LISTA DE EXERCÍCIOS - NÚMEROS COMPLEXOS

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LISTA DE EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
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1. (Unicamp) O módulo do número complexo 2014 1987z i i= − é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 1. 
 
2. (Eear) A parte real das raízes complexas da equação 2x 4x 13 0,− + = é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
3. (Eear) Se i é a unidade imaginária, então 3 22i 3i 3i 2+ + + é um número complexo que pode 
ser representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
4. (Unicamp) Considere o número complexo 
1 ai
z ,
a i
+
=
−
 onde a é um número real e i é a 
unidade imaginária, isto é, 2i 1.= − O valor de 2016z é igual a 
a) 2016a . 
b) 1. 
c) 1 2016i.+ 
d) i. 
 
5. (G1 - ifal) O valor da potência 10(1 i)− é: 
a) 11i. 
b) 5i. 
c) 32i.− 
d) 50i.− 
e) 1 5i.− 
 
6. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que x yi 3 4i,+ = + onde i é a unidade 
imaginária. O valor de xy é igual a 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 1. 
d) 2. 
 
7. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x= 
1 i
1 i
+
−
 e i = 1− , o valor de (x + y)2 é 
a) 9i 
 
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b) – 9 + i 
c) –9 
d) 9 
e) 9 – i 
 
8. (G1 - ifce) Sendo i a unidade imaginária tal que 2i –1,= são dados os números complexos 
1z 9 3i= + e 2z –2 i.= + Ao calcular corretamente o produto 1 2z z , obtemos o número 
a) 21 6i.− 
b) 18 6i.− − 
c) 18 3i.− + 
d) 18 3i.− 
e) 21 3i.− + 
 
9. (Uece) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a 1,− então, o valor de 
227 6 135 i i i + − é igual a 
a) i 1.+ 
b) 4i 1.− 
c) 6i 1.− − 
d) 6i.− 
 
10. (Upf) O número complexo z, tal que 5z z 12 16i,+ = + é igual a: 
a) 2 2i− + 
b) 2 3i− 
c) 3 i+ 
d) 2 4i+ 
e) 1 2i+ 
 
11. (Espcex (Aman)) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o 
número complexo Z que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi+ = − é 
a) z 0 1i= + 
b) z 0 0i= + 
c) z 1 0i= + 
d) z 1 i= + 
e) z 1– i= 
 
12. (G1 - ifal) O quociente entre os números complexos 1Z 1 i= + e 2Z 1 i= − é 
a) 1. 
b) i. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 2i. 
 
13. (Unisc) A parte real do número complexo 
21 (3i)
z
1 i
+
=
−
 é 
a) 1 
b) 1− 
c) 2 
 
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d) 2− 
e) 4− 
 
14. (Ufrgs) Dados os números complexos 1z (2, 1)= − e 2z (3, x),= sabe-se que 1 2z z .  
Então x é igual a 
a) 6.− 
b) 
3
.
2
− 
c) 0. 
d) 
3
.
2
 
e) 6. 
 
15. (Uern) Seja z a bi= + um número complexo, tal que 4z zi 5 1 10i.− + = − + Assim, o módulo 
do complexo z é 
a) 2 
b) 2 2 
c) 3 2 
d) 4 2 
 
16. (G1 - ifal) O número complexo Z 1 i= + representado na forma trigonométrica é 
a) 1 22 (cos 45 isen 45 ). +  
b) 2(cos 90 isen 90 ). +  
c) 4(cos 60 isen 60 ). +  
d) 4(cos 60 isen 60 ). −  
e) 2(cos 90 isen 90 ). −  
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1,= = − = vem 
 
2014 1987
4 503 2 4 496 3
4 503 2 4 496 3
z i i
i i
(i ) i (i ) i
1 i.
 +  +
= −
= −
=  − 
= − +
 
 
Portanto, 
 
2 2| z | | 1 i | ( 1) 1 2.= − + = − + = 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Do enunciado, temos: 
( ) ( )
2
4 4 4 1 13
x
2 1
4 36
x
2
4 6i
x
2
x 2 3i
− −  − −  
=

 −
=

=
= 
 
 
Logo, a parte real das raízes complexas é 2. 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sendo 
 
3 22i 3i 3i 2 2i 3 3i 2
1 i
( 1,1),
+ + + = − − + +
= − +
= −
 
 
podemos concluir que a imagem do complexo 3 22i 3i 3i 2+ + + estį situada no segundo quadrante. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
 
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2
2
1 ai 1 ai a i a i a i a
z i.
a i a i a i a 1
+ + + + + −
= =  = =
− − + +
 
 
Portanto, o valor de 2016z é 2016 0i i 1.= = 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Sabendo que 
5 4 2 2 2i i i (i ) i ( 1) i i,=  =  = −  = 
vem 
10 2 5
2 5
5
5 5
(1 i) [(1 i) ]
(1 2i i )
( 2i)
( 2) i
32i.
− = −
= − +
= −
= − 
= −
 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, vem 
 
2 2 2 2(x yi) ( 3 4i) (x y ) 2xyi 3 4i.+ = +  − + = + 
 
Portanto, temos 2xy 4= se, e somente se, xy 2.= 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
x = i
i
i
iii
i
i
i
i
=
−
−+
=
+
+

−
+
2
2
1
2
1
1
1
1
22
22
 e y = 2i 
 
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
( ) ( ) 29 3i 2 i 18 9i 6i 3i 18 3i 3 ( 1) 21 3i+  − + = − + − + = − + +  − = − + 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Sabemos que: 
 
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227 56 4 3
6 1 4 2
13 3 4 1
=  +
=  +
=  +
 
 
Portanto, 
227 6 13 3 25 i i i 5 i i i 5i 1 i 6i 1 + − =  + − = − − − = − − 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Suponha que z a bi,= + então z a bi.= − 
 
Logo, ( ) ( )
a 2
5 a bi a bi 12 16i 6a 4bi 12 16i
b 4
=
+ + − = +  + = +  
=
 
 
Portanto, 
z 2 4i.= + 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Se z a bi,= + com a e b reais, então z a bi.= − Desse modo, 
 
 
z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i
3a bi (b 2) ai.
+ = −  + +  − = − + 
 − = + −
 
 
Logo, obtemos o sistema 
 
 
3a b 2 a 1
.
a b b 1
= + = 
 
= = 
 
 
Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i.= + 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Multiplicando o conjugado temos: 
1 i 1 i 2i
i
1 i 1 i 2
+ +
 = =
− +
 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
 
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2
2
2 2
1 (3i)
z
1 i
1 9i
z
1 i
1 9
z
1 i
8
z
1 i
8 1 i
z
1 i 1 i
8 8i
z
1 i
8 8i
z
2
z 4 4i
Re(z) 4
+
=
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
− +
= 
− +
− −
=
−
− −
=
= − −
= −
 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Calculando: 
( ) ( )2 i 3 xi 6 2xi 3i x
2x 3 0
3
2x 3 x
2
−  + = + − +
− =
=  =
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Sendo z a bi,= + vem 
 
4z zi 5 4(a bi) (a bi)i 5
4a 4bi ai b 5
(4a b 5) (4b a)i.
− + = + − + +
= + − + +
= + + + −
 
 
Logo, deve-se ter 
 
4a b 5 1 4a b 6
4b a 10 a 4b 10
a 2
.
b 2
+ + = − + = − 
 
− = − = − 
= −
 
=
 
 
Portanto, 
 
2 2| z | ( 2) 2 2 2.= − + = 
 
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Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
( ) ( )
2
1 2
21 1 2
a 1 2
cos cos 45
22
b 1 2
sen sen 45
22
Z 2 cos45 i sen 45 2 cos 45 isen 45
ρ ρ
θ θ θ
ρ
θ θ θ
ρ
= + → =
= = → = → = 
= = → = → = 
=     ++   = 