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CURSO DE CÁLCULO LUÍS GUSTAVO DONINNELI MENDES

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de semi-latus rectum.
• Num novo sistema cartesiano (x, y) em que o ve´rtice P0 esta´ em (x, y) = (h, k)
e os focos esta˜o na reta y = k, a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
se escreve como:
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
que expandido da´ uma expressa˜o do tipo:
a1x
2 + a2x+ a3y + a4y
2 + a5 = 0.
Em Exerc´ıcios pode se pedir para, a partir de uma equac¸a˜o de elipse do tipo
a1x
2 + a2x+ a3y + a4y
2 + a5 = 0
determinar focos, eixos e a excentricidade.
Tambe´m o papel de x e y pode estar trocado.
• A pista para chegar na elipse na forma (x−h)2
a2
+ (y−k)
2
b2
= 1 esta´ em completar
os quadrados, ou seja, agrupar os termos em x separadamente dos em y e
forc¸ar a parecer binoˆmios (x− h)2 e (y − k)2
Definic¸a˜o 2.4. A coˆnica do caso 1 < e da Afirmac¸a˜o 2.2 e´ chamada hipe´rbole e tem
simetria4 no eixo x e no eixo y.
Um reta vertical por F1 = (
√
a2 + b2, 0) intersecta a elipse em dois pontos
(
√
a2 + b2,±b
2
a
).
A distaˆncia de F1 a cada um deles, que e´
b2
a
, e´ o semi-latus rectum da hipe´rbole.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
Seja enta˜o R ∈ r o pe´ da perpendicular a r trac¸ada desde F . Considere o segmento
de reta RF .
Afirmo que existe apenas um ponto5 P0 no segmento RF tal que
P0F = e · P0 r.
De fato, se identificamos a reta RF com os Reais, e se usamos a coordenada 0
para R e f > 0 para F , queremos resolver a equac¸a˜o:
f − x = e · (x− 0) = e · x,
o que da´:
(e + 1) · x = f,
cuja u´nica soluc¸a˜o e´ x0 =
f
e+1
. Noto que 0 < x0 < f , pois e > 0.
4Da´ı se obtem que poderia ser definida tambe´m com base num segundo foco F2 := (−
√
a2 + b2, 0)
como o foi com base em F1 := F = (
√
a2 + b2, 0).
5Sera´ chamado de ve´rtice
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 261
Escolho como sistema cartesiano de coordenadas (x, y) aquele que tem origem em
P0, eixo horizontal P0F (orientado de R para F ) e eixo vertical a perpendicular a
P0F por P0.
Nesse sistema, P0 = (0, 0) e se ρ := P0r > 0 a diretriz e´
x = −ρ e F = (eρ, 0).
Ademais, pela sua Definic¸a˜o, qualquer ponto P = (x, y) da coˆnica verifica:√
(x− eρ)2 + y2 = e ·
√
(x+ ρ)2,
pois PF =
√
(x− eρ)2 + y2 e Pr = √(x+ ρ)2. Portanto os pontos da coˆnica satis-
fazem:
(x− eρ)2 + y2 = e2 · (x+ ρ)2,
ou seja, apo´s simplificar:
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0.
Caso e = 1:
Nesse caso a equac¸a˜o acima vira:
4ρ · x = y2,
com F = (ρ, 0) e a diretriz vira x = −ρ.
Caso 0 < e < 1:
Nesse caso podemos dividir a equac¸a˜o
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0
por 1− e2 obtendo:
x2 − 2eρ
1− e · x+
y2
1− e2 = 0.
Introduzo uma constante a e depois uma b pela regra:
a :=
eρ
1− e e b :=
√
a2 · (1− e2).
Ja´ e´ bom notar que:
0 < b < a, pois 0 < 1− e2 < 1.
Enta˜o a u´ltima equac¸a˜o vira:
x2 − 2ax+ a
2
b2
· y2 = 0
que dividida por a2 da´:
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0.
Caso 1 < e: Nesse caso, analogamente ao que fizemos no Caso anterior, mas com
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0
obtemos a equac¸a˜o:
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 262
�
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.2)
No caso 0 < e < 1 ja´ temos a equac¸a˜o
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0
para a coˆnica, onde
a :=
eρ
1− e > 0.
Portanto vemos que essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em
P1 := (2a, 0).
Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:
C := (a, 0).
Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso esta-
belec¸amos um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:
x = x− a e y = y.
Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:
(x+ a)2
a2
− 2
a
· (x+ a) + y
2
b2
= 0,
ou seja:
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:
eρ− a = eρ− eρ
1− e = −
e2ρ
1− e =
= −
√
e4ρ2
1− e = −
√
e2ρ2 − e2ρ2(1− e2)
1− e =
= −
√
e2ρ2
(1− e)2 −
e2ρ2(1− e2)
(1− e)2 =
= −
√
a2 − b2.
Das duas primeiras igualdades acima temos:
eρ− a = −ae
e do anterior:
e =
√
a2 − b2
a
.
Ja´ no caso 1 < e temos a equac¸a˜o
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 263
para a coˆnica.
Portanto essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em
P1 := (−2a, 0).
Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:
C := (−a, 0).
ρ ρ
a a
C
r
F
r ’ 
F ’ 
Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso usamos
um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:
x = x+ a e y = y.
Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:
(x− a)2
a2
+
2
a
· (x− a)− y
2
b2
= 0,
ou seja:
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:
eρ+ a = eρ+
eρ
e− 1 =
e2ρ
e− 1 =
=
√
e4ρ2
e− 1 =
√
e2ρ2 + e2ρ2(e2 − 1)
e− 1 =
=
√
e2ρ2
(e− 1)2 +
e2ρ2(e2 − 1)
(e− 1)2 =
=
√
a2 + b2.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 264
A simetria no eixo x da equac¸a˜o x
2
a2
− y2
b2
= 1 indica que a hipe´rbole poderia ser
definida em relac¸a˜o a um foco F ′ = (−√a2 + b2, 0) e uma diretriz r′, como mostra a
Figura acima.
A relac¸a˜o e =
√
a2+b2
a
e´ imediata das definic¸o˜es de a e b.
�
Uma observac¸a˜o final. Como para as elipses
e =
√
a2 − b2
a
e para as hipe´rboles
e =
√
a2 + b2
a
,
vemos que as expanso˜es/contrac¸o˜es dadas por
φ(x, y) = (λ · x, λ · y), λ > 0
na˜o mudam a excentricidade. A figuras a seguir mostram elipses e hipe´rboles com a
mesma excentricidade:
y
2
4
x
0
100 5
-4
-2
-10 -5
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 265
Figura: Elipses de excentricidade igual a e =
√
9−1
3
y
2
4
0
-4x
10-10
-2 15-5 0-15 5
Figura: Hipe´rboles de excentricidade igual a e =
√
9+1
3
Voltaremos ao estudo das coˆnicas na Sec¸a˜o 7 do Cap´ıtulo 39, onde as descrevere-
mos em coordenas polares. Papel especial sera´ desempenhado pelas elipses.
3. A Para´bola e sua propriedade refletiva
A para´bola tambe´m aparecera´ com destaque mais adiante, na Sec¸a˜o 8 do Cap´ıtulo
35, associada a` bal´ıstica.
Um dos casos mais simples em que a reta tangente muda de acordo com o ponto
escolhido no gra´fico e´ o caso das para´bolas.
Mesmo assim ja´ podemos obter algumas informac¸o˜es interessantes, como o mostrara˜o
as Sec¸o˜es seguintes, desde que soubermos calcular essas tangentes.
Afirmac¸a˜o 3.1. Um ponto P satisfaz a equac¸a˜o
y = Cx2, C ∈ R
se e somente se P equidista da reta horizontal y = − 1
4C
e do ponto F = (0, 1
4C
)
(chamado de foco).
Demonstrac¸a˜o.
Para provarmos isso, basta usarmos o caso e = 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, trocando x
por y e fazendo C = 1
4ρ
.
Mas tambe´m podemos fazer uma conta expl´ıcita, como segue.
Temos para P = (x, Cx2):
PF =
√
(x− 0)2 + (Cx2 − 1
4C
)2 =
=
√
x2 + C2x4 − x
2
2
+
1
42C2
=
3. A PARA´BOLA E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 266
=
√
C2x4 +
x2
2
+
1
42C2
=
=
√
(Cx2 +
1
4C
)2
e a distaˆncia de P ate´ a reta y = − 1
4C
e´ dada pelo tamanho√
(Cx2 +
1
4C
)2.
Reciprocamente, se P = (x, y) satisfaz√
x2 + (y − 1
4C
)2 =
√
(y +
1
4C
)2
enta˜o
x2 + (y − 1
4C
)2 = (y +
1
4C
)2
de onde
x2 + y2 − y
2C
+
1
42C2
= y2 +
y
2C
+
1
42C2
,
de onde:
x2 =
y
C
e y = Cx2.
�
Considere enta˜o a para´bola y = Cx2, com foco F := (0, 1
4C
) e reta diretriz hori-
zontal y = − 1
4C
.
Dado um ponto P = (x, Cx2) qualquer de seu gra´fico, denote p sua a projec¸a˜o
vertical na reta diretriz:
p := (x,− 1
4C
).
Afirmac¸a˜o