Al Linear I Lista 3

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1 – Seja ܸ = ℝଷ. Mostre que ܹ é subespaço de ܸ, onde: 
 
a) ܹ = {(ܽ,ܾ, 0)|ܽ, ܾ ∈ ℝ}; 
b) ܹ = {(ܽ, ܾ, ܿ)|ܽ + ܾ + ܿ = 0}. 
 
2 – Seja ܸ = ℝଷ Mostre que ܹ não é subespaço de ܸ, onde: 
 
a) ܹ = {(ܽ,ܾ, ܿ)|ܽ ≥ 0}; 
b) ܹ = {(ܽ, ܾ, ܿ)|ܽଶ + ܾଶ + ܿ² ≤ 1}. 
 
3 – Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial 
indicado. 
 
a) ܹ = {(ݔଵ,ݔଶ,ݔଷ) ∈ ℝଷ|ݔଷ = ݔଵ + ݔଶ}; 
b) ܹ = {݂:ℝ⟶ ℝ|݂(−ݔ) = −݂(ݔ),∀ݔ ∈ ℝ}. 
 
4 – a) Verifique se o subconjunto ܹ = {ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ	 ∈ ଶܲ(ℝ)|ܾ = ܽ + ܿ} 
é subespaço vetorial de ଶܲ(ℝ). 
 
b) Expresse o vetor ݓ = ݔ² + 2ݔ + 1	 ∈ ܹ como combinação linear dos vetores: 
2 ² 3u x x   e ² 5 6v x x    . 
 
5 – a) Determine o espaço W de ܯଶ×ଶ(ℝ) gerado pelos vetores: 
 
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1 0 1 1 1 5
, X , X , X e X
0 1 2 1 1 1 6 3 1 0
X
          
                         
 
 
b) Determine o vetor 
2 4
1 1
w w    
. Justifique. 
6 – Sejam U e ܹ os seguintes subespaços de ℝସ: 
 
ܷ = {(ݔଵ,ݔଶ, ݔଷ,ݔସ) ∈ ℝସ|ݔଶ + ݔଷ + ݔସ = 0} 
e 
ܹ = {(ݔଵ, ݔଶ,ݔଷ,ݔସ) ∈ ℝସ|ݔଵ + ݔଶ = 0,ݔଷ = 2ݔସ} 
 
Encontre a dimensão e uma base de 
 
a) ܷ 
b) ܹ 
c)	ܷ +ܹ 
d) ܷ ∩ W 
 
7 – Sejam 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Álgebra Linear 
Lista 03 
Prof.ª Rose P. Maria 
 
ଵܹ = {(ݔଵ,ݔଶ,ݔଷ,ݔସ) ∈ ℝସ|ݔଵ + ݔଶ = 0,ݔଷ − ݔସ = 0} e 
ଶܹ = {(ݔଵ,ݔଶ,ݔଷ, ݔସ) ∈ ℝସ|ݔଵ − ݔଶ −	ݔଷ + ݔସ = 0} 
 
subespaços de ℝସ. 
 
a) Determine ଵܹ ∩ ଶܹ. 
b) Dê uma base para ଵܹ ∩ ଶܹ. 
c) Determine ଵܹ + ଶܹ. 
d) ଵܹ + ଶܹ = ℝସ? 
 
8 – Dados os subespaços vetoriais do ℝଷ: 
 
ଵܹ = [(1,−1,2), (2,1,1)]	݁	 ଶܹ = {(ݔ,ݕ, ݖ)ℝଷ|3ݔ − ݕ − ݖ = 0}. 
 
Determine uma base e uma dimensão de: 
 
a) ଵܹ ∩ ଶܹ b) ଵܹ + ଶܹ 
 
9 – Considere ܷ = {(0,ݕ, 0)|∀ݕ ∈ ℝ} e ܹ = [(−1,0,3)] subespaços vetoriais do 
ℝ³. 
 
Determine: 
 
a) Os subespaços vetoriais U W 
b) Se o subespaço ℝ³ = U⨁W. (Justifique)