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Leopoldo - sem545_elastic_Leo_Aula1_2013

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1 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SEM 545 – SISTEMAS MICROELETROMECÂNICOS 
Resp.: Leopoldo de Oliveira 
Laboratório de Dinâmica 
2 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE ESTRUTURAS ELÁSTICAS 
• Hipóteses para MEMS e NEMS 
• Tensões e Deformações 
• Equações da Elastodinâmica 
• Elementos Estruturais 
– Cordas e Cabos 
– Barras 
– Vigas 
– Membranas 
– Placas 
• Modelos Equivalentes 
3 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
HIPÓTESES PARA MEMS E NEMS 
• MEMS e NEMS: escalas muito menores que o usual (efeito de escala) 
– Microvigas: diâmetro 20mm (fio de cabelo: 100mm) 
– Nanotubos de carbono: diâmetro 1nm 
• Aplicação de conceitos de mecânica do contínuo deve ser feita com 
cautela 
– Propriedades materiais podem variar (material heterogêneo) 
– Precisão das propriedades geométricas 
• Materiais diferentes dos usuais em mecânica 
– Silício, poli-silício, óxido de silício, óxido de zinco 
– Materiais cerâmicos, ferromagnéticos, ferroelétricos, poliméricos 
– Metais: alumínio, níquel, cobre, ouro 
4 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE 
(http://www.memsnet.org/material/) 
5 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE 
(http://www.memsnet.org/material/) 
6 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA 
Resistência útil: tensão que dá máxima variação aceitável em relação à elasticidade linear 
(http://www.memsnet.org/material/) 
7 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA 
(http://www.memsnet.org/material/) 
8 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
• Tensor de tensões de Cauchy 
 
 
 
 
• Tensor de deformações 
 
 
 
 
• Pequenas deformações 
y 
z 
x 
sy 
tyx 
tyz 
sx 
txy 
txz 
sz 
tzy 
tzx 











zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx















zyzxz
yzyxy
xzxyx
stt
tst
tts
s














i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
 xx
yy
9 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
EQUAÇÕES DA ELASTODINÂMICA (FORM. VARIAC.) 
• Energia de deformação 
 
 
• Energia cinética 
 
 
• Princípio de Hamilton 


 d.
2
1
εσV


 d.
2
1
uu T
  0d
2
1

t
t
tWVT 
  0dd...
2
1
 

t
t
tfuCεεuu  
ou 
• Hipóteses importantes a 
considerar 
o Campo de deslocamentos 
o Campo de tensões e 
deformações 
s)deformaçõe de (livre0
tensões) de (livre0


i
jiji C

s
xx
yy
,
xx
10 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE CORDAS E CABOS 
• Hipóteses 
 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
 
 
• Condições de contorno 
(extremidades fixas) 
 
0),(
0),0(
2
2


tLu
tu
]0),(0[),,,( 2 txutzyx u
)()0,(
)()0,(
2
2
xhxu
xgxu



Equações do movimento 
para cordas e cabos 
 
 
ou 
y 
z 
x 
2
2
2
2
x
u
Tu



),(2 txu
0
;
),(
654
132
2
1







x
txu
0; 3211  sss T
),(
1
),( 222 txuc
txu 
11 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Equações do movimento 
 
 
 
 
 
• Solução por separação de variáveis: 
 
 
 
y 
z 
x 
),(2 txu
0)()0,()()0,(
00),(),0(
0),0(),(
1
),(
00
2



txuxuxuxu
ttlutu
tlxtxu
c
txu


)()(),( tTtXtxu 







s
2
2
2
22
2 )(1)(
Tc
T
X
X
t
XT
cx
XT

000
0
0
2





 ssss
s
ouou
cTT
XX

12 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Solução das EDOs 
 
)(00 trivialTX s





0
0
2cTT
XX
s
s

)sinh()cosh()(0 21 xAxAxX sss  Condições de contorno: 








l
c
a
AlX
AX
22
1
sinh0)(
00)0(
0),( txu
20 ss  única solução não-trivial 
0)(0)0(0)()( 2  lXeXxXxX 
Função espacial: 
13 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
0)()( 2  xXxX 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
)cos()sin()( 21 xAxAxX  
admite solução do tipo: 
Com as condições de contorno: 
0)(0)0(  lXeX












x
l
n
AxX
lA
A
nn

 sin)(0)sin(
0
1
2
14 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
• Função temporal 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 






 x
l
n
AxX nn

sin)(
Substituindo em 
T
T
cX
X 
2
1


0)()( 2
2






 tTc
l
n
tT













 t
l
cn
At
l
cn
AtTn

cossin)( 43
que por sua vez, admite solução do tipo: 
Combinando as variáveis espaciais e temporais temos: 




























1
sincossin),(
n
t
l
cn
Dt
l
cn
Cx
l
n
txu

Neste caso, as constantes são obtidas com as condições iniciais: 
)0,()0,( xuexu 
15 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Exemplo: Determinar a resposta de uma corda de comprimento l, fixa 
nas duas extremidades, dada a condição inicial conforme a figura. 
 
• Entregar na Próxima aula (10 de maio): 
16 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento axial 
• Hipóteses 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
 
• Condições de contorno 
(ou nas extremidades) 
 
0)t,L(ou0)t,L(u
0)t,0(ou0)t,0(u
11
11


)()0,(
)()0,(
1
1
xhxu
xgxu



y 
z 
x 
),(1 txu
]00),([),,,( 1 txutzyx u
0
;
),(
654
132
1
1







x
txu
0; 3211  sss E
),(1 txu
),(1 txu
17 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS 
• No elemento: 
 
t)f(x,
dPP P
u duu 
dx
e
x
u
EAA


sP
2
2
t
u


 ρAdxP-fdxdP)(P
dx)x/P(dP com 
ou
t
u
ρAfdx
x
u
EA
x 2
2











2
2
t
t)(x,u
ρA(x)fdx
x
t)(x,u
EA(x)
x 









 Equações do axial livre 
para barras 
2
1
2
1
x
u
Eu


 
Similar à solução da corda!!! 
18 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS 
    tsinCtcosC
c
x
sinC
c
x
cosCU(x)T(t)t)u(x, 4321 








 





 

Tal qual para cordas: 
19 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional 
• Hipóteses t)f(x,
dMM M
  d
x
)t,x(
)x(GJt)M(x,



inércia de polar momento :J
tocisalhamen de módulo:G
2
2
t
IdxM-fdxdM)(M



Análogo ao caso axial: 
 
2
2
t
t)(x,
I(x)fdx
x
t)(x,
GJ(x)
x 










Equações torcional livre: 
2
1
2
1
x
u
GJuI



20 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional 
21 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
22 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
dx
x
V
VV
t
y
dxA





2
2

• Equilibrio de momentos: 
02
2
2
2 








 dx
t
y
Adx
x
V
Vdxdx
x
M
MM 
• Equilibrio de forças: 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
23 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
• Equilibrio de forças: 
dx
x
V
t
y
dxA





2
2

• Equilibrio de momentos: 
0


Vdxdx
x
M
2
2
2
2
t
y
dxAdx
x
M




 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
24 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
2
2
2
2
t
y
dxAdx
x
M




  dx
t
y
Adx
x
y
EI
x 2
2
2
2
2
2














 
2
2
x
y
EIM



A
EI
c
x
y
c
t
y







,
4
4
2
2
A
EI
cycy iv

 ,
ou 
Lei de Euler-Bernoulli !!! 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
25 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
queremos determinar 
)()(),( tqxtxy 
)()( tqxy  
22
)(
)( 


x
x
c
q
q
ycy
iv
iv 
)()(
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