análise no RN

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ANÁLISE NO ℝn
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
CONVERSA INICIAL
Caro aluno, nesta aula iremos, finalmente, discutir a construção do conceito de integração
múltipla. Faremos uma analogia similar à que realizamos na construção do conceito de integração
indefinida em estudos sobre Análise Real.
TEMA 1 – A DEFINIÇÃO DE INTEGRAL
Vejamos qual a definição de integral e como ela se estrutura com base no conceito de blocos.
1.1 BLOCO N-DIMENSIONAL
Definimos um bloco -dimensional como um conjunto  resultado do produto cartesiano
definido por:
Em que existem  intervalos compactos  conhecidos como suas arestas.
No caso do produto cartesiano:
Em que se considera os intervalos abertos , estes são definidos como bloco 
dimensional aberto.
Se as arestas do bloco  têm o mesmo comprimento, isto é, são iguais , definimos 
 como um cubo dimensional.
No caso em que o bloco acaba especificado no conceito de intervalo. Se , o bloco
se reduz a um retângulo e o cubo se reduz a um quadrado.
Todo bloco -dimensional possui uma face definida como um conjunto do tipo:
Em que temos   ou   para cada   Toda fase tem uma
dimensão   quando   dos fatores   forem iguais a   No caso de uma face com dimensão
zero, em que os pontos são da forma  em que  ou  são conhecidos como
vértices do bloco.
Definimos o volume dimensional de um bloco como o produto:
Em que são multiplicados os comprimentos de suas arestas. Veja que esse resultado é o
mesmo do volume do bloco aberto.
Definimos uma partição do bloco  como um produto cartesiano definido por:
Em que cada  é definido como uma partição do intervalo . Note que esse resultado é o
mesmo explorado em Análise Real.
Por definição, dizemos que uma determinada partição, digamos:
Refina a partição  quando  Note que isso é equivalente a dizer que:
Veja que dizemos que uma partição  decompõe o bloco  numa reunião de sub-blocos:
Em que cada  é um intervalo da partição  de . Veja que esses sub-blocos  são
conhecidos como blocos da partição  Em outros termos, escrevemos  Quando a partição 
 refina , concluímos que cada bloco de  é a reunião dos blocos de Q nele contidos.
Veja que, sendo  e  dois blocos da partição , a interseção  é uma face comum a  e 
 ou é vazia.
Se escolhermos a partição  do bloco  sendo o comprimento   de cada
aresta de  a soma dos comprimentos dos intervalos da partição , podemos, então, concluir que o
volume do bloco  é a soma dos volumes dos blocos  e da partição 
1.2 TEOREMA
Suponha a existência de  como uma função real limitada em um bloco -dimensional .
Suponha também que   Assim, para uma partição   do bloco , para cada
bloco , definimos o ínfimo como  e o supremo como . Dessa forma, definimos a soma
inferior  e a soma superior  da função  relativo à partição , sendo:
Nesse caso, observamos que   de forma que verificando que toda
soma inferior de  é menor do que o igual a qualquer soma superior.
No passo seguinte, definimos a integral inferior e a integral superior de uma função limitada 
 como, respectivamente:
Em que o supremo e o ínfimo da definição acima tomados em relação a todas as partições  do
bloco  Veja que podemos unir a desigualdade apresentada acima para escrever:
Veja também que uma função limitada  é dita integrável em um bloco dimensional 
  no caso em que suas integrais inferior e superior sejam coincidentes. Nesse caso, podemos
escrever:
Sendo conhecida como a integral de  no bloco 
1.3 CONDIÇÃO IMEDIATA DE INTEGRABILIDADE
Note que, para que a função limitada  seja integrável no bloco , devemos ter que 
, exista uma partição  de  em que 
No caso de qualquer subconjunto , definimos  como o supremo e   como o ínfimo
dos valores  para  Assim, definimos:
Como a oscilação de  no conjunto 
Assim, em qualquer partição  do bloco , podemos escrever:
E concluímos que  é integrável quando, para qualquer , existe uma partição  de 
 em que:
Veja que, nesse cenário, observamos que toda função contínua  é integrável. Entretanto,
a título de Análise no , essa condição não é suficiente para continuarmos nossos estudos, visto
que haverá funções descontínuas que precisam ser analisadas.
TEMA 2 – CONJUNTOS DE MEDIDA NULA
Vejamos o conceito de conjuntos de medida nula e como eles nos permitem generalizar quais
as funções integráveis a título de Análise no 
2.1 CONJUNTOS DE MEDIDA NULA
Definimos o conjunto   com a propriedade de ter a medida dimensional nula, cuja
notação é dada por   sempre que, , sempre é possível obter uma cobertura
enumerável do tipo:
A partir de blocos abertos  de forma que:
Veja que, sendo  e , então podemos afirmar que  Note também que
uma reunião enumerável de conjuntos de medida nula também é um conjunto de medida nula. Isso
porque  são subconjuntos de  em que . Vemos que, para qualquer ,
podemos obter uma sequência de blocos  de forma que:
Assim, concluímos que  está contido na reunião enumerável de todos os  Assim, qualquer
que seja a maneira de enumerar os  em uma sequência, teremos:
De forma que . Podemos mostrar também que todo conjunto enumerável tem
medida nula.
Outro resultado relevante é perceber que, a partir de um conjunto , são equivalentes as
seguintes afirmações:
I) , obtemos uma cobertura enumerável   a partir de blocos abertos
 em que 
II) , obtemos uma cobertura enumerável  a partir de blocos fechados 
 em que 
III) , obtemos uma cobertura enumerável  a partir de cubos abertos 
 em que 
IV) , obtemos uma cobertura enumerável  a partir de cubos fechados 
 em que 
Note também que qualquer cobertura aberta do tipo   de um conjunto arbitrário 
 admite uma subcobertura enumerável .
Além disso, sendo   uma aplicação de classe   no aberto . No caso em que 
  tem medida nula, então   também tem medida nula. Veja que, diretamente desse
resultado, podemos inferir que, sendo   uma aplicação de classe   no aberto ,
sendo , podemos concluir que  tem medida nula. Também será verdade que, sendo 
  uma superfície dimensional de classe   e sendo , então   tem medida 
dimensional nula.
Dessa forma, podemos extrair um importante teorema que generaliza quais são as funções
integráveis além das funções contínuas. Esse resultado é conhecido como Teorema de Lebesgue.
Nesse caso, afirmarmos que determinada função  é integrável se, e somente se, o conjunto
 de todos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.
TEMA 3 – CÁLCULO COM INTEGRAIS
Vejamos algumas importantes propriedades das funções integráveis que podem ser
generalizadas a partir dos resultados discutidos anteriormente.
3.1 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES INTEGRÁVEIS
No caso de conhecermos funções  funções integráveis para algum bloco  e
sendo  um número real, podemos verificar as seguintes propriedades:
I)  é integrável e
II)  é integrável e
III) O produto  é uma função integrável.
IV) Se , então,  é integrável.
V) Sendo , então:
VI)  é uma função integrável e
VII) Se  é um bloco contido em  e  para todo , então:
3.2 INTEGRAÇÃO REPETIDA
Suponha que  seja integrável no produto dos blocos  e . Suponha
também que, para todo , teremos  definida por . Assim, definimos as
seguintes funções:
Assim, podemos concluir que as funções  são integráveis de forma que:
O que é equivalente a afirmar que:
Disso podemos concluir que, sendo   integrável no produto dos blocos 
,  e , então:
TEMA 4 – CONJUNTOS J – MENSURÁVEIS
Neste tema, iremos estender o conceito de integral para funções definidas em alguns
subconjuntos que não são blocos dimensionais.
4.1 FUNÇÃO CARACTERÍSTICA
Suponha a existência de um conjunto limitado   e de um bloco dimensional 
 contendo  Nesse caso, definimos a função característica de  como a função  dada por:
Assim, veja que as funções características têm algumas propriedades notáveis:
I) 
II) 
III) Será verdade que  se, e somente se, . Nesse cenário, teremos 
Veja que, da primeira propriedade, verificaremos que  no caso que os conjuntos 
 e  são disjuntos. Veja também que, estando  contido no interiorde , então  é o conjunto dos
pontos de descontinuidade da função 
Além disso, podemos definir o volume interno e o volume externo de um conjunto limitado 
 verificando que:
4.2 CONJUNTOS J – MENSURÁVEIS
Note que, sendo a função característica  integrável, dizemos que  é mensurável de
forma que seu volume dimensional é dado por:
Sendo   e   uma partição do bloco , as somas inferior e superior da função 
 relativas à partição  são definidas por:
 Soma dos volumes dos blocos de  contidos em 
 Soma dos volumes dos blocos de  que intersectam 
Assim, concluímos que, sendo   e , podemos concluir que, para
qualquer , existe uma partição  do bloco  de forma que a soma dos volumes dos blocos de 
  contidos em   é superior a   e a soma dos volumes dos blocos de que intersectam   é
inferior a 
Outro resultado relevante é que o conjunto limitado  é mensurável se, e somente se,
sua fronteira tem medida nula. Além disso, sendo   conjuntos mensuráveis então 
 e  também são mensuráveis e podemos verificar que:
TEMA 5 – A INTEGRAL COMO LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN
Neste último tema, iremos discutir o conceito de integração a partir do limite de somas de
Riemann.
5.1 A INTEGRAL COMO LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN
Suponha a existência de um conjunto mensurável . Nesse cenário, iremos afirmar que 
  á uma decomposição de   no caso em que os conjuntos   são 
mensuráveis, de forma que o interior de cada  é disjunto dos demais 
Veja que a norma da decomposição   é definida como o número   que
apresenta o maior diâmetro dos conjuntos   Assim, sendo   um bloco 
dimensional, podemos verificar que toda partição  determina uma decomposição
Em que os  são os blocos da partição 
Assim, sendo   uma função limitada no conjunto mensurável em que   se
tivermos a decomposição  de , podemos verificar que, para cada 
Dessa forma, podemos definir a soma inferior e a soma superior como sendo:
No caso, afirmamos que o número real  é o limite de  quando  tende a zero escrevendo:
Mostrando que, para qualquer , existe  tal que  De forma equivalente, podemos definir o que
significa a expressão dada por:
5.2 TEOREMA
No caso de toda função  limitada no conjunto mensurável , podemos verificar
que:
Para isso, é necessário verificar que, sendo   conjuntos mensuráveis em que , então, para
qualquer , existe  tal que, sendo  uma decomposição de em que , então a soma dos volumes
dos conjuntos  em que  é menor do que 
Veja também que, sendo  integrável no conjunto mensurável , então:
Isso porque, qualquer que seja a decomposição  de , verificamos:
Independentemente do modo  de pontilhar . Assim, verificamos que:
NA PRÁTICA
Sejam   uma função limitada no bloco dimensional   e   um númeo real com a
seguinte propriedade: para todo  dado, existe uma partição  de  tal que  qualquer que seja a
partição  de  que refine  Prove que 
FINALIZANDO  
Nesta aula, conseguimos generalizar o conceito de integração múltipla para os estudos em
análise no . Futuramente, iremos discutir sobre o processo de mudança de variáveis que costuma
ser utilizada em integrais múltiplas.
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; CHRIS, R. Álgebra Linear Com Aplicações. 10. ed. Bookman Companhia Editora,
2010.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Volume 2. 6. ed. LTC, 2018.
LIMA, E. L. Análise Real, Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.