Lista 04 - ondas

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Universidade de Brasília
Ciências Aeroespaciais - 2/2016
Lista de exercícios referentes à segunda avaliação
Questão 1
Um objeto sujeito a um movimento harmônico simples leva
0,25s para viajar de um ponto onde a velocidade é nula até o
próximo ponto em que isto acontece. A distância entre esses
pontos é de 36cm. Calcule (a) a amplitude do movimento, (b)
o período e (c) a frequência.
Questão 2
Um corpo oscila com um movimento harmônico simples de
acordo com a equação
x = (6, 0m) cos[(3πrad/s)t+ π/3rad].
Em t = 2, 0s qual (a) A posição, (b) a velocidade, (c) a acele-
ração, (d) a fase do movimento, (e) a frequência e (f) o período
do movimento?
Questão 3
Em um certo porto, as marés fazem com que a superfície do
oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto para o
mais baixo) em movimento harmônico simples, com um período
de 12, 5h. Quanto tempo leva para a água cair uma distância
de d/4 do seu nível mais alto?
Questão 4
Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples
ao longo de um segmento de reta comum de comprimento A.
Cada particula tem um período de 1, 5 s, mas diferem em fase
de π rad. (a) Qual a distância entre elas (em termos de A) 0, 5 s
6 após a partícula mais atrasada deixar uma das extremidades
do percurso? (b) Elas estão se aproximando ou se afastando?
Questão 5
Duas particulas executam movimentos harmônicos simples de
mesma amplitude e frequência ao longo de linhas paralelas pró-
ximas. Elas passam uma pela outra movendo-se em sentidos
contrarios cada vez que o deslocamento delas é metade da am-
plitude. Qual a diferença de fase entre elas?
Questão 6
Uma onda senoidal de 500Hz se propaga em uma corda a
350m/s. Diga (a) qual é a distância entre dois pontos da corda
cuja diferença de fase é π/3rad e (b) qual é a diferença de fase
entre dois deslocamentos de um ponto da corda que acontecem
com um intervalo de 1, 00ms?
Questão 7
A equação de uma onda transversal que se propaga em uma
corda muito longa é y = 6 · sin(0, 02 · πx + 4πt), onde x e y
estão em centímetros e t em segundos. Determine (a) a am-
plitude, (b) o comprimento de onda, (c) a frequência, (d) a
velocidade, (e) o sentido de propagação da onda, (f) a máxima
velocidade transversal de uma partícula da onda. (g) Qual é o
deslocamento transversal em x = 3, 5cm para t = 0, 26s?
Questão 8
A função y(x, t) = 15(cm) ·cos(πx−15πt), com x em metros e t
em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual
é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante
em que o ponto possui um deslocamento y = 12cm?
Questão 9
Um fio de 100g é mantido sob uma tensão de 250N com uma
extremidade em x = 0 e a outra em x = 10m. No instante t=0
o pulso 1 começa a se propagar no fio a partir do ponto x =
10m. No instante t = 30ms o pulso 2 começa a se propagar no
fio a partir do ponto x=0. Em que ponto x os pulsos começam
a se superpor?
Questão 10
Na figura, a corda 1 tem uma massa específica linear 3, 00g/m
e a corda 2 tem uma massa específica linear 5,00g/m. As cor-
das estão submetidas a uma tensão produzida por um bloco
suspenso de massa M = 500g. Calcule a velocidade da onda
(a) da corda 1; (b) da corda 2. Determine (c) M1 e (d) M2
para que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais.
t = 0 x xs = 0, 8m
t
x
0, 2
dy
dx
=
d(ym sin(kx � !t))
dx
= ymk cos(kx � !t)
t = 0
ymk
k =
2⇡
�
=
2⇡
0, 40m
= 15, 7rad/m
ymk = 0, 2 ym
ym =
0, 20
15, 7rad/m
= 0, 0127m ⇡ 1, 3cm
100g 250N
x = 0 x = 10m
t = 0 1
x = 10m t = 30ms 2
x = 0 x
v
x = 0 t = 0
x t x1 = vt
x = L L t0 = 30ms
x
x2 = L � v(t � to)
x1 = x2
vt = L � v(t � to)
t
t =
L + vto
2v
x = vt = (L+vt0)
2
v
v =
r
⌧L
m
=
s
(250N)(10, 0m)
0, 100kg
= 158m/s
x
x =
(10, 0m) + (158m/s)(30, 0 ⇥ 10�3s)
2
= 7, 37m
3, 00g/m
2 5, 00g/m
M = 500g
M1 M2
⌧ = Mg
2
v1 =
r
⌧
µ1
=
r
Mg
2µ1
=
s
(500g)(9, 80m/s2)
2(3, 00g/m)
= 28, 6m/s
v2 =
r
Mg
2µ2
=
s
(500g)(9, 80m/s2)
2(5, 00g/m)
= 22, 1m/s
v1 =
r
M1g
2µ1
= v2 =
r
M2g
2µ2
M1 + M2 = M
M1 =
M
1 + µ2
µ1
=
500g
1 + 5,00
3,00
= 187, 5g ⇡ 188g
M2 = M � M1 = (500g � 187, 5g) ⇡ 313g
m L
y
Questão 11
Quatro ondas são produzidas na mesma corda e no mesmo sen-
tido:
y1(x, t) = 4mm · sen(2πx− 400πt)
y2(x, t) = 4mm · sen(2πx− 400πt+ 0, 7π)
y3(x, t) = 4mm · sen(2πx− 400πt+ π)
y4(x, t) = 4mm · sen(2πx− 400πt+ 1, 7π)
Qual é a amplitude da onda resultante?
Questão 12
Uma corda sujeita a uma tensão de 200N e fixa nas duas ex-
tremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacio-
nária. O deslocamento da onda é dado por
y = 0, 1m · sin(πx) sin(12πt)
onde x = 0 em uma das extremidades da corda x está em me-
tros e t está em segundos. Quais são (a) O comprimento da
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corda? (b) a velocidade das ondas na corda? (c) a massa da
corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma
onda estacionária, qual é o período de oscilação?
Questão 13
Na figura uma conda, presa a um oscilador senoidal no ponto
P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por
um bloco de massa m. A distância entre P e Q é L=1,2m,a
massa específica linear da corda é µ = 1, 6g/m e a frequên-
cia do oscilador é f = 120Hz. A amplitude do deslocamento
do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto
seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto
Q. (a) Qual deve ser o valor da massa m para que o os-
cilador produza na corda o quarto harmônico? (b) Qual é
o modo produzido na corda pelo oscilador para m = 1kg?
x = 0
x = 1
5
= 0, 2m
x = 2
5
= 0, 4m
f = w
2⇡
= 40⇡
2⇡
= 20Hz
T =
1
f
= 0, 05s
y1 = 0, 02sen(5⇡x � 40⇡t)
y2 = 0, 02sen(5⇡x + 40⇡t)
v =
w
k
=
40⇡
5⇡
! v = 8m/s
ym = 0, 02m
y
u =
@y
@t
= �(0, 040)(40⇡) sin(5⇡x) sin(40⇡t)
(40⇡t) = 0 ! 40⇡t = 0,⇡, 2⇡, 3⇡, ... ! t =
0, 1/40, 2/40, 3/40, ...
t = 0
t = 1
40
= 0, 025s
t = 2
40
= 0, 05s
P Q
m P Q L = 1, 2m
µ = 1, 6g/m
f = 120Hz
P
Q
m = 1kg
f = nv
2L
v = ( ⌧
µ
)
1
2
f =
nv
2L
=
n
2L
r
⌧
µ
=
n
2L
r
mg
µ
, n = 1, 2, 3, ...
m n = 4
m =
4L2f2µ
n2g
����
n=4
=
4(1, 20m)2(120Hz)2(0, 00160kg/m)
(4)2(9, 80m/s2)
0, 846kg
m = 1, 00kg n
n = sqrt
4L2f2µ
n2g
=
s
4(1, 20m)2(120Hz)2(0, 00160kg/m)
(4)2(9, 80m/s2)
= 3, 68
n m = 1kg
L1 = 60cm
1 · 10�2cm2 2, 6g/cm3
7, 8g/cm3
m = 10kg L2
86, 6cm
n1
L1 =
n1�1
2
=
n1v1
2f
f =
n1v1
2L1
f =
n2v2
2L2
n1v1
L1
=
n2v2
L2
v1 =
r
⌧
µ1
µ1
µ1
L1
m1 = ⇢1 · volume1 = ⇢1 · A · L1
µ1 =
⇢1AL1
L1
= ⇢1A
v1 =
r
⌧
⇢1A
v2 =
r
⌧
⇢2A
v1 v2
n1v1
L1
= n2v2
L2
n2
L1
p
⇢1
=
n2
L2
p
⇢2
n2 n1
n2
n1
=
L2
p
⇢2
L1
p
⇢1
=
(0, 866m)
p
7, 80 ⇥ 103kg/m3
(0, 600m)
p
2, 60 ⇥ 103kg/m3
= 2, 50
Questão 14
Na figura um fio de alumínio, de comprimento L1 = 60cm, se-
ção reta 10−2cm2 e massa específica 2, 6g/cm3, está soldado a
um fio de aço de massa específica 7, 8g/cm3 e mesma seção reta.
O fio composto, tensionado por um bloco de massa m=10kg,
está disposto de tal forma que a distância L2 entre o ponto de
solda e a polia é 86, 6cm. Ondas transversais são excitadas no
fio por uma fonte externa de frequência variável; um nó está
situado na polia. (a) Determine a menor frequência que pro-
duz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um
dos nós. (b) Quantos nós são observados para esta frequência?
x = 0
x = 1
5
= 0, 2m
x = 2
5
= 0, 4m
f = w
2⇡
= 40⇡
2⇡
= 20Hz
T =
1
f
= 0, 05s
y1 = 0, 02sen(5⇡x � 40⇡t)
y2 = 0, 02sen(5⇡x + 40⇡t)
v =
w
k
=
40⇡
5⇡
! v = 8m/s
ym = 0, 02m
y
u =
@y
@t
= �(0, 040)(40⇡) sin(5⇡x) sin(40⇡t)
(40⇡t) = 0 ! 40⇡t = 0,⇡, 2⇡, 3⇡, ... ! t =
0, 1/40, 2/40, 3/40, ...
t = 0
t = 1
40
= 0, 025s
t = 2
40
= 0, 05s
P Q
m P Q L = 1, 2m
µ = 1, 6g/m
f = 120Hz
P
Q
m = 1kg
f = nv
2L
v = ( ⌧
µ
)
1
2
f =
nv
2L
=
n
2L
r
⌧
µ
=
n
2L
r
mg
µ
, n = 1, 2, 3, ...
m n = 4
m =
4L2f2µ
n2g
����
n=4
=
4(1, 20m)2(120Hz)2(0, 00160kg/m)
(4)2(9, 80m/s2)
0, 846kg
m = 1, 00kg n
n = sqrt
4L2f2µ
n2g
=
s
4(1, 20m)2(120Hz)2(0, 00160kg/m)
(4)2(9, 80m/s2)
= 3, 68
n m = 1kg
L1 = 60cm
1 · 10�2cm2 2, 6g/cm3
7, 8g/cm3
m = 10kg L2
86, 6cm
n1
L1 =
n1�1
2
=
n1v12f
f =
n1v1
2L1
f =
n2v2
2L2
n1v1
L1
=
n2v2
L2
v1 =
r
⌧
µ1
µ1
µ1
L1
m1 = ⇢1 · volume1 = ⇢1 · A · L1
µ1 =
⇢1AL1
L1
= ⇢1A
v1 =
r
⌧
⇢1A
v2 =
r
⌧
⇢2A
v1 v2
n1v1
L1
= n2v2
L2
n2
L1
p
⇢1
=
n2
L2
p
⇢2
n2 n1
n2
n1
=
L2
p
⇢2
L1
p
⇢1
=
(0, 866m)
p
7, 80 ⇥ 103kg/m3
(0, 600m)
p
2, 60 ⇥ 103kg/m3
= 2, 50
Questão 15
Em uma experiência de laboratório, uma corda horizontal de 1,
2kg é fixada nas duas extremidades (x = 0 e x = 2m) e colocada
para oscilar para cima e para baixo no modo fundamental, com
uma frequência de 5Hz. No instante t = 0 o ponto situado em
x = 1m tem deslocamento nulo e se move para cima no sentido
positivo de um eixo y com uma velocidade transversal de 5m/s.
Quais são (a) a amplitude do movimento nesse ponto? (b) a
tensão na corda? (c) Escreva a equação da onda estacionária
para o modo fundamental.
Questão 16
Um homem bate com um martelo na ponta de uma barra del-
gada. A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que a
velocidade do som no ar. Uma mulher na outra extremidade,
com o ouvido próximo da barra, escuta o som da pancada duas
vezes, com um intervalo de 0, 12s; um som vem da barra e o
outro vem do ar em torno da barra. Se a velocidade do som no
ar é 343m/s, qual é o comprimento da barra?
Questão 17
Uma menina está sentada perto da janela aberta de um trem
que viaja para leste com uma velocidade de 10m/s. O tio da
menina está parado na plataforma e observa o trem se afastar.
O apito da locomotiva produz um som com uma frequência de
500Hz. O ar está parado. (a) Que frequência o tio ouve? (b)
Que frequência a menina ouve? (c) Um vento vindo do leste
começa a soprar a 10m/s. Que frequência o tio passa a ouvir?
(d) Que frequência a menina passa a ouvir?
Questão 18
Dois trens viajam um em direção ao outro a 30, 5m/s em rela-
ção ao solo. Um dos trens faz soar um apito de 500Hz. (a) Que
frequência é ouvida no outro trem se o ar está parado? (b) Que
frequência é ouvida no outro trem se o vento está soprando a
30, 5m/s no sentido contrário ao do trem que apitou? (c) Que
frequência é ouvida se o sentido do vento se inverte?
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