Aula 05

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Bases Matemáticas para 
Engenharia
Aula 4 - Funções
INTRODUÇÃO
O estudo das funções é relevante, e abrangente, envolvendo um sem número de dificuldades. Há concepções diversas e 
múltiplas representações, fazendo-se necessário, compreender o sentido que pode assumir em diferentes contextos, 
quais significados o aluno pode produzir e de que formas isto se desenvolve no ambiente escolar.
No contexto da matemática escolar, com vistas às aplicações, funções podem ser entendidas como o estudo de relações 
entre grandezas que variam.
A importância desse estudo, na Engenharia, permite a simulação do comportamento de determinada situação de forma 
antecipada, sem ter que necessariamente recorrer a modelos físicos em laboratórios, por exemplo.
OBJETIVOS
Representar pontos no plano cartesiano;
Distinguir uma relação e uma função;
Reconhecer o domínio e o conjunto imagem de uma função.
PLANO CARTESIANO
Fonte da Imagem:
O que é plano cartesiano?
É um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coordenadas formado por dois eixos perpendiculares entre si, sendo 
um horizontal e outro vertical.
Os valores marcados nos eixos x e y são equidistantes, isto é, possuem a mesma distância.
PAR ORDENADO
As coordenadas desse sistema são chamadas de pares ordenados e têm uma representação própria, sendo organizadas 
de forma que o primeiro número seja sempre a abscissa e o segundo sempre a ordenada, estando os dois entre parên-
teses e separados por uma vírgula.
Exemplo
, Antes de continuar, veja dois exemplos (galeria/aula4/docs/a04_02_01.pdf) para entender melhor.
RELAÇÕES E FUNÇÕES
Antes de falarmos sobre função temos que saber primeiro o que é uma relação. Pois, apesar de não ter o mesmo 
conceito, função é um tipo de relação e relação não é função.
Relação
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos então que R é uma 
relação.
Se (x, y) ∈ R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R.
Exemplo
, Se A = {1,2} e B = {3,4}, o produto cartesiano é A x B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e, neste caso, temos algumas relações em A x B:, , R1 = 
{(1,3),(1,4)}, , R2 = {(1,3)}, , R3 = {(2,3),(2,4)}
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir:
Fonte da Imagem:
O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B, através de 
R:
D(R) = {1, 2, 3}.
Fonte da Imagem:
O conjunto imagem da relação R é aquele formado por todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A, 
através de R:
Im(R) = {9, 10, 12, 15}.
Atenção
, O contradomínio é representado por todos os elementos do conjunto B., , CD(R) = {9, 10, 12, 15, 18}
FUNÇÃO
Fonte da Imagem: 1ZiMa / Shutterstock
A ideia de função é muito importante, pois podemos encontrar inúmeras aplicações em nosso cotidiano.
Vejamos algumas dessas aplicações:
• O valor a ser pago, na conta de luz de sua casa, depende do consumo medido no período;
• A nota obtida, em uma prova, é dada em função do número de questões que foram acertadas;
• O valor do rendimento de uma aplicação financeira depende da taxa de juros e do tempo da operação;
• O imposto de renda retido na fonte é dado em função da renda líquida de uma pessoa;
• A área de um terreno é dada em função de suas dimensões;
• O comprimento de uma barra de ferro, quando aquecida, é dado em função da temperatura, pois o ferro se dilata sob o 
calor.
Esses exemplos ilustram como a ideia de função está presente em muitas áreas da atividade humana.
Agora, vamos pensar em uma situação simples do nosso cotidiano.
Um determinado caderno custa 20 reais. Vamos chamar por x o número de cadernos que desejamos comprar e por y o 
valor que iremos pagar, em reais, pelos cadernos. Essa situação pode ser organizada na tabela a seguir, da seguinte 
forma:
Analisando a tabela podemos notar que o valor a pagar (y) vai depender do número de cadernos (x) que forem comprados.
MAS O QUE ISSO SIGNIFICA?
Que, entre as grandezas y e x, temos uma relação representada pela expressão matemática y = x . 20 ou y = 20x.
Agora, observe que para cada valor de x está associado um único valor de y.
Então, podemos concluir que: o valor y a pagar pelos cadernos é dado em função do número x de cadernos, e a 
expressão y = 20x é chamada lei de formação da função (ou regra).
Através da expressão y = 20x podemos responder as seguintes perguntas:
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Uma função é uma regra que associa a um valor de entrada (x) um único resultado (y), denominado valor da função ―
associado ao valor de entrada.
A cada valor de entrada estará associado, portanto, um único resultado.
Veja o diagrama:
Fonte da Imagem:
O diagrama representa uma função, pois todos os valores de entrada do conjunto A = {-1, 0, 1, 2} estão associados, ou 
correspondem, a um único elemento do conjunto B = {-2, 0, 2, 4}.
Considerando a situação problema, dada logo no início, podemos dizer que temos também uma função.
Assim, podemos definir função do seguinte modo:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, podemos dizer que uma relação é uma função de A em B quando a cada elemento x do 
conjunto A está associado a um elemento y do conjunto B.
Veja:
NOTAÇÃO
Agora, vejamos a notação de função de acordo com as condições apresentadas.
Na Matemática, a regra (ou lei de formação) pode ser definida por uma expressão em que o valor de entrada é representado por 
uma variável ou incógnita. A função também pode ser simbolizada por outra variável, ou por outro tipo de designação especial.
Exemplo
, Antes de dar continuidade a seus estudos, clique aqui (galeria/aula4/docs/a04_03_01.pdf) e veja um exemplo.
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Como uma função 𝑓 de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) 
e conjunto imagem (Im) continuam válidos.
O domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável dependente para os quais a função é definida.
Veja um exemplo (glossário) e entenda melhor.
A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, considerando-se 
todos os valores possíveis da variável independente (denomina-se domínio da função).
Veja um exemplo (glossário) e entenda melhor.
, EXERCÍCIOS
Antes de continuar seus estudos, resolva alguns exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-los em seu 
caderno e, depois de concluídos, conferir os resultados.
1. Considere uma função f com domínio real representada por f (x) = −2x + x − 1. Calcule:
a) f (1)
b) f (−1)
2. Dada a função , definida em R - {-3}. Determine:
a) f (−5)
b) f (2)
c) O elemento do domínio cuja imagem é igual a −2.
3. Podemos representar o lucro L (em reais) de um pequeno estabelecimento comercial através da expressão (ou lei de formação) L
(x) = -2x2 + 85x + k, onde x representa o número de unidades vendidas e k uma constante real. O lucro se anula (L = 0) quando são 
vendidas 20 peças. A partir dessa informação determine:
a) O valor da constante k;
b) O lucro que o comerciante pode obter quando ele vender 30 peças.
Gabarito
, Antes de dar continuidade, clique aqui (galeria/aula4/docs/a04_04_01.pdf) para conferir suas respostas.
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Uma função pode ser representada no plano cartesiano.
Mas como podemos fazer isso?
Simples! Vamos construir o gráfico da função dada.
Começamos construindo uma tabela onde devemos colocar os valores de x (variável independente) e os valores de y 
(variável dependente) que calculamos a partir da lei de formação dada.
Note que, para cada valor de x, encontraremos um valor para y, e formaremos assim um par ordenado. Lembre-se que os 
pares ordenados são representados no sistema de eixos cartesianos, e que cada par representa um ponto nesse plano.
Por fim, vamos ligar os pontos construídos e teremos uma visualização da curva.
Vamos entender melhor através de um exemplo.
EXEMPLO
2
Fonte: kaisorn / ShutterstockVamos construir o gráfico da função y = 3x definida no conjunto dos números reais.
Exemplo
, Para reforçar seus estudos, clique aqui (galeria/aula4/docs/a04_05_01.pdf) e veja mais dois exemplos.
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Exemplo
, Para entender melhor sobre funções crescentes e decrescentes, clique aqui (galeria/aula4/docs/a04_06_01.pdf) e veja um 
exemplo.
Classificação das funções
Injetora
Dizemos que uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer dois elementos 
diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B.
Assim, a cada elemento do conjunto domínio A corresponde somente um elemento do 
conjunto B.
Sobrejetora
Dizemos que uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, o conjunto-imagem é 
igual ao contradomínio (B). Assim, f é sobrejetora quando Im(f) = CD(f).
Bijetora
Dizemos que uma função f:A → B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
Exemplo
, Antes de continuar seus estudos, clique aqui (galeria/aula4/docs/a04_08_01.pdf) para ver exemplos e entender melhor o conteúdo.
FUNÇÃO COMPOSTA
Definição
Considere duas funções f (x) e g (x). Podemos obter:
a) Outra função que representaremos por gof (lê-se composta de g com f ), ou seja, (gof)(x) = g(f(x)).
Exemplo:
(gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(2x) = (2x) = 8x
b) Outra função que representaremos por fog (lê-se composta de f com g ), ou seja, (fog)(x) = f(g(x)).
Exemplo:
3 3
(fog)(x) = f(g(x))
(fog)(x) = f(g(x)) = (2x)
EXERCÍCIOS
Antes de continuar seus estudos, resolva alguns exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-
los em seu caderno e, depois de concluídos, conferir os resultados.
Dadas as funções f(x) = x - 3 e g(x) = 2x + 1, determine gof e fog.
Resposta Correta
FUNÇÃO INVERSA
Definição
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A.
Representaremos a função inversa por f . Ela é obtida trocando-se de posição os elementos de todos os pares 
ordenados da função f.
Veja no diagrama:
Fonte da Imagem:
f = {(1,4),(2,5),(3,6)}
f = {(4,1),(5,2),(6,3)}
Veja o procedimento para obtermos a inversa de uma função:
3
2
-1
-1
Veja um exemplo (glossário) para entender melhor.
Fonte da Imagem: Lonely / Shutterstock
Para reforçar seus estudos, clique aqui (glossário) e faça algumas atividades.
Glossário
EXEMPLO
Para as funções f(x) = 2x e f(x) = x² o domínio corresponde a todo o conjunto de números reais.
Veja que para qualquer valor real x estas funções são definidas.
EXEMPLO
Considere, por exemplo, a função y = 2x + 3, em que a variável independente pode assumir qualquer valor no conjunto dos números 
reais (ou seja, o seu domínio é todo o conjunto dos números reais).
Podemos verificar as definições de domínio e imagem de uma função mais claramente através do diagrama de flechas (ou 
diagrama de Euler-Venn).
Observe que:
O conjunto A representa o conjunto do domínio (ou conjunto de partida);
O conjunto B representa o conjunto do contradomínio;
y = f(x) representa o conjunto imagem (ou conjunto de chegada).
EXEMPLO
Seja y = 3x + 2 ou f(x) = 3x + 2 uma função com domínio real. Determine sua função inversa.
Resolução: