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1 Engenharia Econômica Prof. Bruno Abreu Material de Apoio (Parte – 04) 2 1. ALGUNS CONCEITOS ELEMENTARES PARA O ENTENDIMENTO DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 1.1 JUROS (J) Pode-se dizer que “Juro” é tido como sendo a remuneração dada a qualquer título, ou seja, a remuneração dada pelo uso do capital emprestado, ou pela aplicação do capital em determinadas atividades durante um certo período de tempo à uma determinada taxa. Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma determinada taxa é denominado de período financeiro ou período de capitalização. A remuneração do capital pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: 1- De quem paga: nesse caso o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc.; 2- De quem recebe: nesse caso podemos entender como rendimento, receita financeira, ganho, etc.. Na realidade, o juro existe por que os recursos financeiros são escassos, ou seja, as pessoas nem sempre possuem recursos financeiros disponíveis para quitar suas dívidas à vista o consumir de imediato. Ainda, o juro caracteriza-se pela reposição financeira de perdas sofridas com a desvalorização da moeda durante o período em que esses recursos estão emprestados. 1.2. UNIDADE DE MEDIDA Os juros são pré-determinados através de uma taxa percentual, que sempre se refere a uma unidade de tempo, podendo este estar delimitado em anos, semestres, trimestres, mês, dias, etc.. 1.3. VALOR PRESENTE (VP) OU CAPITAL (C) OU PRESENT VALUE (PV) OU PRINCIPAL (P) É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira. Simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. 3 1.4. TAXA (i) É tida como sendo o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital(C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “i” vem do inglês interest que significa juros. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo: - taxa de inflação; - taxa real de juros; - taxa acumulada; - taxa unitária; - taxa percentual; - taxa over; - taxa equivalente; - taxa nominal, entre outras. 1.5. TAXA DE JUROS (i) A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período de tempo a que esta se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. É simplesmente a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, num determinado período de tempo. 1.6. PERÍODOS (n) ou PRAZO OU TEMPO É o tempo necessário que um certo capital (PV), aplicado a uma taxa(i), necessita para produzir um montante (FV). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário (não inteiro). Vejamos: período inteiro:1 dia, 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial(360 dias), etc. período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 4 Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, um período de 4 meses, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estes estão sendo tratados nos problemas. 1.7 Valor futuro (VF) ou future value (FV) ou montante (M) ou soma (S) no regime de capitalização simples É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) ou valor presente (PV) com os juros (J). 2. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO A palavra de capitalização provém do termo Capital, também chamado de valor Principal (PV) e que representa todo o conjunto de meios líquidos (moeda), cedidos durante um determinado período (n) e produzindo uma certa remuneração (J) para o seu proprietário. Assim, de forma simplista, podemos dizer que uma Capitalização nada mais é que o ato de incorporação dos juros ao capital inicial, ou seja, é o incremento do valor do capital a medida que o tempo decorre, podendo estes serem subdivididos de acordo com os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Existem duas formas básicas para considerar a evolução da remuneração do dinheiro no tempo: Regime de Capitalização Simples – RCS Ocorre quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente sobre o principal, ao longo dos períodos financeiros a que se refere a taxa de juros. O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão aritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. Regime de Capitalização Composto – RCC. Ocorre quando ao fim de cada período de tempo, a que se refere a taxa de juros, os rendimentos são incorporados ao capital anterior e passam, por sua vez, a render juros no período seguinte. 5 O comportamento equivale ao de uma progressão geométrica (PG), incidindo os juros sempre sobre o saldo apurado no inicio do período imediatamente anterior. 2.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 2.1.1 Juros Simples Juros simples são aqueles calculados somente sobre o capital inicial. Neste método de capitalização, os juros de um período não se somam ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Como os juros não são capitalizados, consequentemente, não rendem juros sendo assim constantes em cada período. Observe que um capital de R$ 300,00 aplicado a 5% ao período, sempre renderá R$ 15,00 por período. Em três períodos, este mesmo capital totalizará como juros a quantia de R$ 45,00 conforme demonstrado na figura abaixo: Para um melhor entendimento, podemos observar o deslocamento do capital no decorrer do tempo a partir da tabela a seguir: Período (n) Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 300 - 300 1 300 15 315 2 315 15 330 3 330 15 345 Assim, quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de aplicação. 6 O fator de proporcionalidade é a taxa de juros, sendo que esta varia de forma linear ao longo do tempo, ou seja, 1% ao dia é igual a 30% ao mês, que por sua vez é igual a 360% ao ano, etc.). 2.1.2 FÓRMULAS DOS JUROS SIMPLES Tomemos: PV - capital inicial ou principal ou valor presente; J - juro ou valor monetário da remuneração; i - taxa unitária de juros (forma decimal); n - tempo de aplicação, ou seja, o número de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor presente (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja, 30 dias no mês e 360 dias no ano). Logo, como nos juros simples a remuneração pelo capital inicial é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de aplicação, a fórmula geral para o cálculo dos juros simples é dada por: Colocando o PV em evidência, teremos: Colocando o n em evidência, teremos: Colocando o i em evidência, teremos: Obs. O prazo ou período (n) deve sempre ser expresso na mesma unidade de tempo da taxa (i) considerada. Sugestão: Sempre altere (n) ao invés de (i) 7 EXEMPLO – 01 Um estabelecimento comercial tomou emprestado R$ 5500,00, para pagar dentro de 6 meses a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Determine o valor dos juros a serem pagos nessa negociação? PV= 5500 i = 0,06 a.m n = 6 J = ? J = PV . i . n J = 5500 x 0,06 x 6 = 1980 EXEMPLO – 2 Seja um capital de R$ 5000,00 aplicadoa uma taxa de 2% a.m por um prazo de 2 anos. Determine o juro a ser recebido e o valor futuro. PV= 5000 i = 0,02 a.m n = 24 meses J = ? J = PV . i . n J = 5000 x 0,02 x 24 = 2400 FV = PV + J = 5000 + 2400 = 7400 Para o juro: 720 n 24 i 5000 CHS PV f INT Para o valor futuro: 720 n 24 i 5000 CHS PV f INT + 2.1.2 Fórmula do Valor futuro (VF) ou future value (FV) ou montante (M) ou soma (S) no regime de capitalização simples Como visto, valor futuro ou montante é a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) ou valor presente (PV) com os juros (J). Assim temos: FV = PV + J Como, FV = PV + J e J = PV . i . n, Podemos dizer que: FV = PV + PV.i.n SOLUÇÃO NA HP 12C 8 Logo, a fórmula original de capitalização do valor futuro é: FV = PV (1+i.n) EXEMPLO 03: Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 227,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.426,75? Solução algébrica: J = 227,25 PV = 1.426,75 FV = ? FV = PV + J FV = 1426,75 + 227,25 FV = R$ 1.654,00 EXEMPLO 04: Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.525,00 e que gerou um montante de R$ 1.880,75? Solução algébrica: PV = 1525,00 FV= 1880,75 J= ? FV = PV + J Logo, J = FV - PV J = 1880,75 - 1525 J = R$ 355,75 2.1.3 Fórmula do Valor Presente (PV) no regime de capitalização simples Podemos deduzir a fórmula do capital ou valor presente no regime de capitalização simples a partir da fórmula do montante ou valor futuro do referido regime. Solução pela HP-12C 1426,75 227,25 R$ 1654,00 ENTER + Solução pela HP-12C 1880,75 1525 R$ 355,75 ENTER - 9 Assim, como FV = PV (1+i.n) PV= FV / (1+i . n) EXEMPLO 05 Determinar o valor da aplicação cujo resgate bruto foi de R$95.000,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação é de 1.77% ao mês. PV = ? FV = 95.000 i = 1,77 = 0,0177 n = 3 meses PV= FV / (1+i . n) PV = 95000 / (1 + 0,0177 x 3) PV = 95000 / 1,0531 = 90.290,86 95000 ENTER 1 ENTER 0,0177 ENTER 3 X + ÷ 2.1.4 Juro Comercial e Juro Exato Nos cálculos dos Juros Exatos e dos Juros Comerciais, embora as taxas sejam expressas em termos anuais, os prazos são fixados em dias, implicando no cálculo da taxa de juros por dia, se apresentando na forma de juros exatos e juros comerciais. 2.1.4.1 Juro Comercial (ou ordinário) É aquele que é calculado ao se adotar como premissa o ano comercial que compreende 360 dias. Nesse caso, devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias. O mesmo é dado pela seguinte fórmula: EXEMPLO 06 Um capital de R$ 2000,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de juros comercial de 3% ao mês. Qual o valor dos juros recebidos? Qual o montante ou valor futuro? SOLUÇÃO NA HP 12C 10 EXEMPLO 07 Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/01/2013 e foi paga em 15/02/2013, totalizando 45 dias com taxa de juro comercial de 48% ao ano. Determine o valor do juro pago nesta operação. PV = 14.500 i = 48% = 0,48 n = 45 dias Je = (PV. n . i)/360 Je = (14.500 x 0,48 x 45)/ 360 Je = 870 2.1.3.2 Juro Exato Podemos denominar de juro exato aquele juro que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando é adotada a convenção de ano civil, ou seja o ano contendo 365 dia ou 366 caso este seja bissexto. O mesmo é dado pela seguinte fórmula: EXEMPLO 08 Determine o juro exato de um capital de R$50.000,00 que é aplicado por 60 dias, à taxa de 36% ao ano. PV = 50.000 n = 60 dias i = 36%a.a = 0,36 Je = (50.000 . 0.36 . 60) / 365 = 2958,90 11 2.1.4 PERIODOS NÃO INTEIROS É o simplesmente o cálculo de juros para períodos fracionários. A solução para este tipo de operação pode ser obtida de duas formas: 1- Cálculo da parte inteira somado ao cálculo da fração de período com uma taxa proporcional 2- Cálculo empregando o número fracionário. EXEMPLO 09 Determinar o juro e o montante de um capital de R$1000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses. SOLUÇÃO 01 J = ? i = 12% a.s = 24% a.a. n= 5anos e 9 meses. J1 = PV . i . n1 J1= 1000 x 0.24 x 5 = 1200 J2 = 1000 x 0,24 x 0,75 = 180 Jtotal = J1 + J2 = 1200 + 180 = 1380 FV = PV + J = 1000 + 1380 = 2380 SOLUÇÃO 02 J = ? i = 12% a.s = 24% a.a. n= 5anos e 9 meses = 5,75 anos J = PV . i . n J1= 1000 x 0.24 x 5,75 = 1380 FV = PV + J = 1000 + 1380 = 2380
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