Leis de Kepler e Gravitação Universal

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Leis de Kepler e Gravitação Universal
João Socorro Pinheiro Ferreira*
UNIFAP
George C. Almeida†
IFMA
Michael K. V. Gondim‡
UNEMAT
8 de Junho de 2015
Resumo
Este artigo acadêmico dispõe sobre as três Leis de Kepler (1571 - 1630) e teve como finalidade
a de proporcionar aos autores a prática de descrição de modelagem matemática (MM),
através de EDO’s - Equações Diferenciais Ordinárias. A metodologia utilizada para escrever
sobre as três leis foi a de se pesquisar em diversas obras bibliográficas sobre as leis, inclusive
a da gravitação universal, cujos primeiros registros são creditados aos gregos, antes de
Cristo, e posteriormente sendo mais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 - 1601)
e também Galileo Galilei (1564 - 1642). O resultado apresentado no texto final destacou a
grande contribuição de Isaac Newton (1642 - 1727), para a formulação matemáticas das leis,
pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrever
a trajetória, a área e o período T, através de funções matemáticas (soluções de EDO’s).
Palavras-chaves: Gravitação Universal. Elipse. Área. Período. Kepler. Newton.
1 Introdução
Este trabalho acadêmico sobre as Leis de Kepler (1571 - 1630) foi escrito como parte da
avaliação da disciplina PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos, do Mestrado Profissional em
Matemática Aplicada e Computacional, do IMECC, UNICAMP, com o objetivo de colocar em
prática a modelagem matemática.
Para escrever sobre as três leis de Kepler, primeiramente estudamos sobre as leis da gravita-
ção universal, cujos primeiros registros são dos gregos, antes de Cristo, posteriormente sendo
mais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 - 1601) e também por Galileo Galilei (1564
- 1642). Todos os trabalhos registrados eram empíricos, pois com instrumentos artesanais, es-
tes abnegados pesquisadores produziram à tecnologia daquela época para procurar descrever
alguma teoria satisfatória para o movimento dos planetas.
Kepler teorizou, a partir de suas observações e dos outros cientistas citados anteriormente,
que os planetas descreviam trajetórias elípticas, onde um dos focos era ocupado pelo Sol. Mediu
a excentricidade de várias órbitas e constatou que as mesmas estavam muito próximas de zero;
uma consequência disto é que as mesmas eram definidas como circulares, pois causavam a
impressão de que o Sol girava em torno da Terra (como ocorre hoje). A excentricidade é a razão
entre a metade da distância focal c e a metade do eixo maior a de uma elipse, isto é, e =
c
a
.
Descobriu também que os planetas realizam durante o período de translação em torno do
Sol, percorrendo áreas iguais em tempos iguais, e uma consequência (bem evidente) dessa lei
é que o planeta tem a sua velocidade escalar aumentada à medida que se aproxima do Sol, e
diminuída quando se afasta.
*joaoferreira@unifap.br
†george.ifma@gmail.com
‡kennedylevita12@gmail.com
1
A terceira lei de Kepler afirma que o quociente
T2
a3
= K tem o mesmo valor K para todos os
planetas, onde T é o tempo gasto pelo planeta numa revolução completa, em torno do Sol.
Não podemos deixar de citar neste trabalho a grande contribuição de Isaac Newton (1642 -
1727), pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrever
todas as equações matemáticas, e segundo a história, quando lhe perguntaram sobre: “Qual é a
forma da órbita de um planeta atraído pelo Sol por uma força que varia com o inverso do qua-
drado da distância?", Newton respondeu imediatamente: “Uma elipse". Desconcertado, Halley
perguntou: “Como sabe?", ao que Newton lhe respondeu que já havia resolvido esse problema.
Newton procurou o papel com a prova mas não o encontrou, mas prometeu reconstruí-la e
lhe enviá-la, e assim Halley teve que aguardar, e só recebeu a prova em novembro de 1684,
sob o título De Motu Corporum in Gyrum (“Sobre o movimento dos corpos em órbita"). Halley
imediatamente percebeu a importância do resultado e do método empregado por Newton, e
o visitou novamente, decidido a convencê-lo a publicar suas descobertas. E assim Newton
começou a escrever o Principia, cujos custos de publicação foram todos arcados por Halley (a
Royal Society estava muito mal financeiramente, e Newton não queria gastar dinheiro com a
publicação). (O final deste parágrafo encontra-se Disponível em: http://pt.wikipedia.org/
wiki/Isaac_Newton#Lei_da_gravita.C3.A7.C3.A3o_universal. Acesso em: 19 Maio 2015).
Por fim, a equipe desenvolveu todos os cálculos existentes nas entrelinhas dos textos pes-
quisados, procurando com isto entender em mínimos detalhes a grandiosidades das três leis e
de seu colabores para o avanço da ciência.
2 Leis de Kepler e Newton
Nesta seção iremos enunciar as três Leis de Kepler, a Primeira e Segunda Lei de Newton e
também a Lei da Gravitação Universal.
2.0.1 Leis de Kepler
As três leis que Kepler enunciou em seus trabalhos foram as seguintes:
Primeira Lei. Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos.
Segunda Lei. O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
Terceira Lei. A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixo maior
de sua órbita é a mesma para todos os planetas.
Nosso objetivo é demonstrar as três leis de Kepler e aplicar esse conhecimento. Para isso
iremos enunciar algumas Leis que Newton enunciou e demonstrou através de sua Mecânica.
2.0.2 Leis de Newton
Para auxiliar nas demonstrações, iremos fazer o uso das Leis de Newton, que ele próprio usou
em seu livro Principia Mathematica, para demonstrar as Leis de Kepler.
A primeira lei de Newton diz respeito a uma velocidade nula ou constante, onde não há
aceleração sobro o corpo em estudo. De acordo com Halliday and Resnick (2008a) temos:
Enunciado 2.1. Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo, sua velocidade não pode mudar, ou
seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.
Em termos matemáticos,
~Fres = 0 (2.1)
2
Agora, quando um corpo sofre uma mudança de velocidade, ou seja, ~Fres , 0, então este
corpo está submetido a uma aceleração. (Halliday and Resnick, 2008b) nos enuncia a Segunda
Lei da seguinte maneira.
Enunciado 2.2. A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela
sua aceleração.
Em termos matemáticos,
~Fres = m~a
e em módulo
F = ma (2.2)
Newton propôs uma lei para a força gravitacional, Halliday and Resnick (2009) a enuncia
da seguinte maneira:
Enunciado 2.3. Toda partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força gravitacional
cujo módulo é dado por
F = G
m1m2
r2
(2.3)
onde m1 e m2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é uma constante,
conhecida como constante gravitacional, cujo valor é
G = 6, 67 × 10−1N ·m2/kg2
= 6, 67 × 10−1m3/kg · s2 (2.4)
3 Órbita do Planeta
Vamos agora ao nosso problema. Suponhamos um sistema tridimensional no qual o Sol
esteja no centro. Suponhamos ainda, que exista um planeta 𝒫 de massa m cuja órbita ao redor
do Sol é dada por X(t) = (x(t), y(t), z(t)). A fim de usarmos as derivadas de primeira e segunda
ordem de X(t), assumiremos que tal curva seja de classe C2. Com isso podemos introduzir as
grandezas cinemáticas como feito por de Figueiredo and Neves (2002b):
X(t) = (x(t), y(t), z(t))
será designado o vetor posição de 𝒫 no instante t, ao qual denotaremos raio vetor. O vetor
velocidade é a derivada
X˙(t) = (x˙(t), y˙(t), z˙(t))
do vetor posição. Defini-se o vetor aceleração como sendo a a derivada
X¨(t) = (x¨(t), y¨(t), z¨(t))
do vetor velocidade.
3
SolRaio vetorPlanetaórbita
Figura 1: Órbita do planeta
Como o planeta está em movimento, temos pela Segunda Lei de Newton que
F = mX¨, (3.1)
lembrando que a interpretação física da segunda derivada (X¨) é a aceleração no instante t e m é
a massado planeta 𝒫. Temos ainda pela Lei da Gravitação Universal que
F = −GmM||X||2
X
||X|| , (3.2)
na qual, M é a massa do Sol e o sinal negativo é porque a força gravitacional é de atração.
Chamando r = ||X||, segue que
F = −GmM
r3
X (3.3)
Das equações 2.2 e 3.3, segue que
mX¨ = −GmM
r3
X
X¨ = −GM
r3
X (3.4)
A seguir vamos mostrar que a órbita de 𝒫 está contida em um plano. Assim, passaremos a
analisar o movimento e as forças no plano (x, y).
Duas observações importantes serão levadas em consideração, que é posta de forma clara
por de Figueiredo and Neves (2002a), que são:
Observação 3.1. Suporemos que o Sol esteja fixo.
De forma bem rigorosa, tanto o planeta quanto o Sol estão em movimento, o que nos leva a
um problema mais complexo que tem por nome Problema de Dois Corpos.
4
Observação 3.2. Desprezaremos as forças gravitacionais dos outro planetas sobre o planeta em estudo.
Como o a força gravitacional do Sol é muito grande em comparação ao dos planetas, não há
prejuízo em desconsiderarmos a existência dos outros planetas quando se estuda a maior parte
dos planetas.
3.0.3 Momento Angular
O momento angular está associado com a rotação e a translação do planeta. da Rocha (2013)
define o momento angular da seguinte maneira.
Definição 3.1. O momento angular Y, associado ao planeta 𝒫 é dado pela curva
Y = X × X˙. (3.5)
Concluímos assim, que o momento angular é ortogonal ao raio vetor e ao vetor velocidade
de 𝒫 definido por X˙(t).
Lema 3.1. A órbita do planeta 𝒫 é uma curva plana.
Demonstração. Para isso, basta mostrarmos que o momento angular é constante. De fato, basta
mostrarmos que a derivada do momento angular é nula. Vamos então, calcular a derivada de
Y, assim temos
Y˙ = X˙ × X˙ + X × X¨
Como, X˙ × X˙ = 0 e usando a 3.4 segue que
Y˙ = X ×
(︂
−MG
r3
)︂
X =
(︂
1 − MG
r3
)︂
(X × X) = 0
Daí, temos
Y˙ = 0 ⇒ Y(t) ≡ constante (3.6)
Caso Y = ~0, teremos
d
dt
(︂X
r
)︂
=
rX˙ − r˙X
r2
=
rX˙ − r˙X
r2
· r
r
=
(X · X)X˙ − (X · X˙)X
r3
=
(X × X˙) × X
r3
=
Y × X
r3
= 0
com isso, vemos que X(t) = cte · r(t) (integrando) e portanto a órbita de 𝒫 seria uma reta, o que
neste caso não é uma verdade. Concluímos então que Y(t) = ~c = (c1, c2, c3) , 0, o que nos diz
que a órbita de 𝒫 é uma curva plana. �
5
3.0.4 Coordenadas Polares
Na subseção anterior mostramos que X é uma órbita plana, assim iremos considerar que o
plano z = 0 é o plano que contém a órbita de 𝒫 e nossa curva passa a ser da forma
X(t) = (x(t), y(t), 0) (3.7)
e além disso, o momento angular será apenas Y(t) = (0, 0, x(t)y˙ − x˙y(t)), que devido a equação
3.6, temos que Y(t) é igual a uma constante que denominaremos por κ, assim
x(t)y˙ − x˙y(t) = κ (constante). (3.8)
De agora em diante iremos fazer uso das coordenadas polares para representar a órbita de
𝒫, disto teremos
r(t) = ||X(t)||, x(t) = r(t) cosθ(t) e y(t) = r(t)senθ(t) (3.9)
r cos θr sen θ
Figura 2: Coordenadas Polares
3.0.5 Velocidade Areolar
De acordo com de S. Ávila (2004), se r = r(θ) é a equação polar da órbita do planeta, então
A(θ) =
∫︁ θ(t)
θ(t0)
1
2
r2dθ (3.10)
é a área varrida pelo raio da órbita.
Demonstração. Queremos provar que
A = A(t)
é a área varrida por r = r(θ) num tempo t, a partir de uma certa posição de 𝒫, digamos P0.
Segundo de Figueiredo and Neves (2002c), “A derivada de A(t) com relação a t é chamada
velocidade areolar”. Resolvendo a Equação 3.10, temos:
A(θ) =
1
2
∫︁ θ(t)
θ(t0)
[r(θ)]2dθ
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, segue-se que
A(θ) =
1
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ [r(θ)]33
⃒⃒⃒⃒⃒
⃒θ(t)
θ(t0)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
A(θ) =
1
2
(︃
[r(θ(t))]3
3
− [r(θ(t0))]
3
3
)︃
6
Entre as direções θ(t0) = 0 e θ(t) = θ, tem-se:
A(θ) =
1
2
(︃
[r(θ)]3
3
− [r(0)]
3
3
)︃
Considerando que no instante inicial t0 = 0 a posição inicial é r(0) = r0, a expressão acima
passa a ser:
A(θ) =
1
2
(︃
[r(θ)]3
3
− [r0]
3
3
)︃
(3.11)
Derivando a Equação 3.11 em relação a θ, tem-se:
A˙(θ) =
1
2
(︃
3 · [r(θ)]
2
3
− 0
)︃
dA
dθ
= A˙(θ) =
1
2
[r(θ)]2 (3.12)
Temos ainda, pela Regra da Cadeia, que:
A˙(t) =
dA
dt
=
dA
dθ
· dθ
dt
= A˙ · θ˙ (3.13)
Substituindo a Equação 3.13 na Equação 3.12, tem-se a Equação (4.138), do texto de de Fi-
gueiredo and Neves (2002c), conforme a seguir
A˙(t) =
1
2
r2θ˙ (3.14)
Voltando a Equação 3.9 e 3.8, temos:
x(t) = r(t) cosθ(t), y(t) = r(t)senθ(t) e x(t)y˙ − x˙y(t) = κ (constante)
assim, teremos
x˙ = r˙ cosθ − rθ˙senθ e y˙ = r˙senθ + rθ˙ cosθ (3.15)
e portanto,
const ≡ κ = xy˙ − x˙y
= r cosθ(r˙senθ + rθ˙ cosθ) − (r˙ cosθ − rθ˙senθ)rsenθ
= r2θ˙ (3.16)
Assim, das Equações 3.14 e 3.16, segue que
A˙(t) =
1
2
r2θ˙ =
1
2
κ ≡ constante (3.17)
�
3.0.6 Fórmula de Binet
Vamos voltar as equações 3.9 e 3.15 acima, assim
x = r cosθ e y = rsenθ
x˙ = r˙ cosθ − rθ˙senθ e y˙ = r˙senθ + rθ˙ cosθ
7
Temos então, as expressões
x¨ = r¨ cosθ − 2r˙θ˙senθ − rθ˙2 cosθ − rθ¨senθ (3.18)
y¨ = r¨senθ + 2r˙θ˙ cosθ − rθ˙2senθ + rθ¨ cosθ (3.19)
Substituindo nas componentes da equação 3.4, temos
r¨ cosθ − 2r˙θ˙senθ − rθ˙2 cosθ − rθ¨senθ = −MG
r2
cosθ (3.20)
r¨senθ + 2r˙θ˙ cosθ − rθ˙2senθ + rθ¨ cosθ = −MG
r2
senθ, (3.21)
vamos fazer: cosθ · 3.20 + senθ · 3.21, daí obtemos
r¨ − rθ¨2 = −MG
r2
(3.22)
multiplicando por − 1
r2θ˙2
, temos
− r¨
r2θ˙2
+
rθ¨2
r2θ˙2
=
MG
(r2θ˙2)2
− r¨
θ˙κ
+
1
r
=
MG
κ2
(3.23)
Como feito por da Rocha (2013), segue o seguinte lema sobre a fórmula de Binet
Lema 3.2 (Fórmula de Binet). A função r = r(θ) satisfaz a equação diferencial
d2
dθ2
(︂1
r
)︂
+
1
r
=
MG
κ2
(3.24)
Demonstração. Vamos usar a Regra da Cadeia
dr
dθ
= r˙ · dt
dθ
=
r˙
θ˙
e
dr˙
dθ
= r¨ · dt
dθ
=
r¨
θ˙
Observação 3.3. Estamos vendo a função t = t(θ) pelo fato de θ˙(t) , 0, ∀t e aplicando o Teorema da
Função Implícita para funções de uma variável. Assim,
dt(θ)
dθ
=
1
θ˙(t(θ))
Disto, segue que
d
dθ
(︂1
r
)︂
= −r−2 · dr
dθ
= − r˙
r2θ˙
= − r˙
κ
(κ = θ˙r2 eq.: 3.16) (3.25)
Derivando novamente, temos:
d2
dθ2
(︂1
r
)︂
=
d
dθ
(︃
d
dθ
(︂1
r
)︂)︃
= −1
κ
· dr˙
dθ
= − r¨
κθ˙
(3.26)
Portanto, nossa Equação 3.23
− r¨
θ˙κ
+
1
r
=
MG
κ2
satisfaz a fórmula de Binet. �
8
4 Demonstração das Leis
Como visto na seção anterior, a equação 3.23 que é dada por
r¨
θ˙κ
+
1
r
=
MG
κ2
satisfaz a fórmula de Binet,
d2
dθ2
(︂1
r
)︂
+
1
r
=
MG
κ2
o que para nós é bem interessante, pois por se tratar de uma equação do tipo oscilador harmônico
(cf.de Figueiredo and Neves (2002a), seção 4.5.1) é relativamente fácil de ser resolvida.
Teorema 4.1. A solução geral da equação
d2
dθ2
(︂1
r
)︂
+
1
r
=
MG
κ2
é dada por
1
r
= α · cosθ + β · senθ + MG
κ2
(4.1)
onde α e β são constantes dependendo dos dados iniciais.
Demonstração. De fato, façamos u =
1
r
, então
d2
dθ2
(u) + u =
MG
κ2
u¨ + u =
MG
κ2
(4.2)
Usando a equação auxiliar associada a ED 4.2, temos
m2 + 1 = 0
m2 = −1
m = ±i (4.3)
logo a solução homogênea associada a ED 4.2 é dada por:
uh(θ) = e0θ(c1 cosθ + c2senθ)
= c1 cosθ + c2senθ (4.4)
Por coeficientes a determinar, supomos que a solução particular é dada por:
up(θ) = (Aθ + B)
MG
κ2
(4.5)
assim,
u˙p(θ) = A
MG
κ2
e u¨p = 0
9
substituindo, na equação 4.2, segue que
u¨p + up =
MG
κ2
0 + (Aθ + B)
MG
κ2
=
MG
κ2
A = 0 e B = 1
Logo,
up =
MG
κ2
(4.6)
é a solução particular da ED 4.2. Assim,
u = uh + up
= c1 cosθ + c2senθ +
MG
κ2
(4.7)
e portanto, fazendo c1 = α, c2 = β e u =
1
r, segue que
1
r
= α cosθ + βsenθ +
MG
κ2
. (4.8)
�
Observação 4.1. Só foi possível a resolução do caso particular dessa EDO, pois mostramos na equação
3.16, que o fator κ = θ˙r2 é uma constante.
4.1 Primeira Lei de Newton
Lei 1 (Leis das Órbitas). Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos.
Demonstração. Suponhamos sem perda de generalidade que
t = 0 ⇒ θ(0) = 0 e r(0) = r0,
ou seja, que no tempo inicial o planeta se encontrava a uma distância r0 do Sol e sob o eixo dos
x. Logo,
1
r0
= α · cos 0 + β · sen0 ⇒ α = 1
r0
(4.9)
e ainda, fazendo r˙0 = r˙(0)
d
dθ
(︂1
r
)︂
= −α · sen0 + β · cos 0 ⇒ β = − r˙0
κ
(4.10)
Então
1
r
=
1
r0
· cosθ − r˙0
κ
· senθ + MG
κ2
(4.11)
Considere agora,
1
r0
= λ · cosω e − r˙0
κ
= λ · senω, substituindo na equação 4.11, temos
1
r
= λ · cos(θ − ω) + MG
κ2
(4.12)
10
Chamando λ2 =
(︂ 1
r0
)︂2
+
(︂ r˙0
κ
)︂2
e ω = tg−1(−r0r˙0κ−1) e substituindo na equação 4.12 obtemos
r =
κ2
MG
1 +
λκ2
MG
· cos(θ − ω)
(4.13)
e ainda, fazendo e =
λκ2
MG
e d = λ−1, chegamos a equação:
r =
d · e
1 + e · cos(θ − ω) (4.14)
que afirmamos ser a equação da elipse com excentricidade e e centro no ponto
(︃
e2d
(1 − e2) , 0
)︃
.
Observação 4.2. Observe que fizemos uma mudança de coordenadas polares fazendo
x = r · cos(θ − ω) e y = r · sen(θ − ω) (4.15)
o que somente muda o ângulo que consideramos.
Observação 4.3. Assumiremos que e < 1, pois r0, M e G são constantes razoavelmente grandes e κ é
pequeno, pois se trata da velocidade areolar de um planeta.
Vamos mostrar que a equação 4.14 é de fato uma elipse. Temos que
r + e · r cos(θ − ω) = d · e,
vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e usar a equação 4.15, disto segue que
x2 + y2 = e2(d2 − 2dx + x2)
o que implica
(1 + e2)x2 + 2de2x + y2 = e2d2,
completando quadrado, temos(︃
x +
e2d
1 − e2
)︃2
+
y2
1 − e2 =
e2d2
(1 − e2)2 ,
chamando
c =
e2d
1 − e2 , a
2 =
e2d2
(1 − e2)2 e b
2 =
e2d2
1 − e2
segue que,
(x + c)2
a2
+
y2
b2
= 1 (4.16)
Assumindo que e < 1 como feito na Observação 4.3 e assim, c > 0 e ainda,
0 < (1 − e2)2 < 1 − e2 < 1 ⇒ a > b
temos uma equação com eixo maior sobre o eixo dos x. O que prova a Primeira Lei de Kepler. �
11
Solraio vetorplanetaórbita
Figura 3: Órbita do planeta
4.2 Segunda Lei de Kepler
Lei 2 (Leis das Áreas). O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos
iguais.
Demonstração. Vimos na seção 3.0.3, a equação 3.17,
A˙(t) =
1
2
r2θ˙
que diz respeito a velocidade areolar do planeta. Integrando a equação 3.17, temos que
A(t) =
1
2
κ · t + A(0) (4.17)
Agora vamos considerar dois intervalos de tempos iguais, sem perda de generalidade, sejam
I1 = (t1, t2) e I2 = (t3, t4) dois intervalos de tempos, tais que t2−t1 = t4−t3. Aplicando na equação
4.17 temos que:
A(t2) − A(t1) = 12κ · (t2 − t1)
=
1
2
κ · (t4 − t3)
= A(t4) − A(t3) (4.18)
Portanto, provamos que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais. �
12
Área 2Área 1t1t2t3t4SOL
Figura 4: Tempos iguais... áreas iguais
4.3 Terceira Lei de Kepler
Lei 3 (Lei dos Períodos). A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixo
maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas.
Demonstração. Como visto na Primeira Lei de Kepler a órbita de um planeta é uma elipse e
observando o fato de que as órbitas dos planetas são periódicas, vamos supor, um sistema de
coordenadas no qual o Sol é a origem, e mais, o Sol é um dos focos dessa elipse, e ainda, sem
perda de generalidade, suporemos que o eixo maior está sobre o eixo dos x. Tal elipse tem
equação
(x + c)2
a2
+
y2
b2
= 1 (4.19)
vamos considerar a corda focal dessa elipse de comprimento 2l, que é perpendicular ao eixo
maior e passa por um dos focos, assim
c2
a2
+
l2
b2
= 1
o que implica
l2 =
b2(a2 − c2)
a2
=
b2 · b2
a2
=
b4
a2
(4.20)
logo,
l =
b2
a
=
e2d2
1 − e2
ed
1 − e2
= e · d = λκ
2
MG
· 1
λ
=
κ2
MG
(4.21)
Da equação 3.17, temos que a velocidade areolar A˙ é constante. Chamaremos de T o período
do planeta. Assim,
T2
a3
=
(︃
2piab
κ
)︃
a3
=
4pi2b2
aκ2
=
b2
a
· 4pi
2
κ2
= l · 4pi
2
κ2
=
κ2
MG
· 4pi
2
κ2
=
4pi2
MG
(4.22)
13
Provamos assim, a Terceira Lei de Kepler. �
5 Aplicação
Em seu livro Philosophie naturalis principia mathematica, Newton considerou o lançamento de
um satélite artificial, isso através de um canhão. Mas somente após a Segunda Guerra Mundial,
que surge a ideia de satélites de comunicações, pelo então oficial de radar Arthur C. Claker. E
em 1957, tivemos o lançamento do primeiro satélite artificial, o Sputinik–1, satélite russo para
transmissão de rádio.
Uma órbita geoestacionária é uma órbita circular sobre o plano do Equador da Terra a
35786 km de altitude, girando na mesma direção e velocidade angular que o planeta, dando a
impressão de que ele estaria parado sobre o mesmo ponto Mota and Hinckel (2013). Esse tipo
de satélite é também chamado de síncrono.
Exemplo 5.1. Qual a altura de um satélite geoestacionário?
Demonstração. Como o satélite é geoestacionário, então ele “permanece no mesmo ponto” sobre
a Terra, isto é, seu período orbital é de um dia sideral d = 23h56min. Pela Terceira Lei de Kepler,
segue que
T2
a3
=
4pi2
MG
⇒ a3 = MG
4pi2
· T2
onde, a massa da Terra M = 5, 98×1024kg, G = 6, 67×10−11N ·m2/kg2 é a constante gravitacional
e T = 86160s é o período de órbita em segundos, disto temos:
a3 =
5, 98 × 1024 · 6, 67 × 10−11
4pi2
· 86160
a =
[︃
5, 98 × 1024 · 6, 67 × 10−11
4pi2
· 86160
]︃1/3
a = 42172km
Como o raio da Terra RT = 6370km, então a altura será
a − RT = 42172 − 6370 = 35800km
SATÉLITETERRARAIO
Figura 5: Satélite em órbita circular
�
14
Referências
da Rocha, H. B. V. L. (2013). As leis de kepler. Master’s thesis, Universidade Federal do Piauí.
5, 8
de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002a). Equações Diferenciais Aplicadas. II. Figueiredo-
Neves, Rio de Janeiro, 2th edition. ISBN: 85-7028-014-9. 4, 9
de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002b). Equações diferenciais de segunda ordem. In
IMPA, editor, Equações Diferenciais Aplicadas, II, chapter 4, page 119. Figueiredo-Neves, Rio
de Janeiro, 2a ed edition. ISBN: 85-7028-014-9. 3
de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002c). Equações diferenciais de segunda ordem. In
IMPA, editor, Equações Diferenciais Aplicadas, II, chapter 4, page 158. Figueiredo-Neves, Rio
de Janeiro, 2th edition. ISBN: 85-7028-014-9. 6, 7
de S. Ávila, G. S. (2004). Cálculo das funções de uma variável, volume II. Ávila, Rio de Janeiro, 7th
edition. ISBN 8521613997. 6
Halliday, D. and Resnick, J. W. (2008a). A primeira lei de newton. In LTC, editor, Fundamentos de
Física, volume 1: mecânica, volume 1, chapter 5, pages 96–97. Halliday-Resnick, Rio de Janeiro,
8th edition. ISBN 978-85-216-1605-4. 2
Halliday, D. and Resnick, J. W. (2008b). A segunda lei de newton. In LTC, editor, Fundamentos de
Física, volume 1: mecânica, volume 1, chapter 5, pages 98–99. Halliday-Resnick, Rio de Janeiro,
8th edition. ISBN 978-85-216-1605-4. 3
Halliday, D. and Resnick, J. W. (2009). Lei da gravitação universal. In LTC, editor, Fundamentos
de Física, volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica, volume 2, chapter 13, pages 28–45.
Halliday-Resnick, Rio de Janeiro, 8th edition. ISBN 978-85-216-1606-1. 3
Mota, F. A. d. S. and Hinckel, J. N. (2013). Estudo dos sistemas propulsivos químico e elétrico
para a inserção de um satélite em uma Órbita geoestacionária. 14
15
	Introdução
	Leis de Kepler e Newton
	Leis de Kepler
	Leis de Newton
	Órbita do Planeta
	MomentoAngular
	Coordenadas Polares
	Velocidade Areolar
	Fórmula de Binet
	Demonstração das Leis
	Primeira Lei de Newton
	Segunda Lei de Kepler
	Terceira Lei de Kepler
	Aplicação