GEOMETRIA PLANA - AULA 07 - CIRCUNFERÊNCIAS

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GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 07 
Prof. Wellington Nishio 
CIRCUNFERÊNCIAS 
 
Definição 
Circunferência é o conjunto dos pontos que são 
equidistantes de um ponto fixo (O) chamado centro. A 
esta distância damos o nome de raio (R). 
 
Elementos 
• Corda: Qualquer segmento com extremidades sobre 
a circunferência. 
• Raio: É qualquer segmento com uma extremidade no 
centro e outra na circunferência. 
• Diâmetro: Corda que passa pelo centro da 
circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine o raio do círculo de centro O. 
Dados: AB = 3x – 3 e OA = x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Reta secante: Se um raio passa pelo ponto médio de 
uma reta secante, ele é perpendicular a essa reta. 
 
Observação: Flecha 
É o segmento que tem uma extremidade na 
circunferência e outra em uma corda, tal que, a reta 
suporte deste segmento passe pelo centro da 
circunferência. 
 
Exemplo: Numa circunferência, uma corda de 60 cm 
tem uma flecha de 10cm. O diâmetro da circunferência 
mede: 
a) 50 cm; 
b) 100 cm; 
c) 120 cm; 
d) 180 cm; 
e) 200 cm. 
 
 
 
 
 
Pontos na circunferência 
- Um ponto P é interno à circunferência quando a 
distância de P ao centro O é menor do que o raio. 
𝑑𝑃,𝑂 < 𝑟 
- Um ponto P pertence à circunferência quando sua 
distância ao centro O é igual ao raio. 
𝑑𝑃,𝑂 = 𝑟 
- Um ponto P é exterior à uma circunferência quando 
sua distância ao centro O é maior do que o raio. 
𝑑𝑃,𝑂 > 𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições relativas entre retas e circunferências 
Considere uma circunferência de centro O, raio R e 
uma reta t. 
- Se a distância entre o centro O e a reta t for maior do 
que o raio R a reta é EXTERIOR à circunferência. 
Portanto não possuem pontos em comum 
- Se a distância entre o centro O e a reta t for igual ao 
raio R a reta é TANGENTE à circunferência. Portanto 
possuem um ponto em comum. 
- Se a distância entre o centro O e a reta t for menor do 
que o raio R a reta é SECANTE à circunferência, 
portanto possuem dois pontos em comum. 
 
Exemplo: Determine o valor de x sabendo que r é 
perpendicular a CD. 
 
 
Observações: 
Reta tangente: Uma reta é tangente a uma 
circunferência se, e somente se, for perpendicular a um 
raio. 
 
 
 
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Observações: 
Segmentos tangentes e com extremidade num 
mesmo ponto fora da circunferência são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: PA e PB são tangentes à circunferência. 
Determine o valor de x. 
 
Exemplo: Na figura abaixo, determine a medida do 
segmento BD, sabendo que a circunferência de centro 
O está inscrita no triângulo ABC, e que os lados AB, BC 
e AC medem respectivamente 6cm , 8 cm e 10 cm. 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
Seja C1 uma circunferência de centro O e raio R1 e C2 
uma circunferência de centro P e raio R2. E suponha 
que R1 > R2 
- Se a distância entre O e P for menor do que R1 – R2 
então C2 é INTERIOR à C1. 
𝒅𝑶,𝑷 < 𝑹𝟏 − 𝑹𝟐 
 
- Se a distância entre O e P for igual a R1 – R2 então C2 
é TANGENTE INTERIOR à C1. 
𝒅𝑶,𝑷 = 𝑹𝟏 − 𝑹𝟐 
 
- Se a distância entre O e P for 
𝑹𝟏 − 𝑹𝟐 < 𝒅𝑶,𝑷 < 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 C1 e C2 são SECANTES. 
 
- Se a distância entre O e P for igual a R1 + R2 então C1 
e C2 são TANGENTES EXTERIORES. 
𝒅𝑶,𝑷 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
 
 - Se a distância entre O e P for maior do que R1 + R2 
então C1 e C2 são EXTERIORES. 
𝒅𝑶,𝑷 > 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
 
 
 
Exemplo: Na figura abaixo, as circunferências são 
tangentes duas a duas e os centros são os vértices do 
triângulo ABC. Sendo AB = 7 cm, AC = 5 cm e BC = 6 
cm, determine os raios das circunferências. 
 
 
Exemplo: (EEAr – 2020) O ponto OI é o centro da 
circunferência I, que tem raio medindo 6 cm. O ponto 
OII é o centro da circunferência II, que tem raio medindo 
2 cm. O segmento é tangente à circunferência I, em A, 
e passa por OII. Se OIOII = 10 cm, então AB =______cm. 
a) 12 
b) 10 
c) 9 
d) 7 
 
 
Exemplo: Dois círculos da raios r e 4r são tangentes 
exteriormente e tangentes a uma mesma reta nos 
pontos A e B. Então, AB vale: 
a) 2r 
b) 7r/2 
c) 10r/3 
d) 4r 
e) 5r 
 
 
Círculos ortogonais 
São círculos secantes onde dois raios são 
perpendiculares no ponto comum aos dois círculos. 
 
 
 
 
 
 
 
PA = PB 
 
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Polígonos inscritos na circunferência: 
Um polígono é inscrito em uma circunferência quando 
cada vértice do polígono é um ponto da circunferência 
e, neste caso, dizemos que a circunferência é 
circunscrita ao polígono. 
 
 
Propriedade dos quadriláteros inscritos 
Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência 
então os ângulos opostos são suplementares, isto é, a 
soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de 
todos os quatro ângulos é 360 graus. 
 
 
Polígonos circunscritos 
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que 
possui seus lados tangentes à circunferência. Ao 
mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está 
inscrita no polígono. 
 
 
Propriedade dos quadriláteros circunscritos 
Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, 
a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros 
dois lados. 
 
Exemplo: Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no 
trapézio retângulo.