2019-2-AP1-AII-Gabarito

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Álgebra II
AP1 - Gabarito
Questão 1: (3,0 pontos)
(a) (1,5 pontos) O conjunto C (R) = {f : R −→ R; f é cont́ınua}, munido das operações
usuais de soma e composição de funções não é um anel. Apresente um contra-exemplo para
demonstrar essa afirmação.
(b) (1,5 pontos) Considere o anel não comutativo M2x2(R) das matrizes reais quadradas
de ordem 2. O conjunto das matrizes não invert́ıveis
A = {M ∈M2x2(R); detM = 0}
é um subanel de M2x2(R)? Justifique sua resposta.
Solução:
(a) Dados f(x) = x2, g(x) = 3x e h(x) = x + 1, tem-se que
(f ◦ (g + h)) (x) = f ((g + h)(x)) = f (4x + 1) = (4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1
e
((f ◦ g) + (f ◦ h)) (x) = f(g(x))+f(h(x)) = f(3x)+f(x+1) = (3x)2+(x+1)2 = 10x2+2x+1.
Logo, não vale a propriedade distributiva.
(b) NÃO. Contra-exemplo:
X =
1 0
0 0
 e Y =
0 0
0 1

De fato
• detX = detY = 0 =⇒ X, Y ∈ A
• X − Y =
1 0
0 −1
 =⇒ det (X − Y ) = −1 6= 0 =⇒ (X − Y ) 6∈ A
1
Questão 2: (2,0 pontos) Mostre que a função ϕ : Z2 → Z2 definida por ϕ(x) = x2 é um
isomorfismo de anéis.
Solução:
De fato,
• ϕ(x + y) = (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = x2 + y2 + 2xy = x2 + y2 = ϕ(x) + ϕ(y)
• ϕ(x · y) = (x · y)2 = x2 · y2 = ϕ(x) · ϕ(y).
• ϕ(0) = 02 = 0 e ϕ(1) = 12 = 1 −→ N(ϕ) =
{
0
}
e Im(ϕ) = Z2
Conclusão: ϕ é um isomorfismo de anéis
Questão 3: (3,0 pontos)
(a) (2,0 pontos) Sabendo que 1 + i é raiz de p(x) = x3 − ax2 + b, determine os valores
a, b ∈ R.
(b) (1,0 pontos) Verifique se o resto da divisão de p(x) = x999 − 2x − 2 por x + 1 em
Z3[x] é dado por 2.
Solução:
(a) Como 1 + i é raiz, então 1− i também o é e, portanto, p(1 + i) = 0 =⇒ 2i− 2− a2i + b = 0p(1− i) = 0 =⇒ −2i− 2 + a2i + b = 0
Dessa forma, resolvendo o sistema, obtém-se a = 1 e b = 2.
(b) Pelo Algoritmo da Divisão, existem q(x) ∈ Z3[x] e r(x) = r ∈ Z3 tais que
p(x) =
(
x + 1
)
· q(x) + r
e, portanto,
r = p
(
−1
)
=
(
−1
)999 − 2 (−1)− 2 = −1 = 2
Conclusão: 2 é o resto da diviso de p(x) = x999 − 2x− 2 por x + 1 em Z3[x].
2
Questão 4: (2,0 pontos) Utilize o Algoritmo da Divisão de Polinônimos para escrever a
função
f(x) =
3x5 − 4x3 + 2x + 5
x3 + x2 − 2
na forma
f(x) = g(x) +
p(x)
q(x)
onde g(x), p(x) e q(x) são polinômios tais que grau(p(x)) < grau(q(x)).
Solução:
Inicialmente vamos efetuar a divisão entre o numerador e o denominador de f(x).
3x5 −4x3 +2x +5 x3 + x2 − 2
−3x5 −3x4 +6x2 3x2 − 3x− 1
−3x4 −4x3 +6x2 +2x +5
+3x4 +3x3 −6x
−x3 +6x2 −4x +5
+x3 +x2 −2
7x2 −4x +3
Logo, pelo Algoritmo da Divisão, tem-se que
3x5 − 4x3 + 2x + 5 =
(
x3 + x2 − 2
) (
3x2 − 3x− 1
)
+
(
7x2 − 4x + 3
)
e, portanto,
f(x) =
3x5 − 4x3 + 2x + 5
x3 + x2 − 2
=
(
3x2 − 3x− 1
)
+
7x2 − 4x + 3
x3 + x2 − 2
.
3