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1 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEM 545 – SISTEMAS MICROELETROMECÂNICOS Resp.: Leopoldo de Oliveira Laboratório de Dinâmica 2 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE ESTRUTURAS ELÁSTICAS • Hipóteses para MEMS e NEMS • Tensões e Deformações • Equações da Elastodinâmica • Elementos Estruturais – Cordas e Cabos – Barras – Vigas – Membranas – Placas • Modelos Equivalentes 3 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP HIPÓTESES PARA MEMS E NEMS • MEMS e NEMS: escalas muito menores que o usual (efeito de escala) – Microvigas: diâmetro 20mm (fio de cabelo: 100mm) – Nanotubos de carbono: diâmetro 1nm • Aplicação de conceitos de mecânica do contínuo deve ser feita com cautela – Propriedades materiais podem variar (material heterogêneo) – Precisão das propriedades geométricas • Materiais diferentes dos usuais em mecânica – Silício, poli-silício, óxido de silício, óxido de zinco – Materiais cerâmicos, ferromagnéticos, ferroelétricos, poliméricos – Metais: alumínio, níquel, cobre, ouro 4 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE (http://www.memsnet.org/material/) 5 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE (http://www.memsnet.org/material/) 6 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA Resistência útil: tensão que dá máxima variação aceitável em relação à elasticidade linear (http://www.memsnet.org/material/) 7 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA (http://www.memsnet.org/material/) 8 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP TENSÕES E DEFORMAÇÕES • Tensor de tensões de Cauchy • Tensor de deformações • Pequenas deformações y z x sy tyx tyz sx txy txz sz tzy tzx zzyzxz yzyyxy xzxyxx zyzxz yzyxy xzxyx stt tst tts s i j j i ij x u x u 2 1 xx yy 9 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP EQUAÇÕES DA ELASTODINÂMICA (FORM. VARIAC.) • Energia de deformação • Energia cinética • Princípio de Hamilton d. 2 1 εσV d. 2 1 uu T 0d 2 1 t t tWVT 0dd... 2 1 t t tfuCεεuu ou • Hipóteses importantes a considerar o Campo de deslocamentos o Campo de tensões e deformações s)deformaçõe de (livre0 tensões) de (livre0 i jiji C s xx yy , xx 10 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE CORDAS E CABOS • Hipóteses • Condições iniciais • Condições de contorno (extremidades fixas) 0),( 0),0( 2 2 tLu tu ]0),(0[),,,( 2 txutzyx u )()0,( )()0,( 2 2 xhxu xgxu Equações do movimento para cordas e cabos ou y z x 2 2 2 2 x u Tu ),(2 txu 0 ; ),( 654 132 2 1 x txu 0; 3211 sss T ),( 1 ),( 222 txuc txu 11 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS • Equações do movimento • Solução por separação de variáveis: y z x ),(2 txu 0)()0,()()0,( 00),(),0( 0),0(),( 1 ),( 00 2 txuxuxuxu ttlutu tlxtxu c txu )()(),( tTtXtxu s 2 2 2 22 2 )(1)( Tc T X X t XT cx XT 000 0 0 2 ssss s ouou cTT XX 12 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP D VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS • Solução das EDOs )(00 trivialTX s 0 0 2cTT XX s s )sinh()cosh()(0 21 xAxAxX sss Condições de contorno: l c a AlX AX 22 1 sinh0)( 00)0( 0),( txu 20 ss única solução não-trivial 0)(0)0(0)()( 2 lXeXxXxX Função espacial: 13 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP D 0)()( 2 xXxX VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS )cos()sin()( 21 xAxAxX admite solução do tipo: Com as condições de contorno: 0)(0)0( lXeX x l n AxX lA A nn sin)(0)sin( 0 1 2 14 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP D • Função temporal VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS x l n AxX nn sin)( Substituindo em T T cX X 2 1 0)()( 2 2 tTc l n tT t l cn At l cn AtTn cossin)( 43 que por sua vez, admite solução do tipo: Combinando as variáveis espaciais e temporais temos: 1 sincossin),( n t l cn Dt l cn Cx l n txu Neste caso, as constantes são obtidas com as condições iniciais: )0,()0,( xuexu 15 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS • Exemplo: Determinar a resposta de uma corda de comprimento l, fixa nas duas extremidades, dada a condição inicial conforme a figura. • Entregar na Próxima aula (10 de maio): 16 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE BARRAS: carregamento axial • Hipóteses • Condições iniciais • Condições de contorno (ou nas extremidades) 0)t,L(ou0)t,L(u 0)t,0(ou0)t,0(u 11 11 )()0,( )()0,( 1 1 xhxu xgxu y z x ),(1 txu ]00),([),,,( 1 txutzyx u 0 ; ),( 654 132 1 1 x txu 0; 3211 sss E ),(1 txu ),(1 txu 17 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE BARRAS • No elemento: t)f(x, dPP P u duu dx e x u EAA sP 2 2 t u ρAdxP-fdxdP)(P dx)x/P(dP com ou t u ρAfdx x u EA x 2 2 2 2 t t)(x,u ρA(x)fdx x t)(x,u EA(x) x Equações do axial livre para barras 2 1 2 1 x u Eu Similar à solução da corda!!! 18 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE BARRAS tsinCtcosC c x sinC c x cosCU(x)T(t)t)u(x, 4321 Tal qual para cordas: 19 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional • Hipóteses t)f(x, dMM M d x )t,x( )x(GJt)M(x, inércia de polar momento :J tocisalhamen de módulo:G 2 2 t IdxM-fdxdM)(M Análogo ao caso axial: 2 2 t t)(x, I(x)fdx x t)(x, GJ(x) x Equações torcional livre: 2 1 2 1 x u GJuI 20 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional 21 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VIBRAÇÕES EM VIGAS: 22 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP dx x V VV t y dxA 2 2 • Equilibrio de momentos: 02 2 2 2 dx t y Adx x V Vdxdx x M MM • Equilibrio de forças: VIBRAÇÕES EM VIGAS: 23 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP • Equilibrio de forças: dx x V t y dxA 2 2 • Equilibrio de momentos: 0 Vdxdx x M 2 2 2 2 t y dxAdx x M VIBRAÇÕES EM VIGAS: 24 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 2 2 2 2 t y dxAdx x M dx t y Adx x y EI x 2 2 2 2 2 2 2 2 x y EIM A EI c x y c t y , 4 4 2 2 A EI cycy iv , ou Lei de Euler-Bernoulli !!! VIBRAÇÕES EM VIGAS: 25 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP queremos determinar )()(),( tqxtxy )()( tqxy 22 )( )( x x c q q ycy iv iv )()(tqxy iviv e 00 2 2 2 c eqq iv VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 26 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 0 2 2 c iv solução do tipo: xeDx )( 0 2 2 4 xDe c c com ,044 raizes: ii e,, 02 qq solução do tipo: )(cos)(sen)( 21 tBtBtq ... VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 27 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 02 qq solução do tipo: )(cos)(sen)( 21 tBtBtq )cos()sen()cosh()senh((x) ou (x) ... 8765 4321 xDxDxDxD eDeDeDeD xixixx 221 8765 ,)(cos)(sen. )cos()sen()cosh()senh(t)y(x, ctBtB xDxDxDxD VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 28 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VIBRAÇÕES EM VIGAS: 221 8765 ,)(cos)(sen. )cos()sen()cosh()senh(t)y(x, ctBtB xDxDxDxD Função de forma (em x): para resolver esta parcela precisamos dos parâmetros estruturais, E, A, , etc., e das condições de contorno Função harmônica (temporal): para resolver esta parcela precisamos conhecer os 29 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP Função de Forma 00 yey 00 yey 00 yey M V engaste: apoio: livre: Condições de Contorno )cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx 0 0 0 30 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP )cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx 0)cos()sen()cosh()senh()( 000)0( 8765 86 DDDD DD )(cos)sen()(cosh)senh()( 8 2 7 2 6 2 5 2 xDxDxDxDx 0)(cos)sen()(cosh)senh()( 000)0( 8765 2 8 2 6 2 DDDD DD 0 0 0 86 86 86 DD DD DD Função de Forma Exemplo 31 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 0)cos()sen()cosh()senh()( 000)0( 8765 86 DDDD DD )cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx 0)sen(0 0)sen()senh( 0)sen()senh( 75 75 75 DeD DD DD )(cos)sen()(cosh)senh()( 8 2 7 2 6 2 5 2 xDxDxDxDx 0)(cos)sen()(cosh)senh()( 000)0( 8765 2 8 2 6 2 DDDD DD Função de Forma Exemplo 32 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 0)sen(7 D ,3,2,1, jj x j Dx sen)( 7 1)().( 2 07 dxxxD cte. arbitrária ,3,2,1, 2 2 j A EIj cj Função de Forma Exemplo 33 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP Função Harmônica • com as funções de forma i partimos para a solução das parceloas harmônicas )(cos)(sen 21 tBtBq jjjjj 1 )()(),( j jj tqxtxy 1 21 )(cos)(sen)(),( j jjjjj tBtBxtxy • como para os modelos discretos, os termos B1j e B2j são determinados de acordo com as condinções iniciais. Seja: )(),()(),( xgoxyexhoxy 34 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 1 2 1 21 )()0(cos)0(sen)()(),( j jj j jjj xBBBxxhoxy 1 2 1 21 )()0(sen)0(cos)()(),( j jjj j jjjj xBBBxxgoxy 1 2 )()( j jj xBxh 1 1 )()( j jjj xBxg Função Harmônica 35 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 1 2 )()( j jj xBxh 1 1 )()( j jjj xBxg • multiplicando por k e integrando sobre toda a viga... 1 020 )()()()( j kjjk dxxxBdxxxh 1 010 )()()()( j kjjjk dxxxBdxxxg kjse kjse 1 0 02 )()( dxxxhB jj 01 )()( 1 dxxxgB j j j Função Harmônica 36 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 0 102 10 11 )()()()( jse jse dxxxdxxxhB jjj 0)()( 1 01 dxxxgB j j j Função Harmônica: Exemplo g(x)=0 e h(x)=f1 1 2j )(cos.Bsen 2 t)y(x, j jtx j x j Dx sen)( 7 t A EIx 2 cossen 2 t x 1cossen 2 37 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP ),( 2 2 2 2 2 2 txF x y EI xt y A 1 )()(),( j jj tqxtxy • a equação diferencial parcial que rege o movimento transvesal da viga é dada por: • por separação de variáveis: • multiplicando os dois lados pelo deslocamento virtual y e integrando: 00 2 2 2 2 2 2 ),( ydxtxFdxy x y EI x y t y A RESPOSTA FORÇADA: Equação de movimento PAREI AQUI 38 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 1 0 1 1 0 ),( j jjj j k kjkkjk dxqtxFdxqqEIqA 0000 dxEIEIEIdxEI jkjkjkjk 0 0 condições de contorno jj jjj jjj QdxtxF kdxEI mdxA 0 0 0 ),( massa modal rigidez modal carregamento modal Substituindo 1 )()(),( j jj tqxtxy 39 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP 0 1 j j jjjjj qQqkqm • como os modos são ortogonais, por definição o espaço modal é desacoplado. Sendo assim, cada termo pode ser tratado independentemente: jjjjj Qqkqm 00 2 2 2 2 2 2 ),( ydxtxFdxy x y EI x y t y A Equação de Movimento 40 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP EXEMPLO: )t(sinf)t,a(fax 0 • Encontrar a resposta de regime permanente de uma viga bi-apoiada sujeita a uma excitação harmônica. • Método: superposição modal x j sen 2 )x( a j sin 2 )t(sinfdx)t,x(f (t)Q 0 0 jn ttt t 0 nn n regime d))t((sin)(Q 1 )t(q Força generalizada: Solução da EDO: Integral de Duhamel: jj 2 nj Qqq 41 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP )t(sin an sin 2f )t(q 22 n 0 regime • A solução é do tipo: • Portanto, a resposta é: )t(sin xn sin an sin 12f )t,x(y 1n 22 n 0 EXEMPLO: 42 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP Piezo-Resistivo Capacitivo APLICAÇÕES: Princípio 43 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP APLICAÇÕES: exemplos comerciais 44 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP • acelerômetro triaxial • condicionador de sinal • 300 mV/g • ±3g (± 29.5 m/s2). • 0,5 ~ 1600 Hz 4,00 4 ,0 0 [mm] Analog Devices ADXL-330 APLICAÇÕES: escala 45 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE MEMBRANAS Equações do movimento para membranas z x y 33 2 3 fuTu • Hipóteses • Condições iniciais • Condições de contorno yx n tyxu tyxu ,em 0 ),,( 0),,( 3 3 ),()0,,( ),()0,,( 3 3 yxhyxu yxgyxu ]),,(00[),,,( 3 tyxutzyx u 0;; 32211 sss EE ),,(3 tyxu 0 ),,( ; ),,( 6543 3 2 3 1 y tyxu x tyxu 46 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELAGEM DE PLACAS Equações do movimento para placas z x y )1(12 2 3 33 4 3 Eh D fuDu • Hipóteses • Condições iniciais • Condições de contorno (simplesmente apoiada) byytyxu axxtyxu tyxu ,0em;0/),,( ,0em;0/),,( em;0),,( 2 3 2 2 3 2 3 ),()0,,();,()0,,( 33 yxhyxuyxgyxu 0;; 32211 sss EE ),,(3 tyxu yx tyxu z y tyxu z x tyxu z ),,( ;0 ),,( ; ),,( 3 2 6543 2 3 2 22 3 2 1 ]//[),,,( 333 uyuzxuztzyxu a b 47 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VIBRAÇÕES EM PLACAS )1(12 2 3 33 4 3 Eh D fuDu • Equações do movimento • Condições de contorno (circular e engastada nos bordos) • Solução quasi-estática em;0/),,( em;0),,( 3 3 rtru tru z x y ),,(3 tru 224 3 3 3 1 64 :cte L r D Lf u f 48 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP MODELOS DE 1 GDL EQUIVALENTES Double folded Sensível a deslocamentos transversais ao desejado Desalinhamento das conexões Alinhamento ao preço de aumento na rigidez Redução da rigidez equivalente através de molas em série 49 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP CÁLCULO DO COEFICIENTE DE MOLA EQUIVALENTE 0 4 2 4 x u EI EIftLutLututu /),(;0),(;0),0(;0),0( 2222 EIftLutLututu /),(;0),(;0),0(;0),0( 2222 f f f )( )()()( 22 Lg EI kLkuf EI f xgxu O dobro do deslocamento com a mesma força: 2 k k Equação da viga em equilíbrio estático e sem forças distribuídas: )( )()()( 22 Lg EI kLukf EI f xgxu L L L 50 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP PROJETO DO COEFICIENTE DE MOLA EQUIVALENTE f 3 3 L EI kkuf Para a viga em balanço (cantilever) L u Importância do segundo momento de área: I Seção retangular: 12 3bh I b h f Parâmetros relevantes: • b (importante para rigidez transversal) • h3 • L3 51 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VARIAÇÕES DE MOLAS “FOLDED-FLEXURES” 52 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP VARIAÇÕES DE MOLAS “FOLDED-FLEXURES” No USP terminado em ... ...1 ...2 ...3 e ...4 ...5 e ...7 ...6 e ...8 ...9 e ...0 Determine a rigidez equivalente dos elementos abaixo de forma analítica. Sessão transversal com momento de inércia I e módulo de Elasticidade E. Faça de acordo com o último digito do seu NoUSP L L Ancoragem Força/Deslocamento 53 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP Fontes: http://www.periodicos.capes.gov.br/ Journal of Microelectromechanical Systems Microprocessors and Microsystems IEEE Micro Micro and Nano Letters ... Exercício 2: (para dia 17 de maio) Encontre: 1 artigo que trate de micro sensor ou micro atuador 54 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP Formato Titulo: Autores: Revista: Abstract: DOI: Descrição 1 parágrafo comentando o artigo: Esse artigo trata de um ... (basicamente a informação fornecida no abstract) Ano to trabalho: No USP *0 a *2 - 2010 ~ 2011 *3 a *5 - 2011 ~ 2012 *6 a *9 - 2012 ~ 2013 55 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo EESC USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEM 545 – SISTEMAS MICROELETROMECÂNICOS Resp.: Paulo S. Varoto Marcelo A. Trindade Laboratório de Dinâmica
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