PROVA PRESENCIAL 1 - ANÁLISE MATEMÁTICA

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PROVA PRESENCIAL 1 – ANÁLISE MATEMÁTICA 
 
Gabarito 
Questão 1 
Um estudante deseja calcular o seguinte limite: 
 
Para isso, ele elaborou a seguinte justificativa, composta por duas afirmações e uma 
relação entre elas: 
I. O limite apresentado pode ser calculado por meio da regra de L’Hôpital. 
PORQUE 
II. As funções presentes no numerador e denominador da fração são diferenciáveis 
em x = 0. 
Em relação às afirmações apresentadas pelo estudante, assinale a alternativa 
correta: 
 A) A afirmação II é verdadeira e a I, é falsa. 
B) As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta para a I. 
C) As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
para a I. 
D) As afirmações I e II são falsas. 
E) A afirmação I é verdadeira e a II, é falsa. 
 
Questão 2 
Seja a sequência de números reais dada por 
 
Com relação a essa sequência, complete as lacunas da seguinte afirmação, tornando-
a uma descrição correta a respeito das propriedades da sequência (yn): 
A sequência (yn) é uma sequência ________, porque pode ser classificada como 
________. Além disso, essa sequência é ________, pois o valor absoluto de cada 
um dos seus termos é menor ou igual a ________. 
Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas 
da afirmação anterior, na ordem em que estes devem ser considerados: 
A) não monótona – decrescente – limitada – 1. 
B) não monótona – crescente – ilimitada – 0. 
C) monótona – decrescente – limitada – 1. 
D) monótona – decrescente – limitada – 0. 
E) monótona – crescente – ilimitada – 1. 
 
Questão 3 
O conceito de enumerabilidade pode ser empregado para diferenciar os conjuntos 
numéricos entre si no que diz respeito à infinidade de elementos presentes em cada 
conjunto, favorecendo a identificação de propriedades particulares do conjunto de 
números reais e de seus subconjuntos. 
Com base nesse tema, analise as seguintes afirmações, classificando-as como 
verdadeiras (V) ou falsas (F): 
I. ( ) Todo intervalo de números reais limitado pode ser classificado como um 
conjunto enumerável porque é possível estabelecer uma função injetiva com o 
conjunto de números naturais. 
II. ( ) Existem intervalos de números reais que não podem ser classificados como 
conjuntos enumeráveis, como é o caso do intervalo (-2,2), que consiste em um 
conjunto limitado. 
III. ( ) Todo intervalo não degenerado de números reais pode ser classificado como 
um conjunto não enumerável pela impossibilidade de estabelecer bijeções com o 
conjunto dos números naturais. 
Assinale a alternativa que apresenta todas as classificações corretamente: 
A) I – V; II – V; III – F. 
B) I – F; II – V; III – V. 
C) I – V; II – F; III – F. 
D) I – F; II – F; III – V. 
E) I – V; II – F; III – V. 
Questão 4 
Uma das classes de séries numéricas que podem ser estudadas são as séries 
geométricas, cujos termos são identificados a partir da soma de potências 
envolvendo uma base constante. 
Sejam as séries apresentadas no que segue: 
 
Analisando as séries apresentadas, qual(is) das séries apresentadas pode(m) ser 
classificada(s) como série(s) geométrica(s)? 
A) Apenas as séries Σ xn e Σ yn. 
B) Apenas as séries Σ yn e Σ zn. 
C) Apenas as séries Σ xn e Σ zn. 
D) Apenas a série Σ zn. 
E) Apenas a série Σ xn. 
Questão 5 anulada 
Quando tomamos conjuntos numéricos, ou seus subconjuntos, podemos classifica-
los de acordo com sua cardinalidade, enumerabilidade, características topológicas, 
entre outras. 
Com base nesse tema, considere os conjuntos apresentados no que segue: 
 
O que podemos afirmar a respeito dos conjuntos apresentados? 
A) A união entre os conjuntos B e C é não-enumerável. 
B) A união entre os conjuntos B e C é enumerável. 
C) Os conjuntos B e C são ambos enumeráveis. 
D) O produto cartesiano B x C é enumerável. 
E) Os conjuntos B e C são ambos não-enumeráveis. 
 
Questão 6 
Com base nas características associadas aos conjuntos finitos e infinitos, analise as 
seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): 
( ) Todo conjunto finito pode ser associado, para algum n natural, a algum conjunto 
In = {1, 2, ..., n} por meio de uma função bijetiva. 
( ) Se uma aplicação f: A → B, com A um conjunto finito, for bijetiva, então o 
conjunto B também pode ser classificado como finito. 
( ) Para que um conjunto X seja infinito, X deve ser vazio ou deve ser associado a 
um subconjunto próprio por meio de uma função bijetiva. 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem de cima 
para baixo: 
A) V – V – F. 
B) F – V – F. 
C) V – F – V. 
D) F – V – V. 
E) V – F – F. 
 
Questão 7 
Quando um conjunto apresenta cardinalidade finita, podemos classifica-lo como 
conjunto finito. Dessa classificação podemos identificar àqueles conjuntos cujos 
elementos podem ser listados, diferenciando-os dos infinitos. 
Em relação a esse tema, considere o seguinte conjunto: 
 
O que podemos afirmar a respeito da cardinalidade do conjunto K? 
A) O conjunto K tem cardinalidade igual a 2. 
B) O conjunto K tem cardinalidade igual a 4. 
C) O conjunto K tem cardinalidade igual a 1. 
D) O conjunto K é vazio. 
E) O conjunto K é de cardinalidade infinita. 
 
Questão 8 
Seja o seguinte intervalo de números reais: 
A = [2, 5] 
Em relação a esse intervalo, analise as seguintes afirmações e a relação proposta 
entre elas: 
I. A partir do intervalo A de números reais podemos identificar um subconjunto 
enumerável infinito. 
PORQUE 
II. O conjunto A apresenta cardinalidade finita. 
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta: 
A) A afirmação I é verdadeira e a II, falsa. 
B) As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
para a I. 
C) As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta para a I. 
D) A afirmação II é verdadeira e a I, falsa. 
E) As afirmações I e II são falsas. 
 
Questão 9 
Considerando as relações existentes entre as categorias de intervalos, conforme a 
topologia da reta, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras 
(V) ou falsas (F): 
( ) Todo conjunto compacto pode ser classificado como um conjunto limitado. 
( ) Todo conjunto discreto pode ser classificado como um conjunto limitado. 
( ) Todo conjunto aberto pode ser classificado como um conjunto fechado. 
( ) Todo conjunto limitado pode ser classificado como um conjunto compacto. 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando 
a ordem na qual as afirmações foram apresentadas: 
A) V – V – F – V. 
B) F – V – V – V. 
C) V – F – F – F. 
D) F – F – V – V. 
E) V – V – F – F. 
 
Questão 10 
A respeito das sequências e seus conjuntos de termos, analise as seguintes 
afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): 
( ) Toda sequência de números reais limitada admite um conjunto de termos finito. 
( ) Se uma sequência de números reais limitada admite um conjunto de termos finito 
então a sequência é convergente. 
( ) Se uma sequência de números reais admite um conjunto de termos limitado 
então a sequência é limitada. 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando 
a ordem na qual as afirmações foram apresentadas: 
A) F – V – F. 
B) F – F – V. 
C) V – F – V. 
D) V – F – F. 
E) V – V – F. 
 
Questão 11 
As séries relativas aos números reais podem ser empregadas na aproximação 
numérica, além de serem utilizadas na representação e na aproximação de funções. 
Com base nesse tema, considere a seguinte série de números reais: 
 
Considerando as propriedades da série apresentada, assinale a alternativa que indica 
corretamente a expressão do termo geral da sequência (Sn) das somas parciais ou 
das reduzidas da série Σ xn: 
A) A sequência das somas parciais tem termo geral dado por: 
 
B) A sequênciadas somas parciais tem termo geral dado por: 
 
C) A sequência das somas parciais tem termo geral dado por: 
 
D) A sequência das somas parciais tem termo geral dado por: 
 
E) A sequência das somas parciais tem termo geral dado por: 
 
 
Questão 12 
Analise as seguintes afirmações, relativas aos intervalos de números reais, 
classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): 
( ) O intervalo (-1, 2], em R, pode ser classificado como um conjunto não aberto e 
fechado. 
( ) O intervalo (3, 5), em R, pode ser classificado como um conjunto aberto e não 
fechado. 
( ) O intervalo (-∞,+∞) = R pode ser classificado como um conjunto não aberto e 
fechado. 
( ) O intervalo [0, 1], em R, pode ser classificado como um conjunto não aberto e 
fechado. 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando 
a ordem na qual as afirmações foram apresentadas: 
A) F – F – V – V. 
B) V – V – F – F. 
C) V – V – F – V. 
D) F – V – F – V. 
E) V – F – V – F.