Geo-Analitica-Circunferencia-e-Conicas

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107
UNIDADE XVII
“É o lugar geométrico dos pontos equidistantes a 
um ponto fixo.”
Graficamente:
- Podemos definir a circunferência da seguinte for-
ma:
(x – a)² + (y – b)² = r² 
Onde: 
a e b: Coordenadas do centro da circunferência
r: Raio da circunferência
Equação reduzida da Circunferência.
(x – a)² + (y – b)² = r²
Equação geral da Circunferência.
x² + y² - 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 
Exercício Resolvido: Dado a equação geral da cir-
cunferência x² - 4x + y² - 6y + 12 = 0, as coordenadas 
do seu centro e o valor do seu raio, são respectiva-
mente.
a) (2, 3) e 2
b) (2, 4) e 1
c) (3, 2) e 1
d) (2, 3) e 1
e) (3, 2) e 1
RESOLUÇÃO:
Para acharmos as coordenadas do centro, basta di-
vidirmos os coeficientes de x e y por -2.coeficiente de 
x² e y², então C = (2, 3)
E para acharmos o raio ao quadrado, basta pegar-
mos a soma dos quadrados das coordenadas e sub-
trairmos do termo independente, então:
r² = 2² + 3² - 12 = 4 + 9 – 12 = 1, Logo: r² = 1 ∴ 
r = 1 
Gabarito: d)
Questão 1: Dado a equação geral da circunferên-
cia x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0 as coordenadas do seu 
centro e o valor do seu raio, são respectivamente.
a) (1, 2) e 1
b) (1, 2) e 4
c) (2, 1) e 1
d) (2, 1) e 4
e) (1, 2) e 2
Questão 2: Dado a equação geral da circunferên-
cia 2x² - 4x + 2y² - 6y + 6 = 0, a soma das coordena-
das do centro dela será igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Obs.: Somente será uma circunferência se os coe-
ficientes de x² e y² forem iguais e somente se o valor 
do raio ao quadrado for maior do que zero.
Ex.: 2x² - 3x + y² - 12y + 20 = 0 → não é circun-
ferência, Pois, os coeficientes De x² e y² são dife-
rentes
Questão 3: Marque (C) para as equações que rep-
resentam uma circunferência e (X) para as equações 
que não representam uma circunferência.
( ) x² - 4x + y² - 2y + 2 = 0
Circunferência 
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA108
( ) 3x² - 6x + 3y² - 2y + 1 = 0 
( ) 2x² + 4x – 2y² + 13 = 0
( ) x² + y² = 25
( ) 3x² - y² = 25
( ) 2x² + 8x – 2y² + 4y + 1 = 0
 Posições relativas entre reta e 
circunferência:
- Exterior: “Distância do centro até a reta, maior do 
que o raio.”
Graficamente:
- Tangente: “Distância do centro até a reta, igual ao 
raio.”
Graficamente:
- Secante: “Distância do centro até a reta, menor do 
que o raio.”
Graficamente:
- Relembrando Distancia de Ponto à reta...
Exercício Resolvido: a posição relativa da reta 
que a reta de equação 3x + y – 13 = 0 com a circun-
ferência de equação igual a (x – 3)² + (y – 3)² = 25, é:
a) Tangente.
b) Secante.
c) Exterior.
d) interior.
e) Reversas.
RESOLUÇÃO:
, portanto a reta será secante.
Gabarito: b)
Questão 4: Se a distância entre uma reta t e o cen-
tro da circunferência de equação 
x² + (y – 2)² = 16 é 4, então podemos afirmar que 
essa reta será:
a) Secante.
b) Tangente.
c) Exterior.
d) inferior.
e) Superior.
Questão 5: Considere a circunferência de equação 
(x – 2)² + (y – 4)² = 9 e uma reta r secante a ela. uma 
possível distância entre r e o centro da circunferência 
é:
a) 3,001
b) 3,000
c) 2,999 
d) 3,111
e) 4,001
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CiRCunfERênCia | UNIDADE XVII
MATEMÁTICA 109
 Posições relativas entre um ponto e uma 
circunferência:
- Interno: “Distância do ponto ao centro menor do 
que o raio.”
Graficamente:
- Pertencente: “Distância do ponto ao centro igual 
ao raio.”
Graficamente:
- Exterior: “Distância do ponto ao centro maior do 
que o raio.”
Graficamente:
- Relembrando distância de ponto à ponto...
Exercício Resolvido: Se o ponto Q(2, 1) pertence 
à circunferência de equação 
x² + y² + 4x – 6y + k = 0, Então, o valor de “k” é:
a) -7 
b) -6
c) -2
d) 0 
e) 7
RESOLUÇÃO:
Se o ponto Q pertence a circunferência, então, 
basta substituirmos suas coordenadas na equação da 
circunferência.
2² + 1² + 4.2 – 6.1 + k = 0
k = -7
Gabarito: a)
 Posições relativas entre circunferências:
- Internas: “Distância entre os centros menor do que 
a diferença dos raios.”
Graficamente: 
- Tangentes internas: “Distância entre os centros 
igual a diferença dos raios.”
Graficamente: 
- Secantes: “Distância entre os centros menor do que 
a soma dos raios e maior do que a diferença dos 
raios.”
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA110
Graficamente:
- Tangentes externas: “Distância entre os centros 
igual a soma dos raios.”
Graficamente:
- Externas: “Distância entre os centros maior do que 
a soma dos raios.”
Graficamente:
Questão 6: O centro de uma circunferência é o 
ponto médio do segmento aB, sendo a (4; –7) e B 
(–8; –3). Se o raio dessa circunferência é 3, determine 
sua equação reduzida.
a) (x - 2)² + (y - 5)² = 4
b) (x - 2)² + (y + 5)² = 4
c) (x - 2)² + (y - 5)² = 9
d) (x + 2)² + (y - 5)² = 4
e) (x + 2)² + (y + 5)² = 9
Obs.: “Sejam duas circunferências de raios r1 e r2”
Sua posição relativa será dada pela distância “d” 
entre seus centros:
Questão 7: O ponto P(3, b) pertence à circunfer-
ência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o 
valor da coordenada b sabendo que “b” é positivo.
a) -1
b) 0
c) 1
d) 4
e) 7
Questão 8: Determine a equação da circunferên-
cia com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo 
ponto a(1, 1).
a) (x – 2)² + (y – 1)² = 4.
b) (x – 2)² + (y – 1)² = 9.
c) (x – 2)² + (y + 1)² = 1.
d) (x – 2)² + (y – 1)² = 1.
e) (x + 2)² + (y –+1)² = 1.
Questão 9: a equação da circunferência com cen-
tro no ponto C = (2,1) e que passa pelo ponto P = 
(0,3) é dada por:
a) x² + (y – 3)² = 0 
b) (x – 2)² + (y – 1)² = 4
c) (x – 2)² + (y – 1)² = 8 
d) (x – 2)² + (y–1)² = 16
e) x² + (y – 3)² = 8
Questão 10: a equação da circunferência de cen-
tro (1, 2) e raio 3 é:
a) x² + y² - 2x - 4y + 14 = 0
b) x² + y² - 2x - 4y - 4 = 0
c) x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0
d) x² + y² - 4x - 2y - 14 = 0
e) x² + y² - 2x - 4y - 14 = 0
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CiRCunfERênCia | UNIDADE XVII
MATEMÁTICA 111
Questão 11: Sejam M(7,  - 2) e n(5, 4). Se C1 é 
uma circunferência que tem o segmento Mn como 
um diâmetro, então a equação de C1 é:
a) x² + y² - 12x - 2y + 27 = 0
b) x² + y² + 12x - 2y + 27 = 0
c) x² + y² + 12x + 2y + 27 = 0
d) x² + y² - 12x + 2y - 27 = 0
e) x² + y² + 12x - 2y - 27 = 0
Questão 12: a distância do centro da circunferên-
cia, de equação x² - 4x + y² - 8y + 11 = 0, ao ponto 
(3, 4) é:
a) 5 d) √41
b) 1 e) √17
c) 3
Questão 13: a circunferência de equação x² + y² 
+ 4x - 2y - 4 = 0 limita um círculo cuja área é igual a:
a) 6𝛑	 	 d) 12𝛑	
b) 8𝛑	 	 e) 16𝛑	
c) 9𝛑	
Questão 14: a circunferência de equação x2 + y2 
− 4x − 2y − 4 = 0 intercepta o eixo das abcissas nos 
pontos a e B. a distância entre esses dois pontos é 
igual a
a) 25
b) 24
c) 23
d) 22
e) 2
Questão 15: O raio da circunferência de equação 
x2 + y2 – x + y + c = 0 mede 2
3 unidades de com-
primento. nessas condições, o valor da constante c 
é igual a:
a) 4
7−
b) 2
3−
c) –1
d) 2
1
e) 1
Questão 16: na figura abaixo tem-se o hexágono 
regular aBCDEf, inscrito na circunferência de equa-
ção x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0.
x
y
. A
BC
D
E F
a medida do segmento CF é igual a 
a) 8 d) 5
b) 7 e) 4
c) 6
Questão 17: uma circunferência de raio 2 é tan-
gente ao eixo Oy na origem e possui centro O (h, 0) 
com h > 0. Então a equação da circunferência é:
a) x² + y² - 4y = 0
b) x² + y² - 4x = 0
c) x² - y² - 4y = 0
d) x² - y² + 4y = 0
e) x² + y² + 4x = 0
Questão 18: Dentre os gráficos abaixo, o que mel-
hor representa a circunferência de equação x2 + y2 = 
4x é:
(A)
y
x
(B)
y
x
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA112
(C )
y
x
(D)
y
x
(E)
y
x
Questão 19: a reta 3x + 4y – 5 = 0 é tangente à 
circunferência, de equação: 
(x – 4)2 + (y – 2)2 = r2. O comprimento desta cir-
cunferência, em unidades de comprimento, é:
a) 3π
b) 9π
c) 6π
d) 2π
e) π
Questão 20: a equação da circunferência com 
centro no ponto C(2, 3) e tangente à reta de equação 
3x + 4y + 7 = 0 é:
a) x2 + y2 – 2x + 3y – 6 = 0.
b) x2 + y2 + 2x – 3y + 6 = 0.
c) x2 + y2 + 4x – 6y + 12 = 0.
d) x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0.
e) x2 + y2 – 4x + 6y + 12 = 0.
Questão 21: Qual o valor da constante a para que 
a reta x + y = a seja tangente à circunferência x2 + y2 = 
1 em algum ponto do primeiro quadrante?
a) a = 2
b) 2a −=
c) a = 1
d) a = –1
e) 2a =
Questão 22: a equação 0y6x4yx 22 =−−+ define 
um conjunto de pontos equidistantes do ponto:
a) (−2, −3)
b) (2, 0)
c) (0, 3)
d) (3, 2)
e) (2, 3)
Questão 23: a equação da circunferência que 
aparece no gráfico abaixo pode ser escrita na forma
a) x2 + 10x + y2 + 8y + 32 = 0
b) x2 – 10x + y2 – 8y + 38 = 0
c) x2 – 10x + y2 – 8y + 32 = 0
d) x2 + 10x + y2 + 8y + 38 = 0
Questão 24: na figura abaixo, o octógono regular 
está inscrito no círculo de equação x2 + y2 – 4 = 0.
a área do octógono é
a) 25
b) 28
c) 10
d) 10 210
e) 20
R
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CiRCunfERênCia | UNIDADE XVII
MATEMÁTICA 113
 Cônicas: 
“São figuras geradas a partir de diferentes cortes 
em um cone:”
- Elipse: “É o lugar geométrico dos pontos no pla-
no cuja a soma das distâncias a dois pontos fixos 
do plano, chamados de foco (f1 e f2), é um valor 
constante.”
 Graficamente:
 
Elementos: 
. Focos: f1 e f2 
. Centro: o ponto  O, que é o ponto médio de 
. Semi-eixo maior: a
. Semi-eixo menor: b
. Semidistância focal: c
. Vértices: a1, a2, B1, B2
. Eixo maior:  
. Eixo menor: 
. Distância focal: 
. Relação fundamental: a² = b² + c²
. Excentricidade: 
- Elipse centrada na origem:
. Horizontal:
Equação: 
. Vertical:
 
Equação: 
Exercício Resolvido: Considerando uma elipse 
com centro na origem, focos num dos eixos coorde-
nados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), deter-
mine os focos da elipse.
a)  (13, 0) e (– 13, 0)
b) (0, 13) e (0, – 13)
c) (12, 0) e (– 12, 0)
d) (0, 12) e (0, – 12)
e) (0, 5) e (0 e -5)
RESOLUÇÃO:
Se a elipse está centrada na origem, então, pode-
mos afirmar que b = 5 e a = 13, dessa forma achamos 
o c
13² = 5² + c² 169 – 25 = c²  c² = 144, c = -12 
ou c = 12, então seus focos estão em 
(0, 12) e (0, – 12)
Gabarito: d)
Questão 25: Considerando uma elipse com cen-
tro na origem, focos num dos eixos coordenados e 
passando pelos pontos (9, 0) e (0, 15), determine a 
distância focal da elipse.
a) 5 d) 20
b) 10 e) 24
c) 12
R
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA114
Exercício Resolvido: Considere uma elipse de 
equação 9x² + 16y² - 144 = 0, determine o valor do 
seu eixo maior:
a) 4
b) 3
c) 5
d) 9
e) 16
RESOLUÇÃO:
9x² + 16y² - 144 = 0 -> equação geral:
Para passar para a equação reduzida devemos se-
guir os seguintes passos.
9x² + 16y² = 144
 -> Equação reduzida de uma elipse 
na origem
a² = 16 ∴ a = 4
Gabarito: a)
Questão 26: Determine os focos e as extremidades 
do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Questão 27: Determine o valor do eixo maior, 
eixo menor e distância focal, respectivamente, da 
elipse de equação: 9x² + 5y² = 45
a) 4, 2 e 4
b) 6, 2 e 4
c) 6, 2 e 5
d) 5, 2 e 4
e) 5, 4 e 6
- Equação de elipse Com centro fora da origem:
. Horizontal:
. Vertical:
Exercício Resolvido: Sobre a curva 9x² + 25y² − 
36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
a) Seu centro é (−2,1).
b) a medida do seu eixo maior é 25.
c) a medida do seu eixo menor é 9.
d) a distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8.
RESOLUÇÃO:
antes de analisarmosas alternativas, iremos passar 
para equação reduzida, obedecendo esses passos.
1º dividir respectivamente os coeficientes de x e y 
pelos coeficientes de x² e y²: . 
2º dividir os resultados por -2: . 
R
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CiRCunfERênCia | UNIDADE XVII
MATEMÁTICA 115
Assim tendo:
9(x – 2)² + 25(y + 1)² = 164 + 9.(-2)² + 25.(1)² 
9(x – 2)² + 25(y + 1)² = 225
a² = 25 ∴ a = 5
b² = 9 ∴ b = 3
25 = 9 + c² ∴ c = 4
Gabarito: e)
Questão 28: O eixo maior da elipse de equação 
3x² - 12x + 4y² - 8y – 20 = 0 é igual a:
a) 
b)
c)
d)
e)
- Hipérbole: 
“Hipérbole é o lugar geométrico de todos os pon-
tos a diferença entre a distância até f1 e a distância a 
f2, em módulo, for igual a uma constante 2a.”
|Pf1 – Pf2| = 2a
Graficamente:
- Hipérbole centrada na origem:
. Horizontal:
 
Equação: 
. Vertical: 
 
Equação: 
Exercício Resolvido: a distância focal da hipér-
bole de equação é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
R
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA116
RESOLUÇÃO:
a² = 16
b² = 9
c² = a² + b²
c² = 16 + 9 ∴ c = 5
2c = 10
Gabarito: e)
Questão 29: Determine as coordenadas dos focos 
da hipérbole de equação 
a) (5, -5) e (-5 e 5)
b) (0, 5) e (0, -5)
c) (5, 0) e (-5, 0)
d) (-5, 0) e (0, -5)
e) (5, 0) e (0, 5)
Exercício Resolvido: Determine a equação redu-
zida da hipérbole que possui equação geral igual a 4x² 
- 9y² - 36 = 0
a) x² = y² = 1
b) 
c) 
d) x² + 3y² = 1
e) 3x² - 3y³ = 3
RESOLUÇÃO:
4x² - 9y² = 36
Gabarito: c)
Questão 30: Determine o valor da distância focal 
da hipérbole de equação 
a) 6 d) 20
b) 8 e) 40
c) 10
Questão 31: O valor do eixo imaginário da hipér-
bole de equação 9x² - 36y² = 144 é igual a:
a) 2 d) 8
b) 3 e) 9
c) 4
- Equação da hipérbole com centro fora da origem:
. Horizontal:
. Vertical:
Exercício Resolvido: Determine a equação redu-
zida da hipérbole de equação
4x² - y² - 32x + 8y + 44 = 0
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO:
iremos utilizar o mesmo método que fizemos na 
elipse.
R
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CiRCunfERênCia | UNIDADE XVII
MATEMÁTICA 117
1º dividir respectivamente os coeficientes de x e 
y pelos coeficientes de x² e y²: . 
2º dividir os resultados por -2: . 
assim tendo:
4(x – 4)² - (y – 4)² = -44 + 64 – 16 
4(x – 4)² - (y – 4)² = 4
Gabarito: d)
Questão 32: O eixo real da Hipérbole de equação 
3x² - 2y² - 6x – 12y – 27 = 0 é igual a:
a) 4 d) 24
b) 8 e) 32
c) 16 
Questão 33: as coordenadas do centro da hipér-
bole de equação 9x2 – 18x – 4y2 – 16y = 43 é:
a) (2,1) d) (–1,–2)
b) (–1,2) e) (1,–2)
c) (1,2)
 Parábola
“É o conjunto de pontos cuja distância até a reta r 
é a mesma até um ponto f.”
Graficamente:
 
F: foco
d: Reta diretriz
p: Parâmetro
V: Vértice
. Equação Reduzida 
- Parábola horizontal: y² = 2px 
- Parábola vertical: x² = 2py 
. Equação Geral
- Parábola horizontal: 
- Parábola vertical: 
Obs.:
 são coordenadas do vértice
Exercício Resolvido: no plano cartesiano, há 
dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação 
2y x= e que estão alinhados com os pontos a(0,3) e 
B(4,0).
a soma das abscissas dos pontos R e S é: 
a) -0,45 
b) -0,55 
c) -0,65 
d) -0,75 
e) -0,85 
RESOLUÇÃO:
Seja t a reta que passa por a(0, 3) e B(4, 0) Tem-se 
que a equação de t é
x y 31 y x 3.
4 3 4
+ = ⇔ = − +
as abscissas de R e S correspondem às abscissas 
dos pontos de interseção de t com a parábola y = x2. 
Logo, 
2 23 3x x 3 x x 3 0.
4 4
= − + ⇔ + − =
Portanto, pelas Relações de Girard, a soma pedida 
é 3 0,75.
4
− = −
Gabarito: d)
R
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UNIDADE XVII | CiRCunfERênCia 
MATEMÁTICA118
Questão 34: O ponto    
1P a,
3
 pertence à parábola 
+=
2y 3x .
3
 a equação da reta perpendicular à biss-
etriz dos quadrantes ímpares que passa por P é: 
a) + =27x 27y – 37 0 
b) + =37x 27y – 27 0 
c) + =27x 37y – 27 0 
d) + =27x 27y – 9 0 
e) + =27x 37y – 9 0 
Questão 35: a representação no sistema carte-
siano ortogonal da equação − = + −2 29x y 36x 8y 11 é 
dada por 
a) duas retas concorrentes. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma parábola. 
e) uma hipérbole. 
Questão 36: num estádio de futebol em forma de 
elipse, o gramado é o retângulo MnPQ, inscrito na 
cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o siste-
ma de coordenadas cartesianas indicado e tomando o 
metro como unidade, a elipse é descrita pela equação 
+ =
2 2
2 2
x y 1.
36 60
 Sabe-se também que os focos da elipse 
estão situados em lados do retângulo MnPQ.
assim, a distância entre as retas Mn e PQ é 
a) 48 m d) 92 m
b) 68 m e) 96 m
c) 84 m
GABARITO:
1: c)
2: b)
3: (C), (C), (X), (C), 
(X), (X)
4: b)
5: c)
6: e)
7: e)
8: d)
9: c)
10: b)
11: a)
12: b)
13: c)
14: b)
15: a)
16: a)
17: b)
18: e)
19: c)
20: d)
21: e)
22: e)
23: c)
24: b)
25: e)
26: a)
27: b)
28: c)
29: b)
30: d) 
31: c)
32: a)
33: e)
34: a)
35: e)
36: e)
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