APOSTILA 1 MATEMATICA PH

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PRÉ-VESTIBULAR
EXTENSIVO
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
1
Capa_finalizada_cad1_PH_MP_MATEMATICA.indd 2 12/17/13 3:30 PM
PRÉ-VeStiBULaR
EXTENSIVO
manual do Professor
matemÁtica i
1
autor
Luis Felipe Silva Abad
PH_MP_MAT1_C1.indd 1 12/20/13 11:34 AM
Vice-presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Renata Giordano de Menezes, 
Rui Alves Gomes de Sá
Conselho editorial: Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
Mário Ghio Júnior, Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel, 
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Tania Fontolan
Gerência editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Coordenação editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Edição: Denise Favaretto (coord.) 
Assistência editorial: Daniele Brait
Revisão: Adriana Gabriel Cerello (coord.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Tayra Alfonso, 
Thaise Rodrigues, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniela Amaral
Diagramação: Antonio Cesar Decarli, Bruno Rocha Nogueira, 
Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo, 
Flávio Gomes Duarte
Iconografi a: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Carlos Henrique Souza, Douglas Cometti, Ellen Finta, 
Luiz Botter, Tamires Castillo
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Ilustrações: Casa de Tipos
Cartografi a: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Mikhail hoboton Popov/Shutterstock
Projeto gráfi co de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
Todos os direitos reservados por Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino Médio: Livro Mateméatica – Coleção Pré-vestibular 
Extensivo – São Paulo: Sistemas de Ensino Abril Educação 
S. A., 2014
 Vários autores
 1. Ensino médio 2. Manual do professor (Ensino Médio)
99–4425 CDD–373.19
Índices para catálogo sistemático:
1. Ensino integrado: Ensino Médio 373.19
2014
ISBN 978 85 7595 142-2 (PR)
Código da obra 550051114
1ª- edição
1ª- impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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1
cONJUNtOS
página 7
2
FUNÇÕeS
página 11
3
FUNÇÕeS POLiNOMiaiS 
DO 1O e 2O GRaU
página 13
5
FUNÇÃO eXPONeNciaL
página 23
6 FUNÇÃO LOGaRÍtMicapágina 26
manual do Professor 
matemÁtica i
4 FUNÇÃO MODULaRpágina 21
7
ReViSÃO
página 33
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4 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professoro Professor
orientaÇÕes Gerais
Cada disciplina do curso Pré-vestibular Extensivo é composta de 30 módulos, que tra-
zem todo o conteúdo necessário para a realização dos principais exames vestibulares do país.
Os módulos foram criteriosamente planejados, para que cada um deles possa ser 
trabalhado pelos professores em uma semana de aula, segundo a grade mínima de 
tempos sugerida abaixo.
Disciplinas
3a série –
Total de tempos/aulas
Língua Portuguesa I
(Gramática / Literatura)
3
Língua Portuguesa II
(Redação)
2
História 3
Geografia 3
Matemática I 2
Matemática II 3
Física 4
Química 4
Biologia 4
Língua estrangeira
(Língua Espanhola, Língua Inglesa 
ou Língua Francesa)
2
Total 30
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5Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
aPresentaÇÃo
A coleção Pré-vestibular Extensivo traz uma solução para os colégios que buscam excelência na 
preparação dos alunos para os mais diversos concursos vestibulares, sem abrir mão da necessária for-
mação crítica.
O material trabalha todo o conteúdo do Ensino Médio, destacando os tópicos mais importantes 
para a resolução das provas, com ênfase em exercícios. 
No Manual do Professor, indicamos a melhor forma de abordagem desses conteúdos, sugerimos 
as melhores questões a serem resolvidas em sala e apresentamos uma proposta de quadro, para auxiliar 
os professores na montagem de suas aulas.
Com mais de vinte anos de experiência no preparo de alunos que ocupam vagas nas carreiras mais 
concorridas nas universidades do Rio de Janeiro e do Brasil, construímos um método de ensino bastante 
eficaz, com o cuidado de estar sempre em sintonia com aquilo que acontece no mundo.
Num tempo em que os adolescentes são submetidos a uma variada gama de apelos tecnológicos e 
informativos, oferecemos, com esse material, uma ferramenta importante para estimular os alunos a 
desenvolver o gosto pelo estudo.
Acreditamos também que o trabalho em sala de aula pode (e deve) ser complementado com o 
estudo em casa. É fundamental que os professores recomendem aos alunos a resolução de exercícios 
após as aulas, com a disponibilização de gabarito. 
O crescimento só ocorre quando o aluno percebe o que está errando, revisa o conteúdo necessário e 
aprende a resolver questões da maneira correta. É muito importante não deixar lacunas na preparação 
de nossos formandos.
Oferecemos, portanto, uma preparação completa, disponibilizando a professores e alunos os ins-
trumentos necessários para que mais e mais sonhos de aprovação se realizem.
Boas aulas!
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6 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
introduÇÃo
Sabemos que o principal elemento do processo de ensino-aprendizagem é o aluno. Por isso, as aulas devem ser cuidadosa-
mente preparadas para que os estudantes compreendam o conteúdo e suas utilidades e aplicações no mundo em que vivemos. 
As variáveis de uma sala de aula são muitas, cada turma tem suas particularidades e necessidades, de modo que a metodo-
logia de ensino deve adequar-se à realidade de cada grupo.
Diante disso, esse manual não pretende definir um modelo único de trabalho, mas auxiliar o professor na utilização do 
material de Matemática, apresentando sugestões de dinâmicas de aula, de formas de abordagem de cada conteúdo, de exercí-
cios a serem feitos em sala de aula e como tarefa. Ou seja, dando a orientação necessária para uma completa exploração dos 
módulos.
Esperamos que este manual seja útil ao longo de todo o período letivo.
Bom trabalho!
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7Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
1 cONJUNtOS
PartE 1
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de conjunto.
 ◆ Designação de conjuntos.
 ◆ Definir conjuntos numéricos.
 ◆ Detalhar como transformar dízimas periódicas em fração.
 ◆ Subconjunto – Conjunto universo.
 ◆ Conjunto das partes.
Estratégias de aula
Começar a aula dizendo que, intuitivamente, associamos 
à ideia de conjunto as de grupo, coleção ou classe e, à ideia 
de elemento, os objetos que constituem o conjunto.
Notação:
A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... representam os elementos
À ideia de constituir o conjunto associamos o conceito 
primitivo de pertencer. Dizemos então que o elemento per-
tence ao conjunto.
Notação:
[ → pertence
Ó → não pertence
Repare que quando usamos [ ou Ó estamos relacionan-
do sempre um elemento a um conjunto.
 x [ A
 ↓ ↓
elemento conjunto
Ex.: considerando o conjunto A das letras da palavra 
Engenharia, temos:
a [ A, n [ A, p Ó A
Definir os conjuntos numéricos:
 A. Conjunto dos números naturais (N):
N 5 {0, 1, 2, 3, ...}
 B. Conjunto dos números inteiros (Z):
Z 5 {.... 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
Alguns símbolos podem ser utilizados juntos à letra que 
designa o conjunto com a função de eliminar certos elementos:
* : elimina o zero
1 : elimina os negativos
2 : elimina os positivos
Z
1
 5 {0, 1, 2, ...} (inteiros não negativos)
Z
*
1
 5 {1, 2, 3 ...} (inteiros positivos)
Z
2
 5 {..., 23, 22, 21, 0} (inteiros não positivos)
Z
*
2
 5 {..., 23, 22, 21} (inteiros negativos)C. Conjunto dos números racionais (Q):
¤ ¢, *5 5x x a
b
a b Z| ∈ ∧ ∈{ }
Assim, número racional é todo número que pode ser 
escrito na forma de uma fração, com numerador inteiro 
e denominador inteiro e diferente de zero.
São números racionais:
 ◆ Todo número inteiro: 23 [ Q, 0 [ Q, 176 [ Q.
 ◆ Todos os números decimais finitos: 2,71 [ Q, 
8
5
 [ Q, 
20,25 [ Q.
 ◆ Todos os números decimais infinitos e periódicos (dízimas 
periódicas): 0,3333... [ Q, 1,2343434... [ Q.
Admitem-se também as notações Q
1
, Q
2
 e Q* para sub-
conjuntos de Q.
Definir como transformar as dízimas periódicas em fração 
sem haver a necessidade de “memorizar” a regra.
Dízima periódica
As dízimas periódicas são números decimais não exatos 
que apresentam um ou mais algarismos que se repetem in-
definidamente. Estes algarismos que se repetem formam o 
período da dízima.
Dízimas periódicas simples: são aquelas que, após a vír-
gula, só apresentam a repetição do período.
Ex.: 0,222... ; 0,434343...
Para determinarmos a fração equivalente a uma dízima 
periódica simples (geratriz da dízima), devemos multiplicá-la 
por uma potência inteira de 10 de forma que o número obti-
do tenha a mesma parte decimal do primeiro (a vírgula deve 
“saltar” um período) e, em seguida, subtrair um do outro.
Ex.: vamos determinar a geratriz da dízima 0,121212...
 x 5 0,121212... (I)
100x 5 12,121212... (II)
(II) 2 (I): 99x 5 12 → x 12
99
5
O numerador da fração geratriz da dízima periódica 
simples é formado pelo período e o denominador é for-
mado por tantos “noves” quantos forem os algarismos 
do período.
Dízimas periódicas compostas: são aquelas que apre-
sentam, após a vírgula, algarismos que não se repetem. Estes 
algarismos formam o anteperíodo da dízima.
Ex.: 0,217777...; 0,3414141...
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8 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Para determinarmos a geratriz de uma dízima periódica 
composta devemos, primeiramente, multiplicá-la por uma 
potência inteira de 10 de forma que a vírgula “salte” o ante-
período. Em cima deste novo número, aplicamos o mesmo 
método estabelecido para as dízimas periódicas simples.
Ex.: vamos determinar a geratriz da dízima 0,213333....
 x 5 0,21333...
 100x 5 21,333... (II)
1 000x 5 213,333... (III)
(III) 2 (II): 900x 5 192 → x 192
900
16
75
5 5
O numerador da geratriz da dízima periódica com-
posta é a diferença entre o número formado pelos algaris-
mos do anteperíodo e período e o número formado pelo 
anteperíodo. O denominador é constituído por tantos 
“noves” quantos forem os algarismos do período e tan-
tos “zeros” quantos forem os algarismos do anteperíodo.
D. Conjunto dos números irracionais (I):
É o conjunto dos números com representações infinitas, 
não periódicas. Estes números não podem ser representados 
na forma de fração, pois nesse caso teriam representações 
decimais finitas e periódicas.
Ex.:
2 1 41425 , ...
p 5 3,14159...
e 5 2,7182... (Número de Euler)
0,1010010001...
Racionais ∩ Irracionais 5 [
E. Conjunto dos números reais (R):
É o conjunto obtido da união do conjunto dos números 
racionais com o dos números irracionais.
R 5 {x | x [ Q ou x é irracional}
Mais tarde estudaremos o conjunto dos números comple-
xos (C), que compreende os números reais e os imaginários.
N Z
Q
R C
I
Subconjunto
Diz-se que um conjunto A é subconjunto ou parte de B 
se todos os elementos de A são também elementos de B, ou 
seja, se A está contido em B.
Ex.: A 5 {1, 2}
 B 5 {1, 2, 3, 4}
A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A)
A
1
2
3
4
B 
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto 
inclusive nele próprio ([ , A e [ , [)
Ressaltar o fato de que A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A) COMPARA DOIS CONJUNTOS.
Conjunto das partes
Dado um conjunto A, denomina-se conjunto das par-
tes de A, representado por P(A), ao conjunto formado pelos 
subconjuntos de A.
Ex.: A 5 {1, 2, 3}
 P(A) 5 {[, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Número de subconjuntos
Seja um conjunto A com n elementos:
A 5 {a, b, c, ..., n}
Calculemos de quantas formas podemos formar um sub-
conjunto, partindo da ideia que para cada elemento temos 
duas situações possíveis, participar ou não participar do re-
ferido subconjunto.
2
a
2
b
2
c
....
2
n
2 subconjuntos distn? ? 5 iintos.
no de subconjuntos de A 5 2n
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (PUC) O valor de 
1,777...
0,111...
é:
Solução:
 x 5 1,777...
 10x 5 17,777...
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo: 9x 5 16 → x
16
9
5
 y 5 0,111...
 10y 5 1,111...
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo: 9y 5 1 → y
1
9
5
 Logo, 
1,777...
0,111...
16
9
1
9
4
3
1
3
45 5 5
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9Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
2 (UFRJ) Sejam x 5 1 e y 5 0,999... (dízima periódica). Quais 
das afirmações abaixo são verdadeiras?
a) x , y
b) x . y
c) x 5 y
 Justifique rigorosamente sua resposta.
Solução:
 y 5 0,999...
 10y 5 9,999..
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo : 9y 5 9 → y 5 1
 Logo, x 5 y
3 (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-
-1891):
Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.
Leopold Kronecker (1823-1891)
 Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, 
uma das grandes invenções humanas.
 Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é cor-
reto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um núme-
ro irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número 
irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos 
um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sem-
pre um número inteiro negativo.
Solução:
 Dar contraexemplos
a) (F) 2 2 2? 5
b) (F) 2 2 1 2 5 0
c) (F) 3,14... ou 10 3,6...π 5 5
d) (V)
e) (F) (21) 2 (22) 5 1
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir as operações entre os conjuntos.
 ◆ Cálculo do número de elementos da união entre dois con-
juntos.
 ◆ Representação dos Intervalos e Operações.
Estratégias de aula
União
A ∪ B 5 {x | x [ A e x [ B}
A B
Interseção
A ∩ B 5 {x | x [ A e x [ B}
A B
Diferença
A 2 B 5 {x | x [ A e x Ó B}
B 2 A 5 {x | x [ B e x Ó A}
A B
A – B
A B
B – A
Complementar
Caso particular de diferença usado quando um conjunto 
está contido no outro.
A , B ⇒ CBA 5 B 2 A (complementar de A em relação 
a B)
C
B
A
A
B
Se o conjunto maior for o universo podemos ainda deno-
tar de uma outra maneira.
A CA C A U A
U
5 5 5 2
A
A
—
Mostrar que n(A ∪ B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A ∩ B)
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10 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Exemplificar as operações:
A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B 5 {8, 10, 12, 15}
C 5 {8, 10}
A ∪ B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15}
A ∩ B 5 {8, 10}
A 2 B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
B 2 A 5 {12, 15}
CBC 5 B 2 C 5 {12, 15}
Mostrar através de um exemplo as representações em in-
tervalos e suas operações.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
13 Numa cidade há 1 000 famílias. Sabe-se que:
 ◆ 470 assinam o Estado;
 ◆ 420 assinam a Folha;
 ◆ 315 assinam a Gazeta;
 ◆ 140 assinam a Gazeta e a Folha;
 ◆ 220 assinam a Gazeta e o Estado;
 ◆ 110 assinam a Folha e o Estado;
 ◆ 75 assinam os três.
 Pergunta-se:
a) Quantas famílias não assinam jornal?
b) Quantas famílias assinam só um dos jornais?
c) Quantas famílias assinam só dois jornais?
Solução:
 
E F
30
215
145
75
35
245
65
U 5 1000
G
190
a) 1 000 2 (215 1 145 1 35 1 75 1 30 1 65 1 245) 5 190
b) 215 1 245 1 30 5 490
c) 35 1 145 1 65 5 245
17 (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três 
modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum 
associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e 
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas des-
tes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encer-
radas as inscrições,verificou-se que: dos 85 inscritos em 
natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as 
aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número 
de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o 
número de inscritos só para as de tênis.
 Quantos associados se inscreveram simultaneamente para 
aulas de futebol e natação?
Solução:
 Sejam N, F e T, respectivamente, os conjuntos dos associa-
dos do clube que se inscreveram para as aulas de natação, 
futebol e tênis.
 Sejam x e y os números de associados inscritos simulta-
neamente para futebol e natação e para tênis e natação, 
respectivamente, isto é, x 5 n(N ∩ F) e y 5 n(N ∩ T).
 Como nenhum associado poderá frequentar simultanea-
mente as aulas de tênis e futebol, temos que T ∩ F 5 [. 
Portanto, os três conjuntos podem ser representados pelos 
diagramas abaixo:
 
F T
38 2 x x 50 17 2 yy
N
 Como o total de inscritos em natação é 85, temos:
 x 1 y 1 50 5 85 ⇒ x 1 y 5 35
 Como o número de inscritos só para futebol excede em 10 
o de inscritos só para tênis, temos:
 38 2 x 5 17 2 y 1 10 ⇒ x 2 y 5 11
 Logo:
 
x y 35
x y 11
1 5
2 5{
 x 5 23
 Resposta: 23 associados
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre conjunto presente no módulo 1.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 7, 8, 14, 18 e 32 do 
módulo 1.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
11Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de par ordenado.
 ◆ Definir produto cartesiano e sua representação.
 ◆ Definir uma relação.
 ◆ Definir o conceito de função.
 ◆ Reconhecer o gráfico de uma função.
 ◆ Definir domínio e o conjunto imagem de uma função.
Estratégias de aula
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos, A e B, definimos o produto carte-
siano de A por B, representado por A 3 B, da seguinte forma:
A 3 B 5 {(x, y) | x [ A ∧ y [ B}
Ex.: A 5 {1, 2}; B 5 {2, 3, 4}
A 3 B 5 {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
Propriedades
 I. A 3 B Þ B 3 A
 II. A 3 [ 5 [ 3 A 5 [
 III. A 3 A 5 A2
 IV. n(A 3 B) 5 n(A) 3 n(B)
representação gráfica
Para representar graficamente o produto cartesiano de A 
por B, utiliza-se o sistema cartesiano ortogonal.
Ex1: A 5 {1, 2}; B 5 {2, 3, 4} ⇒ A 3 B {(1, 2); (1, 3); 
(1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
A 3 B
x
y
3
2
4
21
Ex2: A 5 ]1, 2[; B 5 ]2, 4]
 Ponto pertencente 
a A 3 B
 Ponto não pertencente 
a A 3 B
 Linha pertencente 
a A 3 B
 Linha não pertencente 
a A 3 B
 Região pertencente a A 3 B
A 5 B
x
y
4
2
21
relação
Denomina-se uma relação de A em B qualquer subcon-
junto de A 3 B.
Ex.: A 5 {1, 2}; B 5 {1, 2, 3, 4}
R 5 {(x, y) [ A 3 B | y 5 x2} ⇒ R 5 {(1, 1); (2, 4)}
 I. Lei de formação ⇒ y 5 x2
 II. Domínio de R ⇒ Conjunto das primeiras coordenadas: 
Dom (R) 5 {1, 2}
 III. Imagem de R ⇒ Conjunto das segundas coordenadas: 
Im (R) 5 {1, 4}
representações
 I. Diagrama de flecha
1
2
1
2
3
4
R
 II. Gráfica
R
x
y
3
1
2
4
21
Função
Seja f uma relação de A em B.
f é função de A em B ⇒ ∀ x [ A, ∃| y [ B | (x, y) [ f
Obs: ∃|: Lê-se “existe um único”
A ⇒ Domínio de f
B ⇒ Contradomínio de f
Notação de funções
f : A → B
f : x → f(x) 5 ax3 1 b → y 5 f(x)
Ex.: f : R → R
f : x → y 5 f(x) 5 x2
2 FUNÇÕeS
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12 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
representação gráfica
Aproveitando o exemplo anterior, vamos representar gra-
ficamente a função f(x) 5 x2
x
y
1
4
22 21 21
Obs.:
 I. Graficamente, identificamos o domínio de uma função 
projetando seu gráfico no eixo 0x.
 II. Graficamente, identificamos a imagem de uma função 
projetando seu gráfico no eixo 0y.
 III. Para que um gráfi-
co possa representar 
uma função, todas as 
retas verticais traça-
das pelo domínio da 
função devem inter-
ceptar o gráfico em 
um único ponto.
Não é função!
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (PUC) A 5 {3, 4, 6}, B 5 {1, 2} e C 5 {3, 6, 9, 12}. Determine 
(C 2 A) 3 B.
Solução:
 C 2 A 5 {9, 12}
 (C 2 A) 3 B 5 {(9, 1), (9, 2), (12, 1), (12, 2)}
2 (UFF-RJ) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:
a) (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B
b) A ∩ B 5 {1, 3}
 O que pode ser afirmado com segurança sobre o número 
de elementos de A 3 B?
Solução:
 (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B → 1 e 5 [ A; 7 e 3 [ B
 A 5 {1, 5 ....}
 B 5 {3, 7, ...}
 A ∩ B 5 {1, 3} → 1 e 3 [ A e B;
 A 5 {1, 3, 5, ...}
 B 5 {1, 3, 7, ...}
 Portanto, n(A) 5 mínimo de 3 elementos e n(B) 5 mínimo 
de 3 elementos, logo, n(A 3 B) 5 mínimo de 9 elementos.
7 Seja a função f(x) 5 ax
3 1 b. Se f(21) 5 2 e f(1) 5 4, então 
a e b valem, respectivamente:
Solução:
 f(x) 5 ax3 1 b
 f(21) 5 a ? (21)3 1 b 5 2 → 2a 1 b 5 2
 f(1) 5 a ? 13 1 b 5 4 → a 1 b 5 4
 Somando as duas equações acima: 2b 5 6 → b 5 3 e a 5 1
Dom (f )
C.D (f )
Im(f )
5
5
5



+
x
y
0
11 A produção diária de um certo produto, realizada por um 
determinado operário, é avaliada por:
 Produção 5 8x 1 9x2 2 x3 unidades.
 x horas após as 8 horas da manhã, quando começa o seu 
turno. Determine:
a) Qual é a sua produção até o meio-dia?
b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de trabalho?
Solução:
a) Basta fazer x 5 4.
 P(4) 5 8 ? 4 1 9 ? 42 2 43 5 32 1 144 2 64 5 
5 112 unidades
b) A produção durante a quarta hora de trabalho é dada 
por P(4) 2 P(3)
 Como P(3) 5 8 ? 3 1 9 ? 32 2 33 5 24 1 81 2 27 5 78
 P(4) 2 P(3) 5 112 2 78 5 34 unidades
13 Determine o domínio da função:
 
f(x)
x 1
x
2x
x 4
3
5
2
1
1
Solução:
 x 2 1 > 0 → x > 1
 x Þ 0
 x 1 4 . 0 → x . 24
 Fazendo a interseção dos intervalos:
 x > 1
 S 5 {x [ R | x > 1}
18 (UFRJ) Considere as funções polinomiais f, g e h, cujos 
gráficos são dados a seguir
y
x
f
h
g
0
22
24
26
6
4
2
1
2122232425
2 3 4 5
 Determine os valores reais de x no intervalo [25, 5] para os 
quais valem as desigualdades:
 f(x) < g(x) < h(x)
Solução:
 Para que as desigualdades sejam verdadeiras, o gráfico de 
f deve estar abaixo do gráfico de g e este abaixo do de h. 
Esta condição se verifica nos intervalos [0, 1] e [3, 5].
 Resposta: x [ [0, 1] ∪ [3, 5]
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre produto cartesiano e teoria das fun-
ções presente no módulo 2.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 3, 4, 10, 16, 17, 19 e 
22 do módulo 2.
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M
at
eM
át
ic
a 
i
13Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
3
FUNÇÕeS POLiNOMiaiS 
DO 1o e 2o GRaU
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir uma função do 1o grau.
 ◆ Mostrar o significado dos coeficientes angular e linear.
 ◆ Raiz da função do 1o grau.
 ◆ Estudo do sinal da função do 1o grau.
Estratégias de aula
Definição
f : R → R
x → f(x) 5 ax 1 b
onde a [ R* e b [ R
A função do 1o grau também é conhecida como função 
afim, e pode ser particularmente chamada de:
I. função linear, se b Þ 0 (f(x) 5 ax)
II. função identidade, se b 5 0 e a 5 1 (f(x) 5 x)
Coeficiente angular (a)
Percebemos que, dados dois pontos A e B do gráfico de 
f(x) 5 ax 1 b:
a
y y
x x
tgB A
B A
5
2
2
5 α
Pelo fato de o coeficiente a ser igual à tangente do ângulo 
que a reta forma com a horizontal, o chamamos coeficiente 
angular.
Exemplos:
x
y
60¡
x
y
135¡
a tg 60° 35 5 a 5 tg 135° 5 2tg 45° 5 21
Observando os exemplos acima é fácil perceber que:
Função crescente → 0° , θ , 90° → a . 0
Função decrescente → 90° , θ 180° → a , 0
Coeficiente linear (b)
f(x) 5 ax 1 b
x 5 0 → f(0) 5 a ? 0 1 b 5 b → (0, b) [ f
A função encontra o eixo ou um ponto de ordenada (y) 
igual a b.
x
y
150°
f 4
b 4 e a tg 150°
3
3
5 5 5
2
f(x)
3
3
x 45
2
? 1
raiz ou zero da função
Raiz de uma função é o valor da variável x tal que f(x) 5 0
α é raiz de f(x) ↔ f(α) 5 0
Como o ponto (α, 0) [f, concluímos que as raízes são as 
interseções do gráfico de f com o eixo x. No caso da função 
de 1o grau:
x
y
RAIZ 5 2
b
θ 5 arctga
b
a
Sinal da função
1o caso: a . 0
(Crescente)
x
y
2
1
b
a
2
f(x) . 0 → x . 2
b
a
f(x) 5 0 → x 5 2
b
a
f(x) , 0 → x , 2
b
a
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14 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
2
o
 caso: a , 0
(Decrescente)
x
y
2
1
b
a
2
f(x) . 0 → x , 2
b
a
f(x) 5 0 → x 5 2
b
a
f(x) , 0 → x . 2
b
a
Resumindo f(x) 5 ax 1 b
sinal contrário de a
RAIZ 5 2
b
a
mesmo sinal de a
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
2 O gráfico abaixo mostra a variação do preço unitário de um 
produto, em reais, em função da quantidade de unidades 
ofertada por um comerciante, sendo Q [ [1, 1 000].
Q (quantidade)
P (pre•o)
9 
10
200100
a) Determine P em função de Q.
b) Calcule o preço unitário do produto relativo à oferta de 
500 unidades.
Solução:
a) Sendo A(100, 10) e B(200, 9) dois pontos do gráfico de 
f(x) 5 ax 1 b. Temos:
 f(100) 5 100a 1 b 5 10
 f(200) 5 200a 1 b 5 9
 Subtraindo as equações: 100a 5 21 → a
1
100
5 2 e 
b 10 100a 10 100
1
100
115 2 5 2 ? 2 5




 Logo, f(x)
1
100
x 115 2 1




 Utilizando a notação da questão:
 
P
1
100
Q 115 2 1




b) Q 500 P
1
100
500 11 65 5 2 1 5→ 


4 (UFRJ) Suponha que as ligações telefônicas em uma cidade 
sejam apenas locais e que a tarifa telefônica seja cobrada 
do seguinte modo:
 1o) uma parte fixa, que é assinatura.
 2o) uma parte variável, dependendo do número de pulsos 
que excede 90 pulsos mensais. Assim, uma pessoa que tem 
registrados 150 pulsos na conta mensal de seu telefone 
pagará somente 150 2 90 5 60 pulsos, além da assinatura.
 Em certo mês, o preço de cada pulso excedente era R$ 2,00 
e o da assinatura era R$ 125,00.
a) Um usuário gastou nesse mês 220 pulsos. Qual o valor 
cobrado na conta telefônica?
b) Esboce no caderno de respostas o gráfico do valor (y), 
em reais, da conta telefônica em função do número (x) 
de pulsos gastos nesse mês.
Solução:
a) 220 2 90 5 130 pulsos excedentes
 Valor da conta 5 125 1 2 ? 130 5 385
b) 
x
y
125 
175
11590
7 (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, 
de modo que toda produção é comercializada.
 O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma 
parcela fixa, independente do volume produzido, corres-
ponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamen-
tos, salários, etc.; a outra parcela é variável, dependente 
da quantidade de óleo fabricado.
 No gráfico a seguir, a reta r1 representa o custo de produção 
e a reta r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em 
função do número de litros comercializados. A escala é tal 
que uma unidade representa R$ 1 000, 00 (mil reais) no eixo 
das ordenadas e 1 000 , (mil litros) no eixo das abscissas.
 
x60
10
40
90
y
r2
r1
a) Determine, em reais, o custo correspondente à parcela 
fixa.
b) Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido 
para que a empresa não tenha prejuízo.
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15Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
Solução:
a) Basta perceber que é um ponto da reta r1 onde x 5 0 →
→ y 5 10
 Utilizando a escala dada 10 000 litros
b) Vamos montar as funções:
 r1: y 5 ax 1 b
 ◆ b 5 10
 ◆ (60, 40) [ r1 → 40 5 60a 1 10 → a
1
2
5
 
r : y
1
2
x 101 5 1




 r2: y 5 ax 1 b
 ◆ b 5 0
 ◆ (60, 90) [ r2 → 90 5 60a → a
3
2
5
 
r : y
3
2
x2 5




 Para que não haja mais prejuízo:
 
3
2
x
1
2
x 10 x 10







 →> 1 >
 Volume Mínimo 5 10 000 litros
11 Resolva as inequações:
a) (2x 2 1)(23x 1 2) (2x 1 3) , 0
b) 
(x 1)(x 3)
(x 5)
0
2 1
2
.
c) 2x 3
x 2
1
2
2
>
d) (x 2 4)3 < 0
e) (3x 2 2)2 . 0
f) (x 1 6)6 , 0
g) 
x (x 1) (x 3)
(x 1)
0
3 5 2
4
2 1
1
.
Solução:
a) (2x 2 1)(23x 1 2)(2x 1 3) , 0
 Seja:
 f1(x) 5 (2x 2 1)
 f2(x) 5 (23x 1 2)
 f3(x) 5 (2x 1 3)
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima:
 
f (x) (2x 1) 2x 1 0 x
1
2
1 5 2 2 5 5→ →
 
1
2 1
2
 
f (x) ( 3x 2) 3x 2 0 x
2
3
2 5 2 1 2 1 5 5→ →
 
1
22
3
 f3(x) 5 (2x 1 3) → 2x 1 3 5 0 → x 5 3
 
3
1
2
1
2
 
2
3
 3
f1(x) 5 2(x 2 1) 2 1 1 1
f2(x) 5 (23x 1 2) 1 1 2 2
f3(x) 5 (2x 1 3) 1 1 1 2
f1(x) ? f2(x) ? f3(x) 2 1 2 1
 
S ,
1
2
2
3
, 35 2∞

 ∪




b) 
(x 1)(x 3)
(x 5)
0
2 1
2
.
 Seja:
 f1(x) 5 (x 2 1)
 f2(x) 5 (x 1 3)
 f3(x) 5 (x 2 5)
 Restrição: x 2 5 Þ 0 → x Þ 5
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções anteriores
 f1(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 f2(x) 5 (x 1 3) → x 1 3 5 0 → x 5 23
 
Ð3
1
2
 f3(x) 5 (x 2 5) → x 2 5 5 0 → x 5 5
 
5
1
2
23 1 5
f1(x) 5 (x 2 1) 2 2 1 1
f2(x) 5 (x 1 3) 2 1 1 1
f3(x) 5 (x 2 5) 2 2 2 1
f1(x) ? f2(x) / f3(x) 2 1 2 1
 S 5 (23, 1) ∪ (5, 1 ∞)
0
0
0
000
0
0
000
'
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16 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
c) 2x 3
x 2
1
2
2
>
 
2x 3
x 2
1 0
2x 3
x 2
(x 2)
(x
2
2
2 >
2
2
2
2
2
→
2)
0
x 1
x 2
0>
2
2
>→
 Seja:
 f1(x) 5 (x 2 1)
 f2(x) 5 (x 2 2)
 Restrição: x 2 2 Þ 0 → x Þ 2
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima
 f1(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 f2(x) 5 (x 2 2) → x 2 2 5 0 → x 5 2
 
2
1
2
1 2
(x21) 2 1 1
(x22) 2 2 1
(x21) / (x22) 1 2 1
 S 5 (2∞, 1] ∪ (2, 1 ∞)
d) (x 2 4)3 < 0
 Seja: f1(x) 5 (x 2 4) → x 2 4 5 0 → x 5 4
 
4
1
2
 [f1(x)]
3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 
4
12
 S 5 (2∞, 4]
e) (3x 2 2)2 . 0
 Seja: f (x) (3x 2) 3x 2 0 x
2
3
1 5 2 2 5 5→ →
 
1
2
3
2
 [f1(x)]
2 → expoente par
 
1
2
3
1
 
S
2
3
5 2




0
0
'
f) (x 1 6)6 , 0
 Seja: f1(x) 5 (x 1 6) → x 1 6 5 0 → x 5 26
 
26
1
2
 [f1(x)]
6 → expoente par
 6
11
 S 5 [
g) 
x (x 1) (x 3)
(x 1)
0
3 5 2
4
2 2
1
.
 Restrição: x 1 1 Þ 0 → x Þ 21
 Seja:
 f1(x) 5 x → x 2 0
 
0
1
2
 [f1(x)]
3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 0
12
 f2(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 [f2(x)]
5 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 1
12
 f3(x) 5 (x 2 3) → x23 5 0 → x 5 3
 
32
1
 [f3(x)]
2 → expoente par
 3
11
 f4(x) 5 (x 1 1) → x 1 1 5 0 → x 5 21
 
212
1
 [f4(x)]
2 → expoente par
 21
11
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17Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
21 0 1 3
x
3
2 2 1 1 1
(x21)
5
2 2 2 1 1
(x23)
2
1 1 1 1 1
(x 1 1)
4
1 1 1 1 1
x (x 1) (x 3)
(x 1)
3 5 2
4
2 2
1
1 1 2 1 1
 S 5 (2∞, 21) ∪ (21, 0) ∪ (1, 3) ∪ (3, ∞)
 ou
 S 5 (2∞, 0) ∪ (1, ∞) 2 {21, 3}
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função polinomial do 1o grau presente no 
módulo 3.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa Mínima: Fazer os exercícios 1, 6, 8, 12, 14 e 19 do 
módulo 3.
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir uma função do 2o grau.
 ◆ Raízes da função do 2o grau.
 ◆ Soma e produto das raízes.
 ◆ Forma fatorada do trinômio do 2o grau.
 ◆ Coordenadas do vértice da parábola.
 ◆ Estudo do sinal da função do 2o grau.
Estratégias de aula
Definição
Sendo a, b e c números reais, a função:
f : R → R
x → y 5 ax2 1 bx 1 c, a [ R*, b, c [ R
é denominada função do 2o grau ou função quadrática.
Gráfico no sistema cartesiano
Toda função do 2o Grau é representada graficamente por 
uma curva chamada parábola, cujas características serão ana-
lisadas a seguir.
Concavidade
A concavidade está voltada para cima ou para baixo, de-
pendendo do sinal do coeficiente a:
a . 0 a , 0
0
0
0
0000
'
Interseção com os eixos coordenados
Interseção com o eixo Oy: fazendo x 5 0, temos:
y 5 a ? 02 1 b ? 0 1 c → y 5 c
Interseção com o eixo Ox: fazendo f(x) 5 0, temos:
ax2 1 bx 1 c 5 0
Resolvendo a equação, com o uso da fórmula de Báskara, 
obtemos:
x
b
2a
,5
2 ± ∆
 onde D 5 b2 2 4ac.
Dependendo do sinal de D, podemos ter:
a) D , 0 ⇒ não existem raízesreais.
O gráfico não corta o eixo Ox.
a . 0 a , 0
b) ∆ 0 x x
b
2a
2 raízes reais e idênt
1 2
5 5 5 2⇒ ⇒ iicas.
O gráfico corta o eixo Ox em um único ponto.
a . 0 a , 0
c) D . 0 ⇒ 2 raízes reais e distintas.
O gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
a . 0 a , 0
Soma e produto das raízes
Sejam x1 e x2 as raízes da equação:
ax2 1 bx 1 c 5 0 (a Þ 0)
Temos: 
x x
b
a
x x
c
a
1 2
1 2
1 5 2
? 5





Demonstração:
x
b
2a
e x
b
2a
1 2
5
2 1
5
2 2∆ ∆
Soma das raízes
x x
b b
2a
x x
2b
2a
b
a
1 2 1 2
1 5
2 1 2 2
1 5
2
5
5 2
∆ ∆
⇒
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18 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Produto das raízes
x x
b
2a
b
2a
b
4a
1 2
2
2
? 5
2 1
?
2 2
5
2∆ ∆ ∆
x x =
b (b 4ac)
4a
x x
b b 4ac
4a
4a
1 2
2 2
2 1 2
2 2
2?
2 2
? 5
2 1
5
5
⇒
cc
4a
2
x x
c
a
1 2?
5
Fatoração do trinômio do 2o grau
Sendo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c e a Þ 0, a sua forma 
fatorada é:
f(x) 5 a(x 2 x1)(x 2 x2)
onde x1 e x2 são as raízes de f.
Demonstração:
f(x) ax bx c a x
b
a
x
c
a
2 2
5 1 1 5 1 1 5




f(x) 5 a(x2 2 (x1 1 x2)x 1 x1x2) 5 a[x(x 2 x1) 2 x2(x 2 x1)]
f(x) 5 f(x) 5 a(x 2 x1) (x 2 x2)
(Ex.:) Fatorar o trinômio 2x2 2 8x 1 6.
Encontramos suas raízes: x1 5 1 e x2 5 3
Forma Fatorada: 2(x 2 1) 3 (x 2 3)
Vértice da parábola
Seja a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, representada pela 
parábola abaixo.
y
r
V
x
b
2a
∆
4a
V: Vértice da parábola
r: Eixo de Simetria da Parábola
A abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes:
x
x x
2
b
a
2
V
1 2
5
1
5
2
⇒ x
b
2a
v
5 2
Substituindo o valor de xv em f(x), obtemos:
y
4a
v 5 2
∆
Dependendo do sinal de a, teremos:
1o caso: a . 0
V
∆
4a
V: Ponto de mínimo de f
y : Valor m’nimo de f Im(f ) y y
4a
V ⇒ ∈{5 > 2 | ∆}}
2o caso: a , 0
V∆
4a
V: Ponto de máximo de f
y : Valor máximo de f Im(f ) y | y
4a
V ⇒ ∈{5 < 2 ∆}}
Estudo do sinal da função do 2o grau
O estudo do sinal de uma função quadrática depende do 
sinal de a (coeficiente do termo do 2o grau) e do sinal de seu 
discriminante (D 5 b2 2 4ac). Os gráficos a seguir mostram a va-
riação do sinal de uma função do 2o grau em cada um dos casos:
a , 0a . 0
a , 0a . 0
a , 0a . 0
a . 0 Positiva, para todo x [ R
a , 0 Negativa, para todo x [ R
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19Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
6 (UFRJ) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu 
decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que 
cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites se-
rão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem 
o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 
1 enfeite por dia a partir do 1o dia; o morador número 2 
colocará 2 enfeites por dia a partir do segundo dia e assim 
sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites 
por dia a partir do n-ésimo dia).
a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o 
morador número 13?
b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total 
de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará 
mais enfeites do que a Sra. X, determine m.
Solução:
a) Seja Pn o número de enfeites que o morador de número 
n terá colocado ao final de 40 dias. Verificamos que Pn 5 
5 n ? (41 2 n). Em particular, P13 5 13 ? (41 2 13) 5 364.
b) A função f(x) 5 x(41 2 x) tem como gráfico uma parábola 
que intercepta o eixo das abscissas nos pontos x1 5 0 e 
x2 5 41, atingindo o valor máximo no ponto médio 
=x
41
2
.
0
 Como os valores de Pn são obtidos calculando-
-se f(n) para n 5 1, 2, ..., 40, concluímos que o máximo 
de Pn é atingido em n 5 20 ou n 5 21. Portanto m 5 
5 P20 5 P21 5 420
7 (UFRJ) Para quantos números reais x, o número y, onde 
y 5 2x2 1 6x 2 1, é um número pertencente ao conjunto 
N
* 5 {1, 2, 3, 4, ...} ?
Solução:
 Para 15 valores reais da variável x temos y [ N 5 {1, 2, 
3, 4, ...}
 Observando o gráfico da função y 5 2x2 1 6x 2 1, vemos 
que para 15 valores reais da variável x obtemos como ima-
gem um valor y [ N 5 {1, 2, 3, 4 ...}.
 
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8 (Uerj) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em 
um plano vertical xOy estão representadas abaixo.
 
x
y
B
A
0
 Suas equações são, respectivamente, y
1
2
x 3x25 2 1 e 
y
1
2
x x,25 1 nas quais x e y estão em uma mesma unida-
de u.
 Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o 
ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre 
as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, 
equivale a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 20
Solução:
 
y
1
2
x 3x;25 2 1
 
x
b
2a
3
2
1
2
3
v
5 2 5
2
2
5




 
y
1
2
3 3 3
9
2
v
2
5 2 1 ? 5
 
y
1
2
x x25 2 1
 
x
b
2a
1
2
1
2
1
v
5 2 5
2
2
5




 
y
1
2
1 1
1
2
v
2
5 2 1 5
 
x
y
B
A
0
4
31
2
d
9
2
1
2
 d 4 2 20 d 20
2 2 2
5 1 5 5→
PH_MP_MAT1_C1.indd 19 12/20/13 11:34 AM
20 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
9 (Uerj) Os gráficos I e II representam as posições S de dois 
corpos em função do tempo t.
t (segundos)
gráfico I
S (metros)
h
t
1
V
1
0
gr‡fico II
t (segundos)
S (metros)
h
2t
1
V
2
0
 No gráfico I, a função horária é definida pela equação S 5 
5 a1t
2 1 b1t e, no gráfico II, por S 5 a2t
2 1 b2t. Admita 
que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas 
traçadas nos gráficos I e II. Assim, a razão a1/a2 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
Solução:
 As funções f(x) 5 a1x
2 1 b1x e g(x) 5 a2x
2 1 b2x podem ser 
escritas, respectivamente, das seguintes formas fatoradas:
 f(x) 5 a1(x 2 0)(x 2 t1) 5 a1x(x 2 t1)
 g(x) 5 a2(x 2 0)(x 2 2t1) 5 a2x(x 2 2t1)
 Repare que:
 f(t1/2) 5 g(t1) 5 h
 a1(t1/2)(t1/2 2 t1) 5 a2(t1)(t1 2 2t1)
 a1(t1/2)(2t1/2) 5 a2(t1)(2t1)
 a1/4 5 a2
 a1/a2 5 4
16 (Uerj) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão 
representadas as funções f(x) 5 4x 2 4 e g(x) 5 2x2 2 12x 1 
1 10.
 
y
A
B
P f(x)
g(x)
C (vŽrtice)
x
 Com base nos dados anteriores, determine:
a) as coordenadas do ponto P.
b) o conjunto-solução da inequação 
g(x)
f(x)
0, f(x) 0, ±
Solução:
a) f(x) 5 g(x)
 2x2 2 12x 1 10 5 4x 2 4
 x2 2 8x 1 7 5 0
 x1 5 1; x2 5 7
 Daí, x 5 7 é a abscissa do ponto P.
 Substituindo em f ou g, teremos y 5 24.
 Logo P (7, 24)
b) 
g(x)
f(x)
0,, quando g e f têm sinais opostos.
 Analisando o gráfico, observa-se que isto ocorre para 
todo x menor que a maior raiz de g(x), excluindo-se a 
menor raiz de g.
 Assim: x , 5 e x Þ 1
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre função do 2o grau no módulo 3.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 1, 2, 3, 5, 10, 11 e 14 
do módulo 3.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
21Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir módulo de um número real.
 ◆ Definir a função modular e construir seu respectivo gráfico 
analisando domínio e imagem.
 ◆ Estudar as propriedades das equações e inequações mo-
dulares.
Estratégias de aula
Módulo
definição
Sendo x um número real, denominamos módulo ou valor 
absoluto de x (|x|), o número real definido da seguinte forma:
|x|
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
Podemos dizer que o módulo de um número real é a 
distância, na reta real, entre ele e o número zero. Na prática, 
temos que:
⇒ o módulo de um número positivo ou nulo é o próprio 
número.
⇒ o módulo de um número negativo é seu simétrico.
Ex.:
a) |11| 5 11
b) |27| 5 2(27) 5 7
c) | 0 | 5 0
módulo e raiz de um número real
É muito comum, ao sermos perguntados qual o valor de 
4, darmos como resposta o valor ± 2. Isto é um grande erro, 
pois na verdade a expressão 4 representa a determinação não 
negativa da raiz de 4, ou seja, 4 2.5 Com isso, observe 
esses exemplos:
I. 5 25 52 5 5
II. ( 7) 49 722 5 5
De maneirageral, podemos escrever:
x |x |2 5
Funções envolvendo módulo
definição
Chamamos de função modular ou módulo a função
f: R → R
x → y 5 | x |
Utilizando a definição de módulo, esta função pode ser 
assim representada:
f(x)
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
Atribuindo valores a x e calculando suas respectivas ima-
gens, podemos construir o gráfico da Função Modular:
x f(x) 5 |x|
22 2
21 1
0 0
1 1
2 2
2
y
x
1
0 1 222 21
Notamos que o gráfico é composto por duas retas, cujas 
equações são y 5 x, para x > 0, e y 5 2x, para x , 0. Como 
elas são simétricas em relação ao eixo Oy, a Função Modular 
é uma função par.
Observações:
 ◆ Imf 5 R
*
1
 ◆ f é par (f(2 x) 5 f(x))
 ◆ f não é injetora (f(2a) 5 f(a))
 ◆ f não é sobrejetora (CDf Þ Imf)
Importante: dado o gráfico de uma função f, podemos ob-
ter o gráfico da função g definida por g(x) 5 |f(x)| conservando 
a parte do gráfico de f que está acima do eixo Ox e tirando o 
simétrico, em relação a este eixo, da parte que está abaixo dele.
y 5 f (x) y 5 |f (x)|
Im(f ) 5 R
4 FUNÇÃO MODULaR
PH_MP_MAT1_C1.indd 21 12/20/13 11:35 AM
22 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Equações e inequações modulares
Propriedades
a) | x | > 0, ∀x [ R
b) | x | 5 0 ↔ x 5 0
c) Se a . 0 então
| x | 5 a ↔ x 5 a ou x 5 2a
d) | x | 5 | y | ↔ x 5 y ou x 5 2y
e) |x | a
a x a, se a 0
x R, se a 0
,
2 , , .
<
↔
∃ ∈



f ) |x | a
x a ou x a, se a 0
x R,
.
, 2 . .
↔
∀ ∈ sse a 0<{
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (Ibmec-RJ) O gráfico que melhor representa a função real 
expressa por f(x) 5 x 2 | 2 1 x | é:
Solução:
 Vamos estudar | 2 1 x |:
 
|2 x|
2 x, se 2 x 0
2 x, se 2
1 5
1 1 >
2 2 1 x 0,{
 
|2 x|
2 x, se x 2
2 x, se x 2
1 5
1 > 2
2 2 , 2{{
 Então:
 
f(x) x |2 x|
x (2 x), se x 2
5 2 1 5
2 1 > 2
xx ( 2 x), se x 22 2 2 , 2{
 
f(x)
2, se x 2
2x 2, se x 2
5
2 > 2
1 , 2{
 Para x > 2 2 : f(x) 5 22 função constante
 Para x , 2 2 : f(x) 5 2x 1 2, assim f(23) 5 2(23) 1 2 5 
5 24
 Alternativa: E
3 (Estácio) O gráfico que melhor representa a função 
f(x) 5 |x 1 1| 2 | x 2 1| é: 
Solução:
 |x 1|
x 1, se x 1 0
x 1, se x
1 5
1 1 >
2 2 1 11 0,{
 
|x 1|
x 1, se x 1
x 1, se x 1
1 5
1 > 2
2 2 , 2{
 
|x 1|
x 1, se x 1 0
x 1, se x
2 5
2 2 >
2 1 2 11 0,{
 
|x 1|
x 1, se x 1
x 1, se x 1
2 5
2 >
2 1 ,{
 Logo,
21 1
| x 1 1| 2x21 x 1 1 x 1 1
| x21| 2x 1 1 2 x 1 1 x21
| x 1 1| 2 | x21| 22 2x 2
 
f(x) |x 1| |x 1|
2, se x 1
2x,5 1 2 2 5
2 , 2
se 1 x 1
2, se x 1
2 < <
.




 Alternativa: C
8 (UFRJ) Durante o ano de 1997, uma empresa teve seu lucro 
diário L dado pela função
 L(x) 5 50 (| x 2 100 | 1 | x 2 200 |)
 onde x 5 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L 
é dado em reais. Determine em que dias (x) do ano o lucro 
foi de R$ 10 000,00.
Solução:
 L(x) 5 50 (| x 2 100 | 1 | x 2 200 |) 5 10 000
 Se x > 200, então L(x) 5 50(2x 2 300) 5 10 000 → x 5 250
 Se x < 100, então L(x) 5 50(300 2 2x) 5 10 000 → x 5 50
 Se 100 < x < 200, então L(x) 5 5 000 → não existe x.
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função modular presente no módulo 4.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 5, 6, 9 e 10 do mó-
dulo 4.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
23Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir a função exponencial.
 ◆ Explicar o motivo de a base a ser a . 0 e a Þ 1.
 ◆ Construir o gráfico da função.
 ◆ Estudar as equações e inequações exponenciais exem-
plificando.
Estratégias de aula
Definição
Seja a um número real tal que a . 0 e a Þ 1.
Chama-se função exponencial de base a à função f que 
associa a cada real x um único real ax, isto é:
f(x) 5 ax
Como a . 0, qualquer que seja x real, y 5 ax . 0, logo, o 
domínio e o contradomínio da função f são, respectivamente:
Df 5 R
Cf 5 R
*
1
Obs.: Por que a não poderia ser:
I. Negativo (Ex: a 5 23)
f(x) 5 (23)x
f
1
2
( 3)
1
2


 5 2
f
1
2
3



 ∈ +5 2 
*
II. Zero
f(x) 5 0x
f(21) 5 021
f( 1)
1
0
2 5 ∉
+

*
III. Um
f(x) 5 1x
f(x) 5 1 (Função Constante)
Gráfico
Ex1: f(x) 5 2
x
x y
22
1
4
21
1
2
0 1
1 2
2 4
Tendência
x y
1~ 1
2~ 0
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
f
Ex2: f(x)
1
2
x
5




x y
22 4
21 2
0 1
1
1
2
2
1
4
Tendência
x y
1~ 1
2~ 1~
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
Com exemplos acima observamos que:
 I. Imf 5 R
*
1
 5 CDf , logo a função exponencial é sobre-
jetora.
 II. f(0) 5 1, ∀ [ R*
1
 2 {1}
 III. x1 Þ x2 → a
x1 Þ ax2 → f(x) Þ f(x2), logo a função é 
injetora.
 IV. Sendo injetora e sobrejetora, a função exponencial é 
sobrejetora admitindo, desta forma, função inversa.
 V. A função é crescente ou decrescente dependendo do 
valor de a.
a . 1: Crescente 0 , a , 1: Decrescente
y
x
1
y
x
1
5 FUNÇÃO eXPONeNciaL
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24 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Equações exponenciais
a) af(x) 5 ag(x) ⇔ f(x) 5 g(x)
para a [ R*
1
 2 {1}
Ex: 22x 2 15 83 2 x
22x 2 1 5 (23)3 2 x
22x 2 1 5 29 2 3x
2x21 5 9 2 3
x 5 2 S 5 {2}
b) a b
a b ou
f(x) 0
f(x) f(x)
5
5
5
⇔ {
para a e b [ R*
1
 2 {1}
Ex: x 3
x x 1
2 1 21
5
1
a 5 3 ou x2 1 1 5 0
'x [ R
c) f(x) f(x)
g(x) h(x) ou
f(x)g(x) h(x)5
5
5⇔ 00 ou
f(x) 15




Ex: x x
x 6x 11 3
2
2 1
5
x 5 0 ou x 5 1 ou x2 2 6x 1 11 5 3
x2 2 6x 1 8 5 0
x 5 2 ou x 5 4
S 5 {0, 1, 2, 4}
Inequações exponenciais
a) Se a . 1 (função crescente)
y1 . y2 → x1 . x2
a a x x
x x
1 2
1 2
. .→
b) Se 0 , a , 1 (função decrescente)
y1 . y2 → x1 , x2
a x x x
x x
1 2
1 2
. ,→
a a
f(x) g(x) se a 1
f(x)
f(x) g(x)
.
. .
,
⇔
gg(x) se 0 a 1, ,{
Ex : 2 2 2x x 8
1
2x 2x 8
mantém
> > 1
1
 →
S 5 ]8, 1 ∞[
Ex :
1
3
1
9
2
4 x




2
,
1
3
1
3
4 x
4 x 2
inverte







  →
2
, 2 ..
,
2
x 2
S 5 ]2 ∞, 2[
Ex3: 2
2x 2 1 > 1
x2x 2 1 . x0
2x 1 0 se x 1 ou 2x 1 0 se 0 x2 . . 2 , , , 11
x
1
2
se x 1 ou x
1
2
se 0 x. . , , ,
1 244 344
1
x 1 ou 0 x
1
2
1 2444 3444
. , ,
S ]0,
1
2
1, [5 1[ ]∪ ∞
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
2 O gráfico que melhor representa a função f(x) 5 e
22x.
Solução:
 
f(x) e
1
e
, 0
1
e
12x
2
x
2
5 5 , ,
2 







 f(x) é uma função exponencial decrescente.
 Alternativa: B
3 (Fuvest-SP) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-
ponde ao gráfico da função f(x) 5 1 2 22|x| é:
a) y
x
21
1
b) y
x
1
c) y
x
1
d) y
x
1
e) y
x
1
2
Solução:
 
|x |
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
 
f(x) 1 2
1 2 , se x 0
1 2 ,
| x |
x
x5 2 5
2 >
2
2
2
se x 0,



 Para x > 0, f(x) 5 1 2 22x, cujo gráfico por ser representado 
abaixo:
 
y
x
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25Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
at
eM
át
ic
a 
i
 Para x , 0, f(x) 5 1 2 2x, cujo gráfico é o gráfico anterior-
mente refletido no eixo y:
 Assim o gráfico de f(x) pode ser representado abaixo:
 
y
x
1
4 (Fuvest-SP) A equação 2
x 5 23x 1 2, com x real,
a) não tem solução.
b) tem uma única solução entre 0 e 
2
3
.
c) tem uma única solução entre 2
2
3
 e 0.
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
e) tem mais de duas soluções.
Solução:
 Vamos construir os gráficos das funções:
 f(x) 5 2x
 g(x) 5 23x 1 2
 
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
f
2
3
 Repare que o ponto P é a interseção entre as funções f e 
g. Logo, 0 x
2
3
.p, ,
 Alternativa: B
9 (Unirio-RJ) O valor de x na equação:
 
3 2 3 3
16
27
x 1 x 1 x2 1
1 ? 2 5
Solução:
 
3 3 2 3 3 3
16
27
x 1 x 1 x
? 1 ? ? 2 5
2
 
3
1
3
6 1
16
27
x
1 2 5




 
3
16
3
16
27
x 


 5
 3x 5 3
22 → x 5 22
 Alternativa: E
10 Resolva, no conjunto R dos números reais, a equação ex-
ponencial 9x 1 3x 5 2
Solução:
 9x 1 3x 5 2 → 32x 1 3x 2 2 5 0
 Fazendo y 5 3x, temos:
 y2 1 y 2 2 5 0y1 5 22 → 3
x 5 22 → não tem solução
 y2 5 1 → 3
x 5 1 → x 5 0
 S 5 {0}
17 (Unirio-RJ) Assinale o conjunto solução da inequação
 
1
2
1
4
x 3




2
<
Solução:
 
1
2
1
4
x 3




2
<
 Como a base 0
1
2
1,, , temos: x 2 3 > 2, então x > 5.
 Alternativa: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função exponencial presente no módulo 5.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 1, 5, 6, 11, 13 e 14 do 
módulo 5.
aNOtaÇÕeS
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26 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir logaritmo, dando exemplos.
 ◆ Enunciar as propriedades, incluindo mudança de base.
 ◆ Sistema de logaritmos.
 ◆ Equações logarítmicas com exemplos.
Estratégias de aula
Definição
Definimos como logaritmo de um número positivo a na 
base b o expoente da potência de b que representa esse nú-
mero a.
logba 5 x b
x 5 a
Com a . 0, b . 0 e b Þ 1
Ex.:
a) log28 5 3, pois 2
3 5 8
b) log 5 1, pois
1
5
51
5
1
5 2 5
2




c) log8127 5 x
81x 5 27
34x 5 33
4x 5 3
x
3
4
5
Propriedades
a) logb1 5 0
logb1 5 x → b
x 5 1 → x 5 0
b) logbb 5 1
logbb 5 x → b
x 5 b1 → x 5 1
c) logbb
α 5 α
logbb
α 5 x → bα 5 bx → x 5 α
d) blogba 5 a
blogba 5 bx
logba 5 x
bx 5 a
e) logb (p ? q) 5 logbp 1 logbq
log pq x b pq
log p y b p
log q z
b
x
b
y
b
5 5
5 5
5
→
→
→→







 b q
b p q bx2
y z
5
5 ? 5
1
y 1 z 5 x
f ) log
p
q
log p log qb b b




5 2
log p log
p
q
qb b5 ?




log p log
p
q
log qb b b5 1




log p log q log
p
q
b b b2 5




g) logba
α 5 α 3 logba
log a x b a
log a y b a
b
x
b
y
5 5
5 5
→
→



α α
b (b )y x α
b b
y
y x
5
5
? α
x ? α
h) log a
1
log ab bβ
β
5 ?
log a x b a
log a y b a
b
x
b
y
5 5
5 5
→
→


 β
β
b bx y5 ?β
y x
y
1
β
β
5
5 ?? x
i) Mudança de base: log a
log a
log b
b
c
c
5
log a x b a
log a y c a
b c
l
b
x
c
y
x y5 5
5 5
5
→
→



oog b z c b (c ) cc
z z x y
5 5 5→





c czx y5
zx y5
x
y
z
5
6 FUNÇÃO LOGaRÍtMica
PH_MP_MAT1_C1.indd 26 12/20/13 11:35 AM
27Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
j) log a
1
log b
b
a
5
log a
log a
log b
, fazendo c ab
c
c
5 5
log a
log a
log b
b
a
1
a
5
Sistema de logaritmos
O sistema de logaritmos de base b é o conjunto dos lo-
garitmos de todos os reais positivos nessa base b. Os sistemas 
mais usados são:
a) Sistemas de decimal (base 10)
Pelo fato de ser a mais usada, a base 10 pode ser omi-
tida sem confusão.
log 100 5 log10100 5 2
b) Sistema Neperiano (base e)
Também chamado de logaritmo natural, é comumen-
te escrito na forma:
,n x 5 logex
Obs:
e: número de Euler
e II (irracional)
e
∈
1
1
x
2,7183
x
x
5 1lim
→ ∞









 >
x 1
1
x
x
1




1 2
2 2,25
5 2,4883...
10 2,5937...
100 2,7048...
1 000 2,7169...
10 000 2,7181...
100 000 2,7182...
Equações logarítmicas
a) logb f(x) 5 logb g(x)
Restrições Solução
b.0
b Þ 1
f(x) . 0
g(x) . 0
f(x) 5 g(x)
Ex.:
log2 x2 2 3x 5 log2 2x24
Restrições Solução
x 3x 0
2x 4 0
2
2 .
2 .



x . 3
x2 2 3x 5 2x 2 4
x2 2 5x 1 4 5 0
x 5 1 ou x 5 4
S 5 {4}
b) logb f(x) 5 a
Restrições Solução
b . 0
b Þ 1
f(x) . 0
f(x) 5 ba
Ex.:
log22x 2 3 5 7
Restrição: 2x 3 0 x
3
2
2 . .→
Solução: 2x 2 3 5 27
2x23 5 128
2x 5 131
x
131
2
5
S
131
2
5 { }
c) Uso de uma incógnita auxiliar
Ex.:
(log2x)
2 2 4 ? log2 x 1 3 5 0
log2x 5 y → x 5 2
y
y2 2 4y 1 3 5 0
y 5 1 ou y 5 3
x 5 21 x 5 23
x 5 2 x 5 8
S 5 {2, 8}
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 Calcular pela definição os seguintes logaritmos:
a) log
1
8
2
b) log84
c) log0,2532
Solução:
a) log
1
8
x 2 2 x 32
x 3
5 5 5 2
2
→ →
b) log 4 x 8 4 2 2 x
2
3
8
x 3x 2
5 5 5 5→ → →
c) log 32 x (0,25) 32 2 20,25
x 2x 5
5 5 5
2
→ → → xx
5
2
5 2
2 (Uerj) O valor de 4 é:
log 92
a) 81
b) 64
c) 48
d) 36
e) 9
Solução:
 4 2 2 81
log 2 log log2
9
2
9
2
81
5 5 5
 Alternativa: A
PH_MP_MAT1_C1.indd 27 12/20/13 11:35 AM
28 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
6 Determinar os domínios das funções em R:
a) y 5 log (x2 2 4x 1 3)
b) f(x) 5 log(x 2 1) (2x
2 1 2x 1 3)
Solução:
a) y 5 log (x2 2 4x 1 3);
 CE: (x2 2 4x 1 3) . 0 → x , 1 ou x . 3
 S 5 {x [ R | x , 1 ou x . 3}
b) f(x) 5 log(x 2 1) (2x
2 1 2x 1 3).
 CE:
 x 2 1 . 0 → x . 1
 x 2 1 Þ 1 → x Þ 2
 (2x2 1 2x 1 3) . 0 → 21 , x , 3
 Fazendo a interseção dos intervalos:
 1 , x , 3 2 {2}
 S 5 {x [ R | 1 , x , 3 2 (2)}
8 (Uerj) O número, em centenas de indivíduos, de um deter-
minado grupo de animais, x dias após a liberação de um 
predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
 
f(x) log (x )
5 5
4
35
 Após cinco dias da liberação do predador, o número de 
indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
Solução:
 
f(5) log (5 ) log (5 )
4
4
log 5
5 5
4
5
4
53 4
3
5 5 5 ? 35
 Logo, são 3 centenas, ou seja, 300 indivíduos
 Alternativa: C
13 (UFRJ) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo ex-
pressa a variação de log y em função de log x, onde log é 
o logaritmo na base decimal.
 
logy
logx
6
2
2
 Determine uma relação entre x e y que não envolva a fun-
ção logaritmo.
Solução:
 Fazendo:
 X 5 log x
 Y 5 log y
 Temos : Y 5 aX 1 b
 ◆ b 5 2
 ◆ (2,6) [ f(x) : 6 5 2a 1 2 → 4 5 2a → a 5 2
 Logo, Y 5 2X 1 2 ou log y 5 2 log x 1 2 →
 log y 5 log x2 1 log 100
 log y 5 log 100x2 → y 5 100x2
21 (Fuvest-SP) Se x é um número real, x . 2 e log2 (x 2 2) 2 
2 log4x 5 1, então o valor de x é:
a) 4 2 32
b) 4 32
c) 2 2 31
d) 4 2 31
e) 2 4 31
Solução:
 
log (x 2) log x 1 log (x 2)
1
2
2 2
2
22 2 5 2 2→



 →log x 12 5
 
log (x 2) log x 1 log [(x 2)/ x] 12 2 22 2 5 2 5→
 (x 2)/ x 2 (x 2) 2 x x 4x 4 4x
2
2 5 2 5 2 1 5→ →
 x2 2 8x 1 4 5 0 → x 5 4 1 2 3 ou x 5 4 2 2 3 
 (não serve pois x . 2)
 Alternativa: D
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria de logaritmo presente no módulo 6.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16, 
17 e 24 do módulo 6.
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir função inversa.
 ◆ Gráfico da função inversa comparado com o gráfico da 
função.
 ◆ Definir função logarítmica.
 ◆ Construir o gráfico da função logarítmica sistema de lo-
garitmos.
 ◆ Inequações logarítmicas com exemplos.
 ◆ Logaritmos decimais (opcional).
No módulo, não consta a teoria sobre logaritmos deci-
mais, acrescentamos aqui caso o professor sinta necessidade 
em explorar tal conteúdo.
Estratégias de aula
Função inversa
Dada uma função f : A → B, temos que cada a [ A está 
associado a um valor f(a) [ B, ou seja, a função f é o conjunto 
formado pelos pares da forma (a, f(a)). Denominamos relação 
inversa de f a relação g: B → A formada por todos os pares 
da forma (b, a), onde a [ A, b [ B e b 5 f(a). Em outras 
palavras, os pares ordenados da relação inversa de f são obtidos 
invertendo-se as coordenadas de cada um dos pares da função f.
Ex.:
1
f
A B
2
3
4
5
6
4
g
B A
5
6
1
2
3
g é a relação inversa de f
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29Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
Quando a relação inversa de f for também uma função, ela 
será chamada de função inversa de f. Neste caso, f é dita inver-
sível e sua inversa será representada por f 21. No exemplo a seguir, 
f é inversível, pois sua relação inversa g é uma função.
1
f
A B
2
3
4
5
6
4
g
B A
5
6
1
2
3
f é inversível f é bijetora
Para determinarmos a lei de formação da função inversa 
de uma função f, devemos proceder da seguinte forma:
1o passo: na lei y 5 f(x), devemos substituir x por y e y 
por x.
2o passo: a partir darelação obtida, devemos escrever y 
em função de x, encontrando, então, a lei de formação de f 21.
Exemplo:
Seja f : R 2 {1} → R 2 {2} definida por y f(x)
2x 3
x 1
.5 5
1
2
 
Vamos encontrar a lei de f 21.
1o passo: substituindo x por y e y por x na lei de formação 
de f, temos: x
2y 3
y 1
.5
1
2
2o passo: a partir desta relação, devemos escrever y em 
função de x:
x ? (y 2 1) 5 2y 1 3 ⇒ xy 2 x 5 2y 1 3 ⇒ xy 2 2y 5 
5 x 1 3 ⇒ y ? (x 2 2) 5 x 1 3 ⇒ y f (x)
x 3
x 2
1
5 5
1
2
2
Vamos definir agora como obter o gráfico da inversa de uma 
função f a partir do gráfico de f. Primeiramente, temos que saber 
que os pares (a, b) e (b, a) são representados, em um sistema 
cartesiano ortogonal, por dois pontos simétricos à bissetriz dos 
quadrante ímpares (reta y 5 x), como mostra a figura a seguir:
y
xaO
a
(a, b)
(b, a)
y = x
b
b
Como para cada ponto (a, b) pertence ao gráfico de uma 
função f temos um par (b, a) pertencendo ao gráfico de f21, 
podemos concluir que o gráfico de f21 será o simétrico do 
gráfico de f em relação à reta y 5 x. A figura a seguir ilustra 
um exemplo.
y
x
y 5 x
f21
f
Definição
f : R*
1
 → R
x → f(x) 5 logax
Onde a [ R*
1
 2 {1}
“A função logarítmica é a inversa da função exponencial”. 
Observe:
f(x) a
x a
trocando x por f(x)
x
f (x)1
5
5
2
log x log aa a
f (x)1
5
2
logax 5 f
21 (x)
Gráfico
Usamos o gráfico da função exponencial como base para 
o gráfico da função logarítmica.
1o caso) a . 1
y
x
y 5 ax
y 5 log
a
x
y 5 x
1
1
Função crescente
2o caso) 0 , a , 1
y
x
y 5 ax
1
1
y 5 log
a
x
y 5 x
Função decrescente
PH_MP_MAT1_C1.indd 29 12/20/13 11:35 AM
30 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Inequação logarítmica
1o caso: a . 1 ⇒ Função crescente
loga f(x) . loga g(x) → f(x) . g(x) . 0
mantém o sinal
2o caso: 0 , a , 1 ⇒ Função decrescente
loga f(x) . loga g(x) → 0 , f(x) , g(x)
inverte o sinal
Ex.:
logx (x 1 2) > logx (6 2 x)
Restrições:
x 2 0 x 2
6 x 0 x 6
2 x
1 . . 2
2 . ,
2 , ,} ⇒ 6
x > 2 x > 2
Se x . 1 então x 1 2 > 6 2 x
∩ 2x > 4
0 , x , 1 x < 2
Se 0 , x , 1 então x 1 2 < 6 2 x
∩ 2x < 4
ou
6
Restri•‹o
10
2
Ð2
0 1 6
2
Solu•‹o
Solu•‹o Final
S 5 ]0,1[ ∪ [2, 1 ∞]
Logaritmos decimais
introdução
Passaremos a nos dedicar agora ao estudo dos logaritmos 
decimais, que, por serem bastante utilizados, merecem nossa 
atenção especial.
Inicialmente, recordemos algumas propriedades dos lo-
garitmos de base 10.
a) log 1 5 0
b) log 10 5 1
c) x . 1 ⇒ log x . 0
x , 1 ⇒ log x , 0
d) log 10n 5 n
característica e mantissa
Acompanhe o exemplo a seguir:
Problema: estimar o valor do logaritmo decimal de 73.
10 , 73 , 100
log10 , log 73 , log 100
1 , log 73 , 2
Portanto: log 73 5 1, ... 5 1 1 0,...
Repare que, a princípio, conseguimos calcular somente a 
parte inteira de log 73. É possível determinar, rapidamente, 
a parte inteira de qualquer logaritmo decimal, bastando para 
isso situar o logaritmando entre duas potências consecutivas 
de 10. O logaritmo do número em questão estará compreen-
dido entre os valores dos logaritmos das potências consecutivas 
de 10 que encerram o logaritmando.
A parte inteira do logaritmo decimal de um número é de-
nominada característica (c) e a parte decimal é denominada 
mantissa (m), onde 0 < m , 1. Desta forma, todo logaritmo 
de base 10 pode ser escrito da forma:
log x 5 Característica 1 Mantissa
determinação da característica
No cálculo da característica (c) de um logaritmo decimal, 
consideramos dois casos:
1o caso: log x, para x . 1
c 5 (No de algarismos da parte inteira de x) 2 1
Ex.: log 562,4
Parte inteira de x: 562 (3 algarismos)
⇒ c 5 3 2 15 2
Outros exemplos:
Logaritmo Característica
log 4,9 c 5 1 2 1 5 0
log 45,781 c 5 2 2 1 5 1
log 335 c 5 3 2 1 5 2
log 1324,81 c 5 4 2 1 5 3
2o caso: log x, para 0 , x , 1
c 5 2(No de zeros que antecedem o 1o algarismo não 
nulo de x)
Ex.: log 0,035
1o algarismo não nulo de x → 3
No de zeros que antecedem o algarismo 3: 2 “zeros”
⇒ c 5 22
Outros exemplos:
Logaritmo Característica
log 0,57 c 5 21
log 0,065 c 5 22
log 0,0028 c 5 23
log 0,0003 c 5 24
determinação da mantissa
Os valores da mantissa são obtidos em uma tabela deno-
minada tábua de logaritmos, onde as colunas n referem-se aos 
valores dos logaritmandos e as colunas mantissa aos valores 
das mantissas.
Ex.: calcular, com o auxílio da tábua de logaritmos, o 
valor de log 73.
c 2 1 1
m 0,86332 (valor encontrado
5 2 5
5 nna tabela){
⇒ log 73 5 c 1 m 5 1 1 0,86332 5 1,86332
Calculemos agora, a partir do resultado obtido anterior-
mente, o valor de log 7,3.
PH_MP_MAT1_C1.indd 30 12/20/13 11:35 AM
31Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
log 7,3 5 log (73 ? 1021) 5 log 73 1 log 1021 5 1,86332 2
2(21) 5 0,86332
Note que log 73 e log 7,3, apesar de apresentarem carac-
terísticas diferentes, apresentam a mesma mantissa.
Propriedade: ao multiplicarmos o logaritmando por uma 
potência inteira de 10 a mantissa do logaritmo não se altera.
Note na tábua de logaritmos que, por exemplo, a mantissa 
de log 9 é a mesma de log 90 e de log 900.
forma mista ou forma preparada
Calculemos o valor de log 0,0042.
c 3
m 0,62325 (valor encontrado na tabe
5 2
5 lla para n 42)5{
⇒ log 0,0042 5 c 1 m 5 23 1 0,62325 5 22,37675
Dizemos que 22,37675 é a forma negativa de escrever-
mos o valor log 0,0042.
Também podemos representar esse valor da seguinte forma:
log 0,0042 5 23 1 0,62325 5 3,62325, que é denomi-
nada forma mista ou preparada do log 0,0042.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 Seja a função de R 2 {22} em R 2 {4} definida por f(x) 5 
5 
4x 3
x 2
.
2
1
Qual é o valor do domínio de f21 com imagem 5?
Solução:
 Como: dom f(x) 5 imagem f21(x)
 Imagem f(x) 5 dom f21(x)
 Achar o valor do domínio de f21 com imagem 5 é o mesmo 
que achar a imagem de f(x) com domínio 5, isto é, f(5) 5 ?
 
f(5)
4 5 3
5 2
17
7
5
? 2
1
5
5 (Unirio-RJ) A função inversa da função bijetora f: R 2 {24} → 
→ R 2 {2} definida por 
2x 3
x 4
é:
2
1
a) f (x)
x 4
2x 3
12
5
1
1
b) f (x)
x 4
2x 3
12
5
2
2
c) f (x)
4x 3
2 x
12
5
1
2
d) f (x)
4x 3
x 2
12
5
1
2
e) f (x)
4x 3
x 2
12
5
1
1
Solução:
 I. Trocar x por y e vice-versa:
 
x
2y 3
y 4
5
2
1
 II. Isolar o valor de y:
 x(y 1 4) 5 2y 2 3
 x ? y 1 4x 5 2y 2 3
 4x 1 3 5 (2 2 x) ? y
 
y
4x 3
2 x
5
1
2
 Alternativa: C
6 Seja f: x → f(x) a função cujo gráfico é
 
y
x
0
 O gráfico que mais bem representa a função inversa f21: 
x → f21(x) é:
a) y
x
0
b) y
x
0
c) y
x
0
d) y
x
0
e) y
x
0
Solução:
 
y
x
f21(x)
 Alternativa: E
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32 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
7 (UFF-RJ)
 
Q(22, x)
P(9, 2)
 A figura acima representa os gráficos de duas funções: 
uma exponencial e uma logarítmica de mesma base. Sen-
do dado que P (9, 2) e Q (22, x), assinale a alternativa que 
indica o valor de x:
a) 
4
9
b) 
1
3
c) 
2
9
d) 
1
9
e) 
1
18
Solução:
 Seja f(x) 5 ax e g(x) 5 logax, com a . 0 e a Þ 1.
 Percebe-se que, Q [ f(x) e P [ g(x). Assim:
 g(9) 5 2 → g(9) 5 loga9 5 2 → a
2 5 9 → a 5 3
 
f( 2) x f( 2) a x 3 x x
1
9
2 2
2 5 2 5 5 5 5
2 2
→ → →
 Alternativa: D
12 (UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções f 
e g, definidas no intervalo ]0, 4] por f(x)
x
2
l n5 2 3 e 
g(x)
x
2
(l n x) ,25 2 onde In expressa o logaritmo na base 
neperiana e (e > 2,7).
y
x
Q 4
N
M
P
 Sejam M e N os pontos de interseção dos dois gráficos e P 
e Q suas respectivas projeções sobre o eixo x. Determine 
a área do trapézio MNQP.
Solução:
 Determinemos os pontos de interseção dos gráficos:
 f(x) 5 g(x) ⇔ ,nx 5 (,nx)2 ⇔ x 5 1 ou x 5 e. Como f(1)
1
2
5 
e f(e)
e
2
1,5 2



 temos: P(1, 0), Q(e, 0), N e,
e
2
12( ) e 
M 1,
x
2
.( ) Portanto a área do trapézio mede:
 
S
1
2
1
2
e
2
1 (e 1)
(e 1)
4
2
5 1 2 ? 2 5
2



17 Seja f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1). Os valoresde x para 
os quais f está definida e satisfaz f(x) . 1, são:
a) x
7
3
,
b) 1
2
x,
c) 1
2
x
7
3
, ,
d) 2 ,
4
3
x
e) 2 , ,
4
3
x
1
2
Solução:
 Condição de existência:
 f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1)
 ◆ 3x 4 0 x
4
3
1 . , 2→
 ◆ 2x 1 0 x
1
2
2 . .→
 Fazendo a interseção dos intervalos acima:
 CE: x
1
2
.
 f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1) . 1
 log
3x 4
2x 1
log 3
3x 4
2x 1
3 3
1
2
.
1
2



 →



 3,. como 2x 2 1 . 0,
 temos:
 
3x 4 3(2x 1) 3x 4 6x 3 3x 7 x1 . 2 1 . 2 ,→ → →
7
3
,
 Logo, 1
2
x
7
3
, ,
 Alternativa: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria de função logarítmica presente no mó-
dulo 6.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 8, 9, 10, 13 e 16 do 
módulo 6.
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M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
33Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
11 (Uerj) Uma partícula parte do ponto A(2; 0), movimentando-
-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma 
unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano.
 O gráfico abaixo exemplifica uma trajetória dessa partícula, 
durante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequência 
de movimentos CDCDCCDDDCC.
x
y
A0
 Admita que a partícula faça outra trajetória composta so-
mente pela sequência de movimentos CDD, que se repete 
durante 5 minutos, partindo de A.
 Determine a equação da reta que passa pela origem O (0,0) 
e pelo último ponto dessa nova trajetória.
Solução:
 5 3 60 5 300 segundos
 300 4 3 5 100 → são 100 movimentos para cima e 200 
para a direita. O último ponto é (202, 100).
 Equação da reta: y 100
202
x
50
101
x5 ? 5 ?
13 (Uerj) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma 
um arco parabólico com base AB 5 8 m e altura central 
OC 5 5,6 m.
y
C
A D B x
 Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o 
vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
U
E
R
J
PartE 1
Objetivos
 ◆ Rever, através de exercícios, toda a teoria já estudada nos 
módulos anteriores.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (Unirio-RJ) Considere a função f: R → R definida por
 
f(x)
x, se x 0
x , se 0 x 1
2 , s
2
(x 1)
5
<
< <
2 ee x 1>




a) Faça um esboço do gráfico desta função, destacando 
os pontos A 5 (0, f(0)) e B(1, f(1)).
b) Determine a função inversa f21(x) da função f(x).
Solução:
a) f(x) 5 x, se x < 0, f(0) 5 0, f(21) 5 21
 f(x) 5 x2, se 0 < x < 1, parábola com v(0, 0) concavidade 
para cima.
 f(x) 5 2(x 2 1), se x > 1 f(x) 5 2x ? 1
2
 → exponencial cres-
cente
 f(1) 5 20 5 1
 
y
x
1
1
B
A
b) y 5 x, se x < 0 (função identidade) f(x) 5 f21(x)
 y 5 x2, se 0 < x < 1 → x 5 y2 → y 5 x se 0 < x < 1
 y 5 2(x 2 1), se x > 1 → x 5 2(y 2 1) → y 2 1 5 log2x
 y 5 1 1 log2x, se x > 1
 
f (x)
x, se x 0
x, se 0 x 1
1 log
1
2
2
5
<
< <
1 xx, se x 1>





3 (UFRJ) Considere a função f: R → R definida por 
f(2x) 5 |1 2 x|.
 Determine os valores de x para os quais f(x) 5 2.
Solução:
 Temos que f(2x) 5 | 1 2 x | se, e somente se, f(x) |1
x
2
|.5 2 
Portanto, f(x) 5 2 equivale a |1
x
2
| 2,2 5 isto é :
1 2 x
2
 5 ± 2 → x 5 22 ou x 5 6
7 ReViSÃO
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34 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
 Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 
2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P 
em um determinado ponto do arco parabólico.
 
P
A
2,45m
 Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
Solução:
 y 5 ax2 1 5,6
 16a 1 5,6 5 0 ⇒ a 5 20,35
 y 5 20,35x2 1 5,6 5 2,45
 x 5 3 m
16 (FGV-SP) O menor valor inteiro de k para que a equação 
algébrica 2x(kx 2 4) 2 x2 1 6 5 0 em x não tenha raízes 
reais é
a) 21.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Solução:
 2x(kx 2 4) 2 x2 1 6 5 0 ⇔ x2(2k 2 1) 2 8x 1 6 5 0. Assim 
para que a equação não admita raízes reais, 
 Δ , 0 ⇔ ( 8) 4 (2k 1) 6 0 k
11
6
2
2 2 ? 2 ? , .→ . 
 Portanto o menor valor inteiro que k pode assumir é 2.
27 (UFF-RJ) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função y 5 
5 f (x) definida no intervalo [26,16]. O gráfico de f passa 
pelos pontos seguintes: (26, 22), (24, 0), (23, 3), (22, 0), 
(2, 1), (3, 4), (4, 2), (5, 2) e (6, 21). Exceto no intervalo 
[24, 22], o gráfico de f é formado por segmentos de retas.
 
y
x
0
1
2
3
4
5
121
21
22
22
23242526 2 3 4 5 6
a) Calcule f 9
2



 .
b) Determine a imagem de f.
U
E
R
J
c) Quantas soluções distintas possui a equação f(x) 5 1? 
E a equação f(x) 5 2? Justifique as suas respostas.
d) A função f é crescente no conjunto C 5 [24, 2 3] ∪ [2, 3]? 
Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Como 9
2
 pertence ao intervalo [4, 5], o gráfico nos mos-
tra que f 9
2
2.



 5
b) Imagem de f 5 [22, 4]
c) A equação f(x) 5 1 tem quatro soluções distintas, pois 
a reta y 5 1 intercepta o gráfico de f em quatro pontos 
diferentes. A equação f(x) 5 2 tem infinitas soluções, 
pois a reta y 5 2 intercepta o gráfico de f em infinitos 
pontos.
d) Não, pois 23 e 2 são elementos de C, 23 , 2 e f(2 3) . 
. f(2).
29 (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 ho-
ras. Na presença de um vento com velocidade v km/h na 
direção e sentido do movimento, a velocidade do avião 
é de (300 1 v) km/h. Se o avião se desloca em sentido 
contrário ao do vento, sua velocidade é de (300 2 v) km/h. 
Suponha que o avião se afaste a uma distância d do ae-
roporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo 
o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade 
do vento é constante e tem a mesma direção que a do 
movimento do avião.
a) Determine d como função de v.
b) Determine para que valor de v a distância d é máxima.
Solução:
a) Saindo do aeroporto, voando na direção e no sentido 
do vento durante t horas e se afastando d Km:
 d 5 (300 1 v) ? t → t 5 d/(300 1 v) (I); (300 1 v . 0) 
Voltando para o aeroporto, voando (4 2 t) horas: d 5 
5 (300 2 v) 3 (42t) → 42t 5 d/(300 2 v) (II); (300 2 v . 0)
 Somando (I) e (II): 4 5 (d/(300 1 v)) 1 (d/(300 1 v)) 
(onde |v| , 300)
 4 5 d ? ((1/(300 1 v)) 1 (1/(300 2 v))) 5 
5 d ? (600/(90 000 2 v2))
 Finalmente: d 5 (1/150) ? (90 000 2 v2).
 Resposta: d 5 (1/150) ? (90 000 2 v2)
b) d é máxima se v 5 0.
 Portanto dmax 5 (1/150) ? 90 000 5 600
 Resposta: 600 Km.
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 6, 9, 10, 22, 31, 32.
PartE 2
Objetivo
 ◆ Rever, através de exercícios, toda a teoria já estudada nas 
módulos anteriores.
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35Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
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ti
c
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 i
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
6 (UFF-RJ) Dada a função f: R → R definida por f(x) 5 e
4x 2 e2x 2 
2 e2(x 1 1) 1 e2, pode-se afirmar que a soma das abscissas dos 
pontos em que o gráfico de f(x) corta o eixo x é:
a) 0
b) 1
c) e
d) 1 1 e
e) 1 1 e2
Solução:
 As abscissas dos pontos em que o gráfico de f(x) corta o 
eixo x 5 raízes da equação f(x) 5 0
 f(x) 5 e4x 2 e2x 2 e2(x 1 1) 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x 2 e2x 1 2 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x 2 e2x ? e2 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x (1 1 e2) 1 e2 5 0
 Fazendo: e2x 5 y
 y2 2 y ? (1 1 e2) 1 e2 5 0 → y1 5 1 e y2 5 e
2
 y1 5 1 → e
2x 5 e0 → x 5 0
 y2 5 e
2 → e2x 5 e2 → x 5 1
 Soma 5 0 1 1 5 1
 Alternativa: B
9 (UFRJ) Considere a função:
 f: R → R
 x → f(x) 5 ex
a) Qual a imagem de f(x)?
b) Para que valores de x, tem-se f(f(x)) 5 1?
Solução:
a) Como toda função do tipo y 5 ax, a . 0 e a Þ 1, 
Im(f(x)) 5 (0, 1 ∞)
b) f(f(x)) 5 f(ex) 5 1 → ee
x
 5 1 5 e0 → ex 5 0 (impossível)
 S 5 [
44 (UFF-RJ) O valor de log (cotg 10°) 1 log (cotg 80°) é:
a) 0
b) 1
c) −
3
2
d) −
2
2
e) 
3
3
Solução:
 E 5 log(cotg 10°) 1 log(cotg 80°) 5 log(cotg 10°)(cotg 80°) 5 
5 log 1 5 0
 (cotg 10°)(cotg80°) 5 1, uma vez que 10° e 80° são ân-
gulos complementares.
 Alternativa: B
73 (UFF-RJ)
Beremiz e seu mestre Nô-Elim eram apaixonados pela 
rainha das ciências, a Matemática, e toda vez que se reuniam 
para conversar sobre ela, o faziam de modo enigmático. Cer-
ta vez, Beremiz fez a seguinte pergunta ao seu mestre.
— Qual é o número, maior que a unidade, cujo loga-
ritmo decimal da sua raiz quadrada é igual a raiz quadrada 
do seu logaritmo decimal?
— Usando propriedades do logaritmo e um pouco 
mais de sabedoria, você será capaz de responder a sua ques-
tão. – respondeu o mestre.
 Considerando o texto acima, responda:
 Qual é o número procurado por Beremiz?
Solução:
 Denotemos por x o número procurado.
 Interpretando os dados do problema, temos:
 
log x log x, sendo x 15 .
 
1
2
log x (log x) , x 1
1
2? 5 .
 Substituindo y 5 log x, temos:
 
y
2
y y 4y y 0 ou y 4
1
2 2
5 5 5 5→ →
 Como x . 1, temos que y 5 log x . 0.
 Logo y 5 4 → log x 5 4 → x 5 104
85 (Uerj) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a tempe-
ratura T de um corpo colocado num ambiente cuja tem-
peratura é T0 obedece à seguinte relação:
 T 5 T0 1 k e
2ct
 Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo 
medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi 
colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem deter-
minadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente 
a 100 °C, colocada numa sala de temperatura 20 °C. Vinte 
minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40 °C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara 
ter sido colocada na sala.
b) Considerando ,n 2 5 0,7 e ,n 3 5 1,1, estabeleça o 
tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido 
colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à 
metade.
Solução:
a) Substituindo os dados:
 T 20 °C, t(0) 100 °Ce T
1
3
40 °C0 5 5 5



 na relação 
T 5 T0 1 k ? e
2ct, encontraremos:
 
e
1
4
c
3
2
5
 Como queremos T
5
6
,



 basta observarmos que 
5
6
1
3
5
2
.5 ?








 
T
5
6
20 80(e ) 20 80
1
4
c
3
5
2




5 1 5 1 ?
2







5
2
20 80
1
32
22,5 °C
5
5 1 ? 5
b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 5 20 1 80e2ct ou 
seja e
3
8
,
ct2
5 como e
1
64
,
c2
5 teremos 
1
64
t
3
8
,



 5 
usando logaritmos:
 
t
3 n2 n3
6 n2
1
2
1,1
4,2
1
2
11
4
5
2
5 2 5 2
, ,
, 22
21 11
42
10
42
5
21
h
5
2
5
5 5
 
t
5
21
60 min 15 min5 3 >
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 10, 27, 31, 35, 42, 
45, 71, 74, 75 e 86.
PH_MP_MAT1_C1.indd 35 12/20/13 11:35 AM
PRÉ-VESTIBULAR
EXTENSIVO
manual do Professor
matemÁtica ii
1
autor
Eduardo Quintas da Silva
PH_MP_MAT2_C1.indd 1 12/20/13 11:33 AM
PH_MP_MAT2_C1.indd 2 12/20/13 11:33 AM
manual do Professor 
matemÁtica ii
1
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
página 7
2
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
página 10
3
ANÁLISE COMBINATÓRIA I
página 14
5
ANÁLISE COMBINATÓRIA III 
página 20
6 BINÔMIOSpágina 24
4
ANÁLISE COMBINATÓRIA II
página 17
7
PROBABILIDADE
página 27
PH_MP_MAT2_C1.indd 3 12/20/13 11:33 AM
4 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professoro Professor
orientaÇÕes Gerais
Cada disciplina do curso Pré-vestibular Extensivo é composta de 30 módulos, que tra-
zem todo o conteúdo necessário para a realização dos principais exames vestibulares do país.
Os módulos foram criteriosamente planejados, para que cada um deles possa ser 
trabalhado pelos professores em uma semana de aula, segundo a grade mínima de 
tempos sugerida abaixo.
Disciplina
3a série
Total de tempos/aulas
Língua Portuguesa I 
(Gramática / Literatura)
3
Língua Portuguesa II (Redação) 2
História 3
Geografia 3
Matemática I 2
Matemática II 3
Física 4
Química 4
Biologia 4
Língua Estrangeira
(Língua Espanhola, Língua Inglesa 
ou Língua Francesa)
2
Total 30
PH_MP_MAT2_C1.indd 4 12/20/13 11:33 AM
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
5Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
aPresentaÇÃo
A coleção Pré-vestibular Extensivo traz uma solução para os colégios que buscam excelência na 
preparação dos alunos para os mais diversos concursos vestibulares, sem abrir mão da necessária 
formação crítica.
O material trabalha todo o conteúdo do Ensino Médio, destacando os tópicos mais importantes 
para a resolução das provas, com ênfase em exercícios. 
No Manual do Professor, indicamos a melhor forma de abordagem desses conteúdos, sugerimos 
as melhores questões a serem resolvidas em sala e apresentamos uma proposta de quadro, para auxiliar 
os professores na montagem de suas aulas.
Com mais de vinte anos de experiência no preparo de alunos que ocupam vagas nas carreiras mais 
concorridas nas universidades do Rio de Janeiro e do Brasil, construímos um método de ensino bastante 
eficaz, com o cuidado de estar sempre em sintonia com aquilo que acontece no mundo.
Num tempo em que os adolescentes são submetidos a uma variada gama de apelos tecnológicos e 
informativos, oferecemos, com esse material, uma ferramenta importante para estimular os alunos a 
desenvolver o gosto pelo estudo.
Acreditamos também que o trabalho em sala de aula pode (e deve) ser complementado com o 
estudo em casa. É fundamental que os professores recomendem aos alunos a resolução de exercícios 
após as aulas, com a disponibilização de gabarito. 
O crescimento só ocorre quando o aluno percebe o que está errando, revisa o conteúdo necessário e 
aprende a resolver questões da maneira correta. É muito importante não deixar lacunas na preparação 
de nossos formandos.
Oferecemos, portanto, uma preparação completa, disponibilizando a professores e alunos os 
instrumentos necessários para que mais e mais sonhos de aprovação se realizem.
Boas aulas!
PH_MP_MAT2_C1.indd 5 12/20/13 11:33 AM
6 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
introduÇÃo
Sabemos que o principal elemento do processo de ensino-aprendizagem é o aluno. Por isso, as aulas devem ser cuidadosa-
mente preparadas para que os estudantes compreendam o conteúdo e suas utilidades e aplicações no mundo em que vivemos. 
As variáveis de uma sala de aula são muitas, cada turma tem suas particularidades e necessidades, de modo que a metodo-
logia de ensino deve adequar-se à realidade de cada grupo.
Diante disso, esse manual não pretende definir um modelo único de trabalho, mas auxiliar o professor na utilização do 
material de Matemática, apresentando sugestões de dinâmicas de aula, de formas de abordagem de cada conteúdo, de exercí-
cios a serem feitos em sala de aula e como tarefa. Ou seja, dando a orientação necessária para uma completa exploração dos 
módulos.
Esperamos que este manual seja útil ao longo de todo o período letivo.
Bom trabalho!
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7Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PARTE 1
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de Progressão Aritmética.
 ◆ Definir os tipos de P.A. (crescente, decrescente e constante).
 ◆ Determinar a expressão do termo geral da sequência.
 ◆ Apresentar as formas de representação de uma P.A.
Estratégias de aula
Através de exemplos simples, devemos fixar a ideia prin-
cipal de que, em uma P.A., a diferença entre os termos é 
constante, que a obtenção de um termo da sequência a partir 
do anterior é feita somando-se sempre o mesmo valor, de-
nominado razão da P.A. Podemos citar, por exemplo, como 
varia a posição de um carro, que se locomove com velocida-
de constante de 60km/h, em função do tempo, em horas, 
mostrando que a diferença entre uma posição e a anterior é 
sempre igual a 60 km.
Km 0 Km 60 Km 120 Km 180 Km 240
t 5 0 t 5 1 t 5 2 t 5 3 t 5 4...
Ao escolher os exemplos de P.A., podemos optar por um 
com razão positiva (crescente), um com razão