Conceito de Limite de uma função

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Bases Matemáticas para
Engenharia
Aula 10 - Conceito de Limite de uma função
INTRODUÇÃO
O conceito de limites é o alicerce para o estudo de diversas partes da Matemática. Porém, nem sempre eles foram
claros e objetivos como nos dias atuais. Por várops séculos, os conceitos que envolvem este assunto eram confusos e
desprovidos de formalidade. Baseavam-se muito mais em convicções �losó�cas e subjetivas do que em rigor formal e
demonstrações matemáticas.
A de�nição de limites que temos hoje foi motivada por estudos de cálculos das retas tangentes a curvas e das áreas
de superfícies. Foram necessárias algumas centenas de anos para que houvesse o amadurecimento das ideias que
estudaremos a partir de agora: Limites de funções.
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Reconhecer o comportamento das funções torna-se muito importante na medida em que esteja representando um
determinado fenômeno real. Assim, compreender o comportamento de uma função, nessas condições, signi�ca
compreender o comportamento do fenômeno por ela representado.
OBJETIVOS
De�nir o conceito de limite de uma função;
Aplicar as propriedades básicas de limite;
Resolver limites envolvendo funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas;
Resolver limites de funções envolvendo indeterminações;
Analisar limites especiais.
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1. CONCEITO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
1.1 Ideia Intuitiva e De�nição Informal
Consideramos uma �gura de forma quadrada e de área igual a 1.
Vamos colorir de azul metade dessa �gura.
Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco.
Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco.
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Continuando esse processo, podemos notar que a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto
é, a área vai se aproximando de 1.
Dizemos então, que o limite dessa soma é igual a 1.
Atenção
, Quando a�rmamos que a área da região colorida tende a 1, signi�ca que ela se aproxima de 1, sem, no entanto assumir esse
valor.
Agora, vamos observar o grá�co da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 de�nida nos reais.
Note que quando os valores de x se aproximam de 3 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5.
Podemos escrever:
Vejamos outra situação:
Suponhamos uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente, pois está sendo aquecida, seja x o
comprimento do lado, e 𝐴 = área da placa, temos que 𝐴 = 𝑥 .2
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Quanto mais x se aproxima de 3, a área A tende a 9.
Simbolicamente:
De�nição de limite
Seja 𝑓(𝑥) uma função e 𝑎 é um número real. Podemos escrever:
Dizemos que o limite da função 𝑓(𝑥), quando 𝑥 se aproxima de um determinado número “a”, é o número real L, se, e
somente se, os números reais da imagem da função permanecem próximos de L, para os in�nitos valores de 𝑥
próximos de “a”.
Veja que os valores de 𝑓(𝑥) �cam cada vez mais próximos do número L, à medida que 𝑥 tende ao número 𝑎 ( por
qualquer lado de 𝑎), mas 𝑥 ≠ 𝑎.
Exemplo
, 
, , No exemplo dado, o limite da função é 4. Intuitivamente dizemos que uma função 𝑓(𝑥) tem limite L quando x tende para a, se é
possível tomar 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de 𝑥, 𝑥 ≠ 𝑎, su�cientemente próximos de a.
Unicidade do Limite
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Que uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando 𝑥 se aproxima do número 𝑎.
De�nição formal de limite
Seja f uma função de�nida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio 𝑎.
Então, dizemos que o limite de 𝑓(𝑥) quando x se aproxima de 𝑎 é L, e escrevemos:
Se para todo número ε > 0 há um número correspondente δ > 0 tal que:
Se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
Uma vez que |𝑥 − 𝑎| é a distância de 𝑥 até 𝑎 e |𝑓(𝑥) − 𝐿| é a distância de 𝑓(𝑥) a 𝐿, e como ε pode ser arbitrariamente
pequeno, a de�nição de limite pode ser expressa em palavras da seguinte forma:
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Observação:
A existência do limite de uma função, quando x → a , não depende necessariamente que a função esteja de�nida no
ponto a, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do
ponto a, porém não coincidente com a, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto a.
Para exempli�car, analisemos o cálculo do limite da função abaixo, para x → 3.
Observe que para x = 3, a função não é de�nida.
Mas, temos que 𝑥 − 9 = (𝑥 + 3) . (𝑥 − 3).
Exemplos
, 
2. PROPRIEDADES BÁSICAS DE LIMITE
2.1 Função Identidade
O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende a “a”, é igual a “a”.
2
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2.2 Função Constante
O limite de uma função constante f(x) = K, quando x tende a “a”, é igual à própria constante:
2.3 Soma ou Subtração
O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites.
2.4 Produto
O limite do produto é o produto dos limites.
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2.5 Quociente
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
2.6 Potência
O limite da potência de uma função (f(x)) , onde n é um número inteiro positivo, é igual à potência do limite da função.
2.7 Radiciação
n
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Observação 1:
Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por substituição.
Exemplos:
Observação 2:
Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero.
Exemplos:
Exemplo
, Antes de continuar, clique aqui (galeria/aula10/docs/a10_03_01.pdf) e veja alguns exemplos.
3. LIMITES LATERAIS
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Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais.
Assim, podemos de�nir:
TEOREMA
Exemplo
, Para entender melhor o conteúdo, clique aqui (galeria/aula10/docs/a10_04_01.pdf) e veja alguns exemplos.
4. CONTINUIDADE
Nos casos em que a função 𝑓(𝑥) estiver de�nida no ponto a, e existir o limite da função 𝑓(𝑥) para x → a e este limite
coincidir com o valor da função no ponto a, diremos que a função 𝑓(𝑥) é contínua no ponto a. Ou seja, dizemos que a
função f é contínua em um número a se, e somente se as seguintes condições forem válidas:
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A noção de continuidade de uma função, em um ponto a, está associada aos limites laterais. Como foi visto
anteriormente, o limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais são iguais:
Exemplo
, Antes de continuar, veja alguns exemplos (galeria/aula10/docs/a10_05_01.pdf) para entender melhor.
5. LIMITES INFINITOS
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Fonte:
De um modo geral, o limite de uma função é in�nito, quando os valores de f(x) vão �cando cada vez maiores,
superando qualquer valor �xado; da mesma forma, dizemos que o limite de uma função é menos in�nito, quando os
valores de f(x) vão �cando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor �xado.
Exemplo
, Antes de continuar, veja alguns exemplos (galeria/aula10/docs/a10_06_01.pdf) para entender melhor.
EXERCÍCIO
Vamos testar seus conhecimentos. Resolva o exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-
los em seu caderno e, depois de concluídos, conferir o resultado.
Determine o seguinte limite:
Procedimento: 
• Resolva a equação 2x + 5x + 1 = 0 encontrando assim as raízes da equação do segundo grau; 
• Faça o estudo do sinal da função; 
• Resolva a equação x - x - 6 = 0 encontrando assim as raízes da equação do segundo grau; 
• Faça o estudo do sinal da função; 
• Por último, estude o sinal da função f(x)/g(x) através do quadro, quando x se aproxima de 3.
Resposta Correta
6. LIMITES NO INFINITO
Veja o grá�co da função:
O que podemos observar é, à medida que os valores de x cres cem, mais o valor de 𝑓(𝑥) se aproxima do valor 0.
2
2
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Da mesma forma, para valores de x que decrescem ilimitadamente observamos que os valores de 𝑓(𝑥) também se
aproximam do valor 0.
Veja o grá�co da função:
Assim, podemos escrever que:
Dizemos que uma variável 𝑥 tende ao in�nito (𝑥 → ∞), se 𝑥 se torna um número positivo cada vez maior, crescendo sem
limite e, que 𝑥 tende a menos in�nito (𝑥 → −∞), se 𝑥 é negativo e decresce sem limite.
Assim, dizemos que, quando 𝑥 cresce ilimitadamente (ou inde�nidamente), 𝑓(𝑥) se aproxima do número 𝐿 e
escrevemos:
Analogamente, podemos de�nir os seguintes limites:
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Vamos considerar os seguintes teoremas:
Teorema 1
Se n é um número inteiro e positivo, então:
Teorema 2
Se 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 , 𝑎 ≠ 0 é uma função polinomial, então:
O limite, nos extremos de uma função polinomial, é igual ao limite do seu termo de maior
expoente, pois colocando-se este termo em evidência todos os outros termos tendem a 0.
Veja:
Entenda melhor através de alguns exemplos.
Teorema 3
Se 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 , 𝑎 ≠ 0 e 𝑔(𝑥) = 𝑏 + 𝑏 𝑥 + ... + 𝑏 𝑥 , 𝑏 ≠ 0
São funções polinomiais, então:
0 1 𝑛
𝑛
𝑛
0 1 𝑛
𝑛
𝑛 0 1 𝑚
𝑚
𝑚
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Se tivermos o limite nos extremos de um quociente de dois polinômios, ele será igual ao
limite do quociente dos termos de maior expoente do numerados e do denominador.
Entenda melhor através de alguns exemplos.
7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Podemos encontrar grá�cos que se aproximam de uma reta 𝑥 = 𝑎 na medida em que 𝑥 cresce ou decresce. Essa reta é
chamada de assíntota.
No nosso estudo, vamos analisar as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais.
Assíntotas Verticais
Note a maneira pela qual o grá�co se aproxima da reta vertical 𝑥 = 5.
A reta 𝑥 = 5 é chamada de assíntota vertical do grá�co.
A reta vertical 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota vertical do grá�co da função f se pelo menos uma das seguintes condições
for válida:
Exemplo
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, 
Assíntotas Horizontais
A linha horizontal 𝑦 = 2 é chamada assíntota horizontal do grá�co, pois:
A linha horizontal 𝑦 = 𝑏 é chamada de assíntota horizontal do grá�co de uma função f se pelo menos uma das
seguintes condições for válida:
Exemplo
,
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8. LIMITES ESPECIAIS
8.1 Limite das Funções Trigonométricas
Exemplo
,
EXERCÍCIOS
Resolva os exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-los em seu caderno e, depois de
concluídos, conferir o resultado.
Resposta Correta
8.2 Limite Trigonométrico Fundamental
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Exemplo
,
EXERCÍCIOS
Vamos testar seus conhecimentos. Resolva o exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-
los em seu caderno e, depois de concluídos, conferir o resultado.
Resposta Correta
Resposta Correta
8.3 Limite de Funções Exponenciais
Teorema 1
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Teorema 2
Teorema 3
8.4 Limite Exponencial Fundamental
Com relação ao limite das funções exponenciais podemos destacar alguns resultados importantes:
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Exemplo
, Antes de continuar, clique aqui (galeria/aula10/docs/a10_09_02.pdf) e veja alguns exemplos.
8.5 Limite da Função Logarítmica
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
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Glossário
EXEMPLOS
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EXEMPLOS