ENGENHARIA ECONÔMICA (16)

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Profº Edson Urtado Engenharia Econômica 
 
 
 
ENGENHARIA ECONÔMICA (PLT #140) 
PROF. EDSON URTADO 
2015 
 
1. ENGENHARIA ECONÔMICA, DEFINIÇÕES 
1.1 Engenharia Econômica: ferramenta de engenharia para tomada de decisões quanto aos investimentos 
da firma, utilizando critérios (técnicos, econômicos, financeiros, logística); 
• Análise de alternativas e decisões – benefícios tangíveis e intangíveis; 
• Eficiência técnica e financeira da Engenharia – o engenheiro deve ser preparado para tomar decisões 
econômicas. 
Máxima eficiência TÉCNICA → Máxima eficiência FINANCEIRA 
1.1.1 Finanças: pode ser definida como a arte e a ciência da gestão do dinheiro; 
• Qual é o objetivo da firma (empresa/indústria)? 
� O objetivo da firma e, portanto, de todos os seus administradores e funcionários é ‘maximizar 
a riqueza dos proprietários’ (GITMAN, 2004); 
1.1.2 Economia: ciência social que estuda a atividade econômica através do desenvolvimento da teoria 
econômica. É dividida em dois ramos: microeconomia e macroeconomia. 
� Microeconomia: estuda os comportamentos individuais; 
� Macroeconomia: estudo o resultado agregado dos vários comportamentos individuais. 
 
1.2 O papel da análise na Engenharia Econômica (PLT pg.3) 
� Quais problemas podem ser resolvidos através das ferramentas da Engenharia Econômica? 
� Problemas simples podem ser resolvidos rapidamente sem a necessidade de técnicas 
analíticas para auxiliar sua resolução; 
� Problemas complexos podem envolver “problemas com pessoas” em que a economia 
é apenas um dos muitos elementos; 
� Problemas intermediários parecem melhor adaptar-se a uma solução pela análise da 
econômica da engenharia. Nessa classificação, a engenharia econômica é um 
componente relevante na tomada de decisão. 
1.3 A Engenharia Econômica na solução de problemas 
� Os problemas que mais se utilizam da Engenharia Econômica na busca de soluções, 
apresentam as características: 
� O problema é suficientemente importante, justificando um estudo e esforço sérios; 
� Uma análise cuidadosa exige organização do problema e todas as várias 
consequências; 
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� O problema tem aspectos econômicos suficientemente importantes que constituem 
um componente significativo da análise que conduz a uma decisão. 
� Quando os problemas se enquadram nesses critérios, a Engenharia Econômica pode ser uma 
ferramenta importante! 
1.4 O processo de tomada de decisão (PLT pg.6) 
� Para que exista uma situação que exija uma tomada de decisão, deve haver ao menos duas 
alternativas; 
� Se só houver um caminho ou alternativa, não caberia tomar qualquer decisão, pois nada 
haveria sobre o que decidir; 
� A tomada de decisão na corrida de cavalos…(?) racional ou irracional (?); 
� Importante trabalhar com base em uma tomada racional de decisão. 
1.5 Tomada Racional de Decisão 
1. Reconhecimento de um problema; 
� O ponto de partida de qualquer tentativa consciente de tomar uma decisão racional deve ser o 
reconhecimento da existência de um problema; 
� Em situações típicas o reconhecimento é óbvio e imediato; 
� Uma vez ciente do problema, podemos tomar as providências para resolvê-lo da melhor forma 
possível. 
2. Definição do objetivo; 
� O objetivo deve ser definido para que possa ser atingido. Ex.: meta de negócios (vendas), 
melhorar eficiência do processo de fabricação, substituir equipamento antigo por novo, 
aumentar produção da fábrica em xx% ao ano. 
3. Coleta de dados relevantes; 
� Para tomar uma boa decisão, devemos primeiro obter boa informação; 
� Pesquisa e indicadores de mercado, dados registrados em relatórios técnicos, reuniões; 
� Contabilidade – financeira e custos; 
� Custos e Benefícios: 
� Consequências de mercado; 
� Consequências extramercado (“shadow price”); 
� Consequências intangíveis. 
4. Identificação de alternativas viáveis; 
� Listar as alternativas possíveis; 
� Alternativas práticas e não práticas; 
� Sugestões inovadoras – “brainstorming”. 
5. Escolha do critério para determinar melhor alternativa; 
� Função central da tomada de decisão é a escolha entre várias alternativas; 
� Como fazer a escolha? CRITÉRIOS…pior, regular, melhor…, com o objetivo: 
� Maximizar as riquezas; 
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� Aumentar o lucro líquido; 
� Maior vida útil do equipamento; 
� Minimizar o tempo necessário para atingir o objetivo. 
6. Construção do modelo matemático; 
7. Predizer o resultado (conhecer os resultados de cada alternativa com antecedência); 
8. Escolha da melhor alternativa – consequências numéricas e outras. 
1.6 Sistematização do processo de decisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig1. Diagrama para o processo de decisão (NEWNAM, LAVELLE, 1998). 
� Sabemos que o processo de tomada de decisão só pode começar depois de reconhecida a 
existência de um problema, mas desse ponto em diante, não há uma trajetória fixa para 
escolher a melhor alternativa. Raramente os problemas podem ser resolvidos por uma 
abordagem sequencial, porque, em geral, é difícil completar um elemento do processo sem 
considerar o efeito sobre outros elementos da tomada de decisão. 
1.7 Verificação a Posteriori dos Resultados 
� Em qualquer sistema de operação, é importante verificar se os resultados provenientes de 
uma tomada de decisão atingiram as projeções; 
� Os objetivos de redução e melhoria de projetos foram atingidos? As medidas foram realistas? 
O acompanhamento e apontamento do processo são fundamentais para a verificação da 
tomada de decisão (escolha); 
� Os ajustes de dados devem ser considerados no próximo projeto – por exemplo, MO, modelo 
matemático, tempo de processo (setup, manutenção, substituição de ferramentas). 
1.8 Quando e quem toma a decisão? 
� Conforme o “tamanho” do projeto ($); 
� A alta administração da empresa tem a responsabilidade financeira pela empresa; 
� Os departamentos envolvidos com o projeto devem participar do processo de tomada de 
decisão; 
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� O líder do projeto deve organizar as informações e relatar os passos conforme o cronograma 
de atividades; 
� A definição do objetivo do projeto deve contemplar os responsáveis para a tomada de decisão 
e prazos. 
 
Exercícios: 
1. (PLT pg.16) Uma peça de máquina pode ser fabricada ao custo unitário de $0,40 de material e $0,15 
de MO direta, exigindo um investimento de $500.000 em máquinas. Um pedido compreende 3 milhões 
de peças. Ao meio caminho da execução do pedido, pode-se introduzir um novo processo de 
fabricação que reduz os custos unitários para $0,34 de material e $0,10 de MO direta – mas exigiria 
um equipamento adicional que custa $100.000. 
A empresa utiliza o fator ‘2,5’ para cálculo de custos com MO em virtude dos encargos trabalhistas. 
Deve-se manter o processo atual ou investir $100.000 para reduzir os custos (material e MO direta)? 
 
Resolução (1): 
 
ATUAL NOVO 
Material ($) 0,40 0,34 
MO Direta ($) 0,15 0,10 
Qtd de peças 1.500.000 
 
 
ATUAL NOVO 
Máquina Adicional 100.000,00 
Custo do Material 600.000,00 510.000,00 
MO Direta 225.000,00 150.000,00 
Outros custos (X 2,5) 562.500,00 375.000,00 
Total 1.387.500,00 1.135.000,00 
 
R.:1 – Conforme as premissas adotadas, considerando os valores de MO direta, a decisão será mudar o 
processo de fabricação. A aquisição do novo equipamento vai aumentar asreceitas da produção em $ 
252.500. 
2. No planejamento de um armazém frigorífico, as especificações exigem uma transferência máxima de 
calor, através das paredes do armazém de 30.000 J/h por m2 de parede quando há uma diferença de 
temperatura de 30 oC entre a superfície interna e a superfície externa do isolamento. Os dois materiais 
isolantes em estudo são: 
Material Isolante Custo por m3($) Condutividade J m/m2 oC h 
Lã Mineral 12,50 140 
Espuma isolante 14,00 110 
 
Qual material isolante deve ser escolhido? 
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Dados: 
 
Q = Transferência de calor em J/h/m2 
K = Condutividade em J m/m2 oC h 
∆t = Diferença de temperatura entre as superfícies em oC 
L = Espessura do material isolante 
 
 
3. Uma firma está planejando fabricar um novo produto. Segundo o departamento de vendas, a 
quantidade que pode ser vendida depende do preço de venda. Na medida em que o preço de venda 
aumenta, a quantidade vendida diminui. Numericamente, a firma estima: 
P = $35,00 – 0,02Q (P = Preço, Q = quantidade vendida); 
Por outro lado, a gerência estima que o custo médio de produção e venda do produto diminuirá à medida 
que a quantidade vendida aumentar. A gerência estima: 
C = 4,0 Q + $8.000,00 (C = custo de produção); 
A gerência pretende fabricar e vender uma quantidade do produto que maximize o lucro, isto é, tal que a 
receita menos o custo seja o máximo. Qual quantidade deve ser produzida e vendida a cada ano? 
 
 
2. JUROS E EQUIVALÊNCIA (PLT pg.29) 
� A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do 
tempo. O seu objetivo é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e 
saída de dinheiro de caixa em diferentes momentos; 
� Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma a coisa. Em princípio, 
uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã; 
� Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual 
deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. 
2.1 Juro 
� É a remuneração do capital; 
� A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator 
capital utilizado durante certo período de tempo; 
� As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: 
� O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação) – representado pela 
incerteza com relação ao futuro; 
� A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação; 
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� O capital emprestado/aplicado – os juros devem gerar um lucro ou ganho ao 
proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado 
período de tempo. 
2.2 Diagrama do fluxo de caixa 
� Os movimentos monetários são identificados por um conjunto de entradas e saídas de caixa, 
definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da 
matemática financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital; 
Esquema gráfico: 
 
� Linha horizontal: escala de tempo, períodos. 
� Linhas verticais (setas): entradas (recebimentos), saídas (aplicações). 
 
2.3 Critérios de Capitalização 
� Os critérios de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente 
incorporados ao capital no decorrer do tempo; 
 
3. JUROS SIMPLES (PLT pg.31) 
� Os juros incidem sobre o capital inicial da operação – progressão aritmética (linear). O regime 
de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. 
Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros; 
J = P.i.n 
O montande será: F = P + P.i.n 
F = P(1 + i.n) (1) 
 
Obs: (J:juros, P:valor presente (capital), i: taxa de juros, n: períodos de capitalização, F: valor futuro ou montante). 
 
Exercícios: 
1. Uma pessoa concordou em emprestar a um amigo $5.000 pelo prazo de cinco anos, à taxa de juros 
simples de 8% ao ano. Qual é o valor dos juros que ela vai receber? Quanto o amigo lhe pagará ao 
final de cinco anos? 
Resposta: 
J = P.i.n → J = 5.000 x 0,08 x 5 = 2.000; F = P + J → F = 5.000 + 2.000 = 7.000, ou: 
F = P (1 + i.n) → F = 5.000 (1 + 0,08x5) = 7.000 
R1) O valor dos juros será de $2.000 e o valor total no final de cinco anos será de $7.000. 
 
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2. Um capital de $80.000 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Determinar o valor dos 
juros acumulados neste período (capitalização simples). 
 
3. Um comerciante tomou empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove 
meses. Ao final desse período calculou $270.000 o total dos juros incorridos na operação. Determinar 
o valor do empréstimo. 
 
4. Um capital de $40.000 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento 
financeiro de $9.680. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por essa operação. 
 
5. Uma aplicação de $250.000, rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de 
determinado período, juros no valor de $27.000. Calcular o prazo da aplicação. 
 
6. Uma dívida de $900.000 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao 
mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor para o pagamento 
antecipado (capitalização simples). 
 
4. JUROS COMPOSTOS (PLT pg.38) 
� Os juros incidem sobre o saldo apurado no início do período correspondente – progressão 
geométrica (exponencial). Os juros gerados a cada período são incorporados ao valor 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte. O regime de juros compostos é o mais 
comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do cotidiano. 
i) No período ‘1’, temos: F1 = P + P.i = P(1+i); 
ii) No período ‘2’, temos: F2 = P(1+i) + i.P(1+i) = P(1+i) x (1+i) = P(1+i)2; 
iii) No período ‘n’, temos: F = P(1+i)n; [Valor Futuro = (Valor Presente)(1+i)n] 
 
Assim, o cálculo do montante ou valor futuro aplicando a capitalização de juros compostos é dado por: 
F = P(1+i)n (2) 
Para o cálculo dos Juros, temos: J = P [(1+1)n – 1] 
 
Exercícios: 
1. Qual é o valor de resgate de uma aplicação de $12.000 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de 
juros de 3,5% a.m.? 
Resposta: 
F = P(1+i)n → F = 12.000 (1+0,035)8 → F = 15.801,71 
R1) O valor de resgate da aplicação será de $15.801,71. 
 
2. Se uma pessoa deseja obter $27.500 dentro de um ano, quanto deverá depositar hoje numa 
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros ao mês? 
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3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000 que produz um montante 
de $43.894,63 ao final de um quadrimestre? 
 
4. Uma aplicação de $22.000 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% a.m., um 
montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 
 
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 
4,5% a.m. 
 
6. Se quiser obter $800 em uma conta poupança ao final de 4 anos, à taxa de juro de 5% pago 
anualmente, quanto devo depositar hoje na conta ? 
 
5. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
� Duas ou mais taxas serão equivalentes quando produzirem, para um mesmo capital, aplicado 
por um mesmo período de tempo, montantes idênticos; 
� É particularmente usada em negócios realizados em períodosfracionados de tempo; 
� Juros simples: - seja uma taxa anual de 24%: 
• i (semestral) = 0,24/2 = 0,12 ou 12%; 
• i (trimestral) = 0,24/4 = 0,06 ou 6%; 
• I (mensal) = 0,24/12 = 0,02 ou 2%; 
• i (diária) = 0,24/360 = 0,0007 ou 0,07%; 
 
� Juros Compostos: seja uma taxa anual de 30%: 
ie = (1+i)QT/QQ – 1 (3) 
• i (semestral) = (1+0,30) 1/2 – 1 = 0,1402 ou 14,02%; 
• i (trimestral) = (1+0,30) 1/4 – 1 = 0,0678 ou 6,78%; 
• I (mensal) = (1+0,30) 1/12 – 1 = 0,0221 ou 2,21%; 
• i (diária) = (1+0,30) 1/360 – 1 = 0,0007 ou 0,07%; 
• Juro exato: 365 dias, e juro comercial: 360 dias. 
Exercícios: 
1. Um título com valor nominal (futuro) de $7.200 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 
31,2% a.a., pede-se calcular o valor deste título: 
a) Hoje; 
b) Dois meses antes de seu vencimento; 
c) Um mês após o seu vencimento. 
Resposta: 
a) P = F / (1 + i x n) → P = $7.200 / (1 + 0,312/12 x 4) = $ 6.521,74; 
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b) P2 = 7.200 / ( 1 + 0,312/12 x 2) = $6.844,11 
c) F5 = P (1+ i x n) → F5 = 7.200 (1 + 0,312/12 x 1) = $7.387,20 
 
2. Para uma taxa de 48% ao semestre, quais são as respectivas taxas equivalentes (juros compostos)? 
a) Ao ano; 
b) Ao mês; 
c) Ao dia; 
 
6. OUTRAS FÓRMULAS DE JUROS (PLT pg.47) 
6.1 Séries Uniformes de Pagamentos (Juros compostos) 
� Frequentemente situações envolvem uma série uniforme de pagamentos/recebimentos. 
Empréstimos para a compra de automóveis, hipotecas e outros empréstimos são estruturados 
em uma série uniforme de pagamentos; 
� ‘A’: anuidade de um recebimento ou desembolso, ao fim dos períodos, em uma série uniforme, 
prolongando-se por n períodos, onde a série é equivalente a ‘P’ ou ‘F’ e a taxa ‘í’ de juro; 
� ‘PMT’ termo também utilizado para ‘A’ (anuidade em série uniforme); 
� Dedução: 
 
 
� No caso geral para n anos, temos: F = A(1+i)n-1 + … + A(1+i)3 + A(1+i)2 + A(1+i) + A [1] 
Multiplicando por (1+i): (1+i)F = A(1+i)n + … + A(1+i)4 + A(1+i)3 + A(1+i) 2 + A(1+i) [2] 
Colocando A em evidência e subtraindo a equação [1] de [2], obtemos: 
iF = A[(1+i)n – 1], resolvendo temos (valor futuro para série uniforme): 
 
 
 
Exemplo 1: 
Uma pessoa deposita $500 em uma instituição financeira ao fim de cada ano, durante cinco anos. A 
instituição paga taxa de 5% a.a. Qual será o montante acumulado ao final de cinco anos, após o quinto 
depósito? 
 
F = 500 { [(1+0,05)5 – 1] / 0,05 } → F = 2.762,82 
R.: O montante acumulado no final do quinto ano será de $2.762,82. 
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� As fórmulas para séries uniformes de pagamentos em juros compostos são: 
 
a) Valor presente: 
 (4) 
 
b) Recuperação de capital: 
 (5) 
c) Valor futuro: 
 (6) 
d) Fundo de amortização: 
 (7) 
 
Exercícios: 
1. Uma pessoa deposita $2.500 em um banco ao fim de cada ano, durante 5 anos. A instituição paga a 
taxa de 6% de juros a.a. Qual será o montante acumulado no final de 5 anos após o quinto depósito? 
2. Jim leu no jornal que era possível comprar por $1.000 à vista, um lote de terreno de dez acres (1acre 
= 4.047 m2). Jim decidiu economizar uma importância constante no final do mês, de modo a ter os 
$1.000 ao cabo de um ano. A instituição de crédito local para a taxa de juros de 6% a.a., capitalizada 
mensalmente. Quanto Jim deve depositar ao mês? 
3. Em 1º de Janeiro uma pessoa deposita $5.000 em um banco que paga a taxa de 8% de juro a.a. O 
depositante deseja retirar todo o dinheiro em 5 parcelas iguais ao final de cada ano, a começar a partir 
de 31/Dez do primeiro ano. Quanto pode retirar a cada ano? 
4. Um investidor possui um contrato que lhe dá direito sobre o uso de certa máquina. O contrato prevê 
recebimentos de $140 ao final de cada mês, durante 5 anos. O primeiro pagamento vence daqui a um 
mês e o Investidor propõe vender o contrato hoje por $6.800. Se o leitor pode aplicar seu dinheiro à 
taxa de juro de 1% a.m., aceitaria ou rejeitaria a oferta do investidor? 
 
 
 
7. SÉRIES EM GRADIENTE ARITMÉTICO (PLT pg.57) 
� Há muitas situações em que a série de fluxo de caixa não é formada por um valor constante 
‘A’, e sim por uma série uniformemente crescente; 
� Esta série é utilizada, algumas vezes, para se estimar gastos com manutenção, 
principalmente em equipamentos mecânicos, que com o passar do tempo, normalmente 
necessitam de maiores desembolsos da empresa, para mantê-los funcionando 
adequadamente; 
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� O fluxo de caixa é ilustrado a seguir: 
 
E, pode ser resolvido em dois componentes: 
 
Fazendo o valor do primeiro pagamento na série de gradiente aritmético igual a zero, temos uma equação 
para P’e P’’: P = P’+ P’’; 
 
� O gradiente aritmético é uma série de fluxos de caixa crescentes (linear); 
A série gradiente aritmético pode ser vista como uma série de fluxos de caixa individuais: 
F’+ F’’ + F’’’’ +…; ou: F = G(1+i)n-2 + 2G(1+i)n-3 + … + (n-2)(G)(1+i)1 + (n-1)G {1} 
Multiplicando {1} por (1+i) e colocando G em evidência: 
(1+i)F = G[(1+i)n-1 + 2(1+i)n-2 + … + (n-2)(1+i)2 + (n-1)(1+i)1 ] {2} 
 
Reescrevendo {1} e substituíndo em {2}, temos: iF = G[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + … +(1+i)2 + (1+i) + 1] - nG 
Na série uniforme, na dedução de valor futuro… 
[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + …+(1+i)2 + (1+i)1 + 1] = [(1+i)n -1] / i 
Assim, temos: 
 
Multiplicando, pelo fator de valor presente de pagamento único, temos o valor presente de série em 
gradiente aritmético será dado por: 
 (8) 
� A série uniforme de série em gradiente aritmético será: 
 
 (9) 
 
 
 
→ 
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Exercícios: 
1. Uma pessoa comprou um automóvel novo, e quer economizar o suficiente para pagar a manutenção 
do carro durante os cinco primeiros anos. Estima-se que o custo de manutenção de um carro seja: 
 
Suponha que os custos de manutenção devam ser pagos ao fim de cada ano e que o banco pague a taxa 
de juro de 5% a.a. Quanto deve ser depositado no banco agora? 
 
Resposta: P = P’ + P’’ = 519,54 + 247,28 = 766,82 
R.: Deve ser depositado no banco o valor de $766,82. 
 
 
2. As despesas de manutenção de uma peça da máquina XYZ são: 
 
Qual é o custo de manutenção anual uniforme equivalente, com base na taxa de juros de 6% a.a.? 
 
 
3. Uma fábrica de máquinas para papel instalou novas máquinas de usinagem. O custo inicial de 
manutenção e reparos será alto, mas deve diminuir no decorrer do tempo. O custo previsto para os 
quatro anos iniciais será de: Ano 1 = $ 24.000, Ano 2 = $18.000, Ano 3 = $12.000 e Ano 4 = $6.000. 
Qual será o custo de manutenção e reparos anual equivalente, se a taxa de juro é de 10% a.a.? 
 
 
4. Calcule o calor de P no diagrama abaixo, à taxa de juros de 10% a.a. 
 
 
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8. SÉRIES EM GRADIENTE GEOMÉTRICO (PLT pg.63) 
� O gradiente aritmético é aplicável somente nos casos em que a variação de um recebimento 
ou de um pagamento, de um período para outro, é uma quantia fixa; 
� Há situações em que a variação de um período para outro é uma taxa constante “g”. Essa 
série é chamada de série gradiente geométrico (exponencial); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor presentede uma série em Gradiente Geométrica: 
Temos: An = A1(1+g)n-1 e Pn = An(1+i)-n 
Assim, Pn = A1(1+g) n-1 (1+i)-n, que pode ser escrito: 
 
 
 
Para toda a série em gradiente geométrico, para i ≠ g: 
 
 (10) 
 
No caso especial em que i = g, temos 
 
(11) 
 
 
P 
A1 
A2 
A3 
An-1 
An 
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Exercício: O custo de manutenção de um automóvel é de $100,00 no primeiro ano e cresce a taxa 
uniforme, g, de 10% ao ano. Qual é o valor presente do custo dos cinco primeiros anos de manutenção, a 
uma taxa de juros de 8% a.a.? 
Tabela: 
Ano Fluxo de Caixa 
1 $100,00 
2 $110,00 
3 $121,00 
4 $133,10 
5 $146,41 
 
Resp.: $480,42.