Notas de Aula 3 - Fis. IV

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 Notas iniciais sobre Física Quântica 
 
 Max Planck, em 1900, quantizou os osciladores (átomos) responsáveis pela emissão de energia 
vinda da cavidade de um corpo aquecido. Os osciladores das paredes da cavidade irradiam energia para o 
interior da cavidade e absorvem energia proveniente dela. Esta quantização implica que estes osciladores 
atômicos não podem emitir ou absorver qualquer energia E, mas somente determinadas energias 
selecionadas de um conjunto discreto. A energia 
E
 emitida ou absorvida por um oscilador é dada por 
,hfE 
ou múltiplos inteiros deste valor, ou seja, 
.nhfE 
 Nesta equação a constante universal 
Jsh 3410626,6 
é chamada de constante de Planck e 
f
 é a freqüência de um dado oscilador a uma 
dada temperatura T. O número 
n
 é chamado de número quântico e não pode assumir valores fracionários. 
Seus valores devem necessariamente pertencer ao conjunto de números naturais 1;2;3;...,etc. Para cada 
modo (forma) de oscilação do átomo, o número 
n
 assume um de seus valores inteiros. Se a notação 
fhE 
corresponder ao estado de menor energia, então a energia 
nn
fhE 
de um estado n qualquer 
pode ser escrita como função desta energia mínima, ou seja, 
.nhfEn 
 Note que quantizar a energia é 
equivalente a quantizar a freqüência, onde 
fnf n 
. Esta quantização tem precedente na Mecânica 
Clássica: uma corda oscilante, fixa nas extremidades, exibe apenas determinados modos de vibração e 
estes possuem freqüências que são múltiplas inteiras de uma freqüência fundamental. 
 Mais tarde percebeu-se que a energia que se irradia é também quantizada e não somente os modos 
de vibração dos osciladores de cavidade. Os pacotes de energia radiante foram chamados de fótons por 
Einstein, cuja terminologia se mantém nos dias atuais. Cada pacote de energia radiante oscila com sua 
freqüência característica 
if
 e carrega consigo a energia 
ii fhE 
. Tais pacotes de energia, ou fótons, são 
indivisíveis. Fótons com diferentes freqüências de oscilação, ou equivalentemente com diferentes 
comprimentos de onda, possuem diferentes energias. Um fóton de luz violeta tem mais energia que um 
fóton de luz vermelha, uma vez que a freqüência da luz violeta é maior do que a da luz vermelha. 
 Com a quantização da energia, dada através de 
nhfE 
, Planck deduziu a equação para a radiância 
espectral 
1
12
),(
5
2


kThce
hc
TI 

 
 
 onde 
KJk /1038,1 23
 é a constante de Boltzmann. A equação da radiância havia sido sugerida por 
Planck meses antes de sua dedução, através de um raciocínio em que ele usava as leis conhecidas até a 
época e algumas extrapolações também por ele feitas. Assim adivinhou-se a curva que se ajustava aos 
experimentos (veja as curvas no livro texto), a menos de duas constantes a e b. Estabelecida a teoria que 
levou à fórmula da radiância, mostrou-se que a constante a tinha de valer 
hc22
 e que b deveria assumir 
o valor 
khc /
. Sabe-se que deduzir o valor de a e de b é o mesmo que encontrar a equação completa para 
a radiância 
),( TI
. Para se encontrar a intensidade radiante, ou potência irradiada por unidade de área, ou 
seja, 
APTI /)( 
, devemos realizar uma integral sobre todos os comprimentos de onda 

 emitidos pelo 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
corpo que irradia, isto é, 



0
),()(  dTITI
. Planck, em última análise, nos conduziu a que esta integral 
é uma somatória e não uma integral. Há alguma diferença profunda em ser integral ou somatória? 
 O cálculo detalhado, desenvolvido por Planck, pode ser acompanhado pelo aluno através do capítulo 
1 do livro Física Quântica dos autores Eisberg e Resnick. 
 À época de Planck era conhecida a equação de Stefan-Boltzmann 
4)( TTI 
e a equação de Wilhelm 
Wien 
mKT  2898max 
. Estas equações representam leis empíricas advindas da observação das curvas 
da radiância espectral, levantadas como função do comprimento de onda 

 ou da freqüência 
.f
Em 1900 
não havia uma teoria que as obtivessem. Da teoria de Planck foi possível obtê-las. 
 Por último, para a radiação vinda da superfície de corpos aquecidos devemos usar 
4)( TTI 
, onde 
a emissividade 
1
 deve ser dada. Para um corpo negro, ou radiação de cavidade (radiação vinda do 
interior do corpo) vale 
1
. O valor da constante 

 é 
)/(1067,5 428 KmW
 para qualquer corpo a uma 
dada temperatura 
T
. 
 
Exercícios: 
 
1) Imagine que um oscilador, em uma cavidade aquecida, possa apresentar apenas três modos de vibração, 
1, 2 ou 3, com as correspondentes energias: 
11
fhE 
, 
22
fhE 
 e 
33
fhE 
. Seja 
f
a freqüência de 
oscilação do modo de energia mais baixo, ou estado fundamental. Para este estado o valor do número 
quântico é 
1n
 e, portanto, a energia dele é 
fhE 1
1

. Admita que a energia do próximo estado 
2
fh
 
seja 
fh4
e do último, 
3
fh
, seja 
fh9
. (a) Qual a expressão da energia de um estado qualquer em função 
do número quântico 
n
 e da freqüência fundamental 
f
? (b) Escreva a expressão da energia de um estado 
qualquer agora como função do número quântico 
n
 e da energia 
1
E
 do estado fundamental. (c) Estas 
energias são múltiplas inteiras de 
fh
 como afirma Planck ? 
 Resp. (a) 
fhnE
n
2
 com 
3;2;1n
 (b) 
1
2 EnE
n

 com 
3;2;1n
. (c) sim 
 
2) Suponha uma amostra contendo N átomos idênticos de uma substância gasosa. Admita que cada átomo 
dessa amostra apresente apenas dois modos de oscilação: ou o átomo oscila na freqüência 
1
f
 ou oscila na 
freqüência 
2
f
. Não pode oscilar de nenhum outro modo. (a) Calcule as energias de um desses átomos 
quando ele se encontra em diferentes estados quânticos. (b) Encontre o módulo da energia 
E
 emitida ou 
absorvida por um desses átomos quando ele muda de um nível quântico para outro de diferentes 
freqüências. (c) Admita agora que a razão entre as energias de um desses átomos, nos dois diferentes 
estados, seja de 4 para 1 e que f seja a freqüência correspondente ao nível de energia mais baixa. Neste 
caso calcule novamente o módulo da energia 
E
 emitida ou absorvida pelo átomo quando ele muda de 
nível quântico. (d) Se a energia total W da amostra do gás for igual a 
hf8000
quando todos os átomos 
estiverem no nível mais alto de energia, quantos átomos N existem na amostra? Neste item (d) continue 
usando a relação das energias dadas no item (c). 
 Resposta: (a)
11
fhE 
 e 
22
fhE 
 (b)
21
ffhE 
 (c)
hfE 3
 (d) 2000 
 
 
3Observação: Se chamarmos de 
f
ou simplesmente de f , a diferença de freqüências 
kj
ff 
 devida a uma 
transição de um elétron entre dois níveis 
j
 e 
k
 em um átomo, podemos escrever que nesta transição houve uma 
emissão ou absorção de energia pelo oscilador dada por 
fhE 
 ou simplesmente 
hEEf
kj
/)( 
 para 
.
kj
EE 
 Esta faixa de freqüências 
f
(ou f ) correspondente à diferença 
kj
ff 
 é bem pequena, isto é muito 
estreita. Esta estreita faixa f de freqüências não pode ser nunca confundida com a freqüência de oscilação do elétron 
no nível, isto é com 
j
f
 ou 
k
f
. (Sugerido por Alana. Eng.Elétrica 2012) 
 
3) Uma lâmpada emite luz monocromática num comprimento de onda o
A5500
 e potência de 5 W 
nesta cor. Quantos fótons relacionados a esta cor são emitidos por segundo? 
mA
o
1010
 Resp. 
19104,1 
 
 
Pista: Neste caso só nos interessam osciladores (elétrons) que decaem de um dado nível de energia 
in
, bem definido, 
para outro 
fn
 também bem definido, emitindo
o
A5500
, portanto bem definido. Se assim não for a luz captada 
não será monocromática (uma única cor). Osciladores que transitam entre os vários níveis de energia possíveis não 
nos interessam, pois, ao decaírem de nível, emitem, no total, luz de cor misturada; portanto não monocromática. 
Evidentemente 1 só oscilador não emite a taxa de 5 W. Se N osciladores decaem por segundo, entre os dois níveis 
especificados, quantos fótons são emitidos por segundo? 
Para obter luz monocromática você poderia tomar uma luz comum - branca, por exemplo - e filtra-la. Bastaria usar 
um prisma ou uma rede de difração, separando o comprimento de onda desejado 
o
A5500
. Isto equivaleria a 
tomar a energia de 5 W vinda apenas dos N osciladores que decaem do nível 
in
 para o nível 
fn
 considerados. 
 
4) Calcule a intensidade, a potência e o comprimento de onda máximo emitidos por uma pessoa de área 
igual a 
280,1 m
, considerando emissividade 
1
 e à 
Co34
. 
 Resp. 
2/66,503 mWI 
, 
WP 906
, 
m 4,9max 
(infravermelho). 
 
5) Uma lâmpada de 100 W, com filamento de tungstênio de diâmetro 0,42 mm e 33 cm de comprimento, 
apresenta emissividade 
22,0
. Calcule a temperatura do filamento da lâmpada. 
 Resp. 
K2071
. No livro, descubra 
tungstêniofusãoT
. 
 
6) A diferença de energia entre dois níveis consecutivos 
n
 e 
1n
 é denominada largura da banda de 
energia. Quanticamente ela é calculada através da equação: 
hfnEEE antesdepois )(
, onde neste 
caso temos 
1n
em módulo. (a) Calcule a energia 
E
 emitida por um oscilador massa-mola, quando 
ele pula de nível, tratando-o quanticamente. Primeiro trate o oscilador classicamente achando seu período 
T
, ou sua freqüência 
,f
 e também sua energia 
.E
 As fórmulas clássicas para isto são: 
 mT 2
 e 
.)2/1( 2xE 
 Para achar o período e a energia, estipule valores numéricos (ou dados numéricos), por 
exemplo, 
kgm 1
, 
mN /4
, 
cmx 50
. Agora retorne ao conceito quântico e ache 
E
. Veja que 
esta diferença de energia é extremamente pequena. (b) O que se conclui então? 
 Sugestão: reveja exercício (1). 
 Resp. (a) 
JE 3410
 (b) Conclui-se várias coisas. Entre elas que: a granulosiadade da energia é 
infimamente pequena. Que é desnecessário tratar corpos macroscópicos quanticamente. E por aí vai. 
 (Problema modificado em abril/2014 por contribuição dos alunos da Eng. Elétrica, daquele período). 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
7) (a) Calcule temperatura da superfície do Sol supondo-o como um corpo negro (
1
) e usando a lei do 
deslocamento de Wien. O Sol emite 
nm500
max

. (b) Agora, usando a lei de Stefan-Boltzmann, calcule 
a intensidade de radiação 
I
 emitida pelo Sol. (c) Encontre a potência 
Sol
P
 emitida pelo Sol. (d) Ache a 
intensidade 
API /
 que chega à Terra. Busque num livro o raio do Sol ( ou veja problema 12). 
 Resp. : (a) 
K5800
 ( b)
27 /104,6 mW
 (c)
W26109,3 
 (d) 
2/1500 mW
 (aproximadamente) 
 
Notas sobre a função de onda 

 
 
. Para ondas que representam partículas, introduzimos a função de onda 
).,,,( tzyx
 Se conhecermos a 
função de onda 
),,,( tzyx
em todos os pontos do espaço e em todos os instantes de tempo, saberemos 
tudo o que se possa saber sobre o comportamento da partícula. A equação diferencial de Schrödinger 
governa a variação da função de onda 

, no espaço e no tempo, para toda uma extensa gama de 
problemas. Na maioria dos casos faremos 
)(),,(),,,( tzyxtzyx 
. Esta forma de produto de duas 
funções poderá ser feito sempre que a energia potencial 
U
não depender explicitamente do tempo. 
 
. Na descrição ondulatória da luz a taxa por unidade de área com que a energia é transportada pela onda é 
proporcional a 
2E
, onde 
E
 é a amplitude do vetor campo elétrico. Na descrição corpuscular da luz, esta 
taxa é proporcional ao número de fótons por unidade de volume do feixe, onde cada fóton possui a energia 
.
Foi Einstein o responsável por esta ligação entre interpretação ondulatória e corpuscular da radiação. 
Para partículas materiais Max Born propôs que a função de onda 
),,,( tzyx
, para um feixe de 
partículas, fosse interpretada desta mesma forma, isto é, que seu quadrado seja uma medida direta da 
densidade média de partículas do feixe. No caso de uma única partícula, não se pode falar em densidade 
de partículas, então 
2
 dá, em qualquer ponto, a probabilidade por unidade de volume, de que a partícula 
esteja naquele ponto no instante considerado. A probabilidade de encontrar a partícula num dado elemento 
de volume, num certo instante, será então 
dV2
 e, obviamente, no volume todo a probabilidade será 
100% , isto é , 
12  dVV
. Definimos 
2
 como a densidade de probabilidade no espaço e no tempo. Se 

 depender apenas de 
x
 anotamos a densidade de probabilidade como 
)(2 xP
; se depender somente 
de 
r
 a densidade de probabilidade será escrita como 
2)( rP
. Devemos ter cuidado em não confundir 
densidade de probabilidade ou probabilidade por unidade de volume, dada por 
2)( rP
 com 
probabilidade, definida através de 
dV2
. Note que 
dV2 
dVrP )( )(rP
. 
 
Equação que rege a dinâmica da partícula em Mecânica Quântica 
Equação de Schrödinger 
 
 . As funções de onda são construídas obedecendo às condições de contorno do problema dado, e devem 
satisfazer a equação de Schrödinger. Em seguida vamos apresentá-la: 
Equação de Schrödinger em 3D: 




t
iU
m

 2
2
2
 . Onde 
 ),,,( tzyx
 e 
2
h

. 
Equação de Schrödinger, independente do tempo, em 1D: 
 EU
dx
d
m

2
22
2

 com 
 )(x
. 
Nesta equação 
E
 representa a energia mecânica totalda partícula e 
U
sua energia potencial. 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
. A função de onda 

é, às vezes, construída ou deduzida com facilidade. Um exemplo é o caso de um 
elétron preso num poço de potencial infinito, unidimensional, de largura L. Dentro do poço faz-se o nível 
de energia potencial 
0U
 e infinita fora do poço. Assim o elétron não pode escapar do poço penetrando 
pelas paredes do poço. Apenas energia cinética é associada ao elétron confinado. Para este caso verifica-se 
que a função de onda mais geral que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo é 
kxBsenkxAx cos)( 
. De fato a equação de Schrödinger que nos orienta na construção da função de 
onda 

 pois as funções que não satisfizerem a esta equação fundamental não servem para descrever o 
fenômeno observado. Para se obter explicitamente tudo que se possa saber sobre este elétron confinado no 
poço não basta que a função 

 obedeça à equação de Schrödinger. Devemos adicionar outras 
informações possíveis à função solução 

. Isto é feito usando as condições de contorno do problema. São 
elas: a função de onda 
)(x
 deve se anular para 
0x
 e também para 
Lx 
, pois aquém e além destes 
dois valores o elétron não pode ser encontrado. A primeira condição impõe 
0B
 e A qualquer. A 
segunda exige 
Lnk /
, ou equivalentemente 
nL /2
. Assim observamos que os estados do elétron 
preso no poço são quantizados, ou seja, o elétron confinado neste poço não pode exibir qualquer modo de 
oscilação. Os valores permitidos são aqueles que satisfazem 
nL /2
, com n inteiro. Lembre da corda 
oscilante, presa nas extremidades, visto na Mecânica Clássica. Até mesmo na Mecânica Clássica o 
fenômeno da quantização pode às vezes ocorrer. 
. Da condição de normalização, ou seja, 
1)/(2
0
22   dxLxnsenAdV
L
V

 verifica-se que 
LA 2
. 
Defini-se densidade de probabilidade por 
2)( xP
. Desta forma a densidade de probabilidade para o 
elétron será explicitamente 
)/()/2()( 2 LxnsenLxP 
. Variando nesta equação o número quântico 
,...,2,1n
 pode-se construir gráficos da densidade de probabilidade 
)(xP
como função de 
x
 para os 
diferentes estados quânticos 
n
 do elétron no poço. Como exercício, você deve gerar estas funções e 
compará-las com as da figura 18 da página 160 do livro texto (Halliday a4 edição). 
 
8) Exercício: Mostre que 
senkxAx )(
, ou equivalentemente, 
)/()/2()( LxnsenLx  
 satisfaz a 
equação de Schrödinger. Para isto basta colocar esta suposta solução na equação de Schrödinger e fazer as 
contas. Você chegará em 
kp 
ou em algo equivalente. Veja exercício 22. 
 
9) Prove que o valor de 
A
, na função de onda do poço infinito 
)/()( LxnAsenx  
, é 
LA /2
. 
 
10) Exercício: Uma grandeza útil para representar a posição da partícula, sobre uma reta, é a densidade de 
probabilidade linear 
)(xP
. Ela é definida de modo que 
dxxP )(
 dá a probabilidade de que a partícula 
seja encontrada no intervalo 
dx
. (a) Escreva a equação da densidade de probabilidade 
)(xP
 para o elétron 
preso no poço de potencial infinito de largura 
L
 como função de 
)(x
. (b) Trace gráficos de 
)(xP
 como 
função de x para os estados 
.3,2,1n
 (c) Para o estado 
1n
qual o valor de x em que a densidade de 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
probabilidade é máxima? Veja também exercícios 34 e 35 da Miscelânea Suplementar (página 9 destas 
notas de aula). Resp. (a) 
)/()/2()( 2 LxnsenLxP 
 (c)
2/Lx 
 
 
 11) Exercício: Considere o elétron no estado fundamental, confinado em um poço de profundidade 
infinita. Calcule a probabilidade, ou fração 
f
, deste elétron ser encontrado no primeiro terço deste poço, 
depois no segundo terço e finalmente no último terço do poço. Deduza a equação das energias possíveis 
nE
 do elétron no poço. (Veja Halliday p.162, ex.10) Resp. 0,1955; 0,609; 0,1955 
 
 
Notas sobre algumas relações relativísticas 
 
 Se a massa 
o
m
 de um corpo em repouso for transformada em energia o valor da energia obtida é 
2cmE
oo

. Se o corpo estiver em movimento, animado de uma quantidade de movimento 
v

mp 
, a 
energia obtida, com a aniquilação da massa 
m
, será maior e dada agora por 
42222 cmcpE
o

 ou 
2222
o
EcpE 
. O fato é que a massa varia com a velocidade segundo a equação: 
 
 
)/v(1/ 22 cmm
o

 (*) 
 
 A massa de repouso de partículas que viajam com a velocidade 
c
da luz é 
zeromo 
. A energia 
do fóton é, portanto, simplesmente 
0222  cpE
, isto é 
2mcE 
, pois 
mcp 
 para o fóton. 
 Einstein é o responsável pelas equações anteriores. As mesmas têm sido comprovadas experimen-
talmente nos últimos 100 anos. Quando elas são aplicadas ao Sol concluímos que, nos 10 bilhões de anos 
de vida útil do Sol, menos de um milésimo de sua massa total terá sido convertida em energia radiante e 
emitida pelo espaço. 
 
12) Exercício: A massa do Sol é de 
kg30102
, seu diâmetro 
m9104,1 
 e sua temperatura 
.5700 K
 Se 
ele estiver na metade de sua vida deverá, então, durar 10 bilhões de anos. Mostre que neste tempo ele terá 
irradiado apenas 
1560/1
 de sua massa. 
Pista: 
.// 4 tAETAPI  
 Onde a energia irradiada é 
2cmE 
 
 
13) Exercício: A massa 
om
 de repouso do fóton é nula e isto é coerente com a equação relativística (*) da 
massa como função da velocidade. O denominador da equação se anula para qualquer partícula que viaje 
na velocidade da luz; mas neste caso o numerador também se anula e não temos indefinição para a massa. 
Usando a relação geral 
2mcE 
 e a relação 
E
 aplicável ao fóton, calcule a massa 
m
do fóton 
relacionada a um comprimento de onda igual a 
nm663
. 
 Resposta: 
kg3510)3/1( 
 ( da ordem de 10 mil vezes menor que a massa do elétron). 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
As relações de incerteza de Werner Heisenberg 
 
 Usando a difração de fótons, de elétrons, ou de outras partículas atômicas, através de uma fenda de 
largura 
y
, verifica-se que quando se diminui 
y
, estreitando a fenda, a componente 
y
v
 da velocidade 
após a fenda, isto é 
y
v
, aumenta. Há uma variação inversa entre 
y
 e 
y
v
. Como 
yy
mp v
. A 
relação de incerteza, devida a Heisenberg , é neste caso: 
 
 
 yp
y“Não se pode medir a posição e a velocidade de uma partícula, simultaneamente, com precisão 
ilimitada”. 
 A outra relação dá a incerteza 
E
 na medida da energia como função do tempo 
t
 disponível para 
medi-la, ou seja, o tempo característico da rapidez com que ocorrem mudanças no sistema. A relação é a 
seguinte 
 
 
 tE
 
 
 O tempo de vida 
t
 de um átomo no estado excitado é geralmente muito curto. Naturalmente o 
elétron faz transições espontâneas para níveis mais baixos, emitindo um fóton em cada transição. O tempo 
disponível para se medir a energia 
E
, do átomo neste estado excitado é então este intervalo curto de 
tempo 
t
 em que ele permanece excitado. Certamente se o elétron não se encontrar no nível de interesse 
não se pode fazer medidas diretas a respeito do elétron com ele fora desse nível. Como 
t
 é pequeno 
temos uma grande incerteza 
E
 na medida da energia, devido ao Princípio de Incerteza. No entanto, no 
nível fundamental, pode-se medir a energia com a precisão que se desejar, uma vez que o elétron pode 
permanecer neste estado indefinidamente. Neste caso 
t
 pode tender a infinito e 
E
 tender a zero. O 
Princípio da Incerteza continua obedecido também no nível fundamental. (Veja também problemas 14; 15 e 
36 destas notas de aula). 
 
 
14) Exercício: Quando um átomo (Hidrogênio, por exemplo) absorve um fóton ele muda para um estado 
excitado e retém a energia recebida do fóton durante cerca de 
s810 
 antes de emiti-la ao retornar para o 
estado de energia mais baixa. A medida da energia 
i
E
 de um estado excitado é feita com o elétron neste 
nível excitado. Assim dispõe-se apenas deste pequeno intervalo de tempo para se medir 
i
E
. Calcule a 
incerteza 
E
na medida da energia relativa a este primeiro estado excitado. 
 Resp. 
eVJE 826 106,61006,1  
 
 
15) Exercício: Calcule a energia 
2
E
 do átomo de hidrogênio excitado. Encontre, então, a razão 
2
/ EE
 
isto é o erro relativo na medida da energia 
2
E
 imposto pela natureza. Resp. : 
eV4,3
; 
81094,1 
 
 Sugestão: veja, antes, o problema 41. 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
16) Exercício: Suponha uma incerteza 
3x
 na posição de uma partícula, onde 

 é o comprimento de 
onda associado ao movimento da partícula. A partícula move-se com uma velocidade 
v

. Calcule a 
incerteza 
v
 na velocidade da partícula Resposta: 
6/vv 
. 
 
Pista:
v;/; mpphpx x  
. Veja que a incerteza 
v
 é da ordem de 
%5
 do valor da velocidade 
v

 medida. 
 
Origem das relações de incerteza 
 
 Associar uma onda a uma partícula requer compor, num certo intervalo de freqüências 

 contínuas, 
um número infinito de freqüências. Uma generalização das séries de Fourier, chamadas de integrais de 
Fourier, se presta a isto. (veja problema 38). Assim a composição oferece um pulso, ou grupo de ondas, 
que viaja com uma velocidade 
v
, ocupando certo intervalo 
x
 do espaço. Existem duas relações 
associadas a estes grupos de onda que são gerais, independente da natureza das ondas serem mecânicas ou 
eletromagnéticas. As duas relações são: 
1 kx
 e 
1 t
. 
 Nestas equações 
t
 é o intervalo de tempo gasto para o pacote de ondas (partícula) percorrer a distância 
x
. 
Um exemplo: um sinal sonoro captado pelo ouvido tem uma duração que é o tempo que o pulso leva para percorrer a 
distância 
x
. Se o sinal sonoro durar cerca de 0,5 s, então o comprimento do pacote de ondas é da ordem de 170 m 
pois o som viaja , no ar, com velocidade da ordem de 340 m/s. Veja problemas 19, 20 e 21. 
 
17) Exercício: Deduza as relações de incerteza de Heisenberg: 
 xpx
 e 
 tE
. Parta das duas 
relações gerais 
1 kx
 e 
1 t
 e utilize nelas as relações conhecidas: 
E
, 
ph
, 
2k
 e 
T/2 
. O mais direto seria usar 
kp 
 na primeira e 
E
na segunda. 
 
18) Exercício: Use 
1 t
 e 
1 kx
 e gere 
tx  v
. Basta igualar as duas primeiras expressões e 
usar nelas o fato que 
vk
 ou 
k v
. 
 
19) Exercício: Um pulso recebido por um rádio dura 
ns10
. (a) Em que faixa 
f
de freqüências este pulso 
de rádio foi emitido? (b) Qual o comprimento do pulso? (c) Com estes dados conhece-se a freqüência 
central? (d) Supondo que a faixa de freqüências 
f
seja de 
%1
 da freqüência central, ache a freqüência 
central 
of
 e os limites extremos 
minf
 e 
maxf
. Esta faixa 
f
é chamada de meia banda. Represente o 
pulso. (e) Ache a incerteza na energia do pulso. 
 Resp. 
HznãomMHz 81016316 
, 
HzxHz 88 1008,16,1092,15 
, 
ns10/
 
 
20) Exercício: Usando uma montagem com um obturador rotativo, você ouve um diapasão padrão de 540 
Hz, por 0,23 s. (a) Que gama de freqüências está contida, aproximadamente, neste pulso acústico? (b) 
Mostre que esta faixa de freqüências se situa entre 
Hz655,539
 e 
Hz345,540
. (Halliday p. 170) 
 Resp. 690 mHz 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
21) Exercício: Um transmissor de rádio emite pulsos de duração igual a 
s15,0
, num comprimento de 
onda de 
cm2,1
. (a) Em que freqüência central o receptor de radar deve estar sintonizado? (b) Qual o 
comprimento do pacote de onda? (c) Qual deve ser a largura 
f
da meia banda de freqüências do 
receptor? Isto é, a que faixa de freqüências ele deve ser capaz de responder? (d) Quais os limites de 
freqüências da meia banda? (e) Qual a dispersão 
off /
? (Veja Halliday p. 154). Resp. (a)
GHz25
; 
(b)
m45
; (c)
MHz1,1
; (d)
HzfHzf máxmín
1010 10500055,210499945,2 
; (e) 0,004 %. 
 
Exercícios miscelânea 
 
 22) Prove que 
kp 
. (Pista: uso direto de 
ph /
 e da definição de
)k
 
 
23) Prove que 
Asenkxx )(
 satisfaz a equação de Schrödinger para o poço de potencial infinito em 1D. 
 (Aproveite o raciocínio e faça o problema 48). 
 
24) Prove que as energias possíveis para o elétron no poço mencionado são 
222 8mLhnE
n

. 
 
25) Esboce um gráfico de potencialde corte 
oV
 como função da freqüência para um dado metal 
recebendo luz monocromática com freqüência ajustável. 
 
26) Considere dois pontos experimentais sobre a reta do problema anterior 
)31,2;1010( 14 VHz
 e 
)68,0;106( 14 VHz
 e usando 
Ce 19106,1 
 ache a constante de Planck relativo a estes dados 
experimentais (obtidos em 1916 por Milikan). Resp. 
Js34106,6 
 
 
27) Calcule o valor da quantidade de movimento do elétron preso no poço de potencial infinito usando 
dois caminhos diferentes: (a) primeiro iniciando-se com a relação de de Broglie 
ph /
 e depois 
partindo da expressão clássica 
mpE 2/2
. Resp. 
Lnhp 2/
. 
 
 Pista: Deduziu-se na solução do elétron no poço, ou no exercício 24 miscelânea, que 
222 8/ mLhnE 
. Veja também 
p.4 destas notas de aula. 
 
28) A energia cinética é, relativisticamente, 
)/(2
oo
mmpEEK 
. Mostre que para 
0)/( cv
tem-
se 
omm 
e, portanto, 
mpK 2/2
 como classicamente. Mostre que se 
K
atingir o valor 
o
EK 
 então 
m
atingirá o valor 
o
mm 2
. Neste caso (
o
EK 
) prove que a velocidade 
v

 terá o valor 
43cv 
. 
 
29) Exercício para degustar num fim de semana 
 
 Analisei um aparelho de televisão mais antigo. O tamanho da tela era de 40 cm na horizontal por 30 
cm na vertical. Havia linhas de pontos na horizontal, fáceis de notar, que apresentavam sempre 12 pontos 
por centímetro, ligeiramente coloridos. As linhas verticais eram mais espaçadas, apresentando apenas 8 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
pontos por centímetro. O número de pontos por centímetro quadrado era, portanto, 96 e a tela toda 
apresentavam 115.000 pontos. A definição de uma imagem é função direta deste número de pontos por 
unidade de área. O seu aparelho tem uma definição melhor? Obviamente a distância do observador à 
imagem também influencia nesta definição. Afastando-se demais da imagem ou aproximando-se demais 
dela, não precisa dizer, você sabe o que acontece. 
 Quando se grava uma imagem em, por exemplo, uma película de cinema, o número de pontos 
relaciona-se com a qualidade, ou refinamento, do sal de prata que constitui a película. Dependendo da 
composição da película podem-se ter mais ou menos grãos de sal por, digamos, polegada quadrada. Na 
gravação, cada grão, ou ponto, é excitado através da luz que este recebe. A reação química provocada pela 
quantidade e pela qualidade de luz recebida pelo grão o “congela” com características da parcela (ou 
pacote) de luz que recebeu. Cada grão apresenta então uma característica, ou informação fiel, dada pela 
luz que veio diretamente do objeto filmado. Portanto cada ponto pode receber mais luz, menos luz, luz de 
composição de cor tal, ou nenhuma luz. O objeto que está sendo filmado, através da luz que ele emite e 
atinge a película, define sua imagem na película registrando em cada ponto um pedacinho desta imagem. 
Quando se projeta a imagem gravada na película de cinema, cada ponto (grão) é excitado (visitado) pela 
luz comum lançada sobre a película. Cada ponto ao ser iluminado por luz comum lançada sobre ele, emite 
se excitado, um pacote de ondas característico de seu “congelamento”, com um conjunto de freqüências 

 regido pelo princípio 
1 t
. Pode-se mostrar que esta equação tem válida geral, independente 
do tipo ou natureza das ondas em questão. 
 No cinema projetam-se em torno de 24 imagens por segundo e na televisão formam-se na tela em 
torno de 30 imagens por segundo. As imagens são ligeiramente diferentes e à custa da persistência de 
visão (cerca de 0,1s) vamos fundindo em nossa mente as 24 ou 30 imagens geradas por segundo, dando a 
idéia de movimento ou de continuidade. 
 Na televisão cada ponto funciona quase que semelhante aos grãos na película. A diferença é que na 
película o ponto recebe luz do objeto e grava um pedacinho da imagem no grão, ao passo que na televisão 
todos os pontos são iguais e nunca gravam nada. Na televisão quando cada ponto é iluminado, através do 
canhão de elétrons que os visitam; cada ponto emite luz condizente com a luz que o visitou. Na película a 
imagem está gravada nela, e luz comum a reproduz. Na televisão a imagem está gravada na informação 
dada pelo canhão de elétrons (mais luz, menos luz, etc.), e os pontos não mudam sua personalidade. Na 
película a informação está no grão e o agente excitador é a luz comum. Na TV a informação está na luz 
codificada e o agente excitador é o ponto. 
 Suponha que o número total de pontos de seu aparelho de TV seja 200.000 (e não 115.000 como o 
analisado). Como são 30 varreduras na tela toda, por segundo, conclui-se que devem ser varridos 
000.20030
,ou seja, 6 milhões de pontos por segundo. O tempo de varredura de um único ponto é então 
o inverso de 6 milhões. Para que a sobreposição das imagens gere imagens nítidas, levando em conta 
nossa pequena persistência retiniana, o tempo de visita, pelo canhão, de cada um dos seis milhões de 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
pontos é melhor que seja apenas a metade do inverso de 6 milhões. Ou seja 
)000.000.6/1)(2/1(t
s. 
Neste tempo um pacote de freqüências 

excitou um único ponto. 
(a) Calcule a largura completa da banda de um canal de televisão, ou seja, calcule 
2
 ou 
f2
 
necessária para compor um único canal de televisão. (b) Sabemos que a largura total da banda de todos os 
canais de televisão do mundo é da ordem de 
Hz910
. Quantos canais de televisão cabem hoje, no mundo, 
nesta faixa? (c) Porque projetar 30 imagens ou 24 por segundo e não 80, por exemplo? Pesquise e pense! 
Resp.: (a) 
Hzf 61042 
; (b) 250 (preto e branco) ou 250/3 canais coloridos. 
 
Miscelânea Suplementar 
 
30) (a) Calcule a temperatura média 
T
 de nosso planeta Terra, fazendo algumas considerações ou 
simplificações. Pegue os dados numéricos do planeta nas tabelas do livro texto. (b) Que condições reais 
modificam estas considerações? (c) Qual seria a temperatura se não apenas uma face do planeta recebesse 
luz ? 
 Pista: A energia que atinge uma face da Terra é igual à energia que se distribui na superfície toda. Você poderá provar 
que 
44 4TT
face

 e que 
24 16/ rPT
Sol

 onde 
r
 é a distância do Sol a Terra. 
 Resp. (a) 
Co7
. (b) Não é um corpo negro e possui atmosfera (c) superior à 
Co100
e igual a 
face
T
. 
 
31) Uma lente convexa de 
cm27,1
 de diâmetro e de distância focal igual a 
cm26
; produz uma imagem 
do Sol sobre uma tela preta e delgada cujo tamanho é igual ao da imagem. Determine a mais alta tempe-
ratura 
T
 que a tela pode alcançar. 
 Pista: veja problema anterior e use também Ótica Geométrica. Você encontrará, no meio do caminho, que a 
razão entre a área A da lente e a área a da imagem é 250. Desta forma, pela conservação da energia, quantas vezes a 
intensidade de radiação na imagem é maiordo que a intensidade de radiação que atravessa a lente transparente? 
Observe que a energia que chega na tela (imagem) se distribui entre as duas faces: a do lado que chega e a do outro 
lado. Daí prove que 
44 2TT
face

 e continue. (volta e meia isto é pedido em prova) Resp. 
KT 781
 
 
32) A energia mínima que arranca um elétron do Alumínio é 
.2,4 eV
 Luz de comprimento de onda igual a 
nm200
 incide sobre uma placa de Alumínio perfeitamente limpa. (a) Calcule a energia de um dos fótons 
da luz incidente. Dar a resposta em J e também em 
.eV
 (b) Calcule a energia cinética máxima com que os 
elétrons são ejetados do Alumínio. Dar a resposta em J e também em 
.eV
 (c) Encontre o potencial de 
corte 
o
V
 (tensão necessária para frear completamente os elétrons mais velozes arrancados). (d) Determine 
a freqüência de corte 
corte
f
 para o Alumínio (menor freqüência, mas que ainda provoca efeito fotoelétrico). 
(e) Encontre o comprimento de onda de corte 
corte

 para o Alumínio (maior comprimento de onda, mas 
que ainda provoca efeito fotoelétrico). Dado: 
JeV 19106,11 
. 
 Resp. (a) 
eVJ 2,61095,9 19  
 (b) 
eVJ 2102,3 19  
 (c)
V2
 (d) 
Hz151002,1 
 (e) 
nm296
. 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
33) Considere uma luz monocromática incidindo sobre um filme fotográfico. Os fótons incidentes são 
registrados se tiverem energia suficiente para dissociar uma molécula de AgBr desse filme. A energia 
mínima necessária para isso é aproximadamente igual a 0,60
.eV
Determine o maior comprimento da onda 
da luz que pode ser registrado. Em que região do espectro estará este comprimento de onda? (Halliday p. 
145 problema 28 – 4ª edição). Resp.
m1,2
 
 
34) Vimos que para o elétron preso no poço de potencial infinito, a densidade de probabilidade 
2)( xP
 
é dada explicitamente por 
)/()/2()( 2 LxsenLxP 
 estando o elétron em seu estado fundamental, ou 
seja, com 
1n
. No ponto 
2/Lx 
, mostre, através da equação, que a densidade é máxima e tem o valor 
LLP /2)2/( 
. Para 
4/Lx 
 a densidade de probabilidade é 
LLP /1)4/( 
 e para 
Lx  0
 a 
densidade de probabilidade é zero. Dê uma interpretação para estes valores. Em que diferem as grandezas 
)(xP
 e 
dxxP )(
? Detalhe sua explicação. 
 
35) Uma grandeza útil para representar a posição do elétron num átomo de hidrogênio é a densidade de 
probabilidade radial 
)(rPr
. Ela é definida de modo que 
drrP
r
)(
 dá a probabilidade de que, 
independentemente da direção, o elétron seja encontrado entre duas camadas esféricas cujos raios são 
r
 e 
.drr 
 A função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, é 
oar
o
ear
/3 )/1()(
 
, 
onde 
oa
 é o raio de Bohr. Para exercitar (a) calcule a densidade de probabilidade 
)(rP
r
 para o estado 
fundamental do átomo de hidrogênio. (b) Para que valor de 
r
 a densidade de probabilidade radial 
calculada é máxima? (Veja livro texto p.187. Veja também que 
24)()( rrPrP
r

onde 
2)( rP
 e, portanto, 
22 4)( rrP
r

). 
 Resp. (a) 
oar
or earrP
/232 )/4()(


 (b) 
o
ar 
 
 Obs. aproveite o raciocínio e faça o problema 49. 
 
 
 36) Um feixe de luz bem colimada atravessa uma fenda estreita de largura 
y
 e sofre difração. (a) 
Podemos considerar que antes da fenda a velocidade 
y
v
 do feixe é nula? (b) Neste caso qual a incerteza 
y
 na largura do feixe de luz antes dele atravessar a fenda? Rep.: (a) Sim (b)
y
 . 
 
37) Um feixe de luz propaga-se numa direção 
ox
, com quantidade de movimento 
o
p
 nesta direção. O 
feixe sofre difração ao atravessar uma fenda estreita de largura 
.y
 Como conseqüência, sobre um 
anteparo distante da fenda, é formada uma figura de interferência. Aplique 
 masen 
ao primeiro 
mínimo da figura de interferência gerada pela fenda estreita e mostre que 
y /
. Observando-se a 
geometria do problema, através da figura, veja que também se pode escrever 
oy
pp /
. Finalmente, 
recorrendo a relação de de Broglie 
o
ph /
, encontre uma das relações de incerteza de Heisenberg. 
 
38) (a) Determine a função 
)(x
 usando a integral de Fourier 



0
cos)()( dkxkkAx
 onde 
o
kkA /1)( 
 
para 
o
kk 0
e zero para qualquer outro valor de k. 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 (b) Faça um gráfico de 
)(kA
contra k e outro de 
)(x
 contra x supondo 
Lk
o
/2
, onde L é um 
comprimento. Você verá que o valor máximo de 
)(x
 é 1 e os dois pontos mais próximos deste máximo 
para os quais 
)(x
 se anula é 
2/L
 e 
2/L
. Usamos estes dois pontos para definir a largura 
x
 desta 
função. O resultado é 
Lx 
. Uma vez que 
)(kA
 se anula à esquerda de zero e à direita de 
o
k
 então sua 
largura é 
o
kk 
. Realize o produto 
kx
e mostre que ele vale 
2
. 
 (c) Refaça o item anterior agora supondo 
Lk
o
/
. Note que você aumentará a largura da função 
o
kkA /1)( 
 pois diminuindo 
o
k
 estará aumentando 
)(kA
. Verifique através do gráfico que a largura da 
função 
)(x
 diminuiu. Refaça o produto 
kx
e veja que o resultado é o mesmo, ou seja, 
2
. 
A conclusão é a de que não se consegue alterar 
x
sem alterar 
k
. Assim, ao se tentar representar um 
pacote de ondas cada vez mais localizado, diminuindo-se para isto a largura 
x
do pacote, conseqüen-
temente aumenta-se a largura (ou intervalo)
k
. Resp. (a) 
xkxsenkx
oo
/)( 
 
 
 Obs. A integral de Fourier representa, num dado intervalo, a soma de infinitos números de onda com variação 
infinitesimal entre eles. 
 A largura de uma função
)(kA
é definida por 
k
 e a de uma função 
)(x
 é definida por 
x
. Neste 
problema um objetivo é mostrar que as larguras 
x
 e 
k
 são inversamente proporcionais. Para isto realiza-se o 
produto 
kx
 para dois diferentes pares ordenados de seus valores. 
 Na integral de Fourier quando se aumenta o intervalo de integraçãoda função 
)(kA
 está se aumentado o 
número k de ondas integradas. Como conseqüência diminui-se o intervalo representado pela função 
)(x
, 
função esta que resulta da integral. 
 
Complemento: Ondas e Partículas 
 
 Sabemos que muitas vezes a natureza apresenta simetrias. Se uma onda luminosa se manifesta como 
constituída de corpúsculos (fótons) será que uma partícula como o elétron, um nêutron ou um grão de 
poeira não apresentaria caráter ondulatório? Assim pensou Louis de Broglie. 
 Em 1824, ele, Louis de Broglie postulou que a relação 
ph /
, válida para a luz, deveria valer 
também para a matéria. Assim como 

 da luz se associa à 
mcp 
 para a luz, 

 da matéria se associaria 
à 
vmp 
da matéria. 
 Em 1926 Elsasser sugeriu a idéia de incidir elétrons em um cristal, ação semelhante ao que se fazia 
para os raios X. A rede cristalina difrataria os elétrons e seriam observados picos de difração. Isto foi feito 
por Davisson e Germer e confirmado independentemente por Gorge P. Thomson em 1927, usando um 
método ligeiramente diferente. No experimento de Davisson e Germer foi observado que para um ângulo 
o65
era obtido um primeiro máximo de difração 
).1( m
 Neste experimento foi usada uma rede 
cristalina com o
Ad 91,0
. Aplicando isto à lei de Bragg da reflexão 
 dsenm 2
 obtiveram o
A65,1
. 
(Confira os cálculos de Davisson e Germer e observe que este teste deu a primeira comprovação experimental para as 
idéias de De Broglie. Veja o livro texto ou o problema 39) 
 Em 1937 Germer e Thomson dividiram o Prêmio Nobel por seus trabalhos sobre a confirmação 
experimental da hipótese de de Broglie. 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 Por outro lado, usando sua teoria 
,/ ph
postulada por Louis de Broglie encontra-se o
A67,1
. 
(Você poderá apreciar os cálculos simples da hipótese 
,/ ph
 de Broglie, e a descrição dos experimentos 
conduzidos por Davisson e Germer em seu livro texto: Halliday, volume 4, 

p.150). 
 
39) Conferindo os cálculos de Davisson e Germer: usando 
 dsenm 2
, com o
Ad 91,0
, 
o65
 e 
1m
 mostre que o
A65,1
. Note que estes dados são todos experimentais. Este ângulo 
o65
 corres-
ponde à energia cinética de 
eV54
transportada pelo feixe de elétrons utilizado no experimento. (Note que 
a relação de de Broglie é testada neste experimento através de um caminho totalmente independente da relação). 
Vamos calcular o valor teórico para 

 usando a hipótese 
ph /
 de De Broglie e compará-lo com o 
valor experimental de Davisson e Germer o
A65,1
. Usando equação 
mpK 2/2
, que dá a energia 
cinética K do feixe de elétrons, explicitamos 
.2mKp 
 Substituindo este valor em 
ph /
 a equação 
de De Broglie toma a forma
mKh 2
. Esta é a relação de De Broglie ligando o comprimento de 
onda 

 da partícula à sua energia cinética K. Para a comparação desejada tomemos então a energia 
cinética do feixe igual 
eV54
 referente ao pico de difração observado por Davisson e Germer. Usando a 
massa 
kg311011,9 
 para o elétron temos como resultado o
A67,1
. Veja que esta previsão teórica é 
muito próxima do resultado o
A65,1
 dado pelo experimento. Assim a hipótese de De Broglie é 
confirmada; pelo menos neste caso envolvendo elétrons. Portanto há uma onda de matéria associada ao 
movimento do elétron e o comprimento desta onda pode ser medido. 
 
40) Faça alguns itens do questionário proposto sobre o átomo de Hidrogênio (ou estude sobre o átomo de 
Hidrogênio em seu livro texto). Responda principalmente sobre as três hipóteses feitas por Niels Bohr 
sobre o elétron ligado ao átomo. Escreva as quatro equações utilizadas por Bohr para se chegar aos níveis 
de energia quantizados do átomo de Hidrogênio. São três equações vindas da Mecânica Clássica e uma 
vinda do Eletromagnetismo. Encontre as energias associadas ao átomo de Hidrogênio seguindo o caminho 
feito por Bohr. Quando Bohr quantiza uma grandeza ligada ao átomo, todas as demais grandezas a ela 
relacionadas ficam também quantizadas? 
 
41) A teoria de Bohr e a equação de Schrödinger dão, para o átomo de Hidrogênio, a energia seguinte: 
222
4
1
8 nh
em
E
o
e
n 

 
,...,3,2,1n
 . Lembrando que 
kgm
e
311011,9 
, 
Ce 19106,1 
, 
 
2212 /1085,8 mNC
o

 e 
Jsh 341063,6 
, mostre que a energia do átomo de Hidrogênio, no 
estado fundamental, vale 
eV6,13
. 
 
42) Utilize o resultado do problema anterior e (a) calcule as energias do átomo de hidrogênio quando for 
encontrado nos respectivos estados: 
.10000;100;10;3;2n
 (b) Estando o átomo de hidrogênio em seu 
estado fundamental que energia mínima deve ser dada ao átomo para que seu elétron fique completamente 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
desligado do átomo? (c) Na linguagem do efeito fotoelétrico (ou da Química) como esta energia mínima é 
chamada? 
 Resp. (a)
eVE )0;0134,0;134,0;51,1;4,3(
 (b)
eV6,13
 
 (c) Função trabalho W ou energia de ligação. 
 
43) Atraso de tempo para o efeito fotoelétrico ‘’clássico``. Uma fonte de luz de 
W10
é colocada a 
m0,1
 
de uma superfície limpa de sódio. O raio de um átomo de sódio é de cerca de 
m10100,1 
. (a) Supondo 
que um átomo absorva toda a energia luminosa nele incidente e que a energia não esteja agrupada em 
fótons, determine a energia absorvida por segundo por um único átomo. (b) É preciso 
eV2,2
para remover 
um elétron do sódio metálico. Quanto tempo leva um átomo para absorver essa quantidade de energia? 
(Eisberg – Lerner, vol.4, p.337, problema 30.14) Resp. (a) 
J20105,2 
 (b) 
s14
 
 
Pista: inicie calculando a intensidade luminosa 
API /
 na superfície metálica. Você encontrará 
2/)4/10( mW
. 
Isto equivale a uma potência de 
sJ /1025,0 19
 na região ocupada pelo átomo. Encontre isto. Use em seguida a 
definição de potência 
dtdWP /
 para encontrar a energia W. 
 
44) Questionário de Física IV 
 
(Responder seguindo o livro do Halliday. Dê preferência à 4ª edição embora outra sirva) 
 
a) Explique a diferença entre espectro de raia e espectro contínuo. (Leia o livro texto). 
 
b) Os espectros de raias são classificados em duas diferentes naturezas. Quais são elas? 
 
c) Olhando, e lendo, as figuras do livro texto diga quais correspondem a espectro de absorção e quais 
correspondem a espectro de emissão. Em que freqüência aproximada (faixa estreita de freqüências) há um 
pico de absorção da amônia? 
 
d) Numa certa época foi sugerido que os elementos são compostos de hidrogênio. Quem propôs isto, em 
que época, e em que isto foi baseado? 
 
e) Em que época foi descoberto o elétron e por quem? 
 
f) Quem primeiro quantizou as órbitascirculares para o elétron no átomo de hidrogênio? 
g) Quais as hipóteses básicas feitas por Bohr para o hidrogênio? Isto contrariou algum fundamento da 
Mecânica Clássica? Explique! 
 
h) Encontre a equação para as energias dos estados estacionários do átomo de hidrogênio, seguindo os 
mesmos passos dados por Bohr. Lance mão de quatro elementos: três da Mecânica Clássica e um elemento 
de quantização, identificando seus nomes. 
 
i) Escreva a equação que dá a freqüência do foton emitido ou absorvido pelo átomo de hidrogênio em uma 
transição. O que n representa nela? Qual o menor valor de 
n
 e que nome este recebe? Escreva a expressão 
para a energia 
j
E
 para 
jn 
. Escreva, de novo, a energia 
k
E
 para 
kn 
. 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
j) Encontre a diferença de energia 
kj
EE 
 usando o item anterior. Se 
kj 
 (nível 
k
 mais afastado do 
núcleo) qual parcela é maior 
j
E
 ou 
k
E
? Explique! 
 
k) O que é o princípio da correspondência? Como ele funciona matematicamente? 
 
l) Encontre a equação 49-28 do livro (ou do problema 41 desta lista) usando: uma lei de Newton, uma lei 
de Coulomb, uma lei de conservação e a quantização do momento angular. (Isto já foi pedido em prova) 
 
m) Reproduza as tabelas 49-1 e 49-2 do livro do Halliday volume 4 p.292 e 294 
 
45) (a) Escreva a equação de onda clássica para uma corda cuja densidade por unidade de comprimento 
varia com x. (b) Admita a solução 
).()(),( txtx 
 Separe a equação em duas equações diferenciais 
ordinárias e encontre a equação em x. (c) Use a definição de energia mecânica total 
UmpE  )2/( 2
 e 
nela introduza o conceito quântico 
kp 
 postulado por de Broglie. Você obterá 
.2)/(v 222 mUE  
 
Substitua 
2v
 na última equação diferencial e obtenha a equação seguinte: 
 EU
dx
d
mC

2
222
2

. 
Qual valor da constante de separação C torna esta equação a equação de Schrödinger independente do 
tempo? 
 Resp. (a) 
2
2
2
2
tFx 



 
 onde 
2vF
 (b) 


C
dx
d

2
2
2v
 (c) 
2C
 
 
46) Do problema anterior, a outra equação diferencial ordinária é 


C
dt
d

2
2
. (a) Encontre a solução 
desta equação. (b) Considerando o problema anterior qual o valor de C que se ajusta nesta equação? (c) 
Por outro lado encontre, agora, a solução da equação de Schrödinger independente do espaço 
.

E
dt
d
i 
 
Observe que na equação de Schrödinger não aparece uma derivada segunda como na equação de onda 
clássica anterior. (d) No entanto, usando a relação de Einstein - Planck 
E
 mostre que o valor da 
constante 
2C
 ou equivalentemente 
iC 
 atende a ambas as equações, muito embora elas 
possuam derivadas de ordens diferentes. 
 Rep. (a) 
Ct
o
e 
(b) 
2C
 (c) 
/iEt
o
e
 
 
Obs. Os problemas 45 e 46 mostram que há coerência entre a equação de onda vinda da Mecânica Clássica e a 
equação de Schrödinger da Mecânica Quântica. No entanto, só devido a isto, não se pode concluir que a equação de 
Schrödinger foi obtida da Mecânica Clássica. Ela não pode ser obtida da Mecânica Clássica. Existem afirmações 
plausíveis, e até caminhos diferentes, que conduzem à obtenção da equação de Schödinger. Veja, por exemplo, 
Eisberg – Física Quântica – volume único – cap. V. 
 
 
47) (a) Escreva a equação de Schrödinger em uma dimensão, completa, ou seja, dependente do espaço e 
do tempo. (b) Escreva a solução geral desta equação. 
 
 Resp. (a) 
t
iU
xm 




 

2
22
2
 onde 
),( tx
 (b) 
/)(),( iEtextx  
 para 
1
o

 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
48) A função de onda 
),( tx
 para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, consti-
tuído de uma partícula de massa m , sob a ação de uma força restauradora 
xdxdUF  /
, pode ser 
expressa como 
 
tmixm
eeAtx
 )2()2( 2
),(



 (10,6,4) 
 
onde a constante real A pode assumir qualquer valor. 
 A expressão se aplica ao caso em que o ponto de equilíbrio do oscilador está na origem do eixo ox, ou 
seja, em
.0x
Este é o ponto no qual a partícula clássica estaria em repouso caso não estivesse oscilando. 
 
(a) Encontre a expressão da energia potencial 
).,( txU
 (Modificado de Eisberg-Resnick p.181) 
(b) Escreva a equação de Schrödinger para este caso. 
(c) Verifique se a função de onda 
),( tx
dada satisfaz a equação de Schrödinger. 
 
 Resp. (a) 
2)(),( 2xxUtxU 
 (b) 







t
ix
tm

 2
2
22
22

 
 
 (c) 

m
xx
m

2222
22 
 
 
49) (a) Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do 
oscilador harmônico simples descrito no problema anterior. (b) Ela é independente do tempo? 
 Pista: 
),(),(*),( txtxtxP 
. Use também 
ixix ee  )*(
 Resp. (a) 2)(2 xmeAP  (b) sim 
 
50) Trace gráficos de 
)(xP
em função de x: (a) um para o oscilador quântico e outro para o oscilador 
clássico. Discuta os resultados observados. (Veja Eisberg – Resnick , Física Quântica – p. 185). 
 
51) Calcule o valor da constante A que aparece nos três últimos problemas. 
 Resp. 
41
81
)(
)(

m
A 