Trabalho Cálculo Vetorial - Pirâmide

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PIRÂMIDES
RUBENS VIANA DE ANDRADE
NOME
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ARACAJU
ABRIL 
2015
RUBENS VIANA DE ANDRADE
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PIRÂMIDES
 Pesquisa elaborada por Rubens, Vanessa, Shwelen, Simonecley, Luciana e Micheli . Solicitado pelo professor Msc. Renato Mitsuyoshi Umeda, da disciplina Cálculo Vetorial, do curso de Engenharia de Produção da Faculdade Mauricio de Nassau. 
Faculdade Maurício de Nassau
ARACAJU
ABRIL
2015
Pirâmides
	A pirâmide é formada pela reunião dos triângulos laterais que unem a um ponto os vértices de um polígono convexo qualquer.
Uma pirâmide possui:
Uma base, n faces laterais, n + 1 faces (total), 2n arestas e n + 1 vértices.
Para confirmar a relação de Euler temos que:
V – A + F = 2 , onde n + 1 – 2n +n + 1 = 2.
A altura de uma pirâmide é a distância entre o ponto de encontro das arestas laterais, com o plano que sustenta a base da pirâmide.
A superfície total de uma pirâmide é dada pela soma dos triângulos laterais com a área do polígono da base.
A pirâmide recebe o nome a partir de sua base, uma pirâmide de base triangular, ou quadrada recebem o nome, respectivamente de, pirâmide de base triangular, pirâmide de base quadrada, etc.
Pirâmide regular é aquela onde, sua base é um polígono regular e a projeção do ponto que une todas as faces na base fica no centro da base.
Para encontrarmos a altura de uma pirâmide muitas vezes é necessário encontrar a altura do triangulo lateral da pirâmide, a esta altura é dado o nome de apótema.
      Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
Elementos da pirâmide
        Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados  do polígono
arestas laterais: os segmentos 
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano
 
Classificação
      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
        Veja:
	
	
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
	
	
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.
	
	
Secção paralela à base de uma pirâmide
        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
 
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
	
	
    Assim, temos:
 A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
	
	
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
	
	
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
        Para uma pirâmide regular, temos:
em que:
 
Volume
Demonstração da Fórmula do Volume da Pirâmide de Base Circular
Vamos considerar primeiramente um caso particular de pirâmide: o cone.
Considere a área sombreada sob a curva f (x) = ax:
Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos este triângulo 360º em torno do eixo x, observamos que a figurar formada é um cone com vértice na origem:
Para encontrarmos o volume deste cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo ycom larguras infinitesimais dx e raio y:
O Volume de um Cilindro é dado por:
Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a y e sua altura é igual adx, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:
Podemos dizer que o cone é formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde o raio y é variável para cada cilindro. A soma destes cilindros será dada pela integral definida:
Que equivale a dizer:
onde f (x) é a curva f (x) = ax, x0 e x1 são os limites da área sob a curva (o vértice e o centro da base do cone gerado, respectivamente).
Temos então que o volume do cone é dado por:
mas f (x) = ax, portanto:
Integrando em relação a x, temos:
mas como x0 = 0 (origem), temos:
Em contrapartida temos que:
Substituindo ( II ) em ( I ), obtemos:
Mas y1 é o raio da base no cone e x1 é sua altura. Então podemos reescrever o volume como:
Se a área da base do cone é:
Temos que:
Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.
 
Exemplo 1: Dado o cone abaixo, calcular seu volume.
Primeiramente, vamos remanejar o cone acima para melhor entendimento:
Se utilizarmos a fórmula pronta para cálculo de volume de pirâmide, temos:
Que é o mesmo valor encontrado utilizando o conceito de integral definida.
 
Demonstração da Fórmula do Volume da Pirâmide de Base Qualquer
Consideremos a pirâmide de base quadrada abaixo:
Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao eixo y com alturas infinitesimais dx:
O volume deste prisma de altura infinitesimal é dado por:
Mas l / 2 é igual a y, então:
Podemos dizer que o volume da pirâmide é constituído por infinitos prismas de alturas infinitesimais dx, onde os lados l são variáveis para cada prisma.
A soma destes prismas de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:
Integrando em relação a x, temos:
Mas como x0, então:
Temos que f (x) = ax:
Substituindo (II) em (I), temos:
Mas y1 é a metade da aresta lateral da base da pirâmide e x1é sua altura h:
Como a área de base é l2, então:
Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.
Troncos
 Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
   
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)
	
		AT =AL+AB+Ab
Analisando a pirâmide abaixo, podemos relacionar algumas semelhanças:
Analisamos separadamente o triângulo retângulo:
Por semelhança de triângulos, temos:
Se elevarmos ao quadrado, termos:
Como L2 e l2 são as áreas das bases das pirâmides maior e menor, respectivamente, reescrevemos como:
Denomina-se tronco de pirâmide de bases paralelas a parte da pirâmide limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer desta pirâmide.
O volume V do tronco de pirâmide é obtido pela diferença dos volumes das pirâmides:
Já foi demonstrado como obter o Volume V de uma pirâmide, então temos que:
Utilizando da propriedade da secção transversal, podemos determinar o valor da altura H em função de AB, Ab e h :
Substituindo ( II ) em ( I ), temos:
Que é a fórmula para o cálculo do volume de tronco de pirâmide.