UNIDADE 4

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UNIDADE 4. 
Seção 1 de 4 
 
Análise e gerenciamento de investimentos financeiros 
Paula Esquerdo 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
Aprender sobre os prazos de retorno de capital; 
Diferenciar payback simples de descontado; 
Entender sobre o prazo de retorno e a vida útil do bem e seus diferentes tipos; 
Conhecer os custos uniformes; 
Entender sobre o conceito de juros nulos; 
Realizar uma análise de sensibilidade e entender sobre ponto de equilíbrio; 
Diferenciar as condições de certeza, risco e tomada de decisão; 
Realizar os cálculos de frequência estatística; 
Calcular a média, mediana e moda; 
 
Tornar o aluno capaz de analisar a viabilidade econômica de um projeto. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Clique nos botões para saber mais 
Prazo de retorno ou prazo de recuperação do capital investido 
– 
// A validade do método 
// Comparação do prazo de retorno com a vida útil do bem 
// Vida útil real, vida útil contábil e vida de serviço 
// Custo uniforme em lugar de valores uniformes 
// Cálculo do prazo de retorno por etapas 
// Prazo de retorno a juros nulos 
Análise da sensibilidade 
– 
// Sensibilidade de uma alternativa 
// Sensibilidade de várias alternativas 
// Análise do ponto de equilíbrio 
Condição de certeza e risco 
– 
// Fluxo de caixa sob condição de certeza e incerteza 
// Tipos de curvas de frequência de ocorrência 
// Probabilidade de viabilidade de um empreendimento 
 
Prazo de retorno ou prazo de 
recuperação do capital investido 
Seção 2 de 4 
 
O prazo de retorno do investimento (PRI) ou prazo de recuperação do capital 
investido, também conhecido como payback, tem como objetivo esclarecer o 
período de tempo necessário para que o investidor recupere o montante 
investido; ou seja, é o tempo em que o montante do ganho acumulado se 
iguala ao montante investido. O resultado consiste em uma unidade de tempo: 
Como o resultado do payback indica o número de períodos necessários para 
a recuperação do investimento, logo, quanto menor o payback de um 
projeto, menor o risco do investimento. Por outro lado, um payback alto 
revela um risco elevado na execução do projeto em estudo (SOUZA; 
CLEMENTE, 2008). 
// Critérios de avaliação 
 bullet 
Payback < ou = período máximo aceitável de recuperação = aprova o projeto; 
 bullet 
Payback > período máximo aceitável de recuperação = reprova o projeto. 
Por apresentar cálculo e compreensão simples, o payback é amplamente 
utilizado como um método para triagem de viabilidade de projetos. De forma 
resumida, o Gráfico 1 exemplifica o comportamento desse mecanismo. 
 
Gráfico 1. Visão geral do payback. 
// Tipificação 
 bullet 
Payback simples (PBS): utiliza valores nominais, isto é, não considera o valor 
do dinheiro no tempo; 
 bullet 
Payback descontado (PBD): considera os fluxos de caixa descontados, assim 
como o valor do investimento no tempo. 
 
A VALIDADE DO MÉTODO 
Uma vez que existem riscos na análise, gestão e na própria evolução de 
investimentos, o payback pode ser utilizado como indicador primário ou 
adicional para a decisão. O gestor emprega os métodos necessários para 
otimizar os resultados, devendo considerar as vantagens e desvantagens 
oferecidas por cada um. 
 
 
Da mesma forma como ocorre com outros métodos, no payback há 
imperfeições, mas a Engenharia Econômica tenta mitigar esses riscos. O 
mecanismo está diretamente ligado à identificação do payback simples e às 
suas restrições e, portanto, também à proposição do payback descontado. 
Dependendo dos objetivos e das margens de erro aceitas pelo gestor, um ou 
outro método pode ser aplicado. Entretanto, é essencial compreender que, para 
maior assertividade, a opção pela teoria das opções reais é a mais 
conservadora. No caso do payback descontado, há uma maior aproximação 
com o resultado real. Se os fluxos de caixa forem todos positivos, podemos 
afirmar que o payback descontado será sempre maior que o payback simples. 
Veremos maiores detalhes sobre os payback simples e descontado mais 
adiante. Verificaremos, a seguir, como os métodos de análise de retorno do 
investimento consideram, além das variáveis já apresentadas, o tempo de vida 
útil do bem para a tomada de decisão. 
 
COMPARAÇÃO DO PRAZO DE RETORNO COM A 
VIDA ÚTIL DO BEM 
 
O processo que compara o prazo de retorno com a vida útil do bem é chamado 
de depreciação, que verifica a desvalorização do bem no tempo. É uma forma 
de medir a perda gradual do valor do investimento, reconhecida como uma 
despesa para a firma. 
 
Nas aplicações financeiras, a inflação é um ponto de depreciação. O mesmo 
montante de hoje não detém o mesmo poder de compra daqui a cinco anos, 
por exemplo. 
// Fórmula geral 
A fórmula geral do conceito da depreciação é dada por: 
 
Onde: 
 bullet 
Deprec é a depreciação; 
 bullet 
P é o montante a ser depreciado; 
 bullet 
N é o período total em que o montante deve ser depreciado. 
// Tipificação 
 1 
1 
Método linear; 
 2 
2 
Método acelerado; 
 3 
3 
Método somatório dos dígitos periódicos (Método de COLE); 
 4 
4 
Método de saldo decrescente; 
 5 
5 
Método multinível; 
 6 
6 
Método de baixa contábil imediata; 
 7 
7 
Método de depreciação especial; 
 8 
8 
Método de depreciação manual. 
Abordaremos com mais detalhes alguns dos tipos de depreciação para que 
possamos compreender o mecanismo de forma geral. 
 
// Depreciação linear 
 
É um método amplamente utilizado e consiste na depreciação homogênea do 
bem durante o tempo. 
 
 
 
 1 
 2 
Gráfico 2. Depreciação linear: valor bem. 
Gráfico 3. Depreciação linear: valor quota depreciada. 
A fórmula da depreciação linear é dada por: 
 
Onde: 
 bullet 
DeprecL é a depreciação linear; 
 bullet 
VI é o valor inicial a ser depreciado; 
 bullet 
VR é o valor residual a ser depreciado; 
 bullet 
PU é o período total em que os valores devem ser depreciados, ou vida útil do 
bem. 
No Brasil, compete à Receita Federal o gerenciamento dos percentuais de 
depreciação linear de bens para efeitos fiscais. 
 
DICA 
Para saber mais acerca do gerenciamento dos percentuais de 
depreciação linear de bens, visite o portal da Receita Federal, que 
disponibiliza uma tabela indicando os bens, o prazo de vida útil geral, 
além da taxa anual de depreciação de cada um. 
CLIQUE AQUI 
// Depreciação acelerada 
 
http://normas.receita.fazenda.gov.br/sijut2consulta/anexoOutros.action?idArquivoBinario=36085
A depreciação acelerada pode ocorrer por diversas razões, podendo se dar 
devido à super utilização ou à superexposição ao desgaste de um equipamento 
durante a vida útil do mesmo. Por exemplo, uma máquina com previsão inicial 
de uso de um turno e passa a ser utilizada em quatro turnos em determinado 
momento. 
 
 
 1 
 2 
Gráfico 4. Depreciação acelerada: valor bem. 
Gráfico 5. Depreciação acelerada: valor quota depreciada. 
A depreciação acelerada tem como base a depreciação linear, aplicada ao 
saldo e período residual do bem. Suponhamos uma situação em que um 
equipamento é adquirido por R$ 600.000 com depreciação estimada em cinco 
anos a 20% a.a., com utilização de um turno na produção. A partir do segundo 
ano completo, a máquina passa a ser utilizada em três turnos, aumentando a 
depreciação para 60% a.a. 
 1 
1 
Dois primeiros períodos: 
 
 2 
2 
Dois últimos períodos: 
Portanto, o saldo a depreciar, a partir do segundo ano, ocorrerá em um ano. O 
período total da depreciação que, inicialmente, era de quatro anos, será, com a 
depreciação acelerada proposta, de dois mais um ano, ou seja, três anos. 
// Método somatório dos dígitos periódicos (Método de COLE) 
 
A depreciação utilizando o método das somas dos dígitos, ou método de Cole, 
também conhecida como SOYD (em inglês, sum of years’ digits), 
proporcionaliza inversamente o período e a quota a depreciar. O que significa 
que, nos primeiros períodos, há melhores condições de produção e, portanto, 
maiorescondições à depreciação. Ao contrário, ao final da vida útil do bem, 
haveria impacto nos custos e volume de produção e, por isso, menores 
condições à depreciação. 
 
 
 1 
 2 
Gráfico 6. Depreciação por soma dos dígitos: valor do bem. 
Gráfico 7. Depreciação por soma dos dígitos: valor da quota depreciada. 
A fórmula da depreciação por soma dos dígitos é dada por: 
 
Onde: 
 bullet 
Deprec é a depreciação linear pela soma dos dígitos; 
 bullet 
N é o total de anos para depreciação do bem; 
 bullet 
t é o período em que se está analisando a depreciação; 
 bullet 
SOYD é a soma dos dígitos do total de anos para a depreciação do bem; 
 bullet 
I0 é o investimento total inicial; 
 bullet 
R é o saldo residual esperado do bem. 
Exemplificando: um ativo custa R$ 10.000,00, a vida útil é de cinco anos e o 
saldo residual final esperado é de R$40,00: 
 bullet 
N = 5; 
 bullet 
SOYD = 5+4+3+2+1 = 15; 
 bullet 
I0 = 10.000,00; e 
 bullet 
R = 40,00. 
VIDA ÚTIL REAL, VIDA ÚTIL CONTÁBIL E VIDA 
DE SERVIÇO 
 
Na depreciação é preciso distinguir a vida útil real, a vida útil contábil e a vida de 
serviço. Deve-se iniciar a depreciação somente quando o bem estiver disponível para 
uso, e o encerramento ocorre quando ele se torna oficialmente ocioso, ou seja, quando 
retirado de uso (vendido, por exemplo) ou quando for baixado por outra razão. 
Vida útil real 
É a vida econômica e diz respeito ao prazo real de duração do bem, 
considerando o momento em que ele esteja ocioso para a firma e/ou que não 
possa ser mais utilizado. Esse prazo é definido pela firma. 
 
A teoria da depreciação envolve a distinção entre o valor do estoque de 
ativos de capital e o valor anual desses serviços de ativos, distinguindo 
entre depreciação e inflação como fontes da mudança no valor do ativo, e 
distinguir entre a depreciação nos valores dos ativos e deterioração na 
produtividade física de um ativo. Definimos depreciação econômica como 
o declínio no preço do ativo (ou preço sombra) devido ao envelhecimento 
(HULTEN; WYKOFF, 1981, p. 84). 
Vida útil contábil 
Está relacionada à vida fiscal, referindo-se ao prazo de duração do bem 
atendendo a uma regulação oficial (Receita Federal, por exemplo). 
Vida de serviço 
Diz respeito ao prazo de serviço, ou seja, à utilização do bem que pode, 
eventualmente, ser menor que a vida útil. Está ligada à depreciação de 
performance do bem. É comum a divisão da vida útil de serviço em diversas 
etapas, considerando o desempenho do bem. Logo, depende da capacidade de 
produção versus o desembolso para manutenção. 
 
É suficiente para nossos propósitos observar que à eficiência física de um 
novo ativo pode, na ausência de obsolescência, ser atribuído um índice de 
eficiência igual a um, e o índice de eficiência de um ativo usado pode ser 
definido como a taxa marginal de substituição na produção entre aquele 
ativo usado e o novo ativo. Quando ocorre a obsolescência, a eficiência 
índice de novos ativos aumenta com o tempo (HULTEN; WYKOFF, 1981, 
p. 88). 
 
 
 1 
 2 
 3 
Gráfico 8. Exemplo de vida útil de serviço = contábil = real. 
Gráfico 9. Exemplo de vida útil de serviço < contábil < real. 
Gráfico 10. Exemplo de vida útil de serviço = contábil < real. 
Verificamos, então, que podemos nos deparar com cenários nos quais o prazo 
de vida útil é inferior ou superior ao estimado por instruções normativas ou 
prazo contábil. Existem consequências e abordagens fiscais distintas da 
depreciação na firma a depender em qual regime esteja enquadrada: se ao 
lucro real, ao lucro presumido ou, ainda, ao simples nacional. O objetivo aqui 
é apresentar a depreciação do bem de forma geral e, por isso, não entraremos 
nos detalhes fiscais de cada aplicação. 
CUSTO UNIFORME EM LUGAR DE VALORES 
UNIFORMES 
 
Como existem sinônimos para diversos métodos na análise de investimentos, 
devemos esclarecer a relação custo uniforme e valores uniformes: 
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Valor Presente Líquido (VPL) 
Resumidamente traz um valor futuro ao valor presente, representando em 
valores monetários atuais a diferença entre recebimentos e pagamentos. Já 
o Valor Uniforme Líquido (VUL) nada mais é do que o Valor Presente 
Líquido Anualizado (VPLA), também conhecido por Valor Anual Equivalente 
(VAE) ou Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) ou Valor Anual 
Uniforme (VAU). 
Custo Presente Líquido (CPL) 
Ocorre quando o VPL é negativo, significando que as receitas são menores 
que os custos. O chamado Custo Uniforme Líquido (CUL) está para VUL 
assim como CPL está para VPL, ou seja, CUL ocorre quando o VUL é 
negativo, indicando que as receitas são menores que os custos. CUL também é 
conhecido por Custo Anual Equivalente (CAE) ou Custo Anual Uniforme 
Equivalente (CAUE) ou, ainda, Custo Anual Uniforme (VAU). 
A utilização do CUL é frequente na análise do problema da substituição de 
equipamentos (PSE), em que devem ser calculados os fluxos de caixa para o 
equipamento contendo todos os custos e receitas possíveis geradas a partir 
dele considerando a vida útil, incluindo seu valor residual. 
Para Casarotto Filho e Kopittke (2010), para o cálculo da vida econômica existe o balanço 
de dois custos: o custo de investimento inicial, que tende a tornar a vida útil do bem o maior 
possível, e os custos de operação/manutenção, que tendem a encurtar a vida útil do bem, já 
que são crescentes. Assim, esses autores dizem que a determinação da vida econômica 
consiste em achar os custos ou resultados anuais uniformes equivalentes (CAUE ou VAUE) 
do ativo para todas as vidas úteis possíveis. O ano para o qual o CAUE é mínimo ou o 
VAUE é máximo é o da vida econômica do ativo (MARIA e colaboradores, 2016, p. 5). 
A fórmula do CUL é dada por: 
 
Onde: 
CUL é o Custo Uniforme Líquido; 
n é o número de períodos analisados ou duração do investimento; 
t é o período específico que está sendo analisado; 
Ct é o custo na data t; 
DIt é o desembolso ou investimento na data t; 
i é o custo de capital ou TMA. 
De outro modo, La Vega e Abensur (2014) indicam a seguinte fórmula: 
 
Onde: 
CUL é o Custo Uniforme Líquido; 
VPL é o Valor Presente Líquido; 
n é o número de períodos analisados ou duração do investimento; 
i é o custo de capital ou TMA. 
Exemplificando: analise a Tabela 1 a fim de verificar o CUL em duas 
possibilidades de investimentos. 
 
Tabela 1. Informações para identificar CUL com duas possibilidades de investimentos. 
CUL (A) < CUL (B), logo, anualmente, é menos 
custoso, então (A) é mais vantajoso. 
CÁLCULO DO PRAZO DE RETORNO POR 
ETAPAS 
 
O cálculo do prazo de retorno por etapas, também conhecido por payback 
descontado (PBD) ou payback modificado, utiliza o cálculo a juros reais. 
Relembremos a diferença dos paybacks simples e descontado. 
 
A fórmula do payback descontado é dada por: 
 
Onde: 
PBD é o payback descontado; 
I0 é o investimento inicial; 
n é o número total de períodos; 
t é o período específico de n; 
R é a receita proveniente do período t; 
C é o custo proveniente do período t; 
i é a taxa de juros empregada. 
 
Exemplo 1: o payback esperado do investimento é de cinco anos. 
Verificaremos o payback descontado com investimento de cinco períodos, 
com aporte inicial de R$100.000,00 a uma taxa de 5% a.a., conforme segue: 
I0 = R$100.000,00; 
i = 5%. 
Considere as informações que constam na Tabela 2 para avaliar a questão. 
 
Tabela 2. Informações para identificar PBD mais atrativo. 
PBD calculado 4,58 < PBD esperado 5, logo, o 
projeto é atrativo. 
PRAZO DE RETORNO A JUROS NULOS 
 
O cálculo do prazo de retorno a juros nulos, também conhecido por payback 
simples (PBS), utiliza o cálculo a juros nulos. Apesar das desvantagens 
quando comparado ao payback descontado por não considerar as variações do 
dinheiro no tempo, o payback apresenta a vantagem por ser simples e de fácil 
entendimento. 
O período dePayback Simples (PBS) é facilmente calculado, representando o número de 
períodos requeridos para cobrir o investimento no projeto (GITMAN, 1997, p. 327). 
A fórmula do payback simples para fluxos de caixa iguais é dada por: 
PBSR 
Onde: 
PBSR é o payback simples de fluxo de caixa regular; 
I0 é o fluxo de caixa inicial; 
FC é o retorno do período. 
A fórmula do payback simples para fluxos de caixa variáveis é dada por: 
 
Onde: 
PBSI é o payback simples de fluxo de caixa irregular; 
N é a posição da soma do fluxo de caixa que mais se aproxima do 
investimento inicial; 
I0 é o fluxo de caixa inicial; 
FCN é o fluxo de caixa na posição n, ou seja, soma dos fluxos de caixa mais 
próxima do investimento inicial. 
 
Exemplo 2: o payback esperado do investimento é de cinco períodos. 
Verificaremos o payback simples de fluxo de caixa regular com aporte inicial 
de R$100.000,00 e retorno de R$30.000,00 por período. 
I0 = R$100.000,00; 
FC = R$30.000,00. 
Considere as informações da Tabela 3 para avaliar a questão. 
 
Tabela 3. Informações para identificar PBSr mais atrativo. 
PBSr calculado 3,33 < payback esperado era 5, 
logo o projeto é atrativo. 
Exemplo 3: o payback esperado do investimento é de dois anos. 
Verificaremos o payback simples de fluxo de caixa irregular com aporte 
inicial de R$100.000,00, conforme abaixo: 
N = 2; 
I0 = R$100.000,00; 
FCn = (FC1) R$30.000,00 + (FC2) R$40.000,00 = R$70.000,00; 
FCn + 1 = (FC3) R$50.000,00. 
 
PBSI calculado = 2,6 > payback esperado (2), 
logo o projeto não é atrativo. 
 
Análise da sensibilidade 
Seção 3 de 4 
 
A análise de sensibilidade ou análise de pós-otimização é um método que 
objetiva variar um ou mais fatores que influenciam o fluxo de caixa do 
projeto, mantém os demais em seu patamar de referência e calcula o efeito na 
variável de decisão. Assim, é possível determinar a sensibilidade dos fatores 
verificando os que merecem mais atenção e quais têm maior efeito ou quais 
são mais sensíveis (MATTOS; VASCONCELLOS, 1989). 
 
 
Figura 1. Análise de sensibilidade em produção no que se refere ao consumo, tempo e produção. 
Podemos reduzir a fórmula da sensibilidade de alternativas por: 
Max Z(X) = X1 + X2 
Onde: 
X1 ≥ 0; 
X2 ≥ 0; 
Z é chamada de função objetivo. 
Existem duas perspectivas para a abordagem da análise da sensibilidade: 
sensibilidade de uma alternativa e sensibilidade de várias alternativas. 
SENSIBILIDADE DE UMA ALTERNATIVA 
 
A análise de sensibilidade de uma alternativa, ou Ceteris paribus ou Coeteris 
paribus (do latim, "todo o mais é constante"), está diretamente ligada 
ao conceito de elasticidade, e ocorre quando somente uma variável é alterada 
e, portanto, as demais se mantêm no mesmo nível original. Resumidamente, é 
utilizada para avaliar o impacto da alteração de uma variável em outra. 
 
Um exemplo clássico de relação direta de sensibilidade de uma alternativa 
está na conhecida relação demanda e oferta sobre a formação de preços. A lei 
geral da demanda nos indica que o preço de um bem varia na relação inversa à 
sua quantidade demandada. 
 
A fórmula de sensibilidade de uma alternativa é dada por: 
 
 
 
Exemplificando: calcularemos a elasticidade dos pontos, considerando: X1 = 
60, X2 = 84, Y1 = 15 e Y2 = 23. 
 
O estudo da análise de sensibilidade ou elasticidade é bastante extenso e, aqui, 
introduzimos os conceitos gerais do método. A seguir, avançaremos um pouco 
em nível de complexidade do método. 
SENSIBILIDADE DE VÁRIAS ALTERNATIVAS 
 
A análise de sensibilidade de várias alternativas tem suas origens nos estudos 
de programação linear e caracteriza-se por ser a alteração em mais de uma 
variável. Diferentemente da análise de sensibilidade de uma alternativa, essa é 
uma análise mais complexa na qual verificam-se diversas mudanças ao 
mesmo tempo para medição do impacto. Existem diferentes métodos para 
verificar a sensibilidade de várias alternativas. Apresentaremos, nesta unidade, 
o método Simplex. 
 
Vejamos o passo a passo de um exemplo, visando maximizar o lucro no 
cenário, como na Tabela 4, por meio do método Simplex. 
 
 
 
Tabela 4. Informações para cenário de exemplo pelo método Simplex. 
Max Lucro Z(X) = 68X1 + 87X2 
Restrições onde: 
X1 ≥ 0; 
X2 ≥ 0; 
100X1 + 76X2 ≤ 360; 
80X1 + 96X2 ≤ 288; 
 
Passo 1 
Igualar elementos da função a zero. 
 
Passo 2 
Lançar mão das variáveis de folga com base nas restrições. 
 
 
Passo 3 
Elaborar a tabela Simplex. 
 
 
Passo 4 
Escolher a coluna pivot, menor número negativo ou maior valor absoluto. 
 
 
Passo 5 
Escolher a linha pivot que tenha o menor resultado da divisão do total da linha 
pelo respectivo número na coluna pivot, desprezando-se a primeira linha que 
diz respeito à função objetiva. 
 
Assim, encontramos o número pivot, que é o número interseção da linha com 
a coluna pivot, ou seja, 96. 
 
 
Passo 6 
Calcular nova linha pivot, dividindo seus elementos pelo elemento pivot 
anterior encontrado. 
 
 
Passo 7 
Calcular novas linhas com base na nova linha pivot. 
 
a) Escolha o item da coluna pivot na linha 1 (-87), mas com sinal invertido, 
portanto (+87), e multiplique-o pela nova linha pivot, criando a base para a 
primeira linha. 
 
Passo 8 
Consolidação da nova tabela geral com base nos cálculos anteriores. 
 
 
Passo 9 
Identificação das variáveis e resultado. 
 
 Variáveis básicas (contêm 0 e 1); 
 X2: para X2 = 1, então lucro = 3; 
 F1: para F1 = 1, então lucro = 132. 
 
 Variáveis não básicas (não contêm 0 e 1): neste momento, podemos 
zerá-las para o resultado. 
 X1: 0; 
 F2: 0. 
 
 Resultado: 
Max Lucro Z(X) = 68X1 + 87X2 
 
Logo, 
 
Max Lucro Z(X) = 68(0) + 87(3) = 0 + 261 = 261. 
 
 
 
ANÁLISE DO PONTO DE EQUILÍBRIO 
 
A análise do ponto de equilíbrio também é conhecida por sensibilidade do 
ponto de equilíbrio, análise do ponto morto, ponto de equilíbrio de 
investimento (PEI), ponto de equilíbrio financeiro (PEF), break-even 
point ou break-even. Consiste em verificar em que ponto as receitas cobrem 
todos os custos, tornando o fluxo de caixa de negativo a nulo, ou seja, é o 
ponto a partir do qual o investimento começará a apresentar resultado 
positivo. 
 
EXPLICANDO 
Há muitas vantagens ao se analisar o ponto de equilíbrio, sendo 
algumas delas direcionadas à área de gestão dos negócios, projetos e 
de empreendimentos. Podemos mencionar como benefícios o 
estabelecimento de metas; a possibilidade de aumento ou diminuição 
da capacidade produtiva, dependendo do resultado da análise; e, ainda, 
a indicação de setores, produtos ou serviços que não apresentam lucro, 
ou que são menos rentáveis. 
A fórmula do ponto de equilíbrio é dada por: 
 
Exemplificando: a firma tem custo fixo de R$210.000,00 fabricando somente 
um único tipo de produto. O preço de venda unitário é de R$1.000,00, com 
custos variáveis de fabricação de R$400,00. Calculemos a quantidade 
necessária de unidades a serem vendidas para atingirmos o ponto de 
equilíbrio: 
 
Condição de certeza e risco 
Ao se deparar com a necessidade de tomar 
decisões, o gestor conta com uma gama de 
ferramentas da engenharia econômica, 
desde a avaliação até a viabilização dos 
projetos na prática. Mas, além do que já 
vimos, existem condições pelas quais tais 
decisões são tomadas: 
lique nas abas para saber mais 
CONDIÇÃO DE C ERTEZA 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/7.4559.87671/content/_5259920_1/scormcontent/index.html
Ocorre quando os participantes da tomada de decisão estão sob 
completo domínio da questão, o que pode se dar devido a alguma 
experiência prévia ou ainda por obterem, de antemão, alguma informação que 
os beneficie por conhecerem os desdobramentos da escolha. 
CONDIÇÃO DE R ISCO 
Nesse caso, os gestores devem tentar prever as consequências da escolha por 
uma opção. Desse modo, há a inserção da probabilidade das alternativas de 
acontecimentosAs decisões, tomadas a partir do conhecimento e experiências do gestor, 
podem ser classificadas quanto ao risco (DACORSO, 2000): 
 
Decisão tomada sob certeza: o gestor tem informações completas para 
embasar sua escolha; 
Decisão tomada sob risco: mais de dois resultados são possíveis, havendo a 
necessidade de estimar a probabilidade dos eventos; 
Decisão tomada sob incerteza: além de haver a necessidade de estimar a 
probabilidade de ocorrência dos eventos, o gestor se depara com diversos 
resultados possíveis. 
FLUXO DE CAIXA SOB CONDIÇÃO DE 
CERTEZA E INCERTEZA 
A partir do desejo em realizar um investimento, o gestor se depara com 
um trade-off entre investir em melhorias na empresa ou aplicar o capital em 
renda fixa. Em ambos os casos, o gestor espera obter um retorno, por isso, é 
preciso avaliar as perspectivas econômicas e a situação interna da empresa 
para realizar a melhor escolha. 
“Assim, a avaliação de um ativo passa a ser estabelecida pelos benefícios 
futuros de caixa trazidos a valor presente mediante uma taxa de desconto que 
reflete o risco de decisão” (AZEVEDO e colaboradores, 2013, p. 2). Ou seja, 
o gestor precisa avaliar os retornos possíveis dado o risco da escolha 
realizada. Para isso, existem diversos meios de análise que levantam os riscos 
e as incertezas. Um deles é o chamado árvore de decisão: 
 
Com relação ao modelo de análise, esses métodos podem ser qualitativos, que operam com 
a priorização e avaliação de investimentos, quantitativos determinísticos, que assumem que 
dados de entrada referem-se a informações sem variabilidade, ou quantitativos 
probabilísticos, como o método de árvore de decisão, que se caracterizam por considerar a 
variabilidade existente nos dados de entrada (KLIEMANN NETO et al., 2011). Segundo 
Minardi (2004) apud Silva et al. (2008), a utilização de árvores de decisão está relacionada 
ao que se denomina flexibilidade gerencial, pois este método permite rever a estratégia 
inicial e alterar planos de acordo com novas condições econômicas. Assim, a partir da 
flexibilidade possibilitada pela utilização desses métodos, podem ser capitalizadas futuras 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/7.4559.87671/content/_5259920_1/scormcontent/index.html
oportunidades favoráveis ao negócio e reduzidas perdas (AZEVEDO e colaboradores, 2013, 
p. 2). 
A árvore de decisão é um método de análise que mapeia, a partir de escolhas, 
as possíveis consequências de uma tomada de decisão. 
possíveis consequências de uma tomada de decisão. 
 
A Figura 2 representa os caminhos da decisão de investimento. 
 
O caminho escolhido reflete no resultado. Vimos que ao escolher a opção A, 
por exemplo, o gestor ainda se confronta com mais um trade-off representado 
por A1 e A2. Os pontos de encontro de decisão podem ser classificados em: 
Nó raiz 
É o nó de início da árvore de decisão; 
Nó de evento 
Mostra as possíveis consequências de uma escolha; 
Nó de decisão 
Local onde o gestor deve tomar a decisão; 
Nó de fim 
Produto final das escolhas tomadas durante o processo. 
(...) o método de árvore de decisão utiliza informações que se referem às probabilidades de 
determinado evento ocorrer. Para isto, o método incorpora aspectos de risco e incerteza na 
análise de alternativas de investimento ou mesmo de financiamento, característica esta que 
faz com que este método seja considerado superior aos métodos tradicionais (AZEVEDO e 
colaboradores, 2013, p. 7). 
TIPOS DE CURVAS DE FREQUÊNCIA DE 
OCORRÊNCIA 
 
A partir de uma amostra de dados, tem-se a distribuição de frequência. Ou seja, quantas 
vezes um dado aparece a partir da divisão da amostra em classes. Tal prática objetiva 
analisar o dado de uma maneira mais assertiva de acordo com a característica cuja 
organização é importante para a coleta de dados em uma pesquisa. 
O número de vezes que tal ocorrência é contabilizada pode ser chamada de 
frequência de ocorrência. 
 
Para entender melhor sobre frequência, vejamos as seguintes definições: 
 
 Frequência absoluta: vezes em que um valor aparece em uma amostra de 
dados; 
 bullet 
Frequência relativa: é a divisão entre a frequência absoluta que se quer 
analisar com a soma das demais frequências; 
 bullet 
Frequência percentual: é frequência relativa multiplicada por 100%; 
 bullet 
Frequência acumulada: é a soma acumulada das classes anteriores. 
Porém, além de entender sobre a distribuição de frequências, é necessário 
entender sobre a formação dos dados: 
 bullet 
Dados qualitativos: representam uma característica do dado coletado. Ocorre, 
por exemplo, ao associar a qualidade de um item; 
 bullet 
Dados quantitativos: ocorre quando tal característica assume um valor, o 
qual pode ser discreto ou contínuo. Os dados quantitativos discretos referem-
se a quando é possível enumerar (finitamente) as vezes que a característica 
ocorre. Para exemplificar, imagine a ocorrência de vezes em que uma falha 
aparece em um processo produtivo. Já os dados quantitativos contínuos são 
decorrentes da medição em um intervalo. Um exemplo seria a frequência 
sonora de um aparelho de som, a qual pode variar entre um volume mínimo e 
máximo. 
A distribuição de frequências pode ser, ainda, classificada de duas formas 
diferentes: discreta (pontual) e intervalar. 
 bullet 
Distribuição de frequência discreta (ou pontual): refere-se a uma tabela 
simples de frequência, assim como construída para a pesquisa dos doces em 
uma escola. Ou seja, caracteriza-se por uma análise adotada ao utilizar uma 
pesquisa com dados discretos; 
 bullet 
Distribuição de frequência intervalar: é uma distribuição realizada a partir 
de um conjunto de dados contínuos, podendo haver variações em um intervalo 
preestabelecido. 
Além de toda a análise da distribuição de frequência pelos números em uma 
tabela, a representação gráfica se faz muito importante para a visualização dos 
dados, pois “por vezes torna-se conveniente representar uma distribuição de 
frequências por meio de diagrama (gráfico em duas dimensões), pois este nos 
oferece uma vista geral das observações, tornando, desta forma, mais legíveis 
as informações” (FEIJOO, 2010, p. 10). 
 
Um modo para facilitar a análise dos dados é a utilização de medidas 
descritivas cujo objetivo é de otimizar a análise reduzindo os dados em 
pequenos grupos. 
 
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MÉDIA A RITMÉTICA 
Se dá a partir da soma dos valores de uma amostra de dados e, posteriormente, 
dividindo essa soma pelo número de elementos: 
 
MEDIANA 
É equivalente ao valor central da amostra de dados. Para encontrá-la, é 
necessário enumerar os dados em ordem de crescimento ou decrescimento. Se 
o número de elementos da amostra for par, encontra-se a mediana somando os 
dois elementos centrais e, após, dividindo-os por dois; 
 
MODA 
Representa o elemento que mais aparece na amostra de dados. 
PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE 
UM EMPREENDIMENTO 
Para considerar a probabilidade de viabilidade de um investimento, de modo 
exemplificado, imaginemos que um gestor se depare diante de dois possíveis 
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investimentos, A e B. Diante deles, o gestor avalia três possíveis cenários 
macroeconômicos nos quais a empresa está inserida. Consideremos as 
informações a seguir: 
 
Diante desses dados, o gestor precisa saber qual investimento é o melhor 
diante dos três cenários econômicos apresentados. Para isso, tem-se o valor 
esperado 
 
Desse modo, o valor esperado do investimento A é: 
 
O valor esperado do investimento B é: 
 
Podemos dizer, então, que o retorno esperado do investimento A é 57%, 
enquanto o retorno esperado do investimento Bé de 34%. 
Quanto maior o risco de um investimento, maior pode ser o retorno. Isso pode 
ser identificado com o investimento A, por exemplo. Se o cenário for de 
recessão, existe a possibilidade de o gestor ainda apresentar retornos 
negativos. Porém, é o investimento que mais gera retorno se comparado ao B. 
Além dessa técnica, o risco pode ser medido considerando a amplitude entre 
os retornos. Usando o exemplo anterior, o risco do investimento é medido pela 
diferença entre o maior e o menor retorno possível. 
No caso, o risco de A é de 90% - (-15%) = 105%; já o risco de B é de 50% - 
15% = 35%. Ou seja, apesar de A apresentar o maior retorno possível, ele 
apresenta também o maior risco. 
 
INTETIZANDO 
 
Neste momento, você deverá ser capaz de discernir sobre os prazos de retorno 
de capital; diferenciar payback simples de descontado; compreender o prazo 
de retorno e a vida útil do bem; descrever sobre custos uniformes; reconhecer 
os diferentes tipos de vida útil do bem; entender sobre juros nulos; analisar a 
sensibilidade e sobre ponto de equilíbrio; diferenciar as condições de certeza e 
risco; realizar os cálculos de frequência estatística; calcular a média, mediana 
e moda; entender sobre tomada de decisão; e, por fim, ser capaz de analisar a 
viabilidade econômica de um projeto. 
 
Certifique-se de que todo o conteúdo tenha sido compreendido. Se ainda tiver 
dúvidas, orientamos que retorne ao tópico e o releia. 
 
Os conceitos aqui apresentados podem ser aplicados tanto na vida pessoal 
quanto na vida profissional. Coloque-os em prática. 
 
Esperamos que tenha aproveitado esta jornada! 
 
Bons estudos e boa sorte! 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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