ANÁLISE MATEMÁTICA - AVALIAÇÃO FINAL (OBJETIVA)

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17/07/2021 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Douglas Alberto da Silva Wenglarek (2459185)
Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial ( Cod.:670405) (peso.:3,00)
Prova: 34938450
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. O conceito de conjunto fechado está ligado fortemente ao conceito de ponto aderente, pois
para que um conjunto seja fechado ele deve ser igual ao seu "Fecho" que por sua vez é
composto apenas por pontos aderentes. A respeito dos conjuntos fechados, classifique V
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto.
( ) O conjunto dos números racionais é fechado.
( ) O conjunto (a,b) é fechado.
( ) A união finita de conjuntos fechados é fechado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - F - V.
 b) V - V - F - F.
 c) F - V - F - V.
 d) F - F - F - V.
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2. Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
( ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
( ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número
primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e
somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número
primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e
maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se
que existem infinitos números primos.
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) III - I - II.
 b) II - I - III.
 c) I - III - II.
 d) III - II - I.
3. No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar
objetos etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na
matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma,
podemos definir um conjunto enumerável se:
 a) Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
 b) Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
 c) Ser um subconjunto dos números reais.
 d) Ser o conjunto de partida de uma função linear.
4. Afirma-se que uma sequência é limitada, se existir um número real K, tanto que qualquer
elemento da sequência é sempre menor ou igual a K. A partir disto, há o seguinte
questionamento: ser limitada é uma condição necessária para que uma sequência convirja,
porém não é suficiente, por quê? Baseado neste questionamento, analise possíveis
exemplos que justificam o fato, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e,
em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - F.
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 b) F - F - F - V.
 c) F - F - V - F.
 d) V - F - F - F.
5. Georg Cantor foi o matemático que revolucionou a Teoria dos Conjuntos com seus estudos
sobre conjuntos infinitos. Mostrou, por exemplo, que nem todos os conjuntos infinitos são
iguais, existindo infinitos de tamanhos diferentes. Foi ele também que distinguiu conjuntos
infinitos que podem ou não ser enumeráveis. Podemos dizer que um subconjunto dos
naturais é infinito quando não possui um maior elemento fixo. Assinale a alternativa
CORRETA que possui somente conjuntos infinitos:
 a) O formado pelos números que são produto entre um número natural e o seu inverso
multiplicativo, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das estrelas no universo.
 b) O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto dos
números primos.
 c) O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das
estrelas no universo.
 d) O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos números primos, o formado pelos
números que são produto entre um número natural e o seu inverso multiplicativo.
6. Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto (representado pela variável
x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). Para cada valor de
x, podemos determinar um valor de y, dizemos então que "y está em função de x". 
Acerca das propriedades das funções, analisando a função f(x) = x³- 2x²+ 5x+ 16, assinale a
alternativa CORRETA:
 a) Existe um número real M, tal que f(x) é maior ou igual a M, para todo x.
 b) Existe um número real M, tal que f(x) é menor ou igual a M, para todo x.
 c) Existem 3 números reais M maiores que zero, tal que f(M) = 0.
 d) Existe um número real M menor que zero, tal que f(M) = 0.
7. A adição é uma das quatros operações fundamentais da aritmética. Consiste em adicionar
um ou mais valores tendo um valor como resultado. O número 0 (zero) é um número neutro
na adição, ou seja, somar alguma coisa com nada temos essa alguma coisa. Em termos de
análise matemática podemos mostrar diversas propriedades que justificam as operações
"elementares" que estamos aptos a realizar desde os primeiros anos de nosso estudo. Uma
destas propriedades é a transitividade da adição: Se u, v e w são três elementos de um corpo
ordenado K tais que u < v e v < w, então u < w. Dentre as opções a seguir, indique qual delas
justificam numericamente a propriedade da transitividade:
I) 2 < 3, então 2+4 <3+4
II) 1<5, então 1+5 = 1 + 5
III) 2 < 3 e 3 < 5, então 2 < 5.
IV) 0 + 3 = 1 + 2, pois 2 < 3.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Apenas II.
 b) Apenas IV.
 c) Apenas I.
 d) Apenas III.
8. Uma sequência de números reais pode ser classificada quanto à sua monotonicidade,
crescimento e convergência. Observe a sequência a seguir e assinale a alternativa
CORRETA que apresenta a sua classificação:
 a) Monótona, não crescente e convergente.
 b) Oscilante, decrescente e divergente.
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 c) Não monótona, decrescente e divergente.
 d) Monótona, decrescente e convergente.
9. Ao estudar propriedades elementares do conjunto dos números reais, em particular as
relacionadas à supremo e ínfimo de conjuntos, muitas vezes nos deparamos com
propriedades deste conjunto que nunca antes na educação básica foram abordadas. Por este
fato, para conhecer por completo este conteúdo, devemos analisá-lo com profundidade.
Analisando o conjunto A = {1/n , com n natural}, analise as opções a seguir:
I- O supremo de A é 1.
II- O ínfimo de A é 0.
III- O ínfimo e supremo de A são iguais.
IV- O ínfimo de A tende a zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) As opções III e IV estão corretas.
 c) As opções I e II estão corretas.
 d) As opções I e IV estão corretas.
10.A ideia de sequência e sucessão aparece no cotidiano em muitas situações, nas quais
podemos utilizar processos mais usuais como a progressão aritmética e a progressão
geométrica. Como exemplosdisso, podemos citar a sequência dos três primeiros meses do
ano (janeiro, fevereiro, março), a sequência dos anos, a partir de 1988, nos quais são
realizadas as Olimpíadas (1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 ...), entre outros. Observe as
sequências a seguir e assinale alternativa CORRETA que apresenta aquela que está em
Progressão Geométrica:
 a) (8 ; 6 ; 4 ; 2 ; ... )
 b) (9 ; 0,9 ; 0,09 ; 0,009 ; ... )
 c) (1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ... )
 d) (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )
11.(ENADE, 2005).
 a) Apenas os itens I e III estão certos.
 b) Apenas os itens I e II estão certos.
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 c) Apenas um item está certo.
 d) Todos os itens estão certos.
12.(ENADE, 2008).
 a) 2/3
 b) 1/2
 c) 1/3
 d) 3/4
Prova finalizada com 11 acertos e 1 questões erradas.