Estudo de caso Calculo II (1)

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Estudo de caso Calculo II
Um reservatório de combustível no formato circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para 2 metros na extremidade norte. Encontre o volume de combustível no reservatório.
 (
z
(-5,2)
2
RETA
1
(5,1)
-5
0
5
)y	x
Equação da Reta: ( ax+b=z )
5a + b = 1	3
(
-5a + b = 2
) → 2b = 3 → b =
2
Substituindo b na primeira equação
3	-1
5a +
2
= 1 x(2) → 10a + 3 = 2 → 10a = -1 → a =
10
Então a Equação da Reta fica
x	3
-		+		= z 10		2
Calculando Integral dupla
x	3
∬ -		+		da 10		2
Alterando para coordenadas polares
x=rcos𝜃 ; y=rsen𝜃 ; 0 ≤ r ≤ 5	;	0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
2𝜋 5
x	3
∫ ∫ -		+ 10		2
rdr d𝜃
0 0
 (
∫
) (
∫
)5 (- rcos𝜃 + 3) rdr →
	
5 (- r2cos𝜃 + 3r) dr
	
→ [- r3cos𝜃 + 3r2] 5
	
0	10	2
0	10	2
30	4	0
53cos𝜃
-	30	+
3(5)2
4	→	-
125cos𝜃	75
30	+ 4
 (
∫
)2𝜋 (- 125cos𝜃 + 75
	
d𝜃 → [- 125sen𝜃 + 75𝜃] 2𝜋	→ - 125sen2𝜋 + 75(2𝜋)
			
→ 0 + 75𝜋
0	30	4 )
30	4	0
30	4	2
Volume do Tanque será de 75𝜋 𝑚3 = 117,8m3
2
Calculando através formulas
2
1
Ø10
Volume = 𝜋 D2 . h
4
Neste caso podemos calcular dois tanque com altura de 1 metro e dividirmos 1 tanque por 2
Volume 1 = 𝜋 102
4
. 1 = 78,539m³
Volume 2 = 𝜋 102
4
. 1 = 78,539𝑚³
2
= 39,269m³
V1 + V2 = 78,538 + 39,269 = 117,8m³