É uma equação diferencial ordinária de ordem 2 e grau 1, pois a derivada de maior 
ordem está elevada ao expoente 1 
 
y
dt
dy
dt
yd
2
³
³
42
=





+





 
 
É uma equação diferencial de ordem 3 e grau 2. 
yx
y
z
x
z
²6=


+




=


+


²²
²
y
V
x
V
 
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1.6.3 Equações diferenciais lineares e não lineares: 
 
Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n 
como, 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) g(x)yxa
dx
d
a
dx
d
a
dx
d
xa 011-n
1-n
1-nn
n
n =++++
y
x
y
x
y
 . (7) 
 
A linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente, e que y e 
todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, ob-
temos uma equação linear de primeira ordem. Ou seja: Uma equação diferencial da 
forma 
 
( ) ( ) g(x)yxa
dx
d
a 01 =+
y
x (8) 
 
É chamada de equação linear, uma equação que não é da forma 
 
( ) ( ) ( ) ( ) g(x)yxa
dx
d
a
dx
d
a
dx
d
xa 011-n
1-n
1-nn
n
n =++++
y
x
y
x
y

 (9) 
É uma equação não linear. A equação 10: 
 
4'''2''' tyyyey t =++
 (10) 
 
É não linear devido à expressão. 
 
'yy 
 
1.6.4 Sistema de equações diferenciais. 
 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 18 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Um sistema de equações diferenciais múltiplo é um sistema constituído por 
duas ou mais equações envolvendo derivadas (não necessariamente de primeira or-
dem) de duas ou mais variáveis dependentes relativamente a uma só variável inde-
pendente. Exemplo: 
 






+−=
−=
xycy
dt
dy
xyax
dt
dx


 (11)
 
 
 
 
 
1.7 TEOREMA DA UNICIDADE E NOTAS HISTÓRICAS 
 
Nesta seção, iremos estender um pouco mais nosso conhecimento no entorno 
das equações diferenciais ordinárias. Vamos trabalhar o teorema de unicidade e al-
guns contextos históricos que fizeram parte da elaboração dessa grandiosa ferra-
menta de cálculo. 
Embora ainda não tenhamos resolvido nenhuma equação diferencial. Como 
podemos verificar se uma solução é a solução de uma equação diferencial? 
Antes de começarmos, vamos pensar sobre um questionamento plausível que 
assombra os entusiastas de cálculo. Uma equação diferencial tem sempre uma solu-
ção? 
A resposta é não. Modelar um problema na forma diferencial não significa ne-
cessariamente que exista uma função que a satisfaça. Então como podemos saber se 
uma determinada equação tem solução? 
A questão de existência de solução é respondida por teoremas. E afirmam 
que sob certas condições sobre a função, a equação diferencial sempre tem solução. 
Se supusermos que uma equação diferencial dada tem pelo menos uma solução, é 
Agora é hora de praticar, resolva nas ATIVIDADES PROPOSTAS AULA 1 que 
está em ATIVIDADE COMPLEMENTAR os exercícios 10, 11 e 12. 
 
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UNEC / EAD DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
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natural perguntar quantas soluções ela tem e que condições adicionais devem ser 
especificadas para se obter uma única solução. 
No geral, soluções de equações diferenciais contém uma ou mais constantes 
arbitrárias como solução e podem representar uma infinidade de funções correspon-
dendo a infinidade de escolhas possíveis constantes C. Então a solução para tal é 
dado pelo teorema da unicidade de solução. 
Para equações lineares, as respostas para essas questões são dadas pelos 
teoremas: 
 
Teorema 1 
Se as funções p e q são continuas em um intervalo aberto   tI : con-
tendo o ponto 0tt = então existe uma única função ( )ty = que satisfaz a equação 
diferencial ( ) ( )tgytp
dt
dy
=+ para cada t em I e que também satisfaz a condição inicial
( ) 00 yty = onde 0y é um valor inicial arbitrário dado. 
 
Teorema 2 
Suponha que as funções 
y
f
ef


são continuas em algum retângulo 
  yt , contendo o ponto ( )00 , yt . Então, em algum intervalo aberto 
httht +− 00 
contido em   t existe uma única solução para o problema de 
valor inicial. ( )ytf
dt
dy
,= ( ) 00 yty = 
 
 
 
 
Agora é hora de praticar, resolva nas ATIVIDADES PROPOSTAS AULA 1 que 
está em ATIVIDADE COMPLEMENTAR os exercícios 13, 14 e 15.